1

第四章 貨幣時間價值

第三節 非等額現金之計算

第一節 單筆金額之現值與未來值

第四節 複利之計算

第二節 年金之現值與未來值

第五節 貨幣時間價值之應用

2

3

利用公式

查表

財務計算機：如 Casio FC-200 或 HP 10B 。

貨幣時間價值的計算方式：

電腦軟體：如 EXCEL 。

4

第一節 單筆金額之現值與未來值

複利的計算 t t+n

期別 0 1 2 3 4 ├─────┼─────┼─────┼─────┤ 利率 10% 金額 -$1,000 1,100 1,210 1,331 1,464 └─────┘└────┘└────┘└────┘ 利率 1.1 1.1 1.1 1.1 └─────────┬───────→ 現值 $1,000 (1.1)4 = 未來值 $1,464

PV (1+‧ i)n = FVn 。 $1,000 (1.1)4 = $1,464 。

PV (FVIF‧ i,n) = FVn 。

5

複利示意圖

$0

$500

$1,000

$1,500

1 2 3 4

單利

利上加利

$10$31

$64

單利 單利 單利$100 $200 $300 $400

6

未來值的變動

12345678

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

期數

價值

FV

i=5%i=10%

i=15%

貨幣隨時間成長，利率愈高，愈久價

7

現值的變動

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

期數

價值

PVi=5%

i=10%

i=15%

距離現在愈遠的貨幣，價值愈低

8

例、 [ 單一金額現值 ] 若年利率固定為 6% ，某人希望 5 年後有 $50,000 收入，則目前應存入的金額為何？

0 1 2 3 4 5

├──┼──┼──┼──┼──┤ 利率 = 6%

PV $50,000

PV = FV PVIF 6%,5

= $50,000 0.7473

= $37,365 。

Casio FC-200 計算機0 EXE SHIFT AC EXE ( 清除資

料 )50,000 → FV6 → i%5 → nCOMP PV EXE → 37,362.91

9

第二節 年金之未來值與現值

FVAn = PMT‧ [1 + (1+i) + (1+i)2 + ... + (1+i)

n 1]，

FVAn = PMT‧ t=1

n

(1+i)n-t

= PMT‧ (FVIFAi,n)。

1. 一般年金 (Ordinary Annuity)

一般年金示意圖

n10 ... n-1

0 1 2 3 ... n

├──┼──┼──┼────────┤ 利率 = i

PMT PMT PMT ... PMT

PVAn FVAn

FVIFAi,n = t=1

n (1+i)

n-t =

( )1 1 i

i

n

。

未來值

10一般金年現值示意圖

例、 [ 年金之現值 ] 年金共 5 期， PMT = $100 ， i = 10% 。

0 1 2 3 5

1/1.1

$100

4

1/(1.1)2

$100 $100 $100 $100

$90.91

82.64

75.13

62.09

$379.07

1/(1.1)3

1/(1.1)4

1/(1.1) 568.30

PVA

+)

PVAn = PMT‧ [1

1+i + 1

(1+i)2 + ... +

1 (1+i)

n ]，

PVAn = PMT‧ t=1

n

1 (1+i)

t = PMT‧ (PVIFAi,n)。

PVIFAi,n = t=1

n

1 (1+i)

t =

1

i 1

1i i n( ) 。

現值

11

例、 [ 年金之現值 ] 某房東每年年底必須花費 $10,000 整修房屋，租賃契約 4 年，以整存零付的方式支付整修費，若年利率固定為 8% ，則目前應存入多少？

0 1 2 3 4

├───┼───┼───┼───┤ 利率 = 8%

PV 10,000 10,000 10,000 10,000

PV = FV PVIF 8%,4

= $10,000 3.3121 = $33,121 。

Casio FC-200 計算機0 EXE SHIFT AC EXE ( 清除資

料 )() 10,000 → PMT8 → i%4 → nCOMP PV EXE → 33,121.2

12

2. 期初年金 (Annuity Due) n10 ... n-1

期初年金示意圖

0 1 2 3 ... n -1 n

├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = i PMT PMT PMT PMT ... PMT 0

PVAn FVAn

FVAn = PMT‧ t=0

n-1

(1+i)n-t

= PMT‧ (FVIFAi,n)‧ (1+i)。

PVAn = PMT‧ t=0

n-1

1 (1+i)

t = PMT‧ (PVIFAi,n)‧ (1+i)。

13

例、 [ 期初年金未來值 ] 每年年初買進一張 (1,000 股 ) K 公司股票 ( 面額 $10) ；如果 K 公司每年發放股票股利 $2 ，到了第 5 年年底會擁有多少 K 公司的股票？

0 1 2 3 4 5

├───┼───┼───┼───┼───┤ i = 20%

1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 FVA

FVA = 1,000 FVIFA 20%,5 1.2

= 1,000 7.4416 1.2 = 8,930 。

Casio FC-200 計算機0 EXE SHIFT AC EXE ( 清除資

料 )SHIFT BGN ( 設定為期初模式 )() 1,000 → PMT20 → i% 5 → nCOMP FV EXE → 8,930

14

3. 分期付款 (Amortization) 例、 [ 分期付款 ] 以固定利率 9% 向銀行貸款 $2 百萬，

為期 10 年，每年年底須支付相同金額。

每年應還金額為何？ 若第三年年底想償還所有貸款，則應還金額多少？

$2 百萬 = PMT PVIFA 9

%,10

= PMT 6.4177 ， PMT = $311,638 。

0 1 2 3 ... 9 10

├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = 9%

$2 百萬 PMT PMT PMT ... PMT PMT

Casio FC-200 計算機0 EXE SHIFT AC EXE ( 清除資

料 )2,000,000 → PV 9 → i%10 → nCOMP PMT EXE → 311,640.18

15

－ (1) (2) (3) = (1)9%

(4) = (2)(3) (5) = (1)(4)

項目 期初餘額(Beginning)

每年金額(Payment)

利息費用(Interests)

償還本金(Principal)

期末餘額(Ending)

按 鍵 ─ PMT INT PRN SHIFT BAL

第一年 $2,000,000.00 311,640.18 180,000.00 131,640.18 1,868,359.82

第二年 $1,868,359.82 311,640.18 168,152.38 143,487.80 1,724,872.02

第三年 $1,724,872.02 311,640.18 155,238.48 156,401.70 1,568,470.33

第三年年底應償還 $311,640.18 + 1,568,470.33 = $1,880,110.51 。

第三年年底應還金額：

16

4. 永續年金 (Perpetuity) 10 ... ...n

PV

P = PMT (1

(1+i) + 1

(1+i)2 + … +

1 (1+i)

n + …) = PMT

i ，

PVA = PMT

i 。

例、 [ 永續年金 ] 大大公司發行特別股，每年支付股利 $2,000 ，必要報酬率 10% ，則其理論股價應為何？

P = PMT

i = $2 0.1 = $20。

17

第三節 非等額現金之計算

FVn = CF0‧ (1+i)n + CF1‧ (1+i)

n 1 + CF2‧ (1+i)

n 2 + ... + CFn。

0 1 2 3 ... 9 10

├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = i

CF1 CF2 CF3 ... CFn-1 CFn

PV FV

PVn = CF0 + CF1 1+i +

CF2

(1+i)2 + ... +

CFn

(1+i)n = t=0

n

CFt

(1+i)t 。

18

例、 [ 非等額現金之應用 ] 每年年初購買海外共同基金， 5 年來購買金額分別為 $5 、 4 、 8 、 6 、 7 萬，期末價值 $44 萬，平均年報酬率為何？

$44 萬 = $5 萬‧ (1+i)5 + 4 萬‧ (1+i)4 + 8 萬‧ (1+i)3 + 6 萬‧(1+i)2 + 7 萬‧ (1+i) ，

i = 14% 。

0 1 2 3 4 5

├──┼──┼──┼──┼──┤ $5 萬 4 萬 8 萬 6 萬 7 萬 $44 萬

Casio FC-200 計算機0 EXE SHIFT AC EXE ( 清除資

料 )() 5 → CFj

() 4 → CFj

() 8 → CFj

() 6 → CFj

() 7 → CFj

44 → CFj

IRR EXE → 13.99%

19

第四節 複利之計算

EAR = (1 + 0.18 12 )

12 1.0 = 19.56%。

名目年利率 (Nominal Annual Rate) ： inom ，掛牌利率。 每期利率 (Periodic Interest Rate) ： inom /m ， m 為計算次數。有效年利率 (Effective Annual Rate) ：EAR (ieff) ，實際年利率。

例、 [ 有效利率之計算 ] 某信用卡的名目年利率為 18% ，則其「有效年利率」為何？

EAR = (1 + inom m )

m 1.0。

20

2. 無限次數的有效年利率

ieff = [ lim m→ (1 +

inom m )

m ] 1.0

= [ lim m→ (1 +

1 m/inom

)m ] 1.0

= [ lim m→ (1 +

1 m/inom

)(m/inom)‧ inom] 1.0

= [ lim m→ (1 +

1 n )

n‧ inom] 1.0

= einom 1.0 。

21

第五節 貨幣時間價值之應用

甲國的年經濟成長率為 2% 。 乙國的年經濟成長率為 12% 。

例、 [ 單一金額未來值之應用 ]

甲國目前的國民生產毛額為乙國的五倍，乙國多少年之後國民生產毛額將會超過甲國？

GNP 甲‧ (1.02)n GNP 乙‧ (1.12)n ，5 GNP 乙‧ (1.02)n GNP 乙‧ (1.12)n ，5 (1.02)‧ n (1.12)n ，5 (1.12/1.02)n

5 (1.098)n ， n = 17.21 。

0 n ├────────┤ PV=1 FV=5

i = 1.12 1.02 1 = 9.8%。

Casio FC-200 計算機() 1 → PV 5 → FV 9.8 → i%COMP n EXE → 17.21

22

甲公司－交車一個月後每個月月底應付 $73,178 ( 無頭期款 ) ，共付一年六個月 (18 期 ) 。

乙公司－交車兩個月後每二個月月底應付 $132,198 ( 無頭期款 ) ，共付 10 期。

甲或乙公司之分期付款對消費者較有利？

例、分期付款年金利率之比較新車，現金售價 $120 萬：

甲公司： $1,200,000 = ($73,178) PVIFAi,18 ，一個月利率 = 1%

有效年利率 = (1.01)12 1 = 12.68% 。

乙公司： $1,200,000 = ($132,198) PVIFAi,10 ，二個月利率 = 1.8%

有效年利率 = (1.018)6 1 = 11.30% 。

乙公司利率較低，應選擇乙公司。

23

如果要保人繳滿保險金 5 年之後 ( 第 24 年底 ) 死亡，則其投保的「年平均報酬率」為多少？

以平均壽命 70 歲計算，忽略作業成本，則該保險公司推出該契約的成本 ( 百分比 ) 約為多少？

例、 [ 保險的報酬率 ] 30 歲要保人之壽險 $1,000,000 保額，每年年初需繳費 $12,368 ， 20 年後期滿。

0 1 2 3 ... 19 20 24

├──┼──┼──┼──────┼──┼────┤12,638 12,638 12,638 12,638 ... 12,638 0 1,000,000

FV = PMT FVIFAi,20 (1+i)5 ， $1,000,000 = ($12,368) FVIFAi,20 (1+i)5 ， 利用財務計算機得到 i = 9.17% 。

24

0 1 2 3 ... 19 20 ... 38 39 ├──┼──┼──┼──────┼──┼────┼──┤12,638 12,638 12,638 12,638 ... 12,638 0 ... 0 1,000,000

FV = PMT FVIFAi,20 (1+i)20 ， $1,000,000 = $12,368 FVIFAi,20 (1+i)20 ， 利用財務計算機得到 i = 4.72% 。

Casio FC-200 計算機0 EXE SHIFT AC EXE ( 清除資

料 )12,368 → CFj

20 → Nj

0 → CFj

19 → Nj

1,000,000 → CFj

IRR EXE → 4.72

( 續前題 )