第三章 集第三章 集 合 合3.1 集合论基础3.1 集合论基础

3.2 集合运算及其性质3.2 集合运算及其性质

33..33 集合 集合的笛卡儿积与无序积的笛卡儿积与无序积

退出退出

3.1 3.1 集合论基础集合论基础1. 1. 集合与元素集合与元素

所谓集合，是指某些可辨别的不同对象的所谓集合，是指某些可辨别的不同对象的全体，将用大写字母全体，将用大写字母 AA ，， BB ，， XX ，， YY ，， ······ 表表示之。组成集合的对象称为集合的元素或成员，示之。组成集合的对象称为集合的元素或成员，将用小写字母将用小写字母 aa ，， bb ，， xx ，， yy······ 表示之。表示之。 aa 是是 AA

的元素或的元素或 aa 属于属于 AA ，记作，记作 aaAA ；； aa 不属于不属于 AA 或或aa 不是不是 AA 的元素，记作的元素，记作 aaAA ，或者，或者 ((aaAA)) 。。

集合的元素一旦给定，这一集合便完全确立。集合的元素一旦给定，这一集合便完全确立。

这一事实被形式地叙述为外延公理。这一事实被形式地叙述为外延公理。

外延公理：两集合外延公理：两集合 AA 和和 BB 相等，当且仅当它相等，当且仅当它

们有相同的元素。们有相同的元素。

若若 AA 与与 BB 相等，记为相等，记为 AA==BB ；否则，记为；否则，记为 AABB 。。

外延公理可形式表为：外延公理可形式表为：AA==BB((xx)()(xxAAxxBB))

或者或者AA==BB((xx)()(xxAAxxBB))((xx)()(xxBBxxBB))

顺便指出，在应用外延公理证明集合顺便指出，在应用外延公理证明集合 AA 与与 BB 相等时，相等时，只需考察：只需考察：

对于任意元素对于任意元素 xx ，应有下式，应有下式xxBBxxBB

成立即可。这就是说，证明两集合相等时可按此法成立即可。这就是说，证明两集合相等时可按此法行事。行事。

表示一个特定集合，基本上有两种方法：表示一个特定集合，基本上有两种方法：

一是枚举法，在可能时列出它的元素，元一是枚举法，在可能时列出它的元素，元

素之间用逗号分开，再用花括号括起。如素之间用逗号分开，再用花括号括起。如

AA=={{aa,,ee,,ii,,oo,,uu}} (1) (1)

表明集合表明集合 AA 是由字母是由字母 aa, , ee, , I I ,,oo 和和 uu 为元素为元素

构成的。构成的。

二是谓词法，用谓词公式来确定集合。即个体二是谓词法，用谓词公式来确定集合。即个体域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一个集域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一个集合，因为这些元素都具有某种特殊性质。若合，因为这些元素都具有某种特殊性质。若 PP((xx)) 含含有一个自由变元的谓词公式，则有一个自由变元的谓词公式，则 {{xx||PP((xx)})} 定义了集定义了集合合 SS ，并可表为，并可表为

SS=={{xx||PP((xx)})}

由此可见，由此可见， PP((cc)) 为真当且仅当为真当且仅当 ccSS 。从而有。从而有xxSSxxPP((xx))

例如，例如， (1)(1) 可表为可表为

AA={={xx||xx 是英文字母表中元音字母是英文字母表中元音字母 }}

在用性质来描述集合时，可表述为概括原理或在用性质来描述集合时，可表述为概括原理或子集合公理。子集合公理。

子集公理：子集公理：

对于任给集合对于任给集合 AA 和性质和性质 PP ，存在集合，存在集合 BB ，使得，使得BB 中元素恰为中元素恰为 AA 中满足中满足 PP 的那些元素。的那些元素。

子集公理可形式地表为子集公理可形式地表为

((BB)()(xx)()(xxBBxxAA((xx))))

其中其中 ((xx)) 为不含为不含 BB 自由出现。自由出现。

子集公理的提出，避免了悖论，使集合论得子集公理的提出，避免了悖论，使集合论得

以存在和发展。以存在和发展。

应该指出的是：①集合并不决定于它的元素展应该指出的是：①集合并不决定于它的元素展

示方法。集合的元素被重复或重新排列，集合并不示方法。集合的元素被重复或重新排列，集合并不

改变，即改变，即 {{aa, , a a ,,ee, , ii, , oo, , uu}}= = {{ aa, , uu, , ee, , oo, , ii}} 。但有时对重。但有时对重

复出现的元素都认为是集合的元素，这种集合称为复出现的元素都认为是集合的元素，这种集合称为

多重集。即多重集。即 {{aa, , aa, , ee, , ii, , oo, , uu, , uu}}{{aa, , ee, , ii, , oo, , uu}} 。本书中。本书中

集合在不特别指明时，都指前者，即①中的集合。集合在不特别指明时，都指前者，即①中的集合。

②② 集合的元素可以是具体事物，可以是抽象概集合的元素可以是具体事物，可以是抽象概念，也可以是集体，不是集合的元素称为本元。如，念，也可以是集体，不是集合的元素称为本元。如，一本书，一支笔，集合一本书，一支笔，集合 {{1,2,31,2,3}} 可以组成集合可以组成集合 BB=={{ 一一本书，一支笔，本书，一支笔， {{1,2,31,2,3}}}} 。特别地，以集合为元素。特别地，以集合为元素的集合称为集合族或集合类如的集合称为集合族或集合类如 AA=={{{{1,2,31,2,3}}, , {{ 8,9,6 8,9,6}}}} 。。

③③ 集合中元素之间可以有某种关联，也可以彼集合中元素之间可以有某种关联，也可以彼此毫无关系。此毫无关系。

2. 2. 子集、全集与空集子集、全集与空集子集是描述一个集合与另一个集合之间的关系，其子集是描述一个集合与另一个集合之间的关系，其

定义如下。定义如下。

定义定义 3.1.13.1.1 设设 AA 和和 BB 是任意两个集合，如果集合是任意两个集合，如果集合 AA

的每个元素，都是集合的每个元素，都是集合 BB 中的一个元素，则称中的一个元素，则称 AA 是是 BB 的的

子集，或称子集，或称 AA 被包含于被包含于 BB 中，或者说中，或者说 BB 包含包含 AA ，并记，并记

为为 AABB 。。

本定义也可表成本定义也可表成

AABB((xx)()(xxAAxxBB))

这表明，要证明这表明，要证明 AABB ，只需对任意元素，只需对任意元素 xx ，，有下式有下式

xxAAxxBB

成立即可。成立即可。

此外，若集合此外，若集合 BB 不包含集合不包含集合 AA ，记为，记为 AABB 。。/

定义定义 3.1.23.1.2 设设 AA 和和 BB 是两个集合，若是两个集合，若 AABB

且且 AABB ，则称，则称 AA 是是 BB 的真子集，记为的真子集，记为 AABB ，，

也称也称 BB 真包含真包含 AA 。该定义也可表为。该定义也可表为

AABB((AABBAABB))

定义定义 3.1.33.1.3 如果一个集合包含了所要讨论的如果一个集合包含了所要讨论的

每一个集合，则称该集合为全集，记为每一个集合，则称该集合为全集，记为 UU 或或 EE 。。

它可形式地表为它可形式地表为

UU={={xx||PP((xx))PP((xx)})}

其中其中 PP((xx)) 为任何谓词公式。为任何谓词公式。

显然，全集显然，全集 UU 即是第二章中的全总论域。即是第二章中的全总论域。

于是，每个元素于是，每个元素 xx 都属于全集都属于全集 UU ，即命题，即命题 ((xx))

((xxUU)) 为真。由定义易知，对任意集合为真。由定义易知，对任意集合 AA ，都，都

有有 AAUU 。。

在实际应用中，常常把某个适当大的集合在实际应用中，常常把某个适当大的集合

看成全集看成全集 UU 。。

定义定义 3.1.43.1.4 没有任何元素的集合，称为空集，没有任何元素的集合，称为空集，

记为记为，它可形式地表为：，它可形式地表为：

={={xx||PP((xx))PP((xx)})}

其中其中 PP((xx)) 为任何谓词公式。为任何谓词公式。

由定义可知，对任何集合由定义可知，对任何集合 AA ，有，有 AA 。这。这

是因为任意元素是因为任意元素 xx ，公式，公式 xxxxAA 总是为真。总是为真。

注意，注意，与与 {{}} 是不同的。是不同的。 {{}} 是以是以为元为元

素的集合，而素的集合，而没有任何元素，能用没有任何元素，能用构成集合构成集合

的无限序列：的无限序列：

(1)(1) ，， {{}} ，， {{{{}}}} ，， ······

该序列除第一项外，每项均以前一项为元素该序列除第一项外，每项均以前一项为元素

的集合。的集合。

(2)(2) ，， {{}} ，， {{ ，， {{}}}} ，， ······

该序列除第一项外，每项均以前面各项为元素的该序列除第一项外，每项均以前面各项为元素的集合。它即是冯集合。它即是冯 ·· 诺依曼在诺依曼在 19241924 年使用空集年使用空集给出自给出自然数的集合表示：然数的集合表示：

0:=0:= ，， 1:={1:={}} ，， 2:={ 2:={ ,{,{}}}} ，， ······

定理定理 3.1.13.1.1 空集是唯一的空集是唯一的定理定理 3.1.23.1.2 ( )ⅰ( )ⅰ 对任一集合对任一集合 AA ，有，有 AAAA 。。

( )ⅱ( )ⅱ 若若 AABB 且且 BBCC ，则，则 AACC 。。

33 ．集合的基数．集合的基数表示集合中元素多少或度量集合大小的数，称作表示集合中元素多少或度量集合大小的数，称作

集合的基数或势。一个集合集合的基数或势。一个集合 AA 的基数，记为的基数，记为 ||AA|| 。。如果一个集合恰有如果一个集合恰有 mm 个不同的元素，且个不同的元素，且 mm 是某是某

个非负整数，称该集合是有限的或有穷的，否则称这个非负整数，称该集合是有限的或有穷的，否则称这个集合为无限的或无穷的。例如，在本书中常用有穷个集合为无限的或无穷的。例如，在本书中常用有穷集有：集有：

NNmm={0,1,2,···,={0,1,2,···,mm-1}-1}

本书中常见的无穷集合有：本书中常见的无穷集合有：

NN={0,1,2,3,···={0,1,2,3,···}} ，即自然数集合。，即自然数集合。

ZZ=={{···,-2,-1,0,1,2,3,······,-2,-1,0,1,2,3,···}} ，即整数集合。，即整数集合。

ZZ++=={{1,2,3,···1,2,3,···}} ，即正整数集合。，即正整数集合。

QQ== 有理数集合。有理数集合。

RR== 实数集合。实数集合。

CC== 复数集合。复数集合。

44 ．集合的幂集．集合的幂集一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，即一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，即

是由这些子集所组成的集合族。是由这些子集所组成的集合族。

定义定义 3.1.53.1.5 设设 AA 为一集合，为一集合， AA 的幂集是一集合的幂集是一集合族，记为族，记为 PP((AA)) ，，

PP((AA)={)={BB||BBAA}}

由定义可知，由定义可知， PP((AA)) ，， AAPP((AA)) 。。

55 ．文氏图．文氏图

文氏文氏 (Venn)(Venn)图是一种利用平面上的点构成的图图是一种利用平面上的点构成的图

形来形象展示集合的一种方法。全集形来形象展示集合的一种方法。全集 UU 用一个矩形用一个矩形

的内部表示，其他集合用矩形内的园面或一封闭曲的内部表示，其他集合用矩形内的园面或一封闭曲

线圈成的面积来表示。线圈成的面积来表示。

如果如果 AABB ，则表示，则表示 AA 的圆面一般将完全落在表的圆面一般将完全落在表示示 BB 的圆面内，如图的圆面内，如图 11 中中 ((aa)) 。如果。如果 AA 与与 BB 没有公共没有公共元素，那么表示元素，那么表示 AA 的圆面将同表示的圆面将同表示 BB 的圆面分开，的圆面分开，如图如图 3-13-1 中中 ((bb)) 。当。当 AA 和和 BB 是两个任意的集合时，可是两个任意的集合时，可能会是：有些元素在能会是：有些元素在 AA 中但不在中但不在 BB 中，有些元素在中，有些元素在 BB

中却不在中却不在 AA 中，有些元素同时在中，有些元素同时在 AA 和和 BB 中，有些元中，有些元素则既不在素则既不在 AA 中也不在中也不在 BB 中，因此用图中，因此用图 11 中中 ((cc)) 表示表示任意两个集合任意两个集合 AA 和和 BB 。。

图 图 3-13-1

最后给出集合的形式定义结束本节。最后给出集合的形式定义结束本节。

定义定义 3.1.63.1.6 AA 为集合为集合 =(=(xx)()(xxAAAA==)) 。。

这里等号“这里等号“ =”=” 表示定义为的意义，是表示表示定义为的意义，是表示

“定义为”还是表示“一般相等”的意义，由“定义为”还是表示“一般相等”的意义，由

上下文来区分。上下文来区分。

3.2 3.2 集合运算及其性质集合运算及其性质

集合运算是指用已知的集合去生成新的集集合运算是指用已知的集合去生成新的集

合。假设所有集合都是全集合。假设所有集合都是全集 UU 的子集，即这些的子集，即这些

集合是利用子集公理得到的。下面依次介绍常集合是利用子集公理得到的。下面依次介绍常

见的集合运算。见的集合运算。

11 ．并、交和差运算．并、交和差运算定义定义 3.2.13.2.1 设设 AA 和和 BB 是任意两个集合，是任意两个集合，

① ① AA 和和 BB 的并是集合，记为的并是集合，记为 AA∪∪BB ，，AA∪∪BB={={xx||xxAAxxBB}}

② ② AA 和和 BB 的交是集合，记为的交是集合，记为 AA∩∩BB ，，AA∩∩BB={={xx||xxAAxxBB}}

③ ③ AA 和和 BB 的差，或的差，或 BB 关于关于 AA 的相对补是集合，的相对补是集合，记为记为 AA--BB ，，

AA--BB={={xx||xxAAxxBB}}

定义定义 3.2.23.2.2 若若 AA 和和 BB 是集合，且是集合，且 AA∩∩BB== ，，

则称则称 AA 和和 BB 是不相交的。是不相交的。

如果如果 CC 是个集合族，且是个集合族，且 CC 中任意两个不同中任意两个不同

元素都不相交，则称元素都不相交，则称 CC 中集合是两个不相交的，中集合是两个不相交的，

或称或称 CC 是两两不相交的集合族。是两两不相交的集合族。

定理定理 3.2.13.2.1 任给集合任给集合 AA ，， BB 和和 CC ，则：，则：

① ① AA∪∪BB==BB∪∪AA

② ② AA∩∩BB==BB∩∩AA

③ ③ ((AA∪∪BB)∪)∪CC==AA (∪(∪ BB∪∪CC))

④ ④ ((AA∩∩BB)∩)∩CC==AA∩(∩(BB∩∩CC))

该定理表明，集合并和交运算满足交换律和结合该定理表明，集合并和交运算满足交换律和结合律。律。

定理定理 3.2.23.2.2 任给集合任给集合 AA 、、 BB 和和 CC ，则，则

① ① AA (∪(∪ BB∩∩CC)=()=(AA∪∪BB)∩()∩(AA∪∪CC))

② ② AA∩(∩(BB∪∪CC)=()=(AA∩∩BB) (∪) (∪ AA∩∩CC))

该定理表明，集合运算并对交、交对并都是该定理表明，集合运算并对交、交对并都是

可分配的。可分配的。

定理定理 3.2.3 3.2.3 任给集合任给集合 AA ，， BB ，， CC 和和 DD ，则，则

① ① 若若 AABB ，则，则 AA∪∪BB==BB ，， AA∩∩BB==AA

② ② 若若 AABB 和和 CCDD ，则，则 AA∪∪CCBB∪∪DD ，，

AA∩∩CCBB∩∩DD

推论推论 3.2.33.2.3 ① ①AA∪∪UU==UU ，②，② AA∩∩UU==AA

定理定理 3.2.43.2.4 任给集合任给集合 AA ，， BB 和和 CC ，则，则

① ① AA-(-(BB∪∪CC)=()=(AA--BB)∩()∩(AA--CC))

② ② AA-(-(BB∩∩CC)=()=(AA--BB) (∪) (∪ AA--CC))

定义定义 3.2.33.2.3 设设 AA 是含有元素为集合的集合，或者集合是含有元素为集合的集合，或者集合

族。族。

① ① AA 的并是集合，记为∪的并是集合，记为∪ AA ，，

∪∪AA=={{xx|(|(BB)()(BBAAxxBB)}= )}= ∪∪BB

② ② AA 的交是集合，记为∩的交是集合，记为∩ AA ，，

∩∩AA=={{xx|(|(BB)()(BBAAxxBB)}= )}= ∩∩BB

BB AA

B B A A

定义定义 3.2.43.2.4 集合集合 AA的补是集合，记为的补是集合，记为 AA’’ ，，

AA’=’=UU--AA={={xx||xxUUxxAA}}

={={xx||xxAA}}

定理定理 3.2.53.2.5 任给集合任给集合 AA，，则则

① ① AA∪∪AA’=’=UU ，，

② ② AA∩∩AA’=’= 。。

定理定理 3.2.6 3.2.6 任给集合任给集合 AA 和和 BB，，则则

BB==AA’ iff ’ iff AA∪∪BB==UU 且 且 AA∩∩BB==

①该定理表明了 若①该定理表明了 若 AA的补是的补是 BB，，则则 BB的补是的补是

AA，，即即 AA 和和 BB ②互补。 补的唯一性。②互补。 补的唯一性。

推论推论 3.2.53.2.5 ① ①UU’=’= ，②，②’’ ==UU

定理定理 3.2.73.2.7 任给集合任给集合 AA，，则则 AA”=”=AA 。。

该定理表明了，该定理表明了， AA的补的补是的补的补是 AA 。。

定理定理 3.2.83.2.8 任给集合任给集合 AA 和和 BB，，则则

① ① ((AA∪∪BB)’=)’=AA’∩’∩BB’’ ，，

② ② ((AA∩∩BB)’=)’=AA’∪’∪BB’’ 。。

定义定义 3.2.53.2.5 任给集合任给集合 AA 和和 BB ，， AA 和和 BB 的对的对

称差是集合，记为称差是集合，记为 AABB ，，

AAB B =(=(AA--BB) (∪) (∪ BB--AA))

={={xx|(|(xxAAxxBB))((xxBBxxAA)})}

定理定理 3.2.93.2.9 任给集合任给集合 AA 和和 BB，，则则

AABB=(=(AA∪∪BB)∩()∩(AA’∪’∪BB’)’)

=(=(AA∪∪BB) - () - (AA∩∩BB))

推论推论 3.2.93.2.9 ① ① AA’’BB’=’=AABB

② ② AABB==BBAA

③ ③ AAAA==

22．集合代数与对偶原理．集合代数与对偶原理本小节将形式地讨论由集合、集合变元、集合运算本小节将形式地讨论由集合、集合变元、集合运算

和和圆圆括号所构成的集合代数以及集合代数中的对偶原括号所构成的集合代数以及集合代数中的对偶原理。理。

与命题逻辑相似，对于给定集合实行集合运算，可与命题逻辑相似，对于给定集合实行集合运算，可以生成新的集合。同用大写英文字母表示确定集合一以生成新的集合。同用大写英文字母表示确定集合一样，也用大写字母表示不确定的集合，前者称为集合常样，也用大写字母表示不确定的集合，前者称为集合常元，后者称为集合变元。集合变元用以集合常元代替元，后者称为集合变元。集合变元用以集合常元代替后，才表示确定的集合。下面将给出集合的合式公式定后，才表示确定的集合。下面将给出集合的合式公式定义。义。

定义定义 3.2.6 3.2.6 可按下列规则生成集合合式公式：可按下列规则生成集合合式公式：

① ① 单个集合变元是集合合式公式。单个集合变元是集合合式公式。

② ② 若若 AA是集合合式公式，则是集合合式公式，则 AA’’也是集合合式公也是集合合式公式。式。

③ ③ 若若 AA 和和 BB是集合合式公式，则是集合合式公式，则 ((AA∪∪BB)) ，， ((AA∩∩BB)) ，，((AA--BB))和和 ((AABB))也都是集合合式公式。也都是集合合式公式。

④ ④ ① ② ③只有有限次使用 、 和 构成的符号串才是集① ② ③只有有限次使用 、 和 构成的符号串才是集合合式公式。合合式公式。

为方便计，简称集合合式公式为公式。为方便计，简称集合合式公式为公式。

定义定义 3.2.7 3.2.7 用任意集合常元取代两个集合公式用任意集合常元取代两个集合公式

中的各个集合变元，若所得集合是相等的，则称该中的各个集合变元，若所得集合是相等的，则称该

二集合公式是相等的，简称等式。二集合公式是相等的，简称等式。

因为集合公式相等，不依赖于取代集合变元的因为集合公式相等，不依赖于取代集合变元的

集合，故常称这些等式为集合恒等式，或集合定集合，故常称这些等式为集合恒等式，或集合定

律。它们刻划了集合运算的某些性质，这些性质描律。它们刻划了集合运算的某些性质，这些性质描

述一个代数，称为集合代数。下面列出常用集合定述一个代数，称为集合代数。下面列出常用集合定

律：律：

（（ 11））等幂律等幂律 AA∪∪AA==AA

AA∩∩AA==AA

（（ 22）） 结合律 结合律 ((AA∪∪BB)∪)∪CC==AA (∪(∪ BB∪∪CC) ) ((AA∩∩BB)∩)∩CC==AA∩(∩(BB∩∩CC))

（（ 33）） 交换律 交换律 AA∪∪BB==BB∪∪AA AA∩∩BB==BB∩∩AA

（（ 44）） 分配律 分配律 AA (∪(∪ BB∩∩CC)=()=(AA∪∪BB)∩()∩(AA∪∪CC) ) AA∩(∩(BB∪∪CC)=()=(AA∩∩BB) (∪) (∪ AA∩∩CC))

（（ 55）） 幺律 幺律 AA∪∪==AA

AA∩∩UU==AA

（（ 66））零律零律 AA∪∪UU==UU AA∩∩==

（（ 77）） 补律 补律 AA∪∪AA’=’=UU AA∩∩AA’=’=

（（ 88）） 吸收律 吸收律 AA (∪(∪ AA∩∩BB)=)=AA AA∩(∩(AA∪∪BB)=)=AA

（（ 99））德德 ·· 摩根律 摩根律 ((AA∪∪BB)’=)’=AA’∩’∩BB’ ’ ( (AA∩∩BB)’=)’=AA’∪’∪BB’’

（（ 1010）） 对合律 对合律 ((AA’)’=’)’=AA

下面介绍集合代数中的对偶原理，它与命题下面介绍集合代数中的对偶原理，它与命题

逻辑中对偶原理也很相似。逻辑中对偶原理也很相似。

对偶原理 设 对偶原理 设 EE是集合代数中等式，将是集合代数中等式，将 EE中中

∪ ∩的 ， ，∪ ∩的 ， ， UU和和 ∩ ∪的每一个出现分别代以 ， ，∩ ∪的每一个出现分别代以 ， ，

和和 UU后得到一等式后得到一等式 EE**，，称称 EE** 为为 EE的对偶式。的对偶式。

显然，显然， EE也是也是 EE**的对偶式，即的对偶式，即 EE 与与 EE**互为互为

对偶。对偶。

如果如果 EE是一集合恒等式，则是一集合恒等式，则 EE**也是一集合也是一集合

恒等式。恒等式。

可见，上述的集合定律中，凡成对的定律都可见，上述的集合定律中，凡成对的定律都

是为对偶的。是为对偶的。

33..3 3 集合的笛卡集合的笛卡尔尔积与无序积积与无序积

笛卡笛卡尔尔积与无序积在后面讨论关系和图论积与无序积在后面讨论关系和图论时，都有重要应用。时，都有重要应用。

首先引入有序对和无序对的概念。首先引入有序对和无序对的概念。定义定义 3.3.13.3.1 两个元素两个元素 aa,,bb 组成二元组，若组成二元组，若

它们有次序之别，称为二元有序组，或有序它们有次序之别，称为二元有序组，或有序对，记为对，记为 <<aa, , bb>> ，，称称 aa 为第一分量，为第一分量， bb 为第一为第一分量；若它们无次序区分，称为二元无序组，分量；若它们无次序区分，称为二元无序组，或无序对或无序对 , , 记为记为 ((aa, , bb)) 。。

若若 aabb 时，时， <<aa, , bb>><<bb, , aa>> 。。但但 ((aa, , bb)=()=(bb, , aa)) 。。

定义定义 3.3.2 3.3.2 给定两个有序对给定两个有序对 <<xx, , yy>>和和 <<uu, , vv

>>。。当且仅当当且仅当 xx==uu 和和 yy==vv时，有序对时，有序对 <<xx, , yy>>和和 <<

uu, , vv>>相等，亦即相等，亦即

<<xx, , yy>=<>=<uu, , vv> > iffiff ( (xx==uu))((yy==vv))

可将有序对推广到可将有序对推广到 nn元有序组，它的第一分量是元有序组，它的第一分量是

((nn-1)-1)元有序组，并记为元有序组，并记为 <<<<xx11,,xx22,···,,···,xxnn-1-1>,>,xxnn>>，，或记为或记为

<<xx11,,xx22,···,,···,xxnn-1-1,,xxnn>>。。类似地定义两个类似地定义两个 nn元有序组相等：元有序组相等：

<<xx11,,xx22,···,,···,xxnn-1-1,,xxnn>=<>=<yy11,,yy22,···,,···,yynn-1-1,,yynn> > iffiff ( (xx11==yy11))((xx22==yy

22))······((xxnn-1-1==yynn-1-1))((xxnn==yynn))

下面将使用有序对和无序对分别定义笛卡儿积和下面将使用有序对和无序对分别定义笛卡儿积和

无序积。无序积。

定义定义 3.3.33.3.3 给定集合给定集合 AA 和和 BB，，若有序对的第若有序对的第

一分量是一分量是 AA的元素，第二分量是的元素，第二分量是 BB的元素，所有的元素，所有

这些有序对的集合，称为这些有序对的集合，称为 AA 和和 BB的笛卡的笛卡尔尔积，记积，记

为为 AABB ，，

AABB={<={<xx,,yy>|>|xxAAyyBB}}

定义定义 3.3.43.3.4 给定集合给定集合 AA 和和 BB ，，若无序对是若无序对是

由由 AA 中元素和中元素和 BB 中元素组成，所有这些无序对中元素组成，所有这些无序对

的集合，称为的集合，称为 AA 和和 BB的无序积，记为的无序积，记为 AA&&BB 。。

AA&&BB={(={(xx,,yy)|)|xxAAyyBB}}

定理定理 3.3.13.3.1 任给集合任给集合 AA ，， BB 和和 CC，，则则

① ① AA((BB∪∪CC)=()=(AABB) (∪) (∪ AACC))

② ② AA((BB∩∩CC)=()=(AABB)∩()∩(AACC))

③ ③ ((AA∪∪BB))CC=(=(AACC) (∪) (∪ BBCC))

④ ④ ((AA∩∩BB))CC=(=(AACC)∩()∩(BBCC))

笛卡笛卡尔尔积的概念可以推广到积的概念可以推广到 nn个集合个集合 AA11,,AA22,···,,···,AAnn

的笛卡的笛卡尔尔积，它可表成：积，它可表成：

AAii=(=(AA11AA22······AAnn-1-1))AAnn ，， nn≥2≥2 。。

用归纳法不难证明，若用归纳法不难证明，若 AAii(1≤(1≤ii≤≤nn)) 是有穷集合，是有穷集合，

则则 ||AA11AA22······AAnn|=||=|AA11|·||·|AA22|·…·||·…·|AAnn|| 。。