第三节 初等多值函数2.3.1 根式函数2.3.2 对数函数2.3.3 一般幂函数与一般指数函数2.3.4 具有多个有限支点的情形2.3.5 反三角函数和反双曲函数2.3.5 小结与思考

2

定义 2.8( 单叶函数）设函数 f(z) 在区域 D 内有定义 , 且对 D 内任意不

同的两点 z1 及 z2 都有 f(z1)≠f(z2), 则称函数 f(z) 在 D 内是单叶的 . 并且称区域 D 为 f(z) 的单叶性区域 .

显然 , 区域 D 到区域 G 的单叶满变换 w=f(z)

就是 D 到 G 的一一变换 .

f(z)=z2 不是 C 上的单叶函数 .

f(z)=z3是 C 上的单叶函数

3

2.3.0 幂函数的变换性质及其单叶性区域设有幂函数 : W=zn

令 z=rei,w=ei , 则：W=zn ei = rnein= rn, =n于是得到幂函数有如下的变换性质：

z 平面

w 平面射线 =0

射线 =n0

圆周 r=r0圆周 = r0

n

0 正实轴 0 正实轴

4

xo

zy

uo

wv

W=zn

z 平面

w 平面射线 =0

射线 =n0

圆周 r=r0圆周 = r0

n

0n0

角域 0<<0射线 0< <n0

) 0 ) 0nxo

zy

) 0n

5从原点起沿负实轴剪开的 w 平面

G0

z 平面

w 平面

W=zn

角域 0<<0 射线 0< <n0

0 :Tn n

角域 0 :G 角域

uo

wv

xo

zy

n

n

n

映射成负实轴的上岸π

π n

映射成负实轴的下岸

上岸

下岸

:

2 2nT

k k

n n n n

角域 :

2 2nG

k k

角域

6

映射特点 :

幂函数 w=zn (n>1) 单叶性区域是顶点在原点，张度不超过 2/n 的角形区域

的角形域 , 但张角变成为原来的 n 倍 .

2 2: 0,1, 1n

k kT k n

n n n n

角域

是幂函数的单叶性区域的一种分法

总之：

把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点

7

2.3.1 根式函数• 定义 2.9

若 z=wn, 则称 w 为 z 的 n 次根式函数，记为：nw z

i.e. 根式函数 为幂函数 z=wn 的反函数 .nw z

(1) 根式函数的多值性 .

0 0 0nz w

2

0 | |k

in nn

kk

z w z z e

0,1, 1k n

arg z z 的主辐角

8

(2) 分出根式函数的单值解析分支 .

2

0k

in nn n

kk

kiz w z re re

1) 产生多值的原因 .

2 arg 2= 0,1, 1k

k z kk n

n n

120 1

0n ni iw re w re

22 22

n iw re

2 ( 1)1

1n nn

niw re

2 kk nk

iw re

产生多值的原因是 : 当 z 取定后，其辐角不固定，可以连续改变 2的整数倍，对应的函数值连续改变到下一个值

9

2) 解决的办法 .

限制 z 的辐角的变换，使其辐角的该变量 argz<2 理论上的的做法： 从原点 O 起到点∞任意引一条射线将 z 平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面 ( 构成以此割线为边界的区域，记为 G) 上， argz<2，从而可将其转化为单值函数来研究

常用的做法： 从原点起沿着负实轴将 z平面割破：

z

xo

zy

G

10

( ) 2

( )z k

in nn

kk

w z r z e

结论： 从原点起沿着负实轴将 z 平面割破 , 即可将根式函数 : nw z 分成如下的 n 个单值函数：

定义域为2 2

: n

k kT

n n n n

值域

: 2 2kG k k

wk在 Gk 上解析 , 且

1n

knk

k

zw z

n z

11

3w z例:

xo

zy

G13 xo

zy

G0

-

-

T03

3

T1

T2 53

u

wv

o

xo

zy

G2

3

5

23

0,1, 2

ki

nkw re

k

30

inw re

23

1

inw re

43

2

inw re

30

inw re

0 : -3 3

T 值域

0 :G 定义域

23 3

1

iw re

1 : 3

T 值域

1 : 2 3G 定义域

43 3

2

iw re

2

5:

3T

值域

2 : 3 4 5G 定义域

12

2.3.2 对数函数

1. 定义 : ( 0) ,

Ln

we z z w z

w z

若 则称 为 对数函数 记为:

说明：w=Lnz 是指数函数 ew=z 的反函数

Lnz 一般不能写成 lnzLn ze z

2. 计算公式及多值性说明： ,iz e w u iv

13

= ln = = w u iv iw z e z e re

= , 2 ( )ue r v k k E =ln ( ), 2 ( )u r v k k E Argz 实对数

Ln ln ( 2 )( )w z r i k k E Ln ln| |z z iArgz

由于 Argz 的多值性导致 w=Lnz 是一个具有无穷多值的多值函数规定：ln ln ln arg .z r i z i z

为对数函数 Lnz 的主值于是： Ln ln 2 ( )w z z k i k E

14

. Ln

, ,

的一个分支称为上式确定一个单值函数对于每一个固定的

z

k

特殊地 ,

.

,lnln Ln , 0

是实变数对数函数的主值时当 xzzxz

15

例 4

解

. )1(Ln ,2Ln 以及与它们相应的主值求

,22ln2Ln ik因为

ln2. Ln2 的主值就是所以

)1(Arg1ln)1(Ln i因为

)()12( 为整数kik

. 1)Ln( i 的主值就是所以

注意 : 在实变函数中 , 负数无对数 , 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广 .

16

例 5

解

.031 ie z解方程

,31 ie z 因为

)31(Ln iz 所以

kii 2

331ln

ki 2

32ln

),2,1,0( k

17

例 6

解

).3(Ln)3();33(Ln)2();32((1)Ln

:

ii

求下列各式的值

)32((1)Ln i

)32(Arg32ln iii

.223

arctan13ln21

ki

),2,1,0( k

18

.6

232ln

ki ),2,1,0( k

)3(Ln)3( )3(Arg3ln i

.)12(3ln ik ),2,1,0( k

)33(Ln)2( i

)33(Arg33ln iii

ki 2

33

arctan32ln

19

2. 性质

,LnLn)(Ln)1( 2121 zzzz

,LnLnLn)2( 212

1 zzzz

且处处可导和其它各分支处处连续主值支的复平面内包括原点在除去负实轴

, ,

,)( )3(

.1

)Ln(,1

)(lnz

zz

z

20

(3)(4)错了

例：

22(1) z z

22(2)Ln Lnz z

(4)2Ln 2Lnz z

(5)Ln Lnz z

荒谬透顶！！！

Ln( 1) (2 1) 0, 1, 2,

Ln(1) 2 0, 1, 2,

k i k

k i k

因为决不会相等！！！

原因Bernoulli悖论

(3)Ln Ln Ln Lnz z z z

Lnz 是集合记号，应该理解为两个

集合相加

A={0,1}A+A={0,1,2}

2A={0,2}A+A2A

21

证 (3) , iyxz 设 ,0时当 x

,arglim0

zy

,arglim0

zy

.

ln , ,

处处连续在复平面内其它点除原点与负实轴所以 z

,

ln arg

是单值的内的反函数在区域 zwzez w

wez

zw

dd

1dlnd

[ 证毕 ]

.1z

22

3. 分出 w=Lnz 的单值解析分支从原点起沿着负实轴将 z 平面割破，就可将对数函数 w=Lnz 分成如下 n 个单值解析分支： Ln ln ( 2 )

0, 1, 2, 3,

k kw z r i k

k

定义域为: 2 Im 2kB k v z k 值域

: 2 2 2kG k k k

wk在 Gk 上解析 , 且

1Lnk k

w zz

23

2.3.3 一般幂函数与一般指函数1. 一般幂函数

Ln11 = ( 0, , ) zaazDef w e z a 为复常数

称为 z 的一般幂数函数

2. 一般指数函数Ln12 = ( 0, , ) z azaDef w e a 为复常数

称为 z 的一般指数函数

Ln ze z

都是多值函数，适当割破 z 平面，都可转化为单值函数

24

1. 一般幂函数

, ,

, Lnabb ea

ba

定义为乘幂复数

为任意一个为不等于零的一个复数设

. Lnabb ea 即

注意 :

.

, )2arg(lnLn

也是多值的

因而是多值的由于ba

kaiaa

, )1( 为整数时当b Lnabb ea )]2arg([ln kaiabe

25

ikbaiabe 2)arg(ln ,lnabe .具有单一的值ba

,0) ,( )2( 时为互质的整数与当 qqpqp

b

)]2arg([ln

kaia

qp

b ea)2arg(ln

ka

qp

iaqp

e

)π2arg(sin)π2arg(cos

ln

kaqp

ikaqp

ea

qp

, 个值具有 qab .)1(,,2,1,0 时相应的值即取 qk

26

特殊情况 :

,)( )1 时正整数当 nb

Lnann ea LnLnLn aaae ) ( 项指数 n

LnLnLn aaa eee ) ( 个因子 n

.aaa ) ( 个因子 n

,)( 1

)2 时分数当n

b

Ln

11a

nn ea

nka

in

kae

an 2arg

sin2arg

cos ln

1

27

nka

in

kaa n

2argsin

2argcos

1

,n a

.)1(,,2,1,0 nk 其中

;

, bzw

za

就得到一般的幂函数为一复变数如果

.

, 1

1nnn

n

zzwwz

zwn

nb

的反函数及

数就分别得到通常的幂函时与当

28

例 7 . 1 2 的值和求 ii

解 Ln1221 e 22 ike

)22sin()22cos( kik .,2,1,0 k其中

iii ei Ln

ikii

e2

2

k

e2

2 .,2,1,0 k其中

答案

课堂练习 .3)( 5计算

),2,1,0(

].)12(5sin)12(5[cos3)3( 55

k

kik

29

例 8 . )(1 的辐角的主值求 ii

解 )Ln(1)1( iii ei

ikii

e2

42ln

21

.,2,1,0 k其中

)]1(Arg1ln[ iiiie

2ln21

24

ik

e

2ln21

sin2ln21

cos 2

4 iek

ln2.21

)(1 的辐角的主值为故 ii

30

2. 幂函数的解析性 , )1( 的在复平面内是单值解析幂函数 nz

.)( 1 nn nzz

. , )2(1

个分支具有是多值函数幂函数 nzn

它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的 ,

nn zz

1

zne

Ln1

.1 1

1

nzn

31

它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的 ,

,

) 1

( (3)

也是一个多值函数

两种情况外与除去幂函数n

nbzw b

.)( 1 bb bzz

., 是无穷多值的为无理数或负数时当b

32

2.3.4 反三角函数和反双曲函数1. 反三角函数的定义

.cosArc

, ,cos

zw

zwwz

记作的反余弦函数为那么称设

,2

cos iwiw ee

wz由 ,012 2 iwiw zee得

,1 2 zze iw方程的根为 两端取对数得

).1Ln(cosArc 2 zziz

33

同样可以定义反正弦函数和反正切函数 ,

重复以上步骤 , 可以得到它们的表达式 :

),1Ln(Arcsin 2ziziz

.11

Ln2

Arctanizizi

z

2. 反双曲函数的定义

),1Ln( Arsinh 2 zzz反双曲正弦

),1Ln(osh Ar 2 zzzc反双曲余弦

.11

Ln21

Artanhzz

z反双曲正切

34

例 14

解

).32tan( Arc i求函数值

)32tan( Arc i)32(1)32(1

Ln2 ii

iii

53

Ln2

ii

ki

i2

31

arctan52

ln2

.31

arctan21

21

52

ln4

k

i

. ,2 ,1 ,0 k其中

35

2.3.5 小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广 , 它既保持了后者的某些基本性质 , 又有一些与后者不同的特性 . 如 :

1. 分成单值解析分支的方法2. 负数无对数的结论不再成立