第十章随机变量及其数字特征

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第十章随机变量及其数字特征

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江西工业工程职业技术学院课时计划课程名称经济数学 2009~ 10 年第二学期第 10 周第 1 次课总第 7 次课

课题第十章随机变量及其数字特征 10.1 随机变量 10.2 分布函数及随机变量函数的分布目的要求 1 、理解理解离散型随机变量的概念及其分布列的的概念和性质； 2 、理解连续型随机变量的概念及其概率密度的概念和性质。 3 、了解分布函数及随机变量函数的分布的概念及性质。重点、难点和突破的方法重点、难点：随机变量的分布突破方法：通过对例题的详细讲解与课堂练习相结合复习提问随机事件的概念、概率的求法教具多媒体等。作业（附后） P205 ： 2 、 3\5\6课后记教学内容的步骤（附后）

班级造价 091 造价 092 造价 093

授课日期 5 月 6 日 5 月 4 日 5 月 6 日


10.1.2 离散型随机变量

10.1.1 随机变量的概念

10.1.3 连续型随机变量

10.1 10.1 随机变量随机变量


　　例 1 　在 10 件同类型产品中，有 3 件次品 , 现任取2 件 , 用一个变量　表示“ 2 件中的次品数”，“　　　”与事件“取出的 2 件中没有次品”是等价的 .“ 　　　”等价于“恰好有 1 件次品” ,“ ” 等价于“恰好有2 件次品”．于是

X 0X1X

2X


返回

157)1( 2

10

17

13 CCCXP ，

151)2( 2

10

07

23 CCCXP ，

，157)0( 2

10

27

03 CCCXP

此结果可统一成　　　　　　　　　　　　．)210()( 210

273 ，，

iCCCiXP

ii


iii ppCiYP 55 )1()( ．5,,1,0,6.04.0 5

5 iC iii


返回

　　例 2 　某选手射击的命中率为　　　，现射击 5 次，命中次数用　表示 , 显然“ ”等价于“ 5 次射击中，恰有　次命中”　　　

4.0pY iY

i ,1,0( i )5,

　　例 3 　考虑“投掷骰子，直到出现 6 点为止”的试验，用Ｚ表示投掷的次数，则由于各次试验是相互独立的，于是

11 5( ) ( ) ( )

6 6iP Z i

1i，　， 2 ， 3 ，…．


　　例 4 　考虑“测试电子元件寿命”这一试验，用　表示它的寿命 ( 单位：　 ) ，则　的取值随着试验结果的不同而在连续区间　　上取不同的值，当试验结果确定后，的取值也就确定了．

W

h W

),0( W


返回

上面例子中的　，　，　，　具有下列特征：WX Y Z

(1) 取值是随机的，事前并不知道取到哪一个值；

(2) 所取的每一个值，都相应于某一随机现象；

(3) 所取的每个值的概率大小是确定的．


　　这种变量称为随机变量．随机变量可用英文大写字母　，　，　，… ( 或希腊字母　，　，　，… ) 等表示．Y Z X


返回

X)0( XP XX

0X

　　随机变量与一般变量区别 : 随机变量的取值是随机的( 试验前只知道它可能取值的范围，但不能确定它取什么值 ) ，且取这些值具有一定的概率，比如　取值是 0 ，相应地有概率　　　　；一般变量　取值是确定的，比如　取值是 0 ，就是　　　．



例 5 　某人打靶，一发子弹打中的概率为，打不中的概　率为　　，用随机变量描述这个随机现象时，通常规定随机变量

pp1

0

1X

，子弹中靶，，子弹脱靶．

返回

这样取　有几个优点：X

(1) 　反映了一发子弹的命中次数 (0 次或 1 次 ) ．X

(2) 计算上很方便，有利于今后进一步讨论．　　当然　也可以如下规定：X

3

2X

，子弹中靶，，子弹脱靶．

一般不采用这样的规定．


10.1.1 随机变量的概念　　随机变量分类：离散型随机变量和非离散型随机变量．若随机变量　的所有可能取值是可以一一列举出来的 ( 即取值是可列个 ) ，则称　为离散型随机变量．

X

X

返回

　　若随机变量　的所有取值不能一一列举出来，则称　为非离散型随机变量．非离散型随机变量的范围很广，其中最重要的是所谓连续型随机变量，它是依照一定的概率规律在数轴上的某个区间上取值的．注意它是依照概率规律取值的，所以在有的区间上概率可能较大，而在有的区间可能较小，甚至为零．

X X

随机变量　取值的规律称为　的分布．X X


称 (10.1.1)式为离散型随机变量　的概率分布，简称分布列或分布．

X

　　定义 10.1 　设离散型随机变量　的所有取值为　，　，…，　，…并且　取各个可能值的概率分别为1x 2x X

X

kx

)( kk xXPp ， 1k ， 2 ，…． (10.1.1)


返回

　及其分布列也可以用表格的形式表示X

X

kp

1x

1p

2x

2p

kx

kp


　　由概率的定义可知，　满足如下性质：kp

　　性质 1 　　　　　　　　　．)21(0 ，， kpk　　性质 2 　　　　．

kkp 1


返回

例 1 中“任取 2 件， 2 件中的次品件数　” 的分布列是X

X

kp

0

157

1 2

157

151

　　例 2 中计算　取 0 ， 1 ，…， 5 的概率Y

078.06.04.0)0( 5005 CYP ，

259.06.04.0)1( 4115 CYP ，


10.1.2 离散型随机变量346.06.04.0)2( 322

5 CYP ，230.06.04.0)3( 233

5 CYP ，

返回

128.06.04.0)4( 1445 CYP ，

010.06.04.0)5( 0555 CYP ，

于是得到“ 5 次射击中恰有　次命中”的分布列是iX

kp

0 1 2 3 4 5

0.078 0.259 0.346 0.230 0.128 0.010

例 3 中投掷的次数的概率颁上是可列的，即为z

ip

　 1 　　　　 2 　　　　 3 n

61

51

61

2

65

61 ）（ n）（

65

61


定义 10.2 　设随机变量　，如果存在非负可积函数　　，　　　　　　，使得对任意实数　　，有

X

)(xf )( x ba

b

axxfbXaP d)()( ，

则称　为连续型随机变量，称　　为　的概率密度函数，简称概率密度或分布密度．

)(xfX X


返回

概率密度有下列性质：　　性质 1 　　　　 (因为概率不能小于 0) ．0)( xf

　　性质 2 　　　　　　　．

1d)( xxf


　　连续型随机变量在任意一点处的概率都是 0 ，所以连续型随机变量落在某一区间上的概率时

)()()( bXaPbXaPbXaP


)( bXaP b

axxf d)( ．

返回

　　例 7 设随机变量　的概率密度函数是X

0

1)( 2xA

xf，，1x

，　　　　　其他．试求 (1)系数　；A

　　 (2) 　落在区间　　　、　　　　内的概率．X )21

,21

( )2,23(


　　解　 (1)根据概率密度函数的性质，可得

1

11

1

2arcsind

1d)(1 xAx

xAxxf A ，


所以　　　．1A

返回

　　 (2) 2

1

21 2

d11

21

21 x

xXP

21

21

arcsin1

x ，31

2

23 2

d112

23 x

xXP

1

23

2d

1

1 xx

．65arcsin1

23

1

x


　例 8　设随机变量　的概率密度函数是X

)0(0

)0(e)(

x

xxf

x ，，

其中　　，则称　服从参数为　的指数分布．X 0


返回

若某电子元件的寿命　服从参数　　　　的指数分布，求　　　　　　．

X 00021

)2001( XP

解 0

2001

00022001

0

0002 ede00021

)2001(xx

xXP

451.0e1 6.0 ．


10.2.2 分布函数的计算

10.2.1 分布函数概念

10.2.3 随机变量函数的分布

10.210.2 分布函数及随机变量函数的分布分布函数及随机变量函数的分布


)()( xXPxF 定义 10.3 　设　是一个随机变量 , 称函数X

为随机变量　的分布函数．记作　　　　或　　　．X )(~ xFX ( )XF x

对于离散型随机变量　，若它的概率分布是　　　　　　　　　　 , 则　的分布函数为),2,1)(( kxXPp kk

X

X

xx

kk

pxXPxF )()( ．


返回

对于连续型随机变量　 , 其概率密度为　　，则它的分布函数

X )(xf

x

ttfxXPxF d)()()( ，

即分布函数是概率密度的变上限的定积分．


由微分知识可知，在　　的连续点　处 , 有)(xf x )(d

)(dxf

xxF ，

也就是说概率密度是分布函数的导数．


返回

　　分布函数　　具有如下性质：)(xF

　　性质 1 　　　　　 (因为　　就是某种概率 ) ．1)(0 xF )(xF

　　性质 2 　　　是单调不减函数，且)(xF

1)(lim)(

xXPFx

，0)(lim)(

xXPF

x，

　　性质 3 　　　　　　　　　　　． b

aaFbFxxf )()(d)(

或　　　　　　　　　． bxa

ii

aFbFp )()(


例 9　设随机变量　的分布列是X

X

ip

-1 　　　　　　　 0 　　　　　　　 1

0.3 　　　　　　 0.5 　　　　　　 0.2

求　的分布函数X


　　解　当　　　时，因为事件，所以1x xX0)( xF ；

　　当　　　　　时，有01 x

3.0)1()()( XPxXPxF ；　　当　　　　时，有10 x

)0()1()()( XPXPxXPxF 8.05.03.0 ；


　　当　　时，有1x

)()( xXPxF


)1()0()1( XPXPXP12.05.03.0 ；

返回

故　的分布函数为X

)1( 1)10( 8.0

)01( 5.0)1( 0

)()(

xxx

x

xXPxF

，，

，．


0

1)( abxf

， )( babxa ；，　其他．

求　的分布函数　　 .X )(xF


例 10 　设随机变量　的概率密度是X

　　解　由分布函数定义　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，

x

ttfxXPxF d)()()(

　　当　　时，　　　，故　　　　；ax 0)( xf 0)( xF　　当　　　　时，　　　　　，故bxa ab

xf 1)(

x x

a abaxt

abttfxF d1d)()( ；


　　当　　　时，有　　　　，故xb 0)( xf

x

ttfxF d)()(


a b

a

x

btt

abt 1d0d1d0

返回

故　的分布函数　　为X )(xF

bx

bxaabax

ax

xXPxF

，

，

，

1

0

)()(

，

，

．


　　例 11 　随机变量　的分布函数是X( ) arctanF x A B x .

求： (1) 常数，； (2) ； (3) 的概率密度 .

B )11( XPA

X


返回

解： (1)因为是分布函数，所以满足：)(xF )(xF

0)(lim

xFx

1)(lim

xFx ，，

02

arctanlim

BAxBAx

）（

12

arctanlim

BAxBAx

）（

，

.

即

21A

1B故， .

xxF arctan121)( .


)1arctan1

21

()1arctan1

21

(

21

)1()1()11( FFXP(2)

)1(1)arctan1

21()()( 2x

xxFxf

.


返回

(3) 是连续函数，对任一，根据分布函数与概率密度的关系得的概率密度

),( x)(xF

X


　　设　　是一个函数，若随机变量　的取值为　时，随机变量　的取值为　　　　，则称随机变量　是随机变量　的函数，记作　　　　．

)(xf X x

Y )(xfy Y

X

)(XfY


返回

若离散型随机变量　　　　，　的分布列是)(XfY X

X

kp

1x

1p

2x

2p

kx

kp

如果　　　　　　　的值全不相等，则　　　的分布列是

),2,1)(( kxf k )(XfY


如果　　　　　　　中有相等的，则把相等的值合并起来，同时把对应的概率相加，即得随机变量　的分布列．

),2,1)(( kxf k

Y

Y

kp

)( 1xf

1p

)( 2xf

2p

kp

)( kxf


　　例 12 　已知随机变量　的分布列是X

X

kp

　　 -1 　　　　　 0 　　　　　 1 　　　　　 2

0.2 　　　　 0.3 　　　　 0.4 k

(1) 求参数　；k(2) 求　　　和　　　　　的概率分布 .2

1 XY 122 XY


　　解　 (1)根据分布列的性质可知：14.03.02.0 k ，故　　　．1.0k

3.0)0()0( 1 XPYP ，6.0)1()1()1( 1 XPXPYP ，

1.0)2()4( 1 XPYP ．

　　 (2)因为　的取值分别为 -1 ， 0 ，１， 2 ，故　　　的取值分别为 0 ， 1 ， 4 ，并且

21 XY X


因此　　　的概率分布为21 XY

1Y

kp

0 　　　　　　　　 1 　　　　　　　　 2

　 0.3 　　　　　　　 0.6 　　　　　　　 0.1


2.0)1()3( 2 XPYP ，3.0)0()1( 2 XPYP ，

4.0)1()1( 2 XPYP ，1.0)2()3( 2 XPYP .

因此的分布列为122 XY

2Y

kp

　　 -3 　　　　 -1 　　　　　 1 　　　　　 3

0.2 　　　　 0.3 　　　　 0.4 0.1

10.2.3 随机变量函数的分布　　同理可求　　　　　的分布列：122 XY

　　　　　　　的取值分别为 -3 ， -1 ， 1 ， 3 ，并且122 XY


例 13 　若随机变量　的概率密度为　　　 , 求　的线性函数　　　　　的概率密度 ( 其中　、　均为常数，且　　 )

X

X XY 0

2

2

e21 x

)(x


　　解　随机变量　的分布函数为Y)()()( yXpyYPyFY

y

x

xy

XP de21 2

2

．

　　两边对　求导，就得到　的概率密度函数Y Y

2

2

2)(

e2

1)(

y

Yf ． (11.2.1)概率密度为 (11.2.1)式的随机变量称为正态随机变量


(y)gg(y)(y) XY ．

设随机变量　和随机变量　　　　的分布密度分别记为　　　，　　，若函数　　　　是严格单调函数，　　　是　　　　的反函数，则

)(XfY X)(xX )(yY )(xfy )(ygx

)(xfy


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