وطرق معالجتھ االرتباط الذاتي مقدمــھ) ١(

وذ الم نم دیر مع دار الخطي فیجب تلتق دود ج اإلنح ة لح روض التالی ق الف حق :الخطأ

ji , 0 )E( )Var( 0)(E ji2

ii

رض إختبارات الفروض والحصول على فترات ثقة عادة یضاف فرض اإلعتدال لغ~ ,NID(0( :إي أن 2

i . ات اإل ض تطبیق رات بع ى متغی تمل عل دار تش نحزمن ة ومستقلة ومتغیر إستجابة یكون لھ طبیعة التتابع مع ال ذه الحال ي ھ ات ف البیان

ة معظم المسائل اإل. تسمى السالسل الزمنیة قتصادیة تكون على شكل سالسل زمنیة رة زمنی ي فت ع الخطأ i مما یؤدي إلى أن الخطأ ف رة jیكون مرتبطا م ي فت ف

ج اإلنحدار الخطي وھو عدم وھذا یخالف إحدى فروض نموذ )ji(زمنیة أخرى اط ، في فترة زمنیة ما عن قیمتھا في فترة زمنیة سابقة إرتباط قیمة إي أن اإلرتب

jiبین , 0(ال یساوي الصفر)(E( ji . ذاتي اط ال ومعنى ذلك وجود اإلرتبواإلرتباط الذاتي حالة خاصة من اإلرتباط إذ یقیس لنا درجة .أو اإلرتباط التسلسلي

ین یس ب ددة ول ة مح رة زمنی الل فت ر خ نفس المتغی ة ل یم المتتالی ین الق اط ب اإلرتبر رین أو أكث ة وست .متغی ي حال یطة وھ ة البس ى الحال ط عل ا فق تنا ھن ر دراس قتص

: حیث العالقة الخطیة بین إي قیمتین متتالیتین من قیم

i1ii u

ع الطبیعي بمتوسط) یسمى حد اإلضطراب(متغیر عشوائي iuحیث ع التوزی یتباوي ایس فر وتب 2 نیص

u وji , 0)uu(E ji و ذاتي اط ال ل االرتب معام ي ـدار ذاتـا إنحـة بأنھـابقـالقة السـرف العـوتع.1البسیط حیث

autoregressive) ( ى ة البسیطة ، من الدرجة األول ل بصیغة العالق وسنبدأ التحلیرات العشوائیة ب ذاتي البسیط ، ین المتغی اط ال ل اإلرتب ى آخر سنبدأ بمعام وبمعن

ا . rكحالة خاصة لمعامل اإلرتباط البسیط ث أن كلیھم والمعامالن یتشابھان من حیة ر خطی ات الغی ت ق وإن ،ال یناسب العالق ط إذا كان ة یكون مناسبا فق ي iیم ف

تتبع iأما إذا كانت قیم .في النقطة الزمنیة التي تسبقھا فقط نقطة زمنیة تتبع قیمتھا قیمة النقطتین السابقتین فإن صیغة العالقة تكون من نوع اإلنحدار الذاتي من الدرجة

ي بحوث اإلقت .الثانیة ى والطریقة المستخدمة ف ي للتعرف عل صاد القیاسي التطبیقذه ذت ھ إذا أخ زمن ف ل ال ة مقاب واقي المعیاری م الب و رس ذاتي ھ اط ال ود اإلرتب وج

اط ـد ذلك وجود اإلرتبـالبواقي شكال منتظما كاألسنان أو الدورات أك

یم . الذاتي بین األخطاء ر إشارة ق ذاتي حسب تغی وتتحدد إشارة معامل اإلرتباط ال

ة بإستمرار ،البواقي اریخي شكل فإذا تغیرت إشارة القیم المتتالی ى الت ذ المنحن فیأخالبا اط س ان اإلرتب نان ك یم ،األس ن الق ددا م و ع أن یتل ر ب دث التغی س إذا ح والعك

.الموجبة عددا أخر من القیم السالبة كان اإلرتباط موجبا فإن ،وجب ج اإلنحدار مرتبطة إرتباط ذاتي مإذا كانت حدود الخطأ في نموذ

:إستخدام طریقة المربعات الصغرى یترتب علیھ عدد من العواقب المھمة وھي ل ال تزال -١ ك خاصیة أق ا ال تمتل زة إال أنھ ر متحی درة غی امالت اإلنحدار المق مع

.تباین .متوسط مربعات الخطأ یمكن أن یشكل تقدیرا بالنقصان لتباین حدود الخطأ -٢ ،اء المعیاریة لمقدرات معامالت اإلنحدارتعطى التقدیرات لألخط -٣k0,1,2,...,i , )B( es i ، دیرا غرى تق ات الص ة المربع وبة بطریق والمحس

.iBبالنقصان لإلنحراف المعیاري الحقیقي للمقدر .قابلة للتطبیق F أو tلم تعد فترات الثقة واإلختبارات التي تستخدم توزیعات -٤

أسباب االرتباط الذاتي) ٢(

ات نفسھا ة البیان ة بطبیع تبدأ مشكلة االرتباط الذاتي في بیانات السالسل الزمنیا ن . وطرق تجمیعھ وع م ذا الن ع ھ ي تجمی اس ف ى وجود أخطاء القی ب عل د یترت فق

ة ة التالی اط الزمنی نوات أو النق ي الس ة ف اء تراكمی ات أخط یغة .البیان ك الص ي ذل یل الدالیھ المستخدمة لتقدیر النموذج المستخدمة باإلضافة إلى عدم إجراء التحویالت

ال . المناسبة للمتغیرات لجعل نموذج االنحدار خطى في المعالم وكذلك قد یؤدي إغفي اط ذات ى وجود ارتب ة إل ي الدال رات ف ى . إدخال متغی ؤدي ال ى ت ل الت ومن العوام

رات وجود ارتباط ذاتي ى فت دادات عل ات تع البیانات المستكملة نتیجة الستخدام بیانزمنیة متباعدة وھذا مایتم في بیانات تعداد السكان حیث ال یجرى اإلجراء اإلحصاء ین ة السنوات ب در قیم م تق الفعلي كل عام وإنما كل خمس سنوات أو عشر سنوات ث

ا ات للتعویض عن ھذه الفترات وكذلك ھو الحال حین یتم استكمال نوع م من البیانودة یم مفق ر . ق وف تقتص اء وس تقالل األخط دم اس اف ع رة الكتش رق كثی د ط توج

.واتسون_ دراستنا على اختبار دربن

واتسون_ اختبار دربن ) ٣(

في وجود ارتباط ذاتي من الرتبھ األولى البسیطإن النموذج الخطى :ھو

ii10i xY

:حیث i1ii u

ث حیث ذاتى بحی اط ال ع iuو 1معامل االرتب ع التوزی ر عشوائي یتب متغی2الطبیعي بمتوسط یساوي صفر وتباین ثابت

u وji,0)uu(E ji .

:واتسون الختبار ثالثة فروض وھي _ یستخدم اختبار دربن :وجود ارتباط ذاتي موجب -١

H0:0فرض العدم :ضد الفرض البدیل

0:H0 . :وجود ارتباط ذاتي سالب -٢H0:0فرض العدم

:ضد الفرض البدیل 0:H0 .

) :اختبار ذو جانبین (وجود ارتباط ذاتي سالب أو موجب -٣H0:0فرض العدم

:ضد الفرض البدیل 0:H1 .

:وینحصر االختبار بالخطوات التالیة ى - أ ات الصغرى للحصول عل تقدیر معالم االنحدار باستخدام أسلوب المربع

.ت االنحدارمعامال :طرح قیم المتغیر التابع من القیم المشاھدة للحصول على البواقي - ب

.yye iii :على النحو التالي DWحساب قیمة إحصائیة مقدرة نرمز لھا بالرمز -ج

.e

)ee(DW

2i

n

1i

21ii

n

2i

:مع مالحظة أن .4DW0

جراء االختبار ومن المالحظ أن جداول واتسون إل_ استخدام جداول دربن - دن اھدات _ درب دد المش ن ع ل م ار ك ي االعتب ذ ف ون تأخ دد nواتس وع

تقلة رات المس ة ) k(المتغی توى المعنوی ب ومس ن جان ار م ة اختب ي حال فذكر أن الفرض . في حالة اختبار ذو جانبین 2واحد و ومما ھو جدیر بال

H1:0:األكثر شیوعا ھو الفرض البدیل ویحتوي الجدول على قیمتینى النحو Udوھي القیمة الصغرى و dLإحداھما ة عل تم المقارن م ت ا ث العلی

.التالىجدول الالتالي الموضح في الحالة المقدره DWقیمة القرار

dL < DW < 4 1-4 ارتباط ذاتي سالب

dU<DW<4-dL 2-4 قرار غیر محدد

DW < 4-dU 3 > 2 الیوجد ارتباط ذاتي

dU < DW < 2 4 الیوجد ارتباط ذاتي

Ld قرار غیر محدد < DW < dU 5

DW < dL 6 > 0 ارتباط ذاتي موجب

:ارمما تقدم نجد أن ھناك ثالث نتائج لالختب

. 3 4,ال یوجد ارتباط ذاتي في الحالتین .١ك .٢ ي وذل اط ذات قرار غیر محدد أي الیمكن الجزم بوجود أو عدم وجود ارتب

.2,5یستلزم إضافة بیانات إلى السلسلة الزمنیة إن أمكن كما في الحالتین ود ارتب .٣ ى أو وج ة االول ي الحال ا ف الب كم ي س اط ذات ود ارتب ي وج اط ذات

.موجب كما في الحالة السادسةULو DWمناطق اتخاذ القرار مبینة علیھ قیم التالىشكل الیوضح d , d.

ھا اء وبعض ین األخط یط ب اط البس ل االرتب اب معام ي ویجب حس ك ف وذلة لحساب الحالة التى یوجد فیھا ارتباط ذاتي نتیجة االختبار و توجد معادلة تقریبی

:على النحو التالي DWمن .2/DW1ˆ

ة ا ان قیم ة DWوقد سبق أن ذكرن ین الصفر وأربع راوح ب ت . تت DW=0إذا كانˆ1فھذا یعني أن وإذا كانتDW=4 1فھذا یعني أنˆ .

ة أى ت قیم ھ إذا اقترب ا DWأن ا وكلم ا موجب اط ذاتی اك ارتب د أن ھن من الصفر نج .سنجد ان ھناك ارتباطا ذاتیا عكسیا 4من DWاقتربت قیمة

ال یوجد ارتباط ذاتي

غیر قرار غیر قرار ارتباط

ارتباط ذاتي محدد محدد ذاتـي سالب موجب

4 Ld4 Ud4 2 Ud Ld 0

H0:0العدم یوجد ارتباط ذاتي بین األخطاء ونقبل فرض بالتالي ال .

معالجة االرتباط الذاتي) ٤(

ا ھو فیما یلي أھم الطرق للتخلص من وجود االرتباط الذاتي بین االخطاء فكمة المستخدمة ا الدال ل منھ ى عدة عوام ذاتي یرجع ال اط ال معروف ان وجود االرتب

رق تخدام الط الل اس ن خ ك م ن ذل د م نحاول التأك رات وس ض المتغی ال بع وإغف .ص من االرتباط الذاتيالمختلفة للتخل

دار ة االنح ي حال دم ف ا أن بعض الطرق المستخدمة سوف تق وه ھن ویجب ان ننة االنحدار الخطي ي حال ك الطرق ف یم تل الخطي البسیط وذلك للتسھیل ویمكن تعم

. المتعدد

الطریقة االولى

ابع ك ر الت ر مستقل غالبا یلجأ االقتصادیون لتسھیل األمور بإدخال المتغی متغین دأ م لة تب ت السلس ر إذا كان ي آخ ابع 1992بمعن ر الت رات . للمتغی ذلك المتغی وك

ام 1991المستقلھ فإنھ یمكن إدخال بیانات المتغیر التابع لعام مقابل المتغیر التابع لعولكن التتوافر في . أى متغیر ابطاء lagged variableوتسمى ھذه الطریقة 1992

ة المستخدمةمعظم األحیان ال لة الزمنی ة . بیانات عن عام سابق للسلس ذه الحال ي ھ فف ذاتي ویوص اط ال ر االرتب ن أث تخلص م ر ال دة نظی اھدة واح حیة بمش ن التض یمك

:النموذج على النحو التالي

.YxY i1i2i10i

مثال

ـترة ت لألعـوام خالل الف ة الكوی ات عن دول الى البیان یعطى الجدول الت :متضمنة (1986-1962)

x =الدخل المتاح أو الدخل الذي یمكن التصرف بھ.

= y االستھالك الخاص.

تقدیر معادلة االنحدار البسیط مع إجراء اختبار وجود ارتباط ذاتي بین : والمطلوبة تخدام الطریق م اس اء ث اط األخط ود االرتب ن وج تخلص م ى لل االول

الذاتى بین األخطاء

y x السنة

1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986

188.0 192.0 200.0 191.0 232.0 280.0 297.0 306.0 396.0 420.0 227.0 439.0 564.0 759.0 1030.0 1368.0 1474.0 1671.0 2196.0 2445.0 3287.0 3179.0 2780.0 2774.0 2575.0

460.0 486.0 561.0 553.0 682.0

1010.0 793.0 840.0 851.0

1117.0 1102.0 1262.0 3532.0 3711.0 4281.0 4563.0 4977.0 7597.0 8757.0 8875.0 7612.0 7789.0 7893.0 7322.0 7164.0

الحــل

ن ة دارب امج DWواتسون –تم الحصول على قیم ث SPSSبإستخدام برن حیDW =0.86467 ن ار درب راء اختب یم _ والج ى ق ول عل ب الحص ون یج واتس

UL d,d د ر واح اظرة لمتغی 1k(المن ( اھدات دد المش توى n = 25وع ومس20.1d , 45.1dحیث 05.0معنویة LU ومنھ نجد أن:

LdDW0 :أي أن

20.186467.00 :وبذلك نرفض فرض العدم

0:H0

:ونقبل الفرض البدیل 0:H1

:من العالقة التقریبیة التالیة ویمكن حساب

0.56767

2/86467.00.12

DW1ˆ

اد 0.56767وذلك یعني أن معامل اإلرتباط بین األخطاء یساوي لذا الیمكن االعتم :على النتائج التي نحصل علیھا من معادلة االنحدار المقدرة

. x32233.043725.30y

ین األخطاء ذاتي ب اط ال ل تخلیصھا من وجود االرتب ؤ قب . وال یمكن استخدامھا للتنب .لتخلص من وجود االرتباط الذاتي بین األخطاء سوف نستخدم الطریقة األولىاآلن ل

تخلص من وجود ر ابطاء لل الى سوف نستخدم متغی من البیانات في الجدول التن ار درب إجراء اختب ى األخطاء _ االرتباط الذاتي مع التحقق من ذلك ب واتسون عل

. المقدره طبقا للنموذج الجدید

)1iy )z السنھ iy ix

1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986

- 188.0 192.0 200.0 191.0 232.0 280.0 297.0 306.0 396.0 420.0 227.0 439.0 564.0 759.0 1030.0 1368.0 1474.0 1671.0 2196.0 2445.0 3287.0 3179.0 2780.0 2774.0

188.0 192.0 200.0 191.0 232.0 280.0 297.0 306.0 396.0 420.0 227.0 439.0 564.0 759.0

1030.0 1368.0 1474.0 1671.0 2196.0 2445.0 3287.0 3179.0 2780.0 2774.0 2575.0

460.0 486.0 561.0 553.0 682.0

1010.0 793.0 840.0 851.0

1117.0 1102.0 1262.0 3532.0 3711.0 4281.0 4563.0 4977.0 7597.0 8757.0 8875.0 7612.0 7789.0 7893.0 7322.0 7164.0

معادلة االنحدار المقدره سوف تكون

z69095.0x11354.02508.4y

ث اء zحی ر إبط و متغی ة . ھ ي DWقیم یم 2.23556 ھ LUوق d,d دما عن

24n , 05.0 45.1):تقریبا(ومتغیرین مستقلین ھماd , 2.1d UL و

)d4(DW2 U

2<2.23556<2.55

H0:0وبذلك نضمن عدم وجود ارتباط ذاتي بین األخطاء ونقبل فرض العدم DW1p/2 117.0حیث ا التقریبیة وھو ارتباط ضعیف بین األخطاء مم

.یؤكد القرار

الطریقة الثانیة

في ھذه الطریقة . أن أھمال احد المتغیرات قد یؤدي إلـى وجود االرتباط الذاتي رة . یتم توصیف الدالھ وإدخال متغیرات ثم إھمالھا ت الفت ا كان في المثال السابق ولم

ة 1986-1982 ادة االستھالك نتیجة لعوامل خارجی ع زی دخل م تتصف بتراجع الة ار أزم نفط الخام وآث اض اسعار ال ا انخف اخ"منھ ر " سوق المن یمكن إدخال متغی ف

ومساویة 1982-1986تكون قیمة مساویة الواحد الصحیح خالل الفترة wصوري ة االنح ة الیجاد معادل ات الالزم ي للصفر فیما عدا ذلك والبیان دة معطاه ف دار الجدی

.الجدول التالى

w السنة y x

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986

188.0 192.0 200.0 191.0 232.0 280.0 297.0 306.0 396.0 420.0 227.0 439.0 564.0 759.0 1030.0 1368.0 1474.0 1671.0 2196.0 2445.0 3287.0 3179.0 2780.0 2774.0 2575.0

460.0 486.0 561.0 553.0 682.0 1010.0 793.0 840.0 851.0 1117.0 1102.0 1262.0 3532.0 3711.0 4281.0 4563.0 4977.0 7597.0 8757.0 8875.0 7612.0 7789.0 7893.0 7322.0 7164.0

:معادلة االنحدار المقدره سوف تكون على الشكل

w102.1016x24375.0131.61y

ة ي DWقیم 55.1d , 21.1d , 1.36727ھ UL د ك عن وذل05.0, 2k , 25n وبناء علیھ نجد أن:

55.136727.121.155.1DW21.1

dDWd UL

H0:0وبالتالي ال یوجد ارتباط ذاتي بین األخطاء ونقبل فرض العدم .

الطریقة الثالثة

ي رات ف ض المتغی ال بع ل أو إغف ابقتین ان تجاھ ریقتین الس ن الط ح م اتضي النموذج األصلي واقي ف ي للب اط ذات توصیف النموذج ادى بدوره إلى وجود ارتبى ا الطریقتین أدت إل د أن كلت ذاتي وج اط ال ن اإلرتب تخلص م وذج لل ة النم وبمعالج

ین و DWتحس ة قب ي منطق ع ف دم لتق رض الع H0:0ل ف . ة ة التالی والطریقى . تستخدم مایطلق علیھ الطریقة العامة للمربعات الصغرى ة عل وتعتمد ھذه الطریق

ى نموذج یكون ا من الحصول عل ى تمكنن تحویل البیانات األصلیة إلي الصورة التات الصغرى العا ة المربع الي المتغیر العشوائي فیھ خاضع لفروض طریق ة وبالت دی

.یمكن استخدام ھذه الطریقة في تقدیر المعالم :بفرض النموذج

)٣ (,xY ii10i

1 وi1ii u

:حیث

ji , 0)uE(u , ),0(N~u ji2ui

:نحصل علىi-1 اھدةثم بكتابة النموذج السابق في المش)٤ (,xY 1i1i101i

:نحصل على النموذج التالي) ٣(والطرح من في ) ٤(وبضرب طرفي

)٥ (,ux)1(Y i*i10

*i

:حیث

)٦ (,YYY 1ii*i

)٧ ( ,xxx 1ii*i

1iiiu :یصبح ) ٥(النموذج المحول

)٨ ( uxY ii10i

1100:حیث , )1( :وعلى ذلك

)1/(00

ذا اط ال ى االرتب وي عل ذي یحت وذج ال ل النم ن تحوی ذلك أمك وذج وب ى نم تي إلات ة المربع ذلك یمكن استخدام طریق واقي وب الیحتوي على إرتباط ذاتي بین البوذج األصلي الم النم س مع الم وھي نف دیرات المع تقاق تق ة الش الصغرى العادی

00)1(ماعدا المعلمة . ة ویجب مالحظة أن عدد المشاھدات المحولغیر مرتبط ذاتیا ونالحظ uiالمتغیر العشوائي وأن n-1 الداخلة في التقدیر ھي

ذاتي اط ال ل االرتب ة معام ة قیم ى معرف د عل ة تعتم ذه الطریق ا أن ھ ادر م وندیرھا اج لتق الي نحت ة ، وبالت ذاتي معلوم ولحسن . تكون قیمة معامل االرتباط ال

ة معام دیر قیم ذاتي الحظ یوجد عدد من الطرق المستخدمة لتق اط ال ل االرتب .وسوف نتناولھا الحقا

یتم وعلى ذلك فبعد اختبار وجود االرتباط الذاتي والحصول على تقدیر لـ تطبیق طریقة المربعـات الصغرى العـادیة على مجموع البیانات المحـولة

*i

*i x, y المشـاھدات األصـلیة في كل نقطة زمنیة حاصل حیث تطرح من

:في قیمة المتغیرات في الفترات السابقة كالتالي ضرب

1ii*i

1ii*i

xxx

,yyy

:معادلة االنحدار المقدرة سوف تكون على الشكل

*1

*0 xbb*y

bb)/1ˆ(حیث 00 و 11 bb .

طرق تقدیر

واتسون لتقدیر _ طریقة دربن -١

ھ ذه الطریق تم ھ ا الي درجھ من االنحدار وت ھ یمكن تطبیقھ وھذه الطریق :كاآلتى

: حیث یكتب بتفصیل كاآلتي) ٨(نبدأ بالنموذج المحول )٩ (i1ii101ii u)xx()1(YY

:نحصل على) ٩(وبإعادة تنظیم )١٠ (n1,2,3...,i , uY)xx()1(Y i1i1ii10i

وبإستخدام طریقة المربعات الصغرى لتقدیر معالم ھذا النموذج نحصل على تقدیر 1iY، والذى یساوى معامل المتباطئ ، أي لـ .

) Orcult –Cochrane( طریقة كوكران اوركت -٢

i1iiوذلك بالنظر الى المعادلة u والمفروضھ على النموذجii10i xY

:على أنھا إنحدار عبر نقطة األصل أي أن

i1ii u

ث و الم iحی ابع ، ھ ر الت تقل ، 1iتغی ر المس و المتغی أ و iuھ د الخط ح1iiوبما أن . میل الخط عبر نقطة األصل , 1غیرمعروفین فنستخدمii e,e

ات الصغرى العا ة المربع ا بطریق ر التى حصلنا علیھ ر مستقل ومتغی ة كمتغی دیـ دیر ل ى تق ل عل ب ونحص ى الترتی ابع عل ة ت ر نقط تقیم عب ط مس دیر خ بتق

:األصل من الصیغة التالیة

21i

n

2i

i1in

2i

e

eeˆ

و-طریقة ھیلدریث -٣ ل

دریث ة ھیل اك طریق اط –ھن ل االرتب دیر معام و لتق دف ل ك بھ وذلویالت ي التح تخدامھا ف ذه ) ٧(و ) ٦(اس ذي تتخ لوب ال س اإلس ذ نف ى تتخ والت

وكس ة ب ة –طریق دیر المعلم وكس لتق وى ك ل الق ي تحوی ین Yف ھ تحس بغیالتي لو تلك القیمة -إذ نختار في طریقة ھیلدریث . صالحیة نموذج االنحدار

ا ) ٨(جعل مجموع مربعات الخطأ للبواقي لنموذج االنحدار المحول ت اصغر م :یمكن

.)xbby()yy(SSE 2*i

*1

*0

*i

2*i

*i

ة اد قیم ب إلیج رامج حاس وافر ب ل وتت ى تجع ایمكن SSEالت غر م . أص

وبصورة بدیلة یمكننا أن نبحث حسابیا بتشغیل انحدارات متكررة مع قیم مختلفة ـ ـ ل ة ل ة التقریبی ك الستطالع القیم دار وذل ل إنح ي ك ل ف ى تجع SSEالت

ایمكن ة . أصغر م ا قیم ع فیھ ي تق رة الت ة الفت د معرف ل وعن ي تجع SSEالتن ا یمك غر م ـ ، أص ة ل ر دق ة اكث ى قیم رة عل ذه الفت من ھ ث ض ن البح . یمك

ة ل وبمجرد الحصول على قیم ى تجع د SSEالت ا تحدی ایمكن یمكنن أصغر م .معادلة االنحدار المقدرة المقابلة لتلك القیمة لـ

ذاتي اط ال ل االرتب ة معام ا أن قیم ر وبم ة كبی ي قیم ب وأن ھ ي الغال ة فSSE كدالة في ـ رة ل یم كبی ى تكون مستقرة تماما من أجل ق د 1.0حت فق

وإذا كانت ) ٨(في النموذج المحول 0.1اقترح بعض اإلحصائیین استخدام 1 00)1(0فإن كمایلى) ٨(فیصبح النموذج المحول:

ii1i uxY

:حیث

)١١ (1iii YYY

)١٢ (1iii xxx

ة الم نموذج االنحدار مباشرة بطریق دیر مع ھ یمكن تق وھكذا نجد مرة أخرى أن

ر نقطة األصلالمربعات الصغرى وتر ى إنحدار عب ة . تكز ھذه المرة عل معادل :االنحدار المقدرة سوف تكون

xby 1

:ویمكن تحویلھا والعودة مرة أخرى إلى المتغیرات األصلیة كما یلي xbby 10

xbyb ,: حیث 10

. 11 bb : إستخدام صیغ اخرى-٤

ˆDW1/2.: یمكن استخدام الصیغة التالیة التي سبق أن تناولناھا وھى -*

:من الصیغة التالیة یمكن تقدیر معامل االرتباط الذاتي -*

,e

eeˆ

n

1i

2i

1iin

2i

مثال

ا یعطي الجدول التالى بیانات الوا د م ي بل ھ ف الملیون جنی ردات والناتج القومي ب .والمطلوب اختبار االرتباط الذاتي ومعالجتھ

الواردات السنةiy

الناتج ix iy iiالقومي yy 1ii ee

1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969

3748 4010 3711 4004 4151 4469 4582 4697 4753 5062 5669 5628 5736 5946 6501 6549 6705 7104 7609 8100

21777 22418 22308 23319 24180 24893 25310 25799 25886 26868 28134 29091 29450 30705 32372 33152 33764 34411 35429 36200

3615.5 3795.2 3764.4 4047.8 4289.2

4489.08 4605.9

4743.07 4767.4 5042.7 5397.6 5665.9 5766.5 6118.3 6585.7 6804.3 6975.9 7157.3

7442.6 7658.8

132.42 214.73 -53.42 -43.84 -138.2 -20.08 -23.98 -46.07 -14.46 19.25 271.35 -37.92 -30.56

-172.38 -84.70

-255.36 -270.92 -53.30 166.31 441.18

- 82.3

-268.16 9.58

-94.37 118.12 -3.90

-22.08 31.61 33.71 252.10 -309.28

7.36 -141.82 87.68

-170.66 -15.56 217.62 219.62 274.86

:مربعات الصغرى العادیة فإن معادلة اإلنحدار المقدره ھي بإستخدام طریقة ال

x28.025.2489y :وإذا كان

491847)ee(

567861e2

1ii

2i

:واتسون فإن_ وبتطبیق اختبار دربن

866.0567861491847

e

)ee(DW

n

1i

2i

21ii

n

2i

ن دول دارب الرجوع للج ة –وب توى معنوی د مس ون عن دد 05.0واتس وع

د 20دات مشاھ تقل واح ر مس إن (k=1)ومتغی 41.1d , 2.1dف UL ا ولمت اط DW < dLكان ة االرتب ي موجب ولمعالج اط ذات ن الواضح وجود ارتب فم

:الذاتي نحسب أوال معامل االرتباط الذاتي حیث

380107.0567861215848

e

eeˆ

n

1i

2i

n

2i1ii

:وبتطبیق الطریقة الثالثة فإن

1ii*i

1ii*i

x 380107.0xx

y 380107.0yy

:تخدام طریقة المربعات الصغرى للبیانات المحولة كانت النتیجةوبإس

x290662.04.1727*y

ة ة DW =1.315وقیم ین DWونالحظ أن قیم ع ب ین Ldو Udتق 41.1أي ب الذاتي والتي تعني عدم وجود االرتباط 20.1و

مثال

رین ات لمتغی الى بیان اط x , Y یعطى الجدول الت ار االرتب وب اختب والمطل .الذاتي ومعالجتھ

الفترةi

(1)

iy (2)

ix (3)

ie (4)

1iiee (5)

2ie

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3.63 4.20 3.33 4.54 2.89 4.87 4.90 5.29 6.18 7.20 7.25 6.09 6.80 8.65 8.43 8.29 7.18 7.90 8.45 8.23

0.97 0.95 0.99 0.91 0.98 0.90 0.89 0.86 0.85 0.82 0.79 0.83 0.81 0.77 0.76 0.80 0.83 0.79 0.76 0.78

0.2812 0.3654 0.4670 -0.2662 -0.2159 -0.1791 -0.3920 -0.7307 -0.0836 0.2077 -0.4710 -0.6594 -0.4352 0.4432 -0.0197 0.8119 0.4306 0.1790 0.0003 0.2661

- 0.1028 0.1706 -0.1243 0.0575 0.0387 0.0702 0.2864 0.0611 -0.0174 -0.0978 0.3106 0.2870 -0.1929 -0.0087 -0.0160 0.3496 0.0771 0.0001 0.0001

0.0791 0.1335 0.2181 0.0709 0.0466 0.0321 0.1537 0.5339 0.0070 0.0431 0.2218 0.4348 0.1894 0.1964 0.0004 0.6592 0.1854 0.0320 0.0000 0.0708

3082.3e 3547.1ee 2i

20

1i1ii

20

2i

الحــل

:فإن معادلة االنحدار المقدره هيباستخدام طریقة المربعات الصغرى

x28977.2490989.26y

DWفي الجدول السابق یوضح البواقى لهذا النموذج وعلى ذلـك فـإن قیمـة 3العمود حیـث n = 20و 05.0والتـى عنـد مقارنتهـا مـع القـیم الحرجـة عنـد 1.14 هـي 41.1d , 2.1d UL ذاتــــــــــــــي موجـــــــــــــــب إلن توضــــــــــــــح أن هنــــــــــــــاك ارتبـــــــــــــــاط

Ld14.10 .التقدیر لمعامل االرتباط الذاتي یحسب من المعادلة:

.409.03082.33547.1

e

)ee(ˆ

2i

20

1i

1ii20

2i

:البیانات المحولة تحسب كالتالي

1ii*i1ii

*i y409.0yy , x409.0xx

. هــذه البیانـات المحولــة موضــحه فـي الجــدول التــالى . i = 1, 2, …,20حیـث :ه باستخدام طریقة المربعات الصغرى سوف تكونمعادلة االنحدار المقدر

x19991.2485043.15y

i

(1) *ix

(2) *iy

(3) *ie

2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.553 0.601 0.505 0.608 0.499 0.522 0.496 0.498 0.472 0.455 0.507 0.471 0.439 0.445 0.489 0.503 0.451 0.437 0.469

2.715 1.612 3.178 1.033 3.688 2.908 3.286 4.016 4.672 4.305 3.125 4.309 5.869 4.892 4.842 3.789 4.963 5.219 4.774

0.2504 0.3176 -0.4572 -0.1070 -0.0908 -0.3187 -0.5704 0.2153 0.2419 -0.5559 -0.4668 -0.1655 0.6212 -0.2010 0.8200 0.0985 0.0029 -0.0729 0.2660

د . DW = 1.94للنموذج المحول ھو DWقیمة اإلحصاء ة عن ذه القیم وبمقارنة ھ05.0 وn = 19 20.1,وd , 41.1d LU ) ا ا أن ) تقریب وبم294.1d U 294.141.1أي . وذج اء للنم تنتج أن األخط ا نس فإنن

.المحول غیر مرتبطة وعلى ذلك فإن الطریقة الثالثة اختزلت مشكلة االرتباط الذاتي

ي 1في النموذج المحول تساوي 1ویجب أن ننوه ھنا إلى أن والموجودة فii10iالصلي النموذج ا xY وعلى ذلك بمقارنة الجدول التالى والذى

ة ات المحول یعتمد على البیانات االصلیة والجدول الذى یلیھ والذى یعتمد على البیانھ نجد أن ھذه الطریقة الثالثة ادت الى تقدیر للمیل یختلف قلیال عن الذي حصلنا علی

غرى ات الص ة المربع تخدام طریق ن .باس دیرات م ة للتق اء المعیاری ة األخط بمقارندیر ر من تق اري أكب ھ خطأ معی ة ل الجـدولین نجد أن تقدیر المیل من الطریقة الثالث

ة غرى العادی ات الص ن . المربع وع م زء المقط إن الج لیة ف رات االص ة المتغی بدالل :محور الصادات وخطأه المعیاري ھو

, 26.81968 409.01

85043.151b

b 00

:ي لھ ھوالخطأ المعیار

.6025.1409.01

9471.0ˆ1

)B(e.s)B(e.s 0

0

المعامالت التقدیر الخطأ المعیاري

1.1099 1.2978

26.90989 -24.28977

0

1

MSE = 0.1838 R2 = 0.95

المعامالت التقدیر الخطأ المعیاري

0.9471 1.9015

15.85043 -24.19991

0 1

MSE = 0.1547 R2 = 0.91

الطریقة الرابعة

.قبل تناول ھذه الطریقة سوف نتناول خواص حدود الخطأ

خواص حدود الخطأ

ا سبق ان الخطأ العشوائي لك ى علمنا مم د بشكل خطى عل ة یعتم رة زمنی ل فت :الخطأ العشوائي للفترات السابقة لھا إي أن

, u i1ii

ii10iومن النموذج xY یمكن الحصول على: , u 1i2i1i

:وبالتعویض نحصل على

,uuu)u( i1i2i2

i1i2ii

2i3iواآلن بوضع u 2مكانi نحصل على:

,uu i1i2i2

3i3

i :وباإلستمرار بھذه الطریقة نجد أن

)١٣ (,u...uuuu sis

0s3i

32i

21iii

رة ي الفت أ ف راھن iأى ان الخط طراب ال د االض ن ح ة م ھ خطی ل تركیب iuیمثرة ) ١٣(فإن < 1 > 0وعندما . والحدود السابقة لھ دت الفت تشیر إلى أن كلما بع

ة د قیم ي تحدی ات . iفي الماضى كلما كان لحد االضطراب وزن أقل ف ویمكن اثب في نموذج خط االنحدار الذاتي من الرتـبھ األولـى iأن المتوسط لـ

, u i1ii :ھي كاآلتي

0)(E i

).١٣(في iوذلك بأخذ توقع

:تباین األخطاء العشوائیة في حالة االرتباط الذاتي یكون كاآلتي

...)u(E)u(E)u(E)(E 22i

421i

22i

2i

:وبما أن

ji , 0)uE(u , )u(E ji2u

2i

:أذن

....2u

42u

22u

2 :أي أن

...)1( 422u

2

)١٤ ( .)1/( 22u

ھ دروس یمكن الوصول الی وذج الخطي الم وائیة للنم ین األخطاء لعش ایر ب ا التغ أم :بالشكل التالي

...uuu 2i2

1iii :وكذلك

...uuu 3i2

2i1i1i :أذن

...)]uuu(

...)uuu[(E)(E

3i2

2i1i

2i2

1ii1ii

...)]}uu(u...)][uu(u{[E 3i2i1i2i1ii

:وعلى ذلك

...][

...])u(E)u( [E

...)uu(E)(E

2u

22u

22i

221i

22i1i1ii

:أذن

...)1()(E 422u1ii

)١٥ (2

2u

-1

نجد أن) ١٤(مع ) ١٥(وبمقارنة

)١٦ (21ii )(E

22وللتسھیل سوف نضع

:یمكن أن توضع بشكل عام كالتالي) ١٦(والعالقة في

.1-n0,1,2,...,s , )(E 2ssii

:فإن s = 0فعلى سبیل المثال لو كانت 2

0ii )(E :فإن s=1وفى حالھ

21ii )(E

:فإن s = 2أما إذا كانت 22

2ii )(E إذا كانت :فإن s = n-1وأخیرا

21n)1n(ii )(E

:وعلى ذلك معامل االرتباط بین حدود األخطاء ھو

1ii1ii

),(Cov 1ii

.

11

1

2

2

2

2

2

2

ذاتي اط ال ة االرتب اء أي أن معلم دود األخط ین ح اط ب ل االرتب ھا معام ي نفس ھ2المتجاورة حیث

u2 .

فوفة ي مص دود ف ذه الح ع ھ ة وبجم ي حال وائیة ف اء العش این لألخط ایر والتب التغ

:النموذج الخطي المتعدد الذي على الصورة التالیة )١٧ ( XY

:نحصل على

223n22n21n

22n222

21n2222

..............

....

....

)(Cov

:إي أن

2

4n3n2n1n

2n2

1n32

2

1..............

....1

....1

)(Cov

دد ي المتع دار الخط وذج اإلنح وائي لنم أ العش ع ) ١٧(إي أن الخط وف یخض س :إي أن . لفرضیة وجود إرتباط ذاتي من الدرجة االولى

),0(N~ 2 ي دار الخط وذج اإلنح الم نم دیر مع ة) ١٧(ولتق ة الرابع ع الطریق ة (سوف نتب طریق

ط ) المربعات الصغرى المرجحة ع فق ي الفصل الراب ا أوضحناه ف والتي تختلف عمفوفة ث أن المص ن حی ة م ت قطری اد . لیس ن إیج د م ة الب ذه الطریق ي ھ وف

فوفة وس المص فوفة معك ة المص ون رتب ب أن تك م ویج ى حج اویة إل مسالي تكون المصفوفة n=2فمثال عند العینة . العینة تحت البحث على الشكل الت

:

11

:فإن n=3أما إذا كان حجم العینة

1

111

2

2

:سوف یكون وعلى ذلك فإن معكوس المصفوفة

101

01

)1(1 2

21

وبصورة عامة فإن المصفوفة 1 لعینة من الحجمn سوف تكون:

1- 00000-1 0000

00...01000...00100...0001

)1(1W

2

2

2

21

112: التقدیر لمصفوفة التغایر والتباین سوف تكون )XX(s

:حیث أن

1knyXbyys

112

والمسمى ) ١٧(اآلن سوف نشرح الطریقة الرابعة لتقدیر معالم نموذج اإلنحدار

. بطریقة المربعات الصغرى المرجحة وذلك من خالل المثال التالي

مثال

ابع ر الت ن المتغی ل م ا ك ذ فیھ اھدات ، اخ ة مش وائیة ذات خمس ة عش (Y)عین)x(),x(والمتغیرات المستقلة :المشاھدات التالیة 12

:y 4 , 8 , 6 , 2 , 9

:x1 2 , 5 , 2 , 1 , 10

:x 2 1 , 3 , 7 , 2 , 1

:المطلوب

:تقدیر معالم النموذج التالى

.xxY 22110

:مستخدما

:الطریقة الرابعة علما بأن

),0(N~ 2

)ˆ6.0(یتبع االرتباط الذاتي من الدرجة االولى مع )(وأن

الحـل

:اوال

Wy'XWXX' bbb

b 1

2

1

0

بان :علما

1 - 0 0 0 - 1 - 0 0

0 - 1 - 0

0 0 - 1 -

0 0 0 - 1

1

1W

2

2

2

2

:أذن

1 0.6- 0 0 00.6- 1.36 0.6- 0 0

0 0.6- 1.36 0.6 - 0

0 0 0.6- 1.36 0.6-0 0 0 0.6- 1

64.01W

:أذن

0.641

1 2 7 3 1

10 1 2 5 2

1 1 1 1 1

WX X 1

1 10 12 1 17 2 13 5 1

1 2 1

1 0.6 - 0 0 00.6- 1.36 0.6 - 0 00 0.6 1.36 0.6- 00 0 0.6- 1.36 0.6-

0 0 0 0.6- 1 1-

1

38.32 3.76 2.723.76 106.4 6.08

2.72 6.08 1.28 64.0

:امـا

,

24.2

98.84

7.76

64.01WyX

2.24

84.98

76.7

64.01

38.32 3.76 2.72

3.76 106.4 6.08

2.72 6.08 1.28

64.0

b

b

b 1

2

1

0

:أى أن

0

1

2

b 0.981b 0.856

0.478b

:أذن.21 x478.0x856.0981.0y