٦٠٦

اختبارات حول االرتباط

في كثیر من األحیان یكون لدینا مجتمع ما ونكون مھتمین بمتغیرین في ذلك المجتمع ویكون اھتمامنا بمعرفة ھل ھناك عالقة بینھما أم ال، وإن وجدت ما نوعھا، وإذا أردنا اختبار بعض

للمتغیرین بفترة على األقل الفروض التي تدور حول العالقة بین المتغیرین وكانت وحدة القیاس و توزیع المجتمع المسحوب منھ العینتین یتبع التوزیع الطبیعي الثنائي فإنھ یمكن حساب معامل

إذا لم تستوفى ھذه نارتباط بیرسون الختبار الفروض التي تدور حول معامل األرتباط، ولكتبارات المعلمیة تعتمد الشروط فال یمكن إجراء ھذا االختبار ،لعالج ھذه المشكلة نجري اخ

على الرتب مثل اختبار سبیرمان أو كندال وبذلك یمكن التعامل مع البیانات ذات وحدة قیاس أقل من فترة،كأن تكون ترتیبیة أو أسمیة، ومع أن قیمة معامل االرتباط في االختبارین تتراوح

یانات ،الختالف االسالیب فإننا ال نتوقع في جمیع الحاالت تساوي قیمتیھما لنفس الب 1-و1بین .المستخدمة في حساب كل منھما

معامل ارتباط سبیرمان للرتب

The Spearman Rank Correlation Coefficient

ة(اختبارات الفروض ھناك ع ) معلمی اط المجتم ي تخص معامل ارتب تحت فرض التائي X , Yأن ق الشرط السابق . متغیرین عشوائیین لھما توزیع طبیعي ثن دم تحق ة ع ي حال ف

ة ود عالق دم وج ار ع اء الختب بیرمان كإحص ل س تخدام معام ا اس ھ یمكنن اط( فإن ین ) ارتب برین ین . X , Yالمتغی اط ب وة االرتب اس وصفى لق تخدام معامل سبیرمان كمقی ا اس أیضا یمكننن عندما تكو X , Yمتغیرین ن یمك ة ولك ات رقمی ن البیانات في العینة غیر متوفرة في شكل بیان

: إلجراء االختبار نتبع اآلتي . تعیین رتب لھام ) أ( ن الحج وائیة م ة عش ار عین ة أو الوصفیة nتخت اھدات الرقمی ن أزواج المش ل . م ك

ران زوج من المشاھدات یمثل قراءتین مأخوذتین على نفس ال مفردة والمسماة وحدة االقتunit of association . د أیضا ل ق ات تمث أخوذة مشاھدات البیان ع م ن مجتم م

1سوف نرمز ألزواج المشاھدات كالتالي . ثنائي 1 2 2 n n(x , y ),(x , y ),...,(x , y ). ر ) ب( ا(تصاعدیا Xنرتب قیم المشاھدات في العینة والتابعة للمتغی ة ) أو تنازلی وتعطي رتب

م. لكل قیمة مشاھدة بالنسبة لكل قیم المشاھدات األخرى ة المشاھدة رق سوف نرمز لرتبi ، ix ، بالرمزir(x ir(xعندما . ( ) 1 فھذا یعنى أنix تمثل أقل قیمة مشاھدة

.في العینة Xمن قیم المتغیر ر ) ج( ة للمتغی ة والتابع Yنرتب قیم المشاھدات في العین (تصاعدیا ا ة ) أو تنازلی وتعطى رتب

م.لكل قیمة مشاھدة بالنسبة لكل قیم المشاھدات األخرى ة المشاھدة رق سوف نرمز لرتبj ،iy بالرمز ،ir(y ir(yعندما . ( ) 1 فھذا یعنى أنiy تمثل أقل قیمة مشاھدة

.في العینة Yمن قیم المتغیر من الرتبة كالمعتاد ) ح( .عند حدوث تداخالت نعطى متوسط الرتب المتتالیة بدال .البیانات وصفیة بإمكاننا تحویلھا إلي رتب إذا كانت ) خ(ن الصیغة ذي یحسب م اط سبیرمان وال ا ھو معامل ارتب قیمة اإلحصاء الذي یعتمد علیھ قرارن

:التالیة 2i

s 26 dr 1 ,

n(n 1)

٦٠٧

:حیث2 2i i) id r(x r(y ) .

ة دما تكون رتب ن المشاھدات وعن ة xلكل زوج م س رتب ام طردي ( yنف اط ت إن كل ) ارتب ، فsrسوف تساوى صفر وعلى ذلك idالفروق 1 . ر داخل كل زوج ة كل متغی ت رتب إذا كان

من المشاھدات عكس اآلخر :، أي إذا كان ) ارتباط تام عكسي (

[r(x) 1,r(y) n],[r(x) 2, r(y) n 1],...,[r(x) n,r(y) 1]. ددھا ي ع اھدات الت ك ألزواج المش إن nوذل 1rsف . دینا أزواج ان ل ال إذا ك بیل المث ى س عل

:المشاھدات التالیة :فإن الرتب تصبح

i

i

r(x ) : 4 3 2 1r(y ) :1 2 3 4

2وعلى ذلك id فسوi i(x , y ) : (12,5),(11,6), (10,7), : تكون (9,8)

2 2 2 2(3) (1) ( 1) ( 3) 20,

:وبالتعویض في معادلة سبیرمان فإن sr 1 [(6)(20) /(4)(15) 1 2 1.

ن د ع ن أن یزی بیرمان ال یمك اط س ل ارتب ن 1+معام ل ع ن أن یق دم . 1–وال یمك رض الع ف :والفرض البدیل سوف یكونان على الشكل

0H : المتغیرین مستقلین. 1H : توجد عالقة بین المتغیرین في نفس االتجاه أو االتجاه المعاكس.

القیم الحرجة . الذي لھ توزیع احتمالي sRتمثل قیمة لإلحصاء srصحیح فإن 0Hبفرض أن *s,r لإلحصاءsR عن مستویات 30وحتى الحجم 4لعینات من الحجم .تستخرج من الجدول

sفإن منطقة الرفض لمستوى معنویة . مختلفة من المعنویة s, / 2R r أو

s s, / 2R r . إذا وقعتsr 0 في منطقة الرفض فإننا نرفضH 1H : للفرض البدیل.

sتوجد عالقة بین المتغیرین في نفس االتجاه فإن منطقة الرفض s,R r وذلك عند مستوى1H :للفرض البدیل . معنویة توجد عالقة بین المتغیرین في اتجاه معاكس فإن منطقة sالرفض s,R r وذلك عند مستوى معنویة . دما . القرارات السابقة تستخدم عندما ال یكون ھناك تداخل أو أن یكون عددھا صغیرا عن

را ى ( یكون ھناك تداخل و إذا كان عددھا كبی ؤثر عل داخالت ال ی دد الصغیر للت فیجب ) srالعاونحتاج جداول خ srإجراء تصحیح على ار سوف ال نتعرض لھ دما . اصة إلجراء االختب عن

:فإننا ال نستطیع استخدام الجداول ولكن تم إثبات أن ) 30أكبر من ( یكون حجم العینة كبیراsz r / n 1.

٦٠٨

ر العشوائي افتراض أن Zقیمة للمتغی ك ب ع الطبیعي القیاسي وذل ع التوزی یتب ا ذي تقریب 0Hوال .صحیح

مثال

:الحــل2id 67.5 وعلى ذلك فإن:

2i

s 26 dr 1

n(n 1)6(67.5)1

12(144 1)1 0.2360139 0.763986.

sr 0.5804 ة توى معنوی د مس دول عن ن الج تخرجة م nوالمس 12 , 0.0252

رفض ة ال sRمنطق 0.5804 أوsR 0.5804 ا أن . srوبم 0.763986 ي ع ف تق .0Hمنطقة الرفض نرفض

وبین ( Xلدراسة العالقة بین الھیموجل ا دم الحمراء ) mg/100 mlمقاس وعدد كرات الY ن ا 12بالملیون لكل مللیمتر مكعب ، اختیرت عینة عشوائیة م ع م ن مجتم الغ م ذكر ب

ات معطاة ردة والبیان دم الحمراء لكل مف وتم قیاس تركیزات الھیموجلوبین وعدد كرات ال :التالى جدول الفي

d2 d الشخص الھیموجلوبین كرات الدم الحمراء x xرتب y yرتب

2.25 1 4 0

0.25 1

6.25 6.25 16

2.25 16

12.25

-1.5 1 -2 0

0.5 -1

-2.5 2.5 4

-1.5 4

-3.5

9 11 4 1

2.5 12 10 2.5 6

7.5 5

7.5

5.1 5.4 4.5 4.2 4.3 6.1 5.2 4.3 4.7 4.8 4.6 4.8

7.5 12 2 1 3

11 7.5 5

10 6 9 4

15.2 16.4 14.2 13.0 14.5 16.1 15.2 14.8 15.7 14.9 15.6 14.7

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

توجد : 1Hالمتغیرین مستقلین ضد الفرض البدیل : 0Hالمطلوب اختبار فرض العدم عالقة بین المتغیرین في نفس االتجاه أو االتجاه المعاكس وذلك عند مستوى معنویة

0.05 .

٦٠٩

مثال

:الحــل . التالىجدول الیمكن الحصول على السابق من جدول موع xرتب 7.5 4 1 4 7.5 9.5 4 9.5 4 4 ا

yرتب 4 4 1.5 7.5 4 7.5 1.5 10 7.5 7.5 0 -3.5 -3.5 -0.5 2.5 2 3.5 -3.5 -0.5 0 3.5

id 72 12.25 12.25 0.25 6.25 4 12.25 12.25 0.25 0 12.25 2

id :وعلى ذلك

.5636363.04363636.01)1100(10

)72(61

)1n(nd61r 2

2i

s

*s,0.05r 0.5515 والمستخرجة من الجدول عند مستوى معنویةn 10, 0.05 . ة منطق

sRالرفض 0.5515 .وبما أنsr 0.5636363 0تقع في منطقة الرفض نرفضH.

مثال

. طالب في كل من اإلحصاء والریاضیات 10تقدیرات التالىیعطى الجدول جید جید مقبول جید جید جدا ممتاز جید ممتاز جید جید

جداتقدیرات اإلحصاء

جید جدا

جید جدا

جید مقبول ممتاز جدا

جید جید جدا

تقدیرات جید جید مقبول الریاضیات

.المتغیرین مستقلین : 0Hأختبر فرض العدم :ضد الفرض البدیل

1H : توجد عالقة بین المتغیرین في نفس االتجاه. 0.05وذلك عند مستوى معنویة .

دخین ین الت ة ب ة العالق ة Xلدراس رطان الرئ رض س ابة بم دى اإلص ة Yو م رت عین اختی :ذكر بالغ من مجتمع ما و البیانات معطاة في جدول 14عشوائیة من

2id id رتب

y رتبx

iy ix 2id id رتب

y رتبx

iy ix

12.25 1 1 25 1 16 9

-3.5 -1 -1 -5 1 4 -3

12 11 3 6 5 9 8

8.5 10 2 1 6 13 5

89.3 88

82.2 84.6 84.4 86.3 85.9

140.2 140.8 131.7 130.8 135.6 143.6 133.2

9 56.25

1 4 0 4 1

-3 7.5 -1 2 0 2 1

14 1 4 2 7 10 13

11 8.5 3 4 7 12 14

89.7 74.4 83.5 77.8 85.8 86.5 89.4

141 140.2 131.8 132.5 135.7 141.2 143.9

٦١٠

:الحــل : كیفیة اختبار الفرض العدمي و البدیل اآلتیین

0H : المتغیرین مستقلین . 1H :توجد عالقة بین المتغیرین في نفس االتجاه او االتجاه المعاكسى .

.0.05وذلك عند مستوى معنویة5.140d2وبذلك یكون

i ویمكن حساب معامل سبیرمان كاآلتي ، :

69.0)1196(14

)5.140(61rs

د بیرمان عن ل س دول معام ن ج 0.025 وم2 د أن *5341.0r: ، نج

2,s رفض ة ال منطق

sR 0.5341 5بما أن وr 0.69 تقع فى منطقة الرفض فإننا نرفض فرض العدم.

مثال

:الحــل :تحویل الدرجات إلى رتب

I H G F E D C B A الدرجة 15 13 12 7 2 9 1 11 3 X 14 13 12 7 1 10 3 8 2 Y 1 0 0 0 1 -1 -2 3 1

id 1 0 0 0 1 1 4 9 1 2

id O N M L K J الدرجة 4 6 10 5 8 14 X 5 4 11 6 9 15 Y -1 2 -1 -1 -1 -1

id 1 4 1 1 1 1 2

id

موظف في قسم المبیعات وذلك لدراسة 15في وكالة لبیع السیارات أجریت دراسة على العالقة بین درجة االختبار التي حصل علیھا الموظف عند تعینھ وعدد السیارات المباعة

:خالل السنة األولي من التعیینL K J I H G F E D C B A الدرجة

82 86 96 98 93 89 85 71 87 70 88.5 72 x الدرجة

390 432 512 510 497 463 415 287 440 362 422 314 yعدد السيارات

O N M الدرجة 80 83 88 x الدرجة 385 374 453 yعدد السيارات

توجد عالقة بین : 1Hالمتغیرین مستقلین ضد الفرض البدیل : 0Hأختبر فرض العدم0.05وذلك عند مستوى معنویة العكسي المتغیرین في نفس االتجاه .

٦١١

:وعلى ذلك 2i

s 26 dr 1

n(n 1)6(26)1

15(225 1)1 0.046 0.954.

sr 0.5179 ق ي ملح دول ف ن الج تخرجة م ة ) ١٦(والمس توى معنوی د مس عن

n 15 , 0.0252 رفض ة ال sRمنطق 0.5179 أوsR 0.5179 ا أن . وبم

sr 0.954 0تقع في منطقة الرفض نرفضH.

معامل كندال

فإنھ لعینھ مختارة یصبح لدینا yو x إذا كان المتغیرین اللذین ندرس العالقة بینھما ھماiأزواج للمتغیرین نرمز لھا بالرمز i(x , y ).

ین jxو ix إنھا متوافقة إذا كان الفرق بینونقول عن األزواج رق ب jyو iyلھ نفس إشارة الفi :، أي أن j i jx x y y وi j i jx x y y

دال ة، ویعرف معامل كن وإذا كان الفرق لیس لھ نفس اإلشارة فإننا نقول أن األزواج غیر متوافقالرمز ھ ب ق ونرمز ل دم التواف ال ع ھ احتم ات مطروحا من Jبأنھ احتمال التوافق في أزواج البیان

.في العینة Jفي المجتمع وبالرمز :الشروط

.زوج من القیم التي یمكن وضعھا في صورة رتب nیجب أن تكون لدینا عینھ مكونھ من :الفروض

تقلین yو 0H :x لدینا ثالثة أنواع من الفروض وفیھا فرض العدم واحد وھو ویكون ) J=0(مس :الفرض البدیل

1

1

1

A H : J 0,

B H : J 0,

C H : J 0.

:إحصائي األختبار :ویمكن حسابھ كاآلتي Jإحصائي االختبار ھو معامل كندال للعینة

).أي تصاعدیا (ترتیبا طبیعیا xنرتب أزواج البیانات بالنسبة إلى یم ول y نقارن كل قیمھ من ق ا نق ي تلیھ ة الت ن القیم ل م ة أق ت القیم ا، وإذا كان ي تلیھ القیم الت إن ب

.لھا ترتیب طبیعي معكوس yوإذا كانت أكبر نقول أن قیملھا ترتیب طبیعي yقیما ترتیبP التي لھا ترتیب طبیعي ونسمیھ yنحسب عدد أزواج ي لھ طبیعي ، وعدد األزواج الت

.Qمعكوس

٦١٢

Pوبالتالي فإن احتمال التوافق ھوn(n 1)

2

Qواحتمال عدم التوافق ھو n(n 1)

2

وبتعریف

S كاآلتي :S P Q,

2Sˆ.J: فإن معامل كندال ھوn(n 1)

:قاعدة الحكم و n نستخرج القیمة الحرجة إلحصائي االختبار من الجدول الخاص بھ وذلك باستخدام

و nلالختبار من طرف واحد و 2 لالختبار من طرفین ونرمز للقیمة الحرجة بالرمز*J.

:ونتخذ القرار حسب الفرض كاآلتيرض ت Aللف دم إذا كان رض الع رفض ف Jن 0 و*J Jت J، أو إذا كان 0 و*J J

ت Bوللفرض دم إذا كان رض الع رفض ف Jن 0و*J Jل للفرض رض C ، وبالمث رفض ف نJالعدم إذا كانت 0 و*J J .

:في حالة وجود التداخالت .تصاعدیا للبیانات المتداخلة yنرتب قیم

النظر عن التي لھا ترتیب طبیعي والتي لھا ترتیب طبیعي معكوس بغض yنحسب عدد أزواج .المتداخلة xاألزواج المناظرة لقیم

التي yھي عدد قیم ytالتي بینھا تداخل في الرتب، و xھي عدد قیم المتغیر xt نفرض أن

:كاآلتي J بینھا تداخل في الرتب، ویكون تصحیح

x y

SJ ,0.5n(n 1) T 0.5n(n 1) T

x: حیث أن x xT 0.5 t (t 1) yو y y.T 0.5 t (t 1) وذلك فإننا نستخدم التقریب للتوزیع الطبیعي القیاسي (n> 40)عندما یكون حجم العینة كبیرا

: باستخدامˆ3J n(n 1)z .2(2n 5)

مثال

نفرض أن لدینا البیانات المعطاة في الجدول التالي والمطلوب اختبار فرض العدم والبدیل 0H: اآلتیین : J 0 1H : J 0 0.05، عند مستوى معنویة .

Y x y x y x

113 1.3 85 0.1 86 0.60

110 0.6 100 0.9 107 0.2

97 0.6 94 0.2 102 1.6

107 0.5 104 1.6 104 0.5

113 1.7 104 1.6 104 0.9

109 1.6 98 0 89 0.5

98 2.2 115 1.6 109 0.8

٦١٣

:الحــلا في ات كم ى البیان الي، حیث أن البیانات یوجد بھا تداخالت نقوم بإجراء الترتیب عل الجدول الت

.التي لھا ترتیب طبیعي والتي لھا ترتیب معكوسy نحسب عدد أزواج مث بعد الرتتيبx بعد الرتتيب y اليت هلا ترتيب طبيعيyجعدد أزوا اليت هلا ترتيب معكوسyجعدد أزوا

8 19 86 0 24 4 112 0 0 27 85 0.1 2 21 94 0.2

15 8 107 0.2 16 5 109 0.2 2 21 94 0.3 2 19 96 0.4 1 18 89 0.5. 7 9 104 0.5

11 8 107 0.5 0 16 86 0.6 1 15 97 0.6

12 4 110 0.6 3 10 101 0.8 8 4 109 0.8 8 4 109 0.8 2 9 100 0.9 3 6 104 0.9 0 10 96 1 6 1 113 1.3 4 4 106 1.5 1 2 102 1.6 1 2 104 1.6 1 2 104 1.6 1 2 109 1.6 3 0 115 1.6 1 0 113 1.7 1 0 113 1.8 0 0 98 2.2

٦١٤

Q=144 P=250 :ونجد أن

3x

2(1) 3(2) 3(2) 3(2)t (2) 2(1) 5(4)T 24,2

y2(1) 2(1) 2(1) 4(3) 2(1) 4(3) 3(2)T 19,

2

S P Q 250 144 106, :ووبالتالي إحصائي االختبار ھ

106J 0.26.15(29) 24 15(29) 19

nعند ) القیمة الجدولیة( 0.218القیمة المحسوبة أكبر من وبما أن 30 والمعطاه فى ملحق .الختبار ذى حدین 0.1فإننا نرفض العدم عند مستوى ) ٢٠( معامل كندال لالتفاق )٣-٧١-٠١(

في معاملي ارتباط سبیرمان و كندال ندرس العالقة بین متغیرین و لكن أحیانا و في الحیاة العامة تكون الحاجة ملحة للحدیث عن العالقة بین أكثر من متغیرین من خالل رتب كل

:بطریقتین متغیر، ویمكن الحصول على مجموعات الرتب ولكل مفردة من ھذه المفردات نحصل على رتب n أحیانا یكون لدینا عینات حجمھا .١

تصاعدیة بالنسبة لمتغیر آخر، فمثال لو كان لدینا عینة من خمسة طالب وأجرینا اختبار قدرات لھؤالء الطالب في أربعھ مقررات دراسیة وأعطینا رتبا لكل طالب حسب أجابتھ

:فیكون لدینا رقم الطالب 5 4 3 2 1 المجموع

الرتب رأسیة

).رتب كل طالب مستقلة عن اآلخر (

)1(المقرر

)2(المقرر

)3(المقرر

)4(المقرر

المجموع

أحیانا یكون لدینا عینة من خمسة طالب ولدینا ثالثة ممتحنین وأعطي لكل طالب امتحان و .٢ :ھذا الوضع یكون كاألتي. الطالب حسب إجاباتھم) وضع رتب (قام كل ممتحن بترتیب

رقم الطالب 5 4 3 2 1 المجموع

(1)الممتحن .الرتب أفقیة

)2(الممتحن

)3(الممتحن

المجموع

ة ي الحال ة أم ال،ف ب المختلف ین الرت ة ب اك عالق ة ھل ھن دفنا معرف في الموقفین السابقین یكون ھد ات ونری ة مجموع دینا ثالث ة ل ة الثانی ي الحال ب، وف ن الرت ات م ة مجموع دینا خمس ى ل األول

٦١٥

ث یجرى ك حی ى ذل ق یساعد عل دال للتواف ل كن ب أم ال،معام ین الرت ران ب اك اقت ل ھن ار ھ اختب :ار كاآلتياالختب

ن ي ) n(نفرض أن لدینا عینھ مكونھ م الطرق الموضحة ف ب ب م وضع الرت ردة وت ) ٢(أو )١(مفھ mفحصلنا على ل ترتیبی ى األق اس عل دة القی ات مجموعھ من الرتب ونفرض أن وح وأن البیان

.األصلیة موضوعھ في صورة رتب أو قابلھ لذلك :یكون لدینا الفرض اإلحصائي كاآلتي

).مستقلة(لیست مرتبطة mمجموعات الرتب وعددھا :فرض العدم .مرتبطة mمجموعات الرتب وعددھا :الفرض البدیل

ددھا ب وع ات الرت ظ إن مجموع ع ) m(نالح ام لجمی ق ت دم تواف ا ع ون فیھ ن أن یك ال یمك .األزواج

:كاآلتي یكون إحصائي االختبارو، iھو مجموع الرتب في المجموعة رقم iRنفرض أن 2 2 2

i2 2

12 R 3m n(n 1)w .m n(n 1)

وn وباستخدام القیمة الحرجة عند مستوى معنویة دنستخدم جدول خاص بھذا االختبار إلیجاm ونرفض فرض العدم إذا كانت قیمھ ،p الجدولیة أقل من.

-n(حریة إذا لم تكن القیم موجودة في الجدول فإننا نستخدم التقریب لتوزیع مربع كاي بدرجات :باستخدام العالقة) 1

2 m(n 1)w, حیح ن تص ة، ویمك یم المتداخل ة للق ب المتتالی ط الرت ى متوس داخالت یعط ود ت د وج ائي عن إحص

:بالتالي wاالختبار باستبدال المقام في 2 2 3m n(n 1) m (t t).

.عدد الرتب المتداخلة لرتبة غیر صفریة tحیث

)١٠٣-١٠(مثال

د كل ة المرض عن ب حال م ترتی ل خمسھ عشرة مریضا ت ة وتمث نفرض أن لدینا البیانات التالیو اء، والمطل ق عشرة أطب ن طری نھم ع ر بم ار ف توى ضاختب د مس ین عن دیل اآلتی دم والب الع

0.05 معنویة ضال فرق بین المرضى بالنسبة لحالة المر: فرض العدم. .یوجد فرق بین المرضى: الفرض البدیل

J I H G F E D C B A

5 3 4 2 8 7 1 6 10 9 1

1 4 5 3 8 6 2 7 9 10 2

7 2 3 4 10 5 1 6 8 9 3

1 5 2 7 3 10 8 6 9 4 4

4 2 5 3 8 7 1 6 9 10 5

5 2 4 3 8 7 1 6 10 9 6

3 8 5 10 2 9 4 1 7 6 7

1 4 6 3 8 5 2 7 9 10 8

4 2 5 3 7 8 1 6 10 9 9

1 3 4 7 9 10 5 2 6 8 10

7 2 3 4 10 5 1 6 8 9 11

2 3 5 4 8 7 1 6 10 9 12

5 3 4 2 8 9 10 7 6 1 13

4 2 5 3 7 8 1 6 10 9 14

٦١٦

:الحــلnنجد أن 10، m 15السابق انظر الجدول( ، ولحساب إحصائي االختبار نحسب اآلتي

):الصف األخیر 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2iR 118 124 88 47 104 106 63 64 52 59 75555,

:فیكون إحصائي االختبار ھو

2 2

2 212(75555) 3(15) 10(11)w 0.4036.

(15) 10(99)

n وألنھ في ھذه الحالة ال نستطیع استخدام الجدول الخاص بھذا االختبار الن 10 , m = 15 : التقریب لتوزیع مربع كاي وعلى ذلك نحسب فإننا نستخدم

2 15(10 1)(0.4036) 54.486. ومستوى ) 9=1-10(درجة حریةونجد أن القیمة الحرجة المستخرجة من جدول مربع كاي عند

0.05 معنویة وبذلك جدولیةأكبر من القیمة ال المحسوبةقیمة ال، أي أن 16.919ھي ، .نرفض فرض العدم ونقبل الفرض البدیل القائل بوجود فرق معنوي بین المرضى

:االنحدار الالمعلمى ) ١٨-١٠(

Parametric Regression –Non :التقدیر ) ١-١٨-١٠(

:زوج من القیم وبیاناتھا كاآلتي nنفترض أن لدینا عینة مكونة من i 1 2 2 n nx , y , x , y ,..., x , y

xونرید أن نستخدم ھذه البیانات فى توفیق أفضل خط إنحدار بین المتغیرین بفرض أن مستقال ، والعالقة بینھما عالقة خطیة ، یمكن تمثیل البیانات بالنموذج Yمتغیرا تابعا متغیرا

:التالى i c 1 i iy B B x e , i=1,2,...,n

ھو الخطأ ieوأن ) میل الخط(ھو معامل االنحدار 1Bھو الجزء المقطوع Bحیث أن معینة یمكن استخدام طریقة المربعات العشوائي فى االختبارات المعلمیة وتحت شروطا

:الصغرى إلیجاد معادلة أفضل وھيc 1y b b x

من الشروط الواجب استیفائھا عند تطبیق طریقة المربعات الصغرى ھو استقالق األخطاء ماال تتحقق ھذه الشروط وبالتالى ال . الخ... ا وأن یتبع توزیعھا المنحنى الطبیعى وتجانسھ غالبا

٦١٧

عن ذلك ھو طریقة المعلمیة یمكن یمكن إستخدام طریقة المربعات الصغرى واآلن تقدم بدیال : اجرائھا كاآلتي

نحصل على شكل األنتشار وذلك من فئھ المشاھدات )١( i ix , y , i = 1,2,...,n ثمالقیم الموجودة فى شكل األنتشار . xوترسم خط رأسي یمثل وسیط xنحسب وسیط

بحیث یكون عدد القیم علي أو یمینا والواقعھ علي الخط الذى یمثل الوسیط تزاح یسارا .یمین الخط الذي یمثل الخط الذى یمثل الوسیط یساوى عدد القیم التى على الیسار

یمین الخط الذى یمثل الوسیط نحسب وسیط لكل من قیم بالنسبة ألزواج القیم علي )٢(y , x وكذلك نحسب وسیط لقیمy , x علي یسار خط الوسیط وبذلك یكون لدینا

.واربعة وسیط للمجموعات علي یمین وعلي یسار خط الوسیط xالوسیط العام لكل قیم وكذلك النقطة علي یمین y , xنحدد النقطة علي یسار الخط الوسیط التى تمثل وسیط )٣(

فتحصل على أول y , xخط الوسیط التى تمثل وسیط تصل ھاتین النقطتین معا .وب تقریب للخط المطل

)٤( نحصل على االنحرافات الرأسیة للنقاط عن خط األنحدار فأذا كان وسیطھا مساویاھو أفضل خط ) ٣(للصفر فى كال المجموعتین یكون الخط الذى حصلنا علیھ في

الى أن تحقق ذلك الشرط أو نستخدم أى طریقة أنحدار ان لم یكن كذلك الخط رأسیا . (Iteration)ریاضیة لذلك مثل طریقة التكرارات

:المقدرة كاآلتي 1bبالجزء المقطوع من المحور الرأسي وتحدد 0bتحدد قیمة )٥(

1 21

1 2

y ybx x

2حیث أن 2 1 1(x y ) , (x y ) أن نقطتین على الخط المقدر: 2 2 1 1(x y ) , (x y )

)١٠٤-١٠(مثال

:الحــل :توفیق الخط بالخطوات التالیة یمكن

ثم 1.71فنجده یساوى (x)نرسم شكل األنتشار كما فى الشكل التالى ثم نحسب وسیط قیم )١(xنرسم خط رأسي عند النقطة 1.71 . نالحظ أن ھناك خمسة أزواج من القیم علي یمین

فى المثال وخمسة أزواج من القیم علي سیار Rخط الوسیط ھى التى رمزنا لھا بالرمز . Lخط الوسیط ورمزنا لھا بالرمز

:للقیم علي یمین الخط والقیم علي یسار الخط فنحدة كاآلتى y , xنحسب وسیط )٢( علي یسار الخط علي یمین الخط

x 0.44 0.79الوسیط لقیم y 1.29 2.10الوسیط لقیم

:نفرض أن لدینا البیانات التالیة 0.41 1.43 3.88 0.74 2,07 1.03 1.99 0.79 2.1 3.81 X 029 0.93 2.3 0.39 1.29 0.62 1.18 0.44 1.03 1.9 y R R L R L R L R L L

.وفق أفضل معادلة للخط المستقیم بطریقة المعلمیة

٦١٨

:على أول تقریب للخط المستقیم بالحصول علي قیمة المیل المقربة وھي نالحظ )٣(

1.29 0.44b 0.622.16 0.79

نالحظ أن الوسیط لآلنحرافات الراسیة على الخط الیساوى الصفر لكال المجموعتین تحرك )٤( .الخط حتى یتحقق ذلك الشرط فتحصل على الخط

y 0.0 0.5939x :طریقة المعلمیة أخرى للحصول على افضل خط أنحدار تتلخص في اآلتيیمكن استخدام

i 0 1 i iy B ,B x e , i = 1,2,...,n الشرط اآلتي xبحیث تحقق قیم xمستقلة والیوجد تداخالت فى قیم ieنفرض أن األخطاء

1 2 nx x ,... x معنى ذلك أن المتغیرx مستمرا مما سبق یكون لدینا أزواج القیم . متغیرا:

2 2 1 1 n y(x y ) , (x y )...(x , x ).