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1函數(functions)與模型(models)

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1.2 數學模型及常見的重要函數

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數學模型

數學模型是以數學的方式（例如使用函數或方程式）進行對真實世界現象的描述，如討論人口數目、對產品的需求、自由落體的速度、化學反應中化合物的濃度、個人壽命的期望值或者減少廢氣排放的花費。

建立數學模型，目的就是幫助我們了解這些現象，甚至可能可以對未來行為做出預測。

44

數學模型

下圖一描述了數學建模的歷程。

圖一

數學建模的過程

真實現象與問題

構造建模 數學模型解題、分析

結論應用、解釋

預測

反覆試驗

55

數學模型

當然，數學模型並不能完全精確地表現出我們想要探討的問題，通常多是理想化的情況。然而一個好的模型就是能夠經過簡化真實狀況，方便我們計算而最後得到精確度尚準的有用結論。

因此重要的是，數學模型能實現或逼近到如何的真實情況，最終仍需要交由自然世界來檢驗。

在這些模型當中我們發展出許多不同種的函數用以表現這個世界中的某些定律或者關係，在接下來的課程中我們將會討論這些函數的行為，以及跟它們相關的模型。

66

線性模型

77

線性模型

我們說 y是 x的線性函數 (linear function) ，表示 y對 x的函數圖形在座標平面上是一條直線。

利用點斜式我們可以直接將函數的式子寫下：

y = f(x) = mx + b

其中 m 為斜率， n 為 y 軸截距。

88

線性模型

線性函數的特徵便是成長的速率是固定的。

下圖二為線性函數 f(x) = 3x – 2 的圖，表格中列舉函數部分的值。

圖二

99

線性函數

注意到表格中所取樣的樣點， x 每增加 0.1 ， f(x) 的值便會增加 0.3。

因此 f(x)增加的速度是 x增加的三倍。所以我們也可以知道，

直線的斜率，也即是 f(x)對 x的變化率。

1010

範例一

(a)乾燥的空氣上升後會擴散並漸漸冷卻。假設地表溫度為攝氏二十度，距地表一公里高處的溫度為攝氏十度，假設溫度對高度的變化是線性模型，試寫下溫度 T (單位為度)

對高度 (單位為公里)的函數。

(b) 畫出上述函數的圖形，試問圖形的斜率之意義為何？

(c) 試以此模型，推測距地表 2.5 公里高處之溫度

1111

範例一 (a) / 解

由於我們假設溫度 T 對高度 h 的變化是線性模型，因此我們可寫下

T = mh + b

地表溫度為 20，因此

20 = m • 0 + b = b

計算得 b = 20 。

一公里高處溫度為 10，代入計算得

10 = m • 1 + 20

因此我們得到斜率 m = -10，並得到函數如下：

T = –10h + 20

1212

範例一 (b) / 解

函數圖如下圖三。

斜率為 m = –10C/km 也就是溫度對高度的變化率，高度每升高一公里，溫度降十度。

圖三

cont’d

1313

範例一 (c) / 解

利用同一個公式，在高度 2.5 公里處，計算溫度得

T = –10(2.5) + 20 = –5C

cont’d

1414

線性模型

建模時，若我們沒有實際的物理定律、法則可以應用，我們可以構造一個經驗模型 (empirical model) ，由所有收集到的資料做為基礎。

例如假設我們現在手上有一系列的資料點，此時我們就是想

尋找一條曲線通過這些資料點，而這條曲線便大致上表現這

些資料的行為、走向。

1515

多項式

1616

多項式

多項式函數是指如下這樣的函數

P(x) = anxn + an–1x

n–1 + . . . + a2x2 + a1x + a0

其中 n是非負整數，而 a0, a1, a2, . . ., an為常數，我們稱為多項式的各項係數 (coefficients) 。

在微積分課程裡，多項式的定義域大多是實數 。另外，若領導項係數 an 0 ，則 n 就稱為此多項式的度數(degree) 。

下列是一個度數為六次的多項式。

1717

多項式

一次的多項式，其形式為 P(x) = mx + b，其實就是我們上一節提到的線性函數。

二次多項式，其形為 P(x) = ax2 + bx + c，也是我們很常會

遇到的函數，通常稱為二次函數 (quadratic function)

同樣的三次多項式

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d a 0

也稱為三次函數 (cubic function)。

1818

多項式

二次函數的圖形是所謂的拋物線，可以透過平移 y = ax2得到。從下圖可以注意到，當 a > 0 時，拋物線的開口向上；反之當 a < 0 ，開口向下。

圖七

二次函數的圖形，拋物線

1919

多項式

下圖八分別刻劃的三次、四次、五次函數的圖形。

圖八

2020

範例四

今假設有一球自 CN塔的瞭望台 (離地 450公尺高) 落下，其離地高度 h紀錄如下表二。

試決定一模型滿足各項資料點並利用此模型推測此球落地之時間。

2121

範例四 / 解

我們從圖表的資料可以描出離散點圖如下。若我們想找出曲線通過這些資料點，會發現線性函數似乎不太合適。

圖九

球落下的點圖

2222

範例四 / 解

另一方面，資料點的趨勢比較像是落在一個拋物線上，因此

我們選擇使用二次函數模型。

利用電腦解方程式可以得到下列這個近似的二次曲線（電腦

大多採用最小平方法 least square method 逼近）

h = 449.36 + 0.96t – 4.90t2

cont’d

2323

範例四 /解

將前面解得的函數繪出，得到下圖十。可以看得出來圖形與資料點吻合的情況還不錯。

最後，我們想知道落地時間，於是便考慮解方程式

–4.90t2 + 0.96t + 449.36 = 0

Figure 10

Quadratic model for a falling ball

cont’d

2424

範例四 / 解

由二次方程式的公式解可得

其正根的近似值為 t 9.67 ，因此我們可以預測落地時間大

約是 9.67秒後左右。

cont’d

2525

冪函數

2626

冪函數

這種形式的函數 f(x) = xa，其中 a 為一常數，被稱為冪函數

(power function) 。我們考慮幾種情況：

(i) a = n 其中 n 為正整數

後面的圖十一為 f(x) = xn 其中 n = 1, 2, 3, 4, 5 的函數圖形。

其中 n = 1,2是我們最常見的直線 y = x跟拋物線 y = x2 。

2727

冪函數

f(x) = xn n = 1, 2, 3, 4, 5 的圖形

圖十一

2828

冪函數

正整數次數的冪函數，其圖形大致上跟其次數 n 的奇偶性有

關。

若 n為偶數，則 f(x) = xn為偶函數，其圖形與拋物線 y = x2

相似；

若 n為奇數，則 f(x) = xn為奇函數，其圖形與拋物線 y = x3

相似。

2929

冪函數

從下圖十二我們可以觀察到，當次數 n 增加，在 0的附近更平，而當 |x | 1時更陡。

冪函數家族

圖十二

3030

冪函數

(ii) a = 1/n 當 n為正整數

給定這樣的函數 我們稱為根式函數 (root

function) 。例如 n = 2時，我們有平方根函數 (square root

function) 其定義域為 [0, )，函數圖形即為 y =

x2的上半部分。

圖十三 (a)

平方根函數的圖

3131

冪函數

對偶數次的 n， n 次方根函數 其圖形大致上類似於

平方根函數

當 n = 3時，我們有立方根函數(cubic root function)

然而跟平方根不一樣的是，其定義域為整個實數 ，由於每

個實數都存在一個立方根。立方根函數圖形如下。對其他

其中 n 為奇數 (n > 3) 其圖形基本上類似

立方根函數圖

圖十三 (b)

3232

冪函數

(iii) a = –1

倒數函數 (reciprocal function) f(x) = x–1 = 1/x的圖形如下。其圖形滿足方程式 y = 1/x或者另一種形式 xy = 1 。事實上這個圖形是以 x, y兩軸為漸近線的雙曲線。

倒數函數

圖十四

3333

冪函數

我們常可以在物理或者化學中見到倒數函數，例如波以耳定律 (Boyle’s Law) 當溫度固定時，氣體的體積 V 與壓力 P 成反比，式子如下

其中 C為一常數。

V 對 P的函數圖形如右，由於我們只考慮正值，此圖形也就是類似前述雙曲線的右半部分。

Figure 15

Volume as a function of pressure

at constant temperature

3434

有理函數

3535

有理函數

有理函數 (rational function) 為可以表示成兩個多項式相除的函數，形式如下

其中 P, Q 分別為多項式。其定義域為所有 Q(x) 0的數。

最簡單的有理函數例子即為前述的倒數函數，其定義域為 {x | x 0 } 。

倒數函數

圖十四

3636

有理函數

再看一個例子，給定函數

此 f(x) 之定義域為 {x |x 2} 。其函數圖形如下圖十六：

圖十六

3737

代數函數

3838

代數函數

除了有理函數之外，我們更近一步考慮開根號。我們稱函數 f 為代數函數 (algebraic function)，表示他是由四則運算及開根號所組成。

以下是幾個例子：

3939

代數函數

代數函數的圖形有非常多種類，下圖十七列出其中的幾種可能。

圖十七

4040

代數函數

代數函數的一個經典例子來自於狹義相對論。靜質量為 m0以速度 v運動的物體，其質量隨著運動速度變化的公式為

其中 c 為真空中的光速 3.0 x 105 km/s 。

4141

三角函數

4242

三角函數

以下我們角度的單位一律使用弧度 (radian measure) ，即單位圓上該角度所對映到的圓弧長度。

例如 f(x) = sin x ，其中 sin x 表示弧度 x 的正弦值，

4343

三角函數

以下為正弦 (sine)與餘弦函數 (cosine) 的圖形。

圖十八

(b) g(x) = cos x

(a) ƒ(x) = sin x

4444

三角函數

從圖上我們可以觀察 sin 與 cos 函數的定義域為整個實數( , ) ，其值域為閉區間 [-1,1] 。

因此對所有實數 x，我們有

或者以絕對值函數表示可以寫成

|sin x| 1 |cos x| 1

4545

三角函數

我們還可以觀察到 sine 函數的零點都在 的整數倍：

sin x = 0 對於 x = n, n 為整數

另外 sine 與 cosine還有一個重要的性質 ---週期性，他們的週期都是 2。

也就是說，對任意的 x，均有

4646

三角函數

正切函數(tangent function) 是 sine與 cosine函數的比值。

其函數圖形如右。

從定義可以注意到， tan 函數在

cos 函數的零點沒有定義，也就

是當 x = /2, 3 /2, . . . .

另外其值域為 ( , ).

Figure 19

y = tan x

4747

三角函數

跟 sin, cos函數比較不一樣的是， tan 函數的週期為 ：

即對任意 x ，有

tan(x + ) = tan x

最後剩下的三個三角函數餘切 (cotangent)、正割(secant)、

餘割(cosecant) ，分別為 tan, cos 以及 sin 函數的倒數。

4848

指數函數

4949

形如此者的函數 f (x) = ax，其中 a > 0 ，我們稱之為指數函數 (exponential function) 。

下圖兩個函數圖形分別為 y = 2x and y = (0.5)x。兩者的定義域均為 ( , ) ，而其值域為 (0, ).

指數函數

圖二十

(a) y = 2x (b) y = (o.5)x

5050

指數函數

指數函數是自然環境中非常常見的函數，

例如生物族群的數目是指數成長的： ax , a > 1 ；或者放射性元素的濃度會以指數衰減： ax , a < 1 。

5151

對數函數

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對數函數

對數函數 (logarithmic functions) 我們以 f(x) = logax表示，其中底數 a 為一正值的常數。對數函數的一種定義，我們可以定成指數函數的反函數。右圖二十一中，畫出了幾個不同底數的對數函數圖形。

從圖形中觀察知，對數的定義域為(0, ) ，其值域為 ( , )

另外對數函數為遞增函數，在過了 x = 1 之後其成長開始趨緩。

Figure 21

5353

範例五

區分並討論下列各函數。

(a) f(x) = 5x

(b) g(x) = x5

(c)

(d) u(t) = 1 – t + 5t4

5454

範例五 / 解

(a) f(x) = 5x是指數函數，其中 x為指數。

(b) g(x) = x5為冪函數，其中 x 為底數。或者可以看成 5次的多項式函數。

(c) 為代數函數。

(d) u(t) = 1 – t + 5t4是一個四次多項式。