หน วยการเรีู ที่ยนร...

Retrieved from Digital Repository at Srinakharinwirot University http://kids-d.swu.ac.th

หนวยการเรยนรท 5

พนฐานทางเรขาคณต

ผลการเรยนรทคาดหวง บอกสงตางๆ ทเปนพนฐานทางเรขาคณตได 1.

สรางสวนของเสนตรงใหยาวเทากบสวนของเสนตรงทกาหนดใหได 2.

A

B

B A

พนฐานทางเรขาคณต

สงตางๆ ทอยรอบตวเราไมวาจะเปนอาคาร บานเรอน โรงเรยน ถนนหนทาง เครองมอเครองใช

ตางๆ จะเกยวของกบรปเรขาคณตทงสน ซงเนอหาเรขาคณตในวชาคณตศาสตรคาทใชทเปนพนฐาน โดย

ไมใหนยามหรอคาจากดความ ไดแก จด เสน เสนตรง ระนาบ โดยใชจดสาหรบบอกตาแหนง ไมมความ

กวางและความยาว เสนตรงมความยาวไมจากดและไมมความกวาง เราจะใชคาพนฐานเหลานมาใหคา

จากดความหรอบทนยาม คาวา สวนของเสนตรง รงสและมม และจะใชสญลกษณแทนจด เสนตรง สวน

ของเสนตรง รงสและมม

5.1 จด เสนตรง รงส มม

5.1.1) จดและเสนตรง จด ใชบอกตาแหนง ไมมความกวาง ความยาว นยมใชอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญ

เรยกชอจดทกลาวถง เชน จด A และ จด B ใชสญลกษณตอไปนแทน

แทน จด A

แทน จด B

เสนตรง มความยาวไมจากด และไมมความกวาง เชน

เสนตรงทผานจด A และจด B เรยกวาเสนตรง AB เขยนแทนดวย ดงรป AB

สญลกษณของเสนตรง จะมหวลกศรทงสองขาง แสดงวาเสนตรงมความยาวไมจากด เรา

สามารถตอเสนตรงออกไปตามทศทางของหวลกศรทงสองขางโดยไมมทสนสด


คณตศาสตรระดบมธยมศกษาปท 1

-133-

แบบฝกหดท 1

ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน ขอ 1. ใหนกเรยนกาหนดจด 1 จด บนระนาบ แลวทดลองลากเสนตรงผานจดนน จะสามารถลากเสนตรง

ไดกเสน

กาหนดจด 1 จด บนระนาบ จะลากเสนตรงใหผานจดได ......................... เสน

ขอ 2. ใหนกเรยนกาหนดจด 2 จด บนระนาบ แลวทดลองลากเสนตรงใหผานสองจดนน จะสามารถ

ลากเสนตรงไดกเสน

......................................................................................................................................

ขอ 3. ใหนกเรยนลากเสนตรง 2 เสน ใหตดกน เสนทงสองจะตดกนกจด

..........................................................................................................................................................

สรป

สรป

สรป



-134-

ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน ขอ 1. จงพจารณารปตอไปน แลวตอบคาถามขางลาง

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

13) 14) 15)

16)

17) 18) 19) 20)


1) รปทเปนสวนของเสนตรง ไดแก รปท ......................................................................... 2) รปทเปนรงส ไดแก รปท ...........................................................................................

3) รปทเปนมม ไดแก รปท ............................................................................................

4) รปทเปนเสนตรง ไดแก รปท .....................................................................................



-135-

5.1.2) สวนของเสนตรง

สวนของเสนตรงทมจดปลายทจด A และจด B เขยนแทนดวย AB

อานวา สวนของเสนตรง AB หรออาจเรยกสวนของเสนตรง BA เขยนแทนดวย BA

CD เปนสวนของเสนตรง CD

EF เปนสวนของเสนตรง EF

GH เปนสวนของเสนตรง GH

ความยาวของสวนของเสนตรง

ความยาวของสวนของเสนตรง AB จะแทนดวย ) หรอ AB มาจากคาวา

measure of ซงหมายถง ความยาวของสวนของเสนตรง AB เชน ยาว 5 เซนตเมตร จะ

เขยนแทนดวย m = 5 ซม. หรอ AB = 5 ซม.

(ABm ( )ABm

AB AB

( )AB

จะเหนวา ไมใชจานวน สวน เปนจานวนซงสามารถนามาบวก ลบ คณและหาร

กนได ดงนน เมอนาความยาวของ และ มาบวกกน จะเขยนแทนดวย หรอ

AB + CD แตไมเขยนวา + CD

AB ( )ABm

AB CD ( ) ( )CDm+ABm

AB

H

G

F

E

D C

B

A

นยาม สวนของเสนตรง คอ สวนใดสวนหนงของ

เสนตรงทมจดปลายสองจด ดงแสดงดวยรปตอไปน

ขอสงเกต 1) เมอกาหนดจดสองจดบนระนาบใดๆ จะไดวา บรรดาสวนของเสนทงหลายท

เชอมตอจดทงสองน สวนของเสนทเปนเสนตรงจะเปนเสนทสนทสด

2) สวนของเสนตรงเสนหนงมจดปลาย 2 ขาง ทาใหมความยาวจากดสามารถวด

ความยาวได



-136-

ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน จากจดเรมตนจดใดจดหนง จงลากเสนไปตามแนวสวนของเสนตรง เชอมจดท เหลอให

ตอเนองกนไป โดยไมยกปากกาหรอดนสอ และจดสองจดใดๆ ใหลากผานไดเพยงครงเดยวเทานน




-137-

5.1.3) รงส

B B

A A

รงสทมจดปลายทจด A และผานจด B จะเขยนแทนดวย หรอ AB BA

รงสทมจดปลายทจด B และผานจด B จะเขยนแทนดวย BA หรอ AB

นยาม รงส คอ สวนหนงของเสนตรงทมจดปลาย

เพยงจดเดยวเปนจดเรมตนในการเขยนรงส

ขอสงเกต

1) กบ B ไมใชรงสเดยวกน เพราะจดปลายเปนคนละจดกน AB A

AB

5.1.4) มม

A

เชน R

เขยนสญลกษณแทน มมรป (ก) ดวย C หรอ ∠ อานวา มม ABC ม B และ BC เปน

แขนของมม และ B เปนจดยอดของมม

BA ABC A

รป (ข) เขยนแทนมมดวย หรอ ∠ อานวา มม DEF ม ED และ เปนแขนของมม

และ E เปนจดยอดของมม

FED DEF EF

RQP PQR รป (ค) เขยนแทนมมดวย หรอ ∠ อานวา มม PQR ม QP และ QR เปนแขนของ

มม และ B เปนจดยอดของมม

(ค) (ข)

B P Q

นยาม มม คอ รงสสองเสนทมจดปลายเปนจดเดยวกน

เรยกรงสสองเสนนวา แขนของมม และเรยกจดปลายท

อยในจดเดยวกนนนวา จดยอดมม



-138-

ขอสงเกต ในทางปฏบตเราอาจจะใชสวนของเสนตรงเขยนแทนรงสกได ดงรป มมABC และ มมDEF

ใช แทน

C

A

B

ใช แทน

D F

E

ขนาดของมม เรานยมใชสญลกษณ หรอ แทนขนาดของมมABC เชน มม

ABC กาง 30 องศา เราจะเขยน m = 30°

( )CBAm ( )ABCm∠( )CBA

จะพบวา ถาเสนตรง AB ตดกบเสนตรง CD ทจด E

แลว m = m ( )DEA ( )BECA

และ = m ( )( )CEAm BED

เรยก เปนมมตรงขามกบ DEA BECC และ เปนมมตรงขามกบ D CE BEAB

ขอสงเกต

ชนดของมม



-139-

ผลการเรยนรทคาดหวง 1. สรางรปสามเหลยม เมอกาหนดสวนของเสนตรงใหได

2. สรางรปสเหลยม เมอกาหนดสวนของเสนตรงใหได

3. แบงครงสวนของเสนตรงทกาหนดใหได

4. สรางมมใหเทากบมมทกาหนดสวนของเสนตรงใหได

5. แบงครงมมทกาหนดใหได 5.2 สวนของเสนตรงและความยาวของสวนของเสนตรง

เมอเรามความจาเปนตองเขยนเสน , มม , รปสามเหลยม , รปสเหลยม และรปเหลยมอนๆ การเขยน

รปเหลาน บางครงเราตองการเขยนรปใหเหมอนกบรปในหนงสออนๆ ถากระดาษบางพอ เราอาจใชวธวาง

ทาบบนแบบแลวลอกตามแบบ ถาจะเขยนรปบนกระดาษหนาหรออนๆ เราอาจเขยนรปโดยไมใชการวด

แตจะใชเฉพาะวงเวยน และวสดทมสนตรง เชน ไมบรรทด เพอเขยนสวนของเสนตรงและรงสสวนวงเวยน

นนใชสาหรบกะระยะตางๆ เรยกวธการสรางรปโดยอาศยวงเวยนและวสดทมสนตรงวา “ การสราง ”

5.2.1) การสรางสวนของเสนตรงใหยาวเทากบความยาวของสวนของเสนตรงทกาหนดให ตวอยางท 1 กาหนด ใหดงรป จงสราง ใหยาวเทากบ AB XY AB

A

Y

วธสราง 1) ลาก ใหยาวกวา XZ AB

2) ให X เปนจดศนยกลางรศมเทากบ AB เขยนสวนโคงตด ทจด Y จะได ยาว

เทากบ

XZ XY

AB

ใหนกเรยนทดสอบวา และ ยาวเทากนหรอไม โดยใชกระดาษลอกลาย หรอใชวสดทมสนตรง

ทาบ ขดความยาวของ แลวยกไปทาบ

AB XY

XY AB XY



-140-

ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน ขอ 1. กาหนด ใหดงรป AB

A B

จงสราง CD ให CD ยาวเทากบ A B

วธสราง

1.1.....................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

1.2.....................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

ขอ 2. กาหนด a , b และ c แทนความยาวของสวนของเสนตรง 3 เสน ดงรป

a b c

จงสรางรปสามเหลยม ABC ใหมดานทงสามยาวเทากบ a , b และ c ตามลาดบ

วธสราง 1)..................................................................................................

2) .................................................................................................

3) .................................................................................................

4) .................................................................................................

5)...................................................................................................

6) ..................................................................................................



-141-

ขอ 3. กาหนดให a , b , c และ d แทนความยาวสวนของเสนตรง 4 เสน ดงรป

d

จงสรางรปสเหลยม ABCD ใหมดานทงสยาวเทากบ a , b , c และ d ตามลาดบ

วธสราง 1) ...................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................



-142-

5.2.2) การแบงครงสวนของเสนตรง การแบงครงสวนของเสนตรงทกาหนดให หรอการหาจดกงกลางของสวนของเสนตรงทกาหนดให

ตวอยางท 2 กาหนดให ดงรป จงแบง AB

B

วธสราง 1) ใช A และ B เปนจดศนยกลางรศมเทากน และยาวเกนครงของ เลกนอย AB

เขยนสวนโคงตดกนทจด M และ N

2) ลาก MN ตด AB ทจด O

จะได O เปนจดแบง ออกเปน 2 สวน เทา ๆ กน คอ AO = OB AB

หรอ จะไดวา O เปนจดกงกลางของ ทาให AO = OB AB



-143-

ใหนกเรยนตอบคาถามตอไปน

5) ..............................................................................................

G H

จงแบง GH ออกเปน 8 สวน เทาๆ กน โดยการสราง 2)

M N

วธสราง 1) ..............................................................................................

2) ..............................................................................................

3) ..............................................................................................

4) ..............................................................................................

5) ..............................................................................................

จงแบง MN ออกเปน 4 สวน เทาๆ กน โดยการสราง 1)



-144-

5.3 มมและการสรางมม การสรางมมใหมขนาดเทากบขนาดของมมทกาหนดให สามารถสรางขนมาได โดยการใช

อปกรณเรขาคณตอยางงายๆ ไดแก วงเวยนและวสดทมสนตรง

ตวอยางท 3 กาหนด จงสราง C ให m ( ) ( )ZYX B m=CB ZYA A X

สงทโจทยกาหนดให ZYX

ว

ธสราง 1) ลาก BC

2) ใช Y เปนจดศนยกลาง รศมยาวพอสมควร เขยนสวนโคงตด YX และ YZ ทจด M

และ N

3) ใช B เปนจดศนยกลาง รศมเทากบ YM เขยนสวนโคงไวและตด BC ทจด O

4) ใช O เปนจดศนยกลาง รศมเทากบ MN เขยนสวนโคงตดโคงเดมทจด P

5) ลาก BA ผานจด P

ดงนน จะได m ( ) ( )ZYXm=CBA

O

P

C

X

M

B N Z Y



-145-

ผลการเรยนรทคาดหวง 1. สรางมมชนดตางๆ ทกาหนดใหได 2. เขยนวธการสรางมมชนดตางๆ ทกาหนดใหได

5.4 การแบงครงมม

เมอมมมมมหนงซงไมทราบวากางกองศา เราตองการแบงครงมมนน เราอาจจะใชวงเวยนและ

วสดทมสนตรง ทาการแบงครงมมไดโดยวธงายๆ ดงตวอยาง

ตวอยางท 4 จงแบง T ทกาหนดให ออกเปน 2 สวน เทา ๆ กน AC

สงทโจทยกาหนดให C TA

วธสราง 1) ใช A เปนจดศนยกลาง รศมยาวพอควร เขยนสวนโคงตด และ ทจด M และ

N

AC AT

2) ใช M และ N เปนจดศนยกลาง รศมยาวพอสมควร เขยนสวนโคงตดกนทจด O ลาก

AOดงนน จะได แบง T ออกเปน 2 สวน เทา ๆ กน คอ AO AC ( ) ( )TAOm=OACm



-146-



CBA ZYX

X

Y Z

วธสราง 1) ......................................................................................................

2) ......................................................................................................

3) ......................................................................................................

4) ......................................................................................................

5) ......................................................................................................

2) จงสราง ใหมขนาดเทากบ ทกาหนดให CBA ZYX

X

Y Z

วธสราง 1) .....................................................................................................

2) .....................................................................................................

3) .....................................................................................................

4) .....................................................................................................

5) .....................................................................................................



-147-

3) จงแบงมม MNO ทกาหนดใหเปน 4 สวน เทาๆ กน M

N O

วธสราง 1) ......................................................................................................

2) ......................................................................................................

3) ......................................................................................................

4) ......................................................................................................

5) ......................................................................................................

6) ......................................................................................................

4) จงแบงมมABC ทกาหนดใหเปน 8 สวน เทาๆ กน

A

C

B

วธสราง 1) .....................................................................................................

2) .....................................................................................................

3) .....................................................................................................

4) .....................................................................................................

5) .....................................................................................................

6) .....................................................................................................

7) .....................................................................................................

8) .....................................................................................................



-148-

5.5 การสรางมมทมขนาด 60 องศา ตวอยางท 5 จงสราง J °60=NA

Y X

Z

XZ XY

AP

AQ PQ

P

N

J

วธสราง 1) ลาก AJ

2) ใช A เปนจดศนยกลาง รศมยาวพอสมควร เขยนสวนโคงตด AJ ทจด P

3) ใช P เปนจดศนยกลาง รศมเทากบ AP เขยนสวนโคงตดโคงเดมทจด Q

4) ลาก AN ผานจด Q

จะได m ( )AJ °60=N

ขอคด นกเรยนคดวาเราจะมวธอนๆ นอกจากตวอยางนแลวในการสรางมม 60 องศา

ไดหรอไม



-149-



1) ใหนกเรยนสรางมมขนาดเทากบ 30 องศา โดยใชวงเวยน

วธสราง 1) ..........................................................................................................

2) ..........................................................................................................

3) ..........................................................................................................

4) ..........................................................................................................

5) ..........................................................................................................

6) ..........................................................................................................

2) ใหนกเรยนสรางมมขนาดเทากบ 120 องศา โดยใชวงเวยนและสนตรง

วธสราง 1) .........................................................................................................

2) .........................................................................................................

3) .........................................................................................................

4) .........................................................................................................

5) .........................................................................................................

6) .........................................................................................................



-150-

5.6 การสรางมมทมขนาด 90 องศา ตวอยางท 6 จงสราง °P หรอ จงสรางมมฉาก PQR 90=RQ

วธสราง 1) ลาก PX และกาหนดจด Q บน PX

2) ใช Q เปนจดศนยกลางเขยนสวนโคงตด PX ทจด M และ N

3) ใช M และ N เปนจดศนยกลาง รศมยาวพอสมควร เขยนสวนโคงตดกนท จด R

4) ลาก QR

ดงนน จะได °P หรอ ไดมมฉาก PQR 90=RQ

P Q M N X

หมายเหต มมตรงหรอมมทมขนาด 180° คอ มมทประกอบดวยมมฉาก 2 มม คอ มม

PQX เปนมมตรง



-151-



5.7 การสรางเสนตงฉาก

วธสราง 1) .........................................................................................................

2) .........................................................................................................

3) .........................................................................................................

4) .........................................................................................................

5) .........................................................................................................

6) .........................................................................................................

3) ..........................................................................................................

4) ..........................................................................................................

5) ..........................................................................................................

2) จงสรางมมทมขนาดเทากบ 270 องศา โดยใชวงเวยนและสนตรง

แนวคด ใชความรเรอง การสรางมมฉาก และการสรางมมทเทากบมมทกาหนดให

วธสราง 1) ..........................................................................................................

จงสรางมมทมขนาดเทากบ 45 องศา โดยใชวงเวยนและสนตรง

แนวคด ใชความรเรอง การสรางมมฉาก การแบงครงมม

1)



-152-

5.7.1) การสรางเสนตงฉากจากจดภายนอกมายงเสนตรงทกาหนดให ตวอยางท 7 จงสรางเสนตงฉากจากจด O ซงอยภายนอกเสนตรง AB มายง AB

สงทโจทยกาหนดให และจด O ภายนอก AB AB

รปท 1 รปท 2

X M M B B A A P

O

วธสราง 1) ใช O เปนจดศนยกลาง รศมยาวมากกวาระยะจากจด O มายงเสนตรงAB เขยนสวน

โคงตด ทจด X และ Y ( หรอ รปท 2 เขยนสวนโคงตด ทตอออกไปถง P ท

จด X และ Y )

AB AB

2) ใช X และ Y เปนจดศนยกลาง รศมยาวพอสมควร เขยนสวนโคงตดกนทจด Q

3) ลาก OQ ตด AB และ AP ทจด M

ดงนน จะได OM เปนเสนตงฉากทลากจากจด O มายง AB

5.7.2) การสรางเสนตงฉากทจดๆ หนงบนสวนของเสนตรงทกาหนดให

กคอ การสรางมมฉาก หรอ มมทมขนาด 90 องศา นนเอง



-153-

แบบฝกทกษะเพมเตม 1

วธสราง 1) .........................................................................................................

2) .........................................................................................................

3) …………………………………………………………………………….

วธสราง 1) .........................................................................................................

2) ........................................................................................................

3) ........................................................................................................

4) ........................................................................................................

จงสรางรปสามเหลยมดานเทา ABC

a b

a



-154-

d c

3) ให a , b และ c แทนความยาวของสวนของเสนตรงทกาหนดให

จงสรางรปสามเหลยมใหดานทงสามยาว a , b และ c

วธสราง 1) .........................................................................................................

2) ........................................................................................................

3) ........................................................................................................

4) ........................................................................................................

5) ........................................................................................................

4) ให a , b , c และ d แทนความยาวของสวนของเสนตรงทกาหนดให

จงสรางรปสเหลยมใหดานทงสยาว a , b , c และ d

a b

a

c

b

วธสราง 1) .........................................................................................................

2) .........................................................................................................

3) …………………………………………………………………………….

4) …………………………………………………………………………….

5) …………………………………………………………………………….

6) …………………………………………………………………………….



-155-


1) จากรปทกาหนดให จงสรางเสนแบงครง และ

มมทเกดจากเสนแบงครงมมทงสองมขนาดเทาใด

จงอธบาย

วธสราง 1) .........................................................................................................

2) ......................................... ...............................................................

3) ........................................................................................................

4) ........................................................................................................

5) ........................................................................................................

มมทเกดจากเสนแบงครงมมทงสองมขนาดเทากบ ................................

2) กาหนดให a แทนความยาวของสวนของเสนตรง และ b

เปนมมทกาหนดให จงสรางรปสามเหลยม ABC โดยให

ฐาน AB ยาวเทากบ a และให

b=ABC=BAC รปสามเหลยมทไดเปนรปสามเหลยม

ชนดใด

วธสราง 1) ........................................................................................................

2) ........................................................................................................

3) ........................................................................................................

4) ........................................................................................................

5) ……………………………………………………………………………

6) ……………………………………………………………………………

รปสามเหลยมทไดเปนรปสามเหลยม ...................................................

A B

b

สรป

สรป

C

D

a

CBA CBD



-156-

แบบฝกทกษะท 2 (ตอ)

a 3) จงสรางรปสเหลยมรปวาว ABCD ให ยาว

เทากบ a ยาวเทากบ b และ ยาว

เทากบ c

AC

AB CB

วธสราง 1) ..........................................................................................................

2) .........................................................................................................

3) .........................................................................................................

4) .........................................................................................................

5) .........................................................................................................

4) กาหนดให a แทนความยาวของสวนของเสนตรง

จงสรางรปสามเหลยม ABC โดยให ฐาน AB ยาว

เทากบ a และให ONM=BC , ZX=AA YBC

วธสราง 1) .........................................................................................................

2) .........................................................................................................

3) .........................................................................................................

4) .........................................................................................................

5) .........................................................................................................

6) .........................................................................................................

b

c

M

N O

X

Y Z



-157-

5) จงสรางมม ๆ หนงใหมขนาดเปนสองเทาของขนาดของ C ทกาหนดให BA

วธสราง 1) ..........................................................................................................

2) .........................................................................................................

3) .........................................................................................................

4) .........................................................................................................

5) .........................................................................................................

6) จงสรางมมๆ หนงใหมขนาดเปนสามเทาของขนาดของ C ทกาหนดให BA

วธสราง 1) .......................................................................................................

2) ........................................................................................................

3) ........................................................................................................

4) ........................................................................................................

5) ........................................................................................................

6) ........................................................................................................

7) ........................................................................................................

8) ........................................................................................................

A

B

A

C

B C



-158-


1) สรางมม TOP ทมขนาด 60° 2) สรางมม AOM ทมขนาด 120°

3) สราง ทมขนาด 30° 4) สราง ทมขนาด 45° ˆBEN ˆKIT

5) สรางมม LEK ทมขนาด 15° 6) สรางมม HAM ทมขนาด 22.5°

7) สราง AU ทมขนาด 150° 8) สราง YOT ทมขนาด 240° ˆ M ˆ

9) สรางมม SAN ทมขนาด 270° 10) สรางมม NED ทมขนาด 300°



-159-

11) สราง WA ทมขนาด 135° 12) สราง TI ทมขนาด 292.5° ˆ S ˆK

ˆ ˆ

13) สรางมม MAY ทมขนาด 105° 14) สรางมม OIL ทมขนาด 75°

15) สราง GEM ทมขนาด 225° 16) สราง CHU ทมขนาด 165°

17) สรางมม PUN ทมขนาด 247.5° 18) สรางมม SOI ทมขนาด 330°

หน วยการเรีู ที่ยนร...

Documents