1. Функции пределы...

Материал для лекций по высшей математике

для ГФ 1 курс, 2011 год.

Лектор Лисеев И.А., кафедра высшей математики МИИГАиК. (261-92-40 каф) (254-02-03 дом)

Высшая математика

Для студентов геодезического факультета 1 курса. Осень 2011 год. Лектор Лисеев И.А.

Приведены списки вопросов первого теоретического контроля Полный список (сразу после оглавления) и список вопросов нулевого уровня (в конце файла).

Раздел 1 . Функции, пределы, непрерывность

Глава 1 . Множества, числа, функции

Это "описательная" глава. Здесь вводятся в рассмотрение разные математические понятия,

даются определения. В этой главе у нас будет только два или три простых доказательства.

Учебники. Уважаемые студенты, при подготовке к теоретическим контролям и к экзамену вы можете

использовать учебники по математике. Рекомендую смотреть такие учебники …

1) Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.

2) Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.

3) Шипачѐв В.С. Высшая математика.

Конечно, вы можете искать ответы на возникающие у вас вопросы и в других учебниках, спра-

вочниках, а также в интернете. Есть хорошие сайты …

Задачники ...

Хорошо использовать такие задачники, в которых приводятся сведения из теории, и в ко-

торых даются решения типовых задач. Например, …

1) Данко П.Е. и др. … Высшая математика в упражнениях и задачах. Пока нужна часть 1.

2) Под редакцией Демидовича Б.П.. Для ВТУЗов. Задачи и упражнения по математиче-

скому анализу.

3) Каплан И.А. и др. … Практикум по высшей математике. Для начала нужен том 1.

4) Вдовин А.Ю. и др. Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории. 2008г.

5) Журбенко Л.Н. и др. Математика в примерах и задачах. Для бакалавров. 2009 г.

= = = = = = = =

Р а с п е ч а т а н о

1 2 о к т я б р я 2 0 1 1 г о д а

П о с л е д н е е р е д а к т и р о в а н и е

1 2 о к т я б р я 2 0 1 1 г о д а

Студент-геодезист должен иметь инженерный калькулятор.

Калькулятор студенту-геодезисту нужен так же, как и мо-

бильный телефон.

2

В первом семестре будет вот что … (18 недель. 2 часа лекций и 2 часа практических в неделю).

+ 2 часа в неделю, так называемых дополнительных занятий.

В конце семестра – официальный зачѐт, а в сессию – экзамен.

Последняя неделя семестра – "зачѐтная" неделя.

Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность.

Глава 1. Множества, числа, функции.

Глава 2. Понятие предела.

Глава 3. Теоремы о пределах.

Глава 4. Непрерывность и разрывы функций.

Раздел 2.Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Глава 1. Дифференцируемые функции.

Глава 2. Формула Тейлора.

Глава 3. Исследование функций.

Раздел 3. Интегральное исчисление функций одной переменной.

Глава 1. Первообразные функции и их нахождение.

Глава 2. Определѐнный интеграл.

Глава 3. Несобственные интегралы.

Глава 4. Приложения интегралов. = = = = = = = = = =

Характер изложения материала.

1. При изучении математики мы с вами не будем преследовать цель последовательного введения

новых понятий и последовательного вывода (всех) теорем курса математики. Такое изложение надо смот-

реть в солидных (серьѐзных) учебниках по высшей математике.

Мы будем предполагать, что вы всѐ же учились в школе и что-то знаете из математики. Наше изло-

жение будет ближе к популярному, чем к строгому. А где-то изложение будет похоже на справочное. Но в

каких-то местах будет продемонстрирован и последовательный вывод результатов.

Далеко не все утверждения мы будем доказывать. И сами доказательства часто будут упрощѐнные.

Наша цель не построение математики, а лишь изложение еѐ результатов.

2. Характер и манера изложения, которые у меня получаются, заметно отличаются от общепри-

нятых в учебной литературе. Происходит это по следующей причине.

Я стараюсь, чтобы этот материал смогли понять, чтобы смогли во всѐм разобраться, как можно

большее число студентов. Отсюда длинные объяснения и даже некоторые повторы (но повторение – мать

учения). Я стараюсь объяснить материал читателю.

В то же время во многих местах даются и достаточно краткие и чѐткие формулировки, которые

предназначены для запоминания-зазубривания.

Уважаемые студенты, вы различайте …

Допустим, в каком-то месте подробно, многословно что-то описывается – это для того, чтобы сту-

дент всѐ понял. И если дальше не приведена краткая, чѐткая фраза для запоминания, то студенту следует

самому еѐ для себя составить и заучить. 8. Конечно, есть путь организации изложения с сохранением принципа полноты и с (кажущимся) уменьшением занудности [см.

Мантуров, двухуровневое изложение] . Наверное, и мне надо не полениться и так всѐ сделать. Или использовать приѐм: "При первом чтении

этот пункт можете пропустить".

Уважаемые студенты, если вам будет трудно читать эту методичку (мало ли по каким причинам), то для на-

чала можете ограничиться разбором вопросов нулевого уровня. Список таких вопросов по материалам этой главы

(ТК-1, нулевой уровень) приведѐн в конце текста главы. А уж эти вопросы вы должны выучить-вызубрить, если

хотите получить зачѐт, сдать экзамен по математике и продолжить обучение в нашем геодезическом университете.

По мере своего математического развития позже вы сможете освоить и другие математические понятия, разобранные

в этой главе.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Весь коллектив кафедры высшей математики желает вам успехов в учѐбе.

= = = = = = = = = = = = = =

Сюда хотелось бы добавить § Понятие о частных производных..

+ § Линеаризация и приложения

3

Оглавление

Введение

§1. Элементарная и высшая математика ............................................................................................ 6 §2. "Чистая" и прикладная математика ........................................................................................... 6 §3. Некоторые особенности математики как науки ............................................................................ 7

1. Абстрактность математики. ........................................................................................................... 7 2. Логичность построения математики. ............................................................................................. 8 3. Математика даѐт абсолютно достоверные знания. ...................................................................... 8

§4. Математические модели ................................................................................................................... 9 1. Схема использования математики в жизни. ................................................................................ 9 2. Понятие и предназначение математической модели. ................................................................ 10 3. Примеры. ........................................................................................................................................ 11

§5. Почему, зачем надо изучать математику? ..................................................................................... 13 §6. Некоторые понятия логики ............................................................................................................. 15 §7. Некоторые обозначения .................................................................................................................. 15

Раздел 1. Функции. Пределы. Непрерывность

Глава 1. множества, Числа, функции

§1. Множества ........................................................................................................................................ 16

1. Понятие множества. ...................................................................................................................... 16 2. Равенство множеств. Понятие подмножества. .............................................................. 16 3. Операции с множествами. ........................................................................................................... 17

§2. Развитие понятия числа .................................................................................................................. 17 § 3 . Р а ц и о н а л ь н ы е и д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а . Ч и с л о в а я о с ь ............................... 20

1. Десятичная запись чисел. (сократить) ...................................................................................... 20 2. Рациональные и иррациональные числа. ................................................................................ 21 3. Действительные числа. ................................................................................................................ 22 4. Свойства сложения и умножения действительных чисел. ...................................................... 22 5. Упорядочение действительных чисел. ....................................................................................... 22 6. Неограниченность множества действительных чисел (архимедово свойство). ................... 23 6. Понятие числовой оси. ................................................................................................................ 23 7. Геометрическая интерпретация действительных чисел. Основное свойство числовой оси.

Свойство непрерывности действительных чисел. .......................................................................... 23 8. Почему теория математики строится на базе действительных чисел. .................................... 25

§ 4 . Понятие модуля числа. ................................................................................................................. 27 1. Определение модуля числа. ....................................................................................................... 27 2. Геометрический смысл модуля числа. .................................................................................... 27 3. Равенства и неравенства с модулями. .................................................................................. 27 4. "Раскрытие" равенств и неравенств с модулями. ........................................................ 28

§5. Виды промежутков на числовой оси ............................................................................................ 28 §6. Понятие окрестностей .................................................................................................................... 29

1. Изображение числовой оси в виде окружности. ............................................................... 29 2. Двусторонние - окрестности конечных точек-чисел из R. ......................................... 30 3. Односторонние - окрестности конечных точек-чисел из R. ...................................... 31 4. М-окрестности бесконечностей. ................................................................................................. 32

§7. Некоторые характеристики числовых множеств и множеств точек на числовой прямой ....... 34 1. Внутренние и граничные точки. Открытые и замкнутые множества ..................................... 34 2. Ограниченность и неограниченность числовых множеств. ..................................................... 36 3. Ограниченность-неограниченность сверху и снизу. Границы сверху и снизу для числовых

4

множеств. ............................................................................................................................................ 37 4. Второе определение ограниченности-неограниченности числовых множеств. .................... 39 5. Логические связи между просто ограниченностью-неограниченностью и

ограниченностью-неограниченностью сверху и снизу. ................................................................. 40 6. Наличие-отсутствие наибольшего и наименьшего элементов в числовом множестве. 41

§8. Переменные величины. Функции. ................................................................................................. 42 1. Понятие о переменной величине................................................................................................. 42 2. Дискретные и непрерывные переменные. .................................................................................. 43 3. Независимая переменная величина. ........................................................................................... 43 4. Соответствие между переменными. Зависимая и независимая переменные. .................. 43 4. Взаимно однозначное соответствие между переменными. ....................................................... 44 5. Определение понятия функции. ................................................................................................. 45 6. Приращение функции. .................................................................................................................. 47 7. График функции. ........................................................................................................................... 48 8. Простейшие способы задания функций. ..................................................................................... 48

§9. Явное, неявное, параметрическое задание функций ................................................................... 48 §10. Некоторые закономерности в поведении функций .................................................................. 49 §11. Понятие последовательности ...................................................................................................... 49 §12. Возрастание, убывание ................................................................................................................ 50

1. Последовательности. .................................................................................................................... 50 2. Функции. ........................................................................................................................................ 50 3. Характеристические свойства возрастания и убывания функции. .......................................... 52 4. Признак взаимно однозначного соответствия, задаваемого функцией. ................................ 53

§13 Точки экстремума .......................................................................................................................... 54 1. Предварительное представление о непрерывности функций. .................................................. 54 2. Точки максимума функции. ........................................................................................................ 54 2. Точки минимума функции. .......................................................................................................... 55 4. Существование или отсутствие наибольшего и наименьшего значения функции на

промежутке. ........................................................................................................................................ 56 §14. Ограниченность и неограниченность .......................................................................................... 57 §15. Взаимно обратные функции ......................................................................................................... 57

1. Понятие взаимно обратных функций. ......................................................................................... 57 2. Признак существования обратной функции для функции y = f (x). ..................... 58 3. Графики взаимно обратных функций. ......................................................................................... 58

§16. Понятие сложной функции ......................................................................................................... 59 §17. Класс элементарных функций ..................................................................................................... 59

1. Основные (базовые) элементарные функции. ........................................................................... 59 2. Класс элементарных функций. .................................................................................................... 60 3. Классификация элементарных функций. ................................................................................... 61

↑ 1 – 9 сент 2011г. (три лекции по 2·45m

, и многое пропустил).

Ув. студенты! Прочитайте, законспектируйте, выучите материал этой главы.

Если вы не будете знать того, что здесь описано, то нет надежды, что вы ос-

воите следующие главы.

По материалу этой главы будет теоретический контроль. Списать там воз-

можности не будет.

5

В опр о сы конт р оля т ео р ет ическо го мат ериа л а

по г ла ве "Мн о ж ест в а , чи сла , ф ункции" . Для студентов ГФ. . Первый семестр. 2011год. Л е к т о р п р о ф . Л и с е е в И . А .

Введение.

1. Некоторые особенности математики, как науки.

2. Математические модели (понятие математической модели, примеры).

Глава 1. Множества, числа, функции.

1. Множества. Подмножество. Объединение и пересечение множеств (определения и рисунки).

2. Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные. Соотношения

между множествами этих числе. Характеристические свойства рациональных и иррациональ-

ных чисел (представление в виде простых дробей и особенности десятичной записи). Число-

вая ось. Геометрическая интерпретация действительных чисел. Основное свойство числовой

оси (о взаимно однозначном соответствии …). Свойство непрерывности действительных чи-

сел (упрощѐнная формулировка).

3. Понятие модуля числа. Геометрический смысл модуля числа. Раскрытие неравенств |x | < a ,

|x | ≤ a , |x | > a и |x | ≥ a (с рисунками).

4. Виды промежутков на числовой оси. Обозначения, рисунки, определения с помощью нера-

венств. В частности, определения интервала и отрезка.

5. Виды окрестностей точек на числовой оси (окрестностей для чисел из R): полные и проколо-

тые окрестности, двусторонние и односторонние окрестности, произвольные и

-окрестности. Окрестности для бесконечностей. Обозначения, рисунки, определения с по-

мощью неравенств для всех этих окрестностей.

6. Внутренние и граничные точки числовых множеств (промежутков на числовой прямой). От-

крытые и замкнутые множества. Примеры открытого и замкнутого множества на числовой оси.

7. Ограниченные числовые множества: ограниченные снизу, сверху, просто ограниченные (два

определения). Границы сверху и снизу для числовых множеств. Неограниченные множества:

неограниченные сверху, снизу, просто неограниченные.

8. Наличие и отсутствие наибольшего и наименьшего элемента в числовых множествах. Примеры. 9. Понятие переменной величины. Способы установления соответствия между переменными величинами.

10. Понятие функции y = f (x ) , x , y R . Область определения функции. Приращение функции в

точке (рисунок и формула). График функции. Простейшие способы задания функций (три способа).

11. Взаимно однозначное соответствие между переменными. Признак взаимно однозначного со-

ответствия, устанавливаемого функциональной зависимостью y = f (x).

12. Понятие последовательности. Графическое изображение последовательности.

13. Понятие характеристического свойства. Определения и характеристические свойства арифме-

тической и геометрической прогрессий.

14. Возрастающие и убывающие последовательности (невозрастающие и неубывающие последовательно-

сти). Монотонные и немонотонные последовательности. Строгая и нестрогая монотонность.

15. Возрастающие и убывающие функции на промежутке (невозрастающие и неубывающие

функции). Монотонные и немонотонные функции на промежутке. Строгая и нестрогая моно-

тонность. Характеристические свойства возрастающих и убывающих функций на промежутке.

16. Точки максимума и минимума функции y = f (x ) . Определения и характеристические свойства, рисунки.

17. Ограниченные и неограниченные последовательности. Функции, ограниченные на промежут-

ке. Ограниченные: сверху, снизу, просто ограниченные (два определения). Функции неогра-

ниченные на некотором промежутке: сверху, снизу, просто неограниченные.

18. Существование и отсутствие наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке. Примеры.

19. Взаимно обратные функции. Признак существования обратной функции для функции

y = f (x) . Графики взаимно обратных функций.

20. Понятие сложной функции (определение и примеры).

21. Основные (базовые) элементарные функции и их графики. Класс элементарных функций.

В частности: графики (и определения) линейной, квадратичной и обратно пропорциональной

функций; графики степенных функций для х ≥ 0 при различных показателях степени (p >1 ,

p =1 , 0< p <1 , p <0 ); графики показательных и логарифмических функций при различных

основаниях степени и логарифма. The End..

"ТК-1"

Подчѐркнуты пунктиром совсем простые вопросы, за незнание которых студент сразу получает "неуд". Это вопросы – "нулевого уровня".

В ТК-1 много вопросов, которые студент должен знать ещѐ со школы.

Полный список вопросов.

ГФ Первый курс Осень 2011 Высшая математика Лисеев И.А.

6

В В Е Д Е Н И Е

§ 1 . Э Л Е М Е Н Т А Р Н А Я И В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А

Название предмета "Высшая математика" 1 связано с тем, что математику ино-

гда разделяют на элементарную и высшую. Конечно, это разделение довольно

условно.

На самом же деле есть одна наука: Математика .

Но если уж выделять элементарную математику, то к ней можно отнести:

арифметику, алгебру, тригонометрию, раздел, изучающий простейшие элемен-

тарные функции (графики этих функций и преобразование выражений, содер-

жащих эти функции), геометрию на плоскости и в пространстве.

Высшая математика начинается с таких понятий, как переменная вели-

чина , предел , бесконечность , на основе которых вводятся понятия про-

изводной и определѐнного интеграла . Если используется производная

или интеграл, то это уже – высшая математика. Высшая математика начинается и

тогда, когда с помощью системы координат соединяются алгебра и гео-

метрия, в результате чего получается аналитическая геометрия . В отли-

чие от элементарной математики, где рассматриваются только двумерные и трѐх-

мерные пространства, в высшей математике рассматриваются n - мерные и

даже бесконечномерные пространства . И так далее........;

Уже в школе вы познакомились с некоторыми понятиями высшей математики:

с производной, интегралом, векторами. Теперь же вам (нам) предстоит изучить

высшую математику поосновательней.

§ 2 . " Ч И С Т А Я " И П Р И К Л А Д Н А Я М А Т Е М А Т И К А

Математику иногда разделяют на чистую и прикладную. К прикладной ма-

тематике относят те разделы математики, которые применяются в практике. К

"чистой" математике относят те разделы математики, которые не имеют на рассмат-

риваемый момент практических применений и которые, как некоторым кажется,

нужны только самим математикам, да и то далеко не всем.

Иногда из высоких научных и финансовых кругов до людей доходят отголо-

ски дискуссии о том, надо ли финансировать исследования по "чистой" математике.

Дескать, чистая математика не предполагает мгновенной экономической отдачи и

она нужна только самим математикам. Поэтому, зачем на неѐ тратить деньги?

1 В последние годы в МИИГАиКе наш предмет стали называть просто математикой. Но если делить математику на

элементарную и высшую, то, что мы будем изучать, надо отнести к высшей математике.

Высшая математика (Ли…) . Введение.

7

Действительно, чистая математика не предполагает мгновенной экономической от-

дачи, но …. 1) Во-первых, чистая математика способствует развитию прикладной ма-

тематики2. 2) Во-вторых, разделы, которые сначала относят к чистой математике, через

какое-то время находят практическое применение, то есть переходят в прикладную мате-

матику. Например, комплексные числа. Сначала даже сами математики считали их чем-то нереальным.

А сейчас инженеры многих специальностей используют комплексные числа для описания и решения своих

задач. В частности, в теории геодезии и картографии используются комплексные числа.

Чистую математику изучают студенты специальных математических факуль-

тетов университетов (механико-математических факультетов). В остальных вузах

изучают только прикладную математику. То есть, изучают те разделы высшей ма-

тематики, которые используются в будущей специальности студентов.

То, что мы с вами будем изучать – это основные, простейшие,

можно сказать, базовые понятия математики. Наш курс – эта ба-

зовый курс высшей математики. Это то, что должен знать любой

инженер-геодезист.

Более сложные математические вещи вы будете затрагивать в специальных курсах на на-

шей кафедре и уже в геодезических курсах на других кафедрах по вашей специальности.

§ 3 . Н Е КОТОРЫЕ ОС ОБЕ Н Н ОС Т И М А ТЕ М А ТИ КИ КА К Н А УК И

1 . Абстрактност ь мат емат ики.

Математика – абстрактная наука .

Объектом исследования математики

являются абстрактные понятия:

геометрические фигуры (точка, прямая, плоскость), числа, переменные величины,

функциональные зависимости. Эти понятия хотя и отражают реальные объекты,

но в идеализированной форме.

2 Ну а в полезности для людей прикладной математики никто не сомневается. Возьмѐм пример из геодезии. Может

быть, вы слышал про систему GPS (Global Position System). Российский вариант этой системы называется

ГЛОНАСС (Глобальная Навигационная Спутниковая Система). Эти системы позволяют довольно точно определять

координаты и скорости объектов. И сейчас э т и с и с т е м ы п р е д с т а в л я ю т о с н о в н у ю с о в р е м е н н у ю

г е о д е з и ч е с к у ю т е х н о л о г и ю . А основной составляющей частью GPS и ГЛОНАСС являются спутники. А

кто сыграл основную роль в освоении космического пространства (в запуске спутников)? Наряду с инженерами-

конструкторами основную роль в этом деле сыграли математики. Без сложнейших и громаднейших (для того време-

ни) математических расчѐтов первые спутники не могли быть запущены. А без спутников не было бы и значительной

(большей) части современной геодезии. И ещѐ …

Потом на геодезических кафедрах вам расскажут, что основной (научной) задачей геодезии является опреде-

ление гравитационного поля Земли. Знание гравитационного поля необходимо и для расчѐта движения спутников, и

для других целей. Так вот, я хочу вам сказать, что в Теории определения гравитационного поля Земли задействова-

на такая математика, что вам она сейчас и присниться не может. То, что мы с вами сейчас будем изучать – такая

простота по сравнению с ней. Но с этой простоты надо начинать. Так что, уважаемые студенты, если вы хотите по-

нимать свою науку геодезию, то математику, которую мы с вами будем изучать, вы точно должны освоить.


8

2 . Логичност ь построения математики .

Математическая теория

– это логическое построение.

При построении математической теории берутся некоторые утверждения, на-

зываемые аксиомами , из которых логически выводятся новые утверждения –

теоремы .

Приведѐм для примера несколько правил логического вывода: 1) переход от общего

утверждения к частному (дедукция), 2) "транзитивность следования" (двойное следова-

ние): если из утверждения А следует утверждение В , а из утверждения В следует ут-

верждение С , то можно говорить, что из утверждения А следует утверждение С ,

3) закон "исключѐнного третьего" (используется при доказательстве "от противного"); по

этому закону верно либо само какое-то утверждение, либо утверждение ему противопо-

ложное – третьего не дано. В принципе, можно изменить правила логического вывода. Тогда получится уже другая математика..

Аксиомы, принимаемые за исходные утверждения, обязаны быть лишь непротиворе-

чивыми друг другу. Тогда и все теоремы не будут противоречить друг другу.

3 . Мат емат ика даѐт абсолютно достоверные знания.

Следствием логического построения математики, а также следствием того, что объек-

тами математики являются чѐтко заданные аксиомами абстрактные объекты, является аб-

солютная достоверность математических знаний.

Верность математической теории означает, что нет логических противоречий

внутри этой теории (при этом, конечно, принимаются определѐнные договорѐнности о логиче-

ских правилах доказательств). То есть, матем а т и ч е с к о й т е о р и и н е т р е б у -

е т с я к а к а я - т о э к с п е р и м е н т а л ь н а я п р о в е р к а е ѐ в е р н о с т и . Необхо-

димо только, чтобы в еѐ построении не было логических ошибок. В этом смысле и го-

ворят, что

математика даѐт абсолютно

достоверные знания.

Никто же не сомневается в верности теоремы Пифагора о соотношении между кате-

тами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Также никто не подвергает сомнению

признак возрастания функции: если ' (x) > 0 на Х , то (x) возрастает на Х .

Даже в быту этот факт находит отражение. Говорят: верно, как "дважды два – че-

тыре".

В других науках возможны ситуации, когда одни учѐные говорят про теорию других

учѐных, что эта теория ошибочна. …. То есть в других науках вполне возможна ситуа-

ция, когда разные теории в одной науке противоречат друг другу. В математике все ут-


9

верждения логически согласованы и не противоречат друг другу. 3

Хотя математика даѐт верные знания, но эти знания касаются абстрактных идеализи-

рованных понятий. А в реальной жизни все объекты совершенно не идеальные. Поэтому

возникает вопрос,

как математика может быть применена

к реальной жизни?

В применении математики к жизни фундаментальную роль играет понятие

математической модели.

§ 4 . М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Е М О Д Е Л И

1 . Схема использования математ ики в жизни.

Чтобы при решении реальной жизненной задачи использовать математику, эту

реальную жизненную задачу надо идеализировать. Дело вот в чѐм …

Реальная, встретившаяся в жизни, задача почти никогда не формулируется в

математических терминах и понятиях. Происходит это потому, что математические

понятия и объекты – как бы идеализированы и абстрактны , а в жизни мы

имеем дело с реальными объектами.

Для применения математики надо реальную задачу идеализировать, то есть

надо перейти от реальных объектов, фигурирующих в данной задаче, к абстрактным

математическим объектам. Этот переход означает создание математи-

ческой модели для данной реальной задачи.

Самая распространѐнная причина получения ошибочных или неточных ре-

зультатов при применении математики – это использование неточной или может

быть даже ошибочной математической модели. Так же ошибочные результаты по-

являются из-за неправильного перенесения свойств модели на реальную ситуацию.

Схема использования математики в реальной жизни такова ….

1. Пусть имеется некоторая жизненная ситуация, какой-то процесс.

2. Мы описываем эту ситуацию, этот процесс в математических терминах. То

есть, подбираем уже математическую задачу , являющуюся некоторой идеа-

лизацией нашей жизненной задачи. Принятую математическую задачу мы считаем

математической моделью нашей жизненной ситуации.

3. Решаем эту математическую задачу. Вот на этом этапе вся ответственность

лежит только на математике.

3 Из достоверности математических знаний происходит такая интересная особенность математики. На занятиях по

математике преподаватель и студенты находятся в некотором смысле "на равных". В математике Истина – одна и не

зависит от того, нравится она преподавателю или не нравится. Студент вполне может обнаружить в рассуждениях

или в записях преподавателя ошибку. И тогда ничего не поделаешь, ошибка есть ошибка. А в других областях жизни разные люди об одном и том же могут иметь совсем разные представления. И тогда уже, бывает, не с каждым преподавателем по-

споришь.


10

4. Оцениваем надѐжность полученного решения. Для этого надо осознавать

различие между математической задачей и жизненной ситуацией.

5. Пытаемся понять, как решение математической задачи можно интерпрети-

ровать в нашей жизненной ситуации. Для этого тоже надо осознавать различие меж-

ду математической задачей и жизненной ситуацией.

В следующем параграфе мы рассмотрим примеры … (Также смотри дальше рисунок-схему.)

Поскольку математическая задача определяется математической моделью4, то

из вышесказанного понятно, что при применении математики в жизни фундамен-

тальное значение имеет математическая модель .

- - - -- - - -

Объекты, понятия, с которыми имеет дело математика – геометрические фигуры (точка,

прямая, плоскость), числа, переменные величины, функциональные зависимости – это всѐ абст-

рактные объекты и понятия. Эти понятия хотя и отражают реальные объекты, но в идеализиро-

ванной форме. И результаты математики (теоремы) – это всѐ утверждения, касающиеся абст-

рактных (не реальных) объектов.

Поэтому для применения математической теории на практике надо реальные объекты из

жизненной задачи заменить математическими объектами. И вместо реальной жизненной задачи

часто с расплывчатой или даже с неопределѐнной формулировкой получить чѐтко сформулиро-

ванную математическую задачу.

2 . Понят ие и предназначение мат емат ической модели.

Важнейшим моментом применения математики в различных областях

жизни является п е р е х о д о т р е а л ь н о й з а д а ч и

к м а т е м а т и ч е с к о й з а д а ч е .

Этот переход предполагает создание математической модели того или иного

явления, процесса.

Математическая модель – это описание реальной жизненной задачи в

математических терминах после некоторой идеализации этой задачи. Идеализация

состоит в переходе от реальных объектов к абстрактным математическим объектам.

Идеализация реальной задачи обычно сопровождается и упрощением этой задачи.

(Примеры идеализации: замена Земного шара математическим шаром, представление постепенного повышения температуры от

утра до середины дня линейной зависимостью)

Таким образом, математическая модель служит (предназначена) для перехода

от реальной (практической) задачи к математической задаче. При этом фактически

происходит упрощение задачи. Можно сказать, что получившаяся математическая

задача и является математической моделью исходной реальной жизненной задачи.

Эта математическая модель может в большей или меньшей степени соответст-

4 Можно даже сказать, что эта математическая задача и есть математическая модель нашей реальной жизненной зада-

чи.


11

вовать (быть адекватной) реальному процессу (ситуации). В соответствии с этим и

результат решения математической задачи будет в большей или меньшей степени

соответствовать реальной ситуации.

Зачем специалисту в какой-то области нужно знать математику? Одна из причин та-

кая …

Для того, чтобы хорошо сформулировать математическую задачу, то есть, чтобы

создать математическую модель реальной ситуации из некоторой области знаний, надо

одновременно: 1) быть специалистом в данной области знаний, и 2) достаточно хо-

рошо владеть математическим аппаратом. Ожидать, что математик знает вашу область

знаний, не приходится. Так что вы должны знать математику.

Этапы использования математики при решении практической задачи можно

представить в виде схемы.

Выбор математической модели, пожалуй, самый ответственный

этап в решении задачи. В выборе модели обычно участвуют прикладник (спе-

циалист в той области знаний, к которой относится задача) и математик, который

будет решать математическую задачу. Неточность (приближѐнность) результата

решения реальной задачи происходит, в основном, из-за неточности (приближѐнно-

сти) использованной математической модели.

Грамотность выбора модели зависит, в основном, от взаимопонимания между

прикладником и математиком. А для взаимопонимания хорошо, чтобы прикладник

имел некоторые знания математики, а математик разбирался бы в той области зна-

ний, к которой относится задача.

Поэтому подготовка специалистов в разных областях знаний

и предусматривает изучение математики. 5 (повтор)

3 . Примеры .

Пример 1. Реальная задача. Определить площадь территории Москвы

внутри окружной автомобильной дороги.

Наши возможности: мы можем измерить длину этой дороги. Еѐ длина около

110 км.

5 Математическая подготовка нужна инженеру (и инженеру-геодезисту) не только для решения каких-то серьѐзных

научных задач. Она нужна и в повседневной текущей работе.

Реальная задача Наши возможности

Математическая модель

Математическая задача

Решение матема-

тической задачи

Анализ ошибок

(в частности, анализ

неточности модели)

+

Интерпретация полу-

ченного решения для

реальной ситуации


12

Математическая модель. Считаем, что окружная автомобильная дорога имеет

форму окружности.

Математическая задача. Найти площадь круга с длиной окружности 110 км.

Решение математической задачи.

R

С

C = 2R, км5,1728,6

110R.

2

CR

S = R2, S 3 ,14 306 961 км

2.

При использовании результатов, полученных при решении математической

задачи надо обязательно задавать себе вопрос: верен ли этот результат, как резуль-

тат решения реальной задачи?

Анализ точности решения реальной задачи . Надо оценить величины

ошибок, возникающих на разных этапах решения задачи: 1) ошибки модели,

2) ошибки исходных данных, 3) ошибки вычислений. Исследованием ошибок ис-

ходных данных и ошибок вычислений занимается теория ошибок, которую вы буде-

те изучать на кафедре геодезии на втором курсе. Анализ ошибок модели (анализ

неточности модели) более тонкий вопрос.

Использование результатов решения математической задачи. Мы говорим,

что площадь территории Москвы внутри окружной автомобильной дороги пример-

но равна 1000 квадратным километрам, то есть 100 000 га .6

Пример 2. Реальная задача.

Допустим, известно, что в некотором месте в 6

часов утра температура была 5 , а в 12 часов была

15 . А надо определить температуру воздуха, которая

была в этом месте в 10 часов.

Математическая модель. Температура меняется

линейно, т.е. с течением времени температура повыша-

ется равномерно. На рисунке изображѐн график изме-

нения температуры в такой модели .

Математическая задача. Линейная функция T = kt + b при t = 6 имеет

значение 5 , а при t = 12 имеет значение 15 . Определить значение этой функции

при t = 10. В математике такая задача называется задачей интерполяции.

Решение математической задачи. . . . .

Ответ: T(10) 12 .


ошибок, возникающих на разных этапах решения задачи: 1) ошибки модели, 2)

6 1 кв.км = 100 га , 1 га = 100 соток, 1 сотка = 100 кв.м.

6 8 10 12

Т

t

5

10

15


13

ошибки исходных данных, 3) ошибки вычислений (ошибки округления).


что в 10 часов температура была равной примерно 12 .

Замечание. Если вы не довольны результатами решения приведѐнных задач, то надо смот-

реть : 1) соответствует ли принятая математическая модель реальной ситуации, 2) нет ли оши-

бок в решении получившейся (на основе этой принятой модели) математической задачи, 3) пра-

вильно ли мы использовали результат решения математической задачи в реальной жизненной си-

туации.

-- - - - - -- - - - -- - - - -

З адан и е н а д ом (дл я ж ел аю щи х) . 1)

Пример 3. Реальная древняя задача. Определение размеров Земли.

Нам известно: в какой-то момент Солнце находится в зените над пунктом А, а

через 18 минут оно находится в зените над пунктом В . Расстояние между пунктами

А и В (по поверхности Земли) 500 км.

Математическая модель. Земля имеет форму шара и равномерно вращается

под Солнцем вокруг некоторой оси, с периодом 24 часа так, что, совершив полный

оборот, возвращается в то же самое положение относительно Солнца.

Математическая задача. Рис . . ..

Решение математической задачи. …..

Ответ: R 6 40 0 к м .


ошибок, возникающих на разных этапах решения задачи: 1) ошибки модели, 2)

ошибки исходных данных, 3) ошибки вычислений.


что радиус Земного шара равен примерно 6 400 км.

= == == = =

2) (Для тех, кому понравилось рассмотрение понятия математической модели) Придумайте реальную

задачу, выберите для неѐ математическую модель, решите математическую задачу и

сформулируйте ответ на реальную задачу.

§ 5 . П О Ч Е М У , З А Ч Е М Н А Д О И З У Ч А Т Ь М А Т Е М А Т И К У ?

1) Во-первых, образно говоря, на языке математики излагаются разные дру-

гие науки 7. В частности, геодезия. Более того,

математика – это "язык,

на котором написана книга природы" .

7 Хотя, например, литература, вроде бы, обходятся пока без математики.


14

Галилео Галилей говорил так: "Великая книга природы написана на языке ма-

тематики".

Даже так говорят: "В каждой науке столько науки сколько в ней математи-

ки". Так что каждый культурный человек кроме языка бытового и литературного

общения должен знать и математический язык.

Одной из целей нашего базового курса является подготовка студентов-геодезистов к чте-

нию разделов математики, не вошедших в наш базовый курс, но необходимых для понимания

специальных геодезических курсов, таких как теория математической обработки геодезических

измерений, космическая геодезия, теория фигуры и гравитационного поля Земли (физическая

геодезия).

Если вы откроете книги по геодезии, то увидите, что это математические кни-

ги. Вообще можно сказать, что геодезия состоит из двух частей. Одна часть – это

математическая часть: формулы, выводы, обработка результатов измерений. Дру-

гая часть: это геодезические инструменты и работа сними.

2) Во-вторых, если вы не простые техники, а инженеры-геодезисты, вам

математику надо знать, чтобы правильно еѐ применять.

Чтобы решать различные жизненные, в том числе и геодезические, задачи.

Чтобы грамотно перейти от реальной задачи к математической задаче.

Если студент разбирается в математике, то и геодезию он освоит. Правда, по-

мимо математической части в геодезии есть ещѐ "полевые" работы с инструмента-

ми. Так что студенты-геодезисты должны иметь интерес и к таким работам.

- - - - -

Объединяя первый и второй пункты, можно говорить. что математика – это

инструмент для изучения (познания) природы и общества. В этом процессе можно

выделить такие ступени: 1) наблюдения и измерения (качественные и количест-

венные оценки видимых явлений и систем), 2) анализ и обработка результатов на-

блюдений и измерений. На этом этапе выявляются законы природы и общества. И

тут свою роль играет математика . 3) Использование, учѐт выявленных законов. Ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой,

если оно не прошло через математические доказательства .

Леонардо да Винчи

3) Ещѐ одной целью изучения математики, как вы знаете, является развитие

умственных (в частности, логических) способностей.

Известно древнее изречение

математика ум в порядок приводит.

Про человека, разбирающегося в математике, иногда даже говорят: вот, какой

он умный. Хотя вопрос о том, какого человека считать умным, это вопрос спорный …

Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит.

М. В. Ломоносов


15

4) Четвѐртой причиной изучения математики можно назвать еѐ эстетиче-

скую ценность.

Математика красива и прекрасна.

Но чтобы это почувствовать, надо хоть немного позаниматься математикой.

§ 6 . Н Е К О Т О Р Ы Е П О Н Я Т И Я Л О Г И К И

Здесь мы перечислим некоторые понятия и укажем, где они встречаются в данной мето-

дичке. Эти понятия студенты должны понимать. Необходимые и достаточные условия. (п 7.3.В.)

Характеристическое свойство (это условие, которое одновременно является и необходимым и достаточным). Харак-

теристическое свойство некоторого объекта может быть использовано для определения этого объекта. (п.10.1)

Понятие признака (признак – это достаточное условие). (п.10.2) (п.11.2)

Понятие свойства (свойство – это необходимое условие). (п.10.1)

Пример. Если четырѐхугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

Построение отрицания. (п.7.2)

Прямое и обратное утверждения.

Правила логического вывода ( упомянуты в §3 во Введении ).

- - - - - - - -

Уважаемые студенты, пожалуйста, различайте понятия: определение, признак, свойство.

Все эти понятия студент должен уметь пояснить примерами либо из школьной математики, либо из изучаемого сей-

час материала.

§ 7 . Н Е К О Т О Р Ы Е О Б О З Н А Ч Е Н И Я

Обозначения.

– произвольный, любой.

– существует, найдѐтся.

Двоеточие означает либо "такой, что … " или "такая, что … " ,

либо "будет выполняться" . Чтобы не ошибиться, надо смотреть всю краткую запись целиком.

"Будет выполняться" может ещѐ быть обозначено знаком следования .

Знак означает, что из утверждения (условия), стоящего слева от него следует утвержде-

ние (условие), стоящее справа от него.

Знак означает, что утверждения (условия), стоящие слева и справа от него равносильны

(эквивалентны). Другими словами, если верно одно из них, то верно и другое, а если одно из них

неверно, то неверно и другое.

Использование обозначений ( , , ) смотрите в п.4.3. (с. 23) ...

Знак принадлежности. Запись

b B

означает, что элемент b принадлежит множеству B .

Знак означает "включение". Запись

А В .

означает, что множество А содержится в множестве В .


16

Р а з д е л 1 . Ф У Н К Ц И И . П Р Е Д Е Л Ы . Н Е П Р Е Р Ы В Н О С Т Ь

Г л а в а 1 . М Н О Ж Е С Т В А , Ч И С Л А , Ф У Н К Ц И И

Эта глава в некоторых местах будет несколько нудная (понятия окрестностей, ограниченности-

неограниченности, возрастания-убывания). Но уж преодолейте это, пожалуйста, потом всѐ будет интереснее.

§ 1 . М Н О Ж Е С Т В А

1 . Понят ие множест ва .

Под множест вом понимают некоторую совокупность каких-то объектов.

Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами . Если B –

множество, а b – его элемент, то пишут

b B

и говорят, что элемент b принадлежит множеству B .

Знак называют знаком принадлежности множеству.

Если в множестве нет ни одного элемента, то говорят, что это пустое мно-

жество (его обозначают символом ). Если множество содержит хоть один эле-

мент, то это уже не пустое множество. Если в множестве конечное число элемен-

тов, то говорят, что это конечное множество, если же в множестве бесконечное

число элементов, то говорят, что это бесконечное множество.

Мы, в основном, будем рассматривать числовые множества, а также множества

точек на прямой и на плоскости.

Для указания числового множества с небольшим числом элементов можно пе-

речислить все его элементы в фигурных скобках.

Пр и мер . {1; –2; 3} – это множество, состоящее из трѐх элементов-чисел:

1; –2; 3 .

Самым распространѐнным приѐмом задания множества является ука-

зания характеристического свойства , которому удовлетворяют элементы

множества.

Характ еристическим свойст вом элементов множества называется та-

кое свойство, которое характеризует элементы рассматриваемого множества в том

смысле, что с одной стороны, все элементы рассматриваемого множества удовле-

творяют этому свойству, а с другой стороны, этому свойству удовлетворяют толь-

ко элементы рассматриваемого множества

Например, для множества чѐтных чисел характеристическим свойством являет-

ся "деление на два без остатка".

2 . Равенство множеств. Понятие подмножества.

Если два множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то говорят, что

Высшая математика (Ли…) Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 1. Множества, числа, функции.

17

это одно и то же множество или что это равные множества . Для обозначения рав-

ных множеств используется знак равенства:

А = В .

Оп р еделени е . Множество А называется подмножеством множества В ,

если все элементы множества А являются также и элементами множества В . Пи-

шут: А В .

Если все элементы множества А являются также и элементами множества В , то

говорят ещѐ, что множество А содержится в множестве В или что А включено в В ,

или что множество А входит в множество В . Во всех этих случаях пишут:

А В .

Знак означает "включение".

Сделайте сами рисунки для множеств на плоскости. И на прямой.

Обратим внимание на то, что любое множество является подмножеством са-

мого себя: А А .

3 . Операции с множест вами.

Объединение множеств .

Примеры (с рисунками) с множествами точек на плоскости и на прямой .

Знак обозначает объединение множеств.

Объединением множеств А и В называется множество С , состоящее из

тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или В .

Пишут: С = А В .

Пересечение множеств .

На числовой прямой, на плоскости. Рисунки.

Знак обозначает пересечение множеств.

Пересечением множеств А и В называется множество С , состоящее из

тех элементов, которые входят и в множество А , и в множество В .

Пишут: С = А В .

Простейшими множествами, с которыми мы с вами поначалу будем иметь де-

ло, являются числовые множества, элементы которых – числа.

§ 2 . Р А З В И Т И Е П О Н Я Т И Я Ч И С Л А

Немецкому математику Кронекеру (1823-1891) приписывают такое высказы-

вание. "Бог дал людям натуральные числа, а другие числа люди уже сами

придумали". [См. Курант] Это высказывание, конечно, шутливое, но и гениаль-

ное.

1

1


18

Схематично цепочка расширения понятия числа выглядит следующим образом:

Итак, начинаем с сотворения мира. Что бог людям дал?

Натуральные числа – это числа, предназначенные для счѐта предметов:

1, 2, 3, … и так далее. Множество натуральных чисел обозначают N .

Затем люди придумали число 0 (ноль). Оно обозначает ситуацию отсутствия

предметов.

На каком-то этапе развития люди стали использовать отрицательные числа:

-1, -2, -3, … и так далее. Отрицательные числа можно было трактовать как си-

туацию, когда человеку не хватает скольких-то предметов. Положительные число

толковались, как имущество, а отрицательные числа, как долг.

Так сформировалось множество целых чисел : 0 , 1, 2, 3, … и так

далее. Множество целых чисел обозначают через Z . Множество натуральных чи-

сел является подмножеством множества целых чисел: N Z .

На некотором уровне цивилизации людям уже оказалось недостаточным ис-

пользование только целых чисел.

В определѐнный период развития у людей возникла потребность обозначать

не только целое количество предметов, но и некоторую часть одного предмета. То-

гда кто-то, видимо, выделявшийся сообразительностью (с математическим складом

ума), придумал для цивилизации дроби и числа с дробной частью. Конечно, не один

человек это придумал. И не сразу эти понятия вошли в обиход людей. Но в резуль-

тате множество чисел, которым пользовались люди, стало значительно шире. Оно

включало в себя уже не только целые числа, но и числа с дробной частью. Это мно-

жество назвали множеством рациональных чисел . Его обозначают Q .

Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел:

Z Q .

На самом деле исторически раньше появились дробные числа (и числа с дробной частью), а затем уже вошли

в обиход отрицательные числа. Известно, что отрицательные числа использовались ещѐ в 7 веке в Индии, правда, с

некоторым недоверием. Но всеобщее признание они получили лишь в 19 веке, когда математики разработали теорию

положительных и отрицательных чисел.

Справедливости ради надо отметить, что у обычных людей даже не возникает

потребности в каких-либо ещѐ числах, помимо рациональных. То есть на практике

(в жизни) все мы довольствуемся рациональными числами и какие-то ещѐ числа нам

совсем не нужны 8.

8 Хотя числа, например, 2 , π , е являются иррациональными, на практике мы используем лишь рациональное при-

N Z Q R Zкомпл

натуральные целые рациональные действительные комплексные

+ 0, + отриц. числа + числа с дробной частью

+ иррац. числа + числа с мнимой частью


19

Но математикам оказалось недостаточно только рациональных чисел. Ещѐ в

школе Пифагора (в шестом веке до нашей эры) обнаружили наличие несоизмери-

мых отрезков. И математиков не устраивала ситуация, когда, строго говоря, "нельзя

измерить", например, диагональ квадрата со стороной 1 . Или (что то же самое) ко-

гда уравнение х2 – 2 = 0 не имеет решения. Дальше мы разберѐм этот пример. Эта неудов-

летворѐнность подтолкнула математиков к использованию так называемых ирра-

циональных чисел . Длина диагонали квадрата со стороной равной единице яв-

ляется иррациональным числом. Примерами иррациональных чисел являются чис-

ла: 2, , e ,

Обозначим множество иррациональных чисел через Ir . Заметим, что множе-

ство рациональных чисел и множество иррациональных чисел не пересекаются.

В обозначениях это записывается так: Q I r = .

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел назвали мно-

жеством действительных (вещественных) чисел и стали обозначать че-

рез R .

Можно написать: Q I r = R , Q R, I r R .

- - - - - - - - - - - -

Хотя обычные люди вполне обходятся только рациональными числами,

математическая теория строится на базе всех действительных чисел.

Позже мы рассмотрим пример, показывающий, почему лучше иметь дело сра-

зу со всеми действительными числами, а не ограничиваться рассмотрением только

рациональных чисел. (см. далее забавный пример)

Но расширением множества чисел до всех действительных чисел математики

не ограничились. У них возникли основания придать статус чисел величинам (объ-

ектам), являющимся корнями квадратными из отрицательных чисел. Стали считать,

что есть такое число, квадрат которого равен -1 . Отсюда автоматически последо-

вало, что можно извлечь корень квадратный из любого отрицательного числа. В ре-

зультате появились так называемые мнимые числа , которые в комбинации с

действительными числами образовали множество комплéксных чисел .9

Комплексные числа имеют структуру: a + bi , где а – действительная часть, а

bi – мнимая часть 10

этого комплексного числа. Символ-число i называют мнимой еди-

ближение к этим числам. Мы же не выписываем у этих чисел бесконечное число цифр. Мы берѐм у этих чисел только

конечное число десятичных знаков. А если в записи числа конечное число знаков (смотрите далее свойства рацио-

нальных чисел), то это – рациональное число. И даже при счѐте на компьютерах … 9 Ударение тут по-разному ставят. Когда я учился на мехмате, наш преподаватель по матанализу нам так говорил:

если обед, то – кóмплексный, а если числа, то – комплéксные. В те времена были популярны комплексные обеды.

Даже в профессорской столовой МГУ. 10

Здесь есть небольшой нюанс в терминологии, но мы об этом поговорим, когда будем заниматься комплексными

числами.

20

ницей: 𝑖 = −1 .

Множество комплексных чисел тоже обычно обозначают через Z : Zк о м п л .

Множество действительных чисел является частью (подмножеством) множества ком-

плексных чисел: R Zко м п л .

Если действительные числа – это множество точек числовой прямой, то ком-

плексные числа – это множество точек числовой плоскости. Такова геометрическая

интерпретация чисел.

Интересно, что для комплексных чисел понятия больше, меньше не определены (для комплексных

чисел не имеет места свойство упорядоченности). Для комплексных чисел нельзя сказать, что одно число

больше или меньше другого. В то время, как для любых двух (разных) чисел (целых, рациональных, ир-

рациональных, действительных) a и b имеет место одно из неравенств: a b . При

этом даже говорят, что число находится м е ж д у числами а и b , если выполняется неравенство

a < < b .

В нашем курсе математики мы дойдѐм и до комплексных чисел, но сейчас

подробнее поговорим о рациональных и иррациональных числах.

§ 3 . Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е И Д Е Й С Т В И Т Е Л Ь Н Ы Е Ч И С Л А .

Ч И С Л О В А Я О С Ь

Здесь мы подробнее поговорим о рациональных Q и иррациональных Ir чис-

лах. Вместе они составляют множество действительных чисел R : Q I r = R .

Но сначала поговорим о десятичной записи чисел.

1 . Десятичная запись чисел. ( с о к р а т и т ь )

Основной формой записи чисел является десятичная форма записи чисел.

Пример .

2 4 1 , 0 2 7 5 целая часть числа дробная часть числа

Целая часть числа может быть нулѐм. Дробная часть может отсутствовать. Десятич-

ная запись может быть либо конечна , если содержит в себе конечное число цифр, напри-

мер, 2041.15 , либо бесконечна , если число цифр в ней бесконечно. При бесконечном

количестве цифр в десятичной записи числа имеются две возможности:

1) начиная с какого-то места, какая-нибудь цифра или группа цифр повто-

ряется. Тогда, например, вместо 6,17242424….. , пишут: 6 ,17(24) ,

говорят: 6 , запятая, 17 и 24 в периоде. В этом случае будем говорить, что

десятичная запись числа бесконечная с периодом .

2) в бесконечной записи числа нет повторяющейся конечной группы цифр.

Примеры …

3 .141592653589793… 2 .718281828459045… 1 .41421356….. . . .

е 2

В этом случае будем говорить, что десятичная запись числа бесконечная без


21

периода .

Вопрос. Какую ещѐ запись чисел (помимо десятичной) вы используете? Ответ:

запись чисел в виде простых дробей. Вопрос. А ещѐ? Ответ: А ещѐ для целых чисел

иногда используют римскую форму записи.

2 . Рациональные и иррациональные числа .

(оставить только таблицу и замечание об определении и свойстве)

Множество рациональных чисел принято обозначать через Q . Множество

иррациональных чисел будем обозначать через Ir . Рациональные и иррациональ-

ные числа различаются по их десятичной записи и по во возможности их представ-

ления в виде простой дроби.

Характеристические свойства рациональных чисел. У рациональных чисел деся-

тичная запись конечна или бесконечна, но с периодом. Рациональные числа могут

быть представлены в виде простой дроби, то есть в виде отношения n

m

двух це-

лых чисел (m, n Z) .

Характеристические свойства иррациональных чисел. У иррациональных чисел

десятичная запись бесконечна, причѐм без периода. Иррациональные числа

не могут быть представлены в виде отношения n

m двух целых чисел.

Примеры иррациональных чисел: , е , 2 . На практике мы используем

приближѐнные значения 3 ,14 , е 2 ,72 , 2 1,41 , десятичная запись

которых конечна (даже если мы возьмѐм бóльшее число цифр в дробной части). То

есть мы используем рациональные приближения этих чисел.

Так что на практике мы пользуемся только рациональными числами.

Как мы уже отметили, множество рациональных чисел и множество иррацио-

нальных чисел не пересекаются: Q I r = . То есть, какое бы число мы ни

взяли, оно либо – рациональное, либо – иррациональное.

Указанные свойства рациональных и иррациональных чисел запишем в таблице.

Будем считать, что m, n Z.

Десятичная запись Представление в виде простой дроби

Рациональные числа Q : Десятичная запись конечна

или бесконечна с периодом

м ог ут быть представлены

в виде простой дроби n

m

Иррациональные числа I r : Десятичная запись

бесконечна б ез периода

н е мо г ут быть представлены

в виде простой дроби n

m

Вопрос. Какие числа можно записать в виде простой дроби, а какие нельзя?

Ответ: в виде простой дроби можно записать рациональные числа и нельзя записать

22

иррациональные числа.

Замечание. Обычно возможность или невозможность представления в виде пра-

вильной дроби используют для определения рациональных и иррациональных чи-

сел, а вид десятичной записи указывают как свойство. Хотя, бывает, поступают и

наоборот.

3 . Дейст вительные числа .

Рациональные и иррациональные числа вместе –

составляют множество действительных или

вещественных чисел.

Всѐ множество действительных или вещественных чисел обозначают через R .

Символически можно написать:

Q Ir = R

Запись х R означает, что х – какое-то действительное число. Запись

Q R означает, что множество рациональных чисел содержится во множестве

действительных чисел, то есть каждый элемент множества Q (каждое рациональное число)

входит и во множество R (является действительным числом).

Над действительными числами определены операции: сложения, умножения,

деления, возведения в степень, извлечения корня. Будем считать, что вы всѐ это

знаете со школы.

Действительные числа обладают следующими свойствами. [Эти свойства не определяют од-

нозначно действительные числа. Они верны для любого поля.]

4 . С в о й с т в а с л о ж е н и я и у м н о ж е н и я д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л .

1 ) переместительное свойство для сложения: a + b = b + a при а , b .

2) сочетательное свойство для сложения: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c при а , b , c .

3 ) переместительное свойство для умножения: a b = b a при а , b .

4) сочетательное свойство для умножения: a ( b c ) = ( a b ) c при а , b , c .

5) распределительное свойство (дистрибутивность умножения относительно сложения)

a ( b + c ) = a b + a c при а , b , c .

6) среди действительных чисел имеется число "ноль": а + 0 = а при а .

7 ) для каждого действительного числа а есть ему противоположное – а : а + ( – а ) = 0 .

8 ) существует единственное число "единица" 0 : а 1 = а при а .

9 ) для любого а 0 существует обратное ему число а- 1

: а а - 1 = 1 . Ещѐ обозначают: 𝑎−1 =

1

𝑎 .

Замечания. 1. Символ означает "любой", "произвольный".

5 . У п о р я д о ч е н и е д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л .

Для любых двух вещественных чисел а и b имеет место одно из трѐх о т н о ш е н и й :

a = b или a b .

При этом говорят: а равно b , а меньше b , а больше b .

Если a = b или a b , то пишут a b ( и говорят, что а больше или равно b ) .

Отношение вида a = b называется р а в е н с т в о м ,

отношения вида a b и a b называются н е р а в е н с т в а м и . Неравенства a b называются с т р о г и м и , а неравенства a b и a b называются н е с т р о г и м и . 11

11

Такой вопрос вам: верно ли неравенство 5 ≤ 5 ?

р а ц . ч и с л а

и р р а ц . ч и с л а +

д е й с т в и те л ь н ы е ч и с л а

23

Числа х , удовлетворяющие условию х > 0 , называются п о л о ж и т е л ь н ы м и ,

числа х , удовлетворяющие условию х < 0 , называются о т р и ц а т е л ь н ы м и .

С в о й с т в а н е р а в е н с т в .

1) a 0 , b > 0 a b > 0 .

4 ) При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраня-

ется, а при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на

противоположный. И так далее …

В теории действительных чисел устанавливаются и многие другие их свойства. В частности и свойства опера-

ций деления, возведения в степень, извлечения корня n – о й степени (n = 2 , 3 , … ). Ко многим этим свойствам

мы настолько привыкли, что используем их, не задумываясь. Мы не будем углубляться в эту теорию. Кому всѐ это

интересно, смотрите серьѐзные книги по математике.

6 . Н е о г р а н и ч е н н о с т ь м н о ж е с т в а д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л ( а р х и м е д о в о с в о й с т в о ) .

Все числовые множества (N , Z , Q , I r , R ) имеют это свойство:

каково бы ни было число х , существует целое число n такое, что n > x .

Свойства, о которых шла речь выше, верны для всех действительных чисел и, в частности,

верны для рациональных чисел. В этих свойствах (кроме шестого) фигурировали отдельные числа.

Дальше мы познакомимся со свойством, в котором фигурирует множество действительных чисел

"в целом" (это свойство непрерывности действительных чисел) . Множество рациональных чисел

этому свойству не удовлетворяет.

Естественно, мы упомянули не все свойства действительных чисел. Но перечисленных

свойств достаточно, чтобы из них вывести все остальные.

6 . Понят ие числовой оси .

Числовой осью (или действитель-

ной числовой осью ) называется бесконечная

прямая, на которой выбраны:

1) некоторая точка О , называемая началом

отсчѐта , 2) положительное направление , которое указывается стрелкой, и

3) единица длины (т.е. выбран отрезок, длина которого принимается за единицу).

Направление, противоположное положительному, называют отрицательным

направлением.

Числовую ось иногда называют просто числовой прямой .

На рисунке справа одна ось изображена вертикально, а другая – горизонтально.

7 . Геометрическая инт ерпретация дейст вительных чисел.

Основное свойство числовой оси. Свойст во непрерывност и де й-

ст вительных чисел.

Геометрическая интерпретация действительных чисел. Ос-

новное свойство числовой оси (о взаимно однозначном соответствии) .

Действительные числа интерпретируются как точки на числовой оси.

Основное свойство числовой оси состоит в том, что между точками числовой

оси и действительными числами существует взаимно однозначное соот-

ветствие .

Ответ: верно. Это неравенство равносильно совокупности 5 < 55 = 5

.

2 -1 -1

0

0

1

1

2

3

3 4

2

24

Это означает, что каждой точке на числовой оси соответствует единственное

изображаемое ею действительное число12

, а каждому числу соответствует единст-

венная изображающая его точка.

Поскольку между точками на числовой оси и действительными числами имеется

взаимно однозначное соответствие, точку на числовой оси обозначают обы ч-

но так же, как и соответствующее ей число:

" точка х ", " число х ";

более того: эти два понятия обычно отождествляют .

То есть "точка х " и " число х " – для нас это будет одно и то же.

Все точки на числовой оси мы будем называть конечными точками, чтобы отли-

чать их от "бесконечных точек", которые появятся у нас позже. Именно между конечными

точками числовой оси и действительными числами имеется взаимно однозначное соот-

ветствие.

Число ноль соответствует началу отсчѐта и обозначается точкой О . В случае го-

ризонтальной числовой оси точки, соответствующие положительным числам, расположе-

ны правее нуля, а точки, соответствующие отрицательным числам, расположены левее

нуля.

Используется ещѐ такая терминология. Точка (число) расположена левее …,

правее … другой точки (числа). Или точка … расположена между какими-то други-

ми точками. Например, если a > b , то число а расположено правее, чем b .

Обратим ваше внимание на то, что рациональные числа не заполняют

сплошь числовую ось . В связи с этим ниже мы привѐдѐм курьѐзный пример ...

Взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точ-

ками на числовой оси обеспечивается свойством, которое называется свойством

непрерывности действительных чисел :

действительные числа сплошь (без перерывов)

(без разрывов) заполняют числовую ось.

Это образная упрощѐнная формулировка свойства непрерывности действительных

чисел. Строгую формулировку смотрите в серьѐзных учебниках по математике 13

.

Н е к о т о р ы е т о н к о с т и . 1 . П о н я т и е н е п р е р ы в н ы х м н о ж е с т в .

В каждом из множеств точек : Q и I r есть "разрывы" в том смысле, что между любыми (даже

сколь угодно близкими) рациональными числами есть число, не являющееся рациональным, и между дву-

мя любыми иррациональными числами есть число, не являющееся иррациональным. И только в объедине-

12

Именно то число, которому соответствует эта точка. 13

Строгая формулировка такая … .

Пусть множество действительных чисел R разбито на два подмножества А и В таких, что каждое дейст-

вительное число находится либо в А , либо в В , и для всех чисел x A и y B выполняется неравенство

x < y . Тогда существует единственное число такое, что для всех таких х и у выполняется неравенство

x y . При этом число является либо наибольшим числом в А , либо наименьшим числом в В .

Это утверждение и представляет собой формулировку свойства непрерывности действительных чисел.

2

х


25

нии множеств Q и I r , то есть в множестве R действительных чисел уже нет разрывов. Это свойство

множества действительных чисел "сплошь, без разрывов покрывать числовую прямую" называется

свойством непрерывности действительных чисел. Поэтому можно сказать, что множество дей-

ствительных чисел является непрерывным множеством.

2 . П о н я т и е д и с к р е т н ы х м н о ж е с т в . Примером дискретного множества является множество це-

лых чисел,. В д и с к р е тн ы х множествах элементы, как бы, изолированы, отделены друг от друга. На-

глядно дискретность множества целых чисел видна, если на числовой оси выделить целые числа точками.

Эти точки, действительно, изолированы, отделены друг от друга.

Между двумя "соседними" целыми числами нет других целых чисел. Точнее говоря, …..

Далее мы рассмотрим множества рациональных и иррациональных. Эти множества не являются

дискретными.

8 . Почему теория математики строится на базе действител ь-

ных чисел .

В самом деле, на практике мы пользуемся рациональными числами, а ирра-

циональные числа не используем. Так почему же теория строится не на базе рацио-

нальных чисел, а на базе всех действительных чисел (рациональных и иррацио-

нальных)? Объяснение этому есть теоретическое и практическое. Теоретическое

объяснение состоит в том, что при базировании на действительных числах теория

получается проще и красивее, да и применение еѐ в жизни не вызывает никаких

трудностей. Практическое же объяснение состоит в том, что при этом также полу-

чается лучшим и согласие теории и практики. Об этом согласии теории и практики

мы и поговорим.

Забавный пример . Пусть мы рассматриваем

только рациональные числа.

Сейчас для нас иррациональных чисел нет. Рассмотрим

уравнение х2 – 2 = 0 .

В серьѐзных курсах математики доказывается, что нет ра-

ционального числа, квадрат которого равен двум. Значит,

это уравнение (сейчас для нас) не имеет решений!

То есть нет значения х , при котором х2 – 2 = 0 .

Другими словами, нет значения х , при котором график функции у = х2 – 2 пересе-

кает ось Ох .

Получается, что нет точки пересечения параболы, изображѐнной на рисунке с

осью Ох ! Эти две линии не пересекаются!

Обычному человеку очень неприятно слышать такие утверждения. А человек с плохо раз-

витым абстрактным мышлением даже скажет, что эти утверждения неверны. На самом деле си-

туация объясняется следующим образом. Теоретические рассуждения, конечно, верны. Но они не

соответствуют практическим, обыденным представлениям человека.

Обыденные представления таковы, что парабола у = х2

– 2 и ось Ох пере-

секаются, а уравнение х2 – 2 = 0 имеет решение х = 1,41. . . В значении

корня мы можем взять столько цифр, сколько нам нужно. А бесконечная точность

на практике не нужна. Чтобы описанного несоответствия не было, надо рассматри-

y = х2

– 2

y

x


26

вать сразу все действительные числа (как рациональные, так и иррациональные).

Построение курса математики на базе дейс т-

вительных чисел исключает описанное несоотве т-

ствие теории и практических представлений.

Другой пример несоответствия теории и практических представлений (при рас-

смотрении только рациональных чисел) связан с несоизмеримостью отрезков. Два отрезка

считаются соизмеримыми, если существует такой (может быть, очень маленький) третий

отрезок, который в этих двух отрезках укладывается целое число раз. Обычный человек

(не математик), я полагаю, считает, что так всегда должно быть. А на самом деле, если мы

пользуемся только рациональными числами, то, например, у любого квадрата диагональ

несоизмерима с его стороной.

Допустим, мы сторону квадрата примем за единицу длины. Тогда, если мы поль-

зуемся только рациональными числами, то диагональ этого квадрата не может быть изме-

рена, в том смысле, что не существует рационального числа, выражающего еѐ длину.

Никакой обычный человек не будет этим доволен.

Построение математики на базе действительных чисел исключает проблему несоиз-

меримости. При использовании действительных чисел любой отрезок имеет определѐн-

ную длину (выражающуюся либо рациональным, либо иррациональным числом).

Ещѐ раз отметим, что построение математики на базе действительных чисел сбли-

жает результаты теории с обычными практическими представлениями человека об объек-

тах, с которыми оперирует математика.

В заключение этого параграфа ещѐ раз напомним, за счѐт какого своего свойства

действительные числа имеет такой почѐт и так важны в математике. Это свойство – свой-

ство непрерывности действительных чисел. Его упрощѐнная формулировка:

действительные числа сплошь, без перерывов

(без разрывов) заполняют числовую прямую .

- - - -- - - -

Один практический вопрос возникает из-за того что, решение математической за-

дачи может дать иррациональные числа. Или теория даѐт какой-то результат, в котором

фигурируют иррациональные числа. А на практике мы можем использовать только рацио-

нальные числа. Как полученный в теории результат использовать практически? Как на

практике мы можем работать с иррациональными числами? Ответ на этот вопрос даѐт

следующая теорема. … Она, можно сказать, устанавливает мостик между теорией и прак-

тикой.

Каждое иррациональное число можно с любой степенью точности выразить с

помощью числа с конечной десятичной записью (то есть с помощью рационального

числа).


27

§4 . П О Н Я Т И Е М О Д У Л Я Ч И С Л А .

1 . Определение модуля числа .

.0,

,0,||

если

если

Из определения вытекают следующие свойства модуля : | x | 0 , | x | = |–x| .

Из определения также вытекает, что следующие пары утверждений равносильны.

1) | x | > 0 x 0 . 2) |x | = 0 x = 0 .

2. Геометрический смысл модуля числа.

Модуль числа равен расстоянию на числовой оси от начала отсчѐта до точ-

ки, соответствующей этому числу .

Если число b положительное, то его изобра-

жают точкой b , лежащей на расстоянии

|b|= b в положительном направлении от начала отсчѐта. Если число a от-

рицательное, то его изображают точкой a , лежащей на расстоянии |a|= -a

от начала отсчѐта в отрицательном направлении.

Модуль разности | a – b | = | b – a | имеет смысл расстояния меж-

ду точками a и b на числовой прямой.

Рисунок …

3. Равенства и неравенст ва с модулями.

Верны следующие равенства и неравенства с модулями.

| x | = | -x | ; | x y| = |x | | y | ; ||

||||

y

x

y

x .

| a + b | | a | + | b | ;

| a – b | | a | – | b |

Первое из этих неравенств обобщается на произвольное число слагаемых.

| a 1 + a 2 + . . . . . . . . + a n | | a 1 |+| a 2 |+ . . . . . . . . +| a n |

Модуль суммы чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел.

Краткая запись......

n

i

i

n

i

i aa11

||||

Обо зна чени е . Здесь мы использовали краткую запись для суммы конечного

числа элементов последовательности: a 1 + a 2 + . . . . . . . . + a n =

n

ii

a1

0 b a

|b | |a |

28

4. "Раскрытие" равенств и неравенств с модулями.

Запись |x| = c означает (если c > 0) :

сx

сx .

14

Следующие записи показывают, как "раскрываются" неравенства с модулем

(в этих записях c > 0) :

|x| < c

сx

сx –c < x < c ; Рис …

|x| > c

сx

сx Рис …

Замечания Квадратные скобки здесь означают совокупность двух неравенств.

Значок означает, что утверждения, записанные слева и справа от него, эквива-

лентны (равносильны). То есть, если верно одно из них, то верно и другое.

Значок означает, что если верно утверждение, записанное слева от него, то верно

и утверждение, записанное справа (из левого утверждения следует правое).

Значок означает, что если верно утверждение, записанное справа от него, то верно

и утверждение, записанное слева (из правого утверждения следует левое).

Задание 1. Сами раскройте неравенства |x| ≤ с и |x| ≥ с (для с > 0).

Задание 2. Подумайте, как будут раскрываться все приведѐнные выше равенство

и неравенства, если с = 0 , если с < 0 .

§ 5 . В И Д Ы П Р О М Е Ж У Т К О В Н А Ч И С Л О В О Й О С И

Это школьный материал....... Можно говорить, что это множества точек числовой

оси, а можно говорить, что это множества чисел из R .

Вы должны уметь иллюстрировать рисунком и давать определения следующих про-

межутков.

Название Обозначения

Отрезки [a; b]

Конечные интервалы (a; b)

Бесконечные интервалы (–; +), (–; b), (a; +)

Комбинированные конечные промежутки (a; b] , [a; b)

Комбинированные бесконечные промежутки (–; b] , [a; +)

14

Надеюсь, вы помните со школы, что такое с о в о к у п н о с ть равенств или неравенств и что такое с и с те м а …

Если не помните, то смотрите учебники или справочники, спрашивайте у своих товарищей, спрашивайте у преподава-

теля.

3

29

Пр и мер о пр еделени я . Промежутком, который обозначается (–; b] , называ-

ется множество чисел х , удовлетворяющих условию : – < x b.

Иллюстрирующий рисунок:

Остальные определения запишите сами. И сделайте рисунки.

Отрезком [a; b] называется множество чисел х , удовлетворяющих

двойному неравенству a ≤ x ≤ b .

Именно такие определения с неравенствами студенты должны формулировать

на экзамене.

Интервалом …. называется ….

Или (геометрическая интерпретация): Отрезком [a; b] … называется множе-

ство точек лежащих между точками a и b , включая сами эти точки.

Промежуток (a; +) – это множество чисел х , удовлетворяющих нера-

венству …

"Комбинированные" промежутки называют ещѐ "полуинтервалами".

Обратим внимание на то, что, хотя в школе часто вместо + пишут просто

, в высшей математике знаки + и имеют разный смысл (о чѐм мы будем

говорить ниже).

§ 6 . П О Н Я Т И Е О К Р Е С Т Н О С Т Е Й

Сейчас мы рассматриваем множество R действительных чисел. Напомним,

что мы отождествляем понятие действительного числа и точки на числовой оси:

"точка х " и " число х " – для нас это одно и то же. Поэтому множества чисел

являются для нас одновременно и множествами точек.

Конкретные точки на числовой оси (соответствующие конкретным числам из

R) мы будем называть конечными точками. И соответствующие числа тоже будем

называть конечными числами. Наряду с конечными точками-числами будем ис-

пользовать понятие "бесконечных точек". Их будем называть бесконечностями. Эти

понятия мы будем разъяснять как в этом параграфе, так и в последующих парагра-

фах.

1. Изображение числовой оси в виде окружности .

При объяснении понятий окрестностей бесконечностей мы будем использовать изо-

бражение числовой прямой (числовой оси) в виде окружности (или овала). На рисунке по-

казано, как устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками числовой

прямой и точками числовой окружности с выколотой "бесконечной" точкой.

х b –

4

30

Понятия окрестностей определяются для чисел из R и для "бесконечностей".

Поскольку числа из R мы отождествляем с точками на числовой оси, то можно го-

ворить, что понятия окрестностей определяются для конечных точек на числовой

оси и для бесконечных точек. Ниже мы дадим определения.

2. Двусторонние - окрестности конечных точек -чисел

из R.

-окрестности конечных точек из R бывают двусторонние и односторонние.

А двусторонние окрестности бывают полные и проколотые.

Если не уточняется, какая окрестность имеется в виду, то речь идѐт о полной

двусторонней окрестности .

-окрестности для конечных точек

Двусторонние Односторонние

Полная -окрестность

U(c, )

Левая -окрестность

U(c-, )

У -окрестностей

параметр задаѐт размер

окрестности.

Проколотая -окрестность

U (c, )

Правая -окрестность

U(c+

, )

В определениях -окрестностей всегда будем полагать, что > 0 .

-окрестностью точки с (двусторонней полной -окрестностью точки с )

называется интервал радиуса с центром в точке с , то есть интервал ( с -

, с + ) . Другими словами,

- окрестностью точки с называется множество

точек х , удовлетворяющих неравенству | x – c | <

или подробнее с – < х < с + .

Обозначение U(c, ) .

Просто -окрестность точки с – это полная -окрестность точки с .

c – c+

c

c– c+

c

c+

c

c–

c

5

Точке М 1 на числовой прямой соответствует

точка m 1 на числовой окружности, и наоборот …

Точке М 2 на числовой прямой соответствует

точка m 2 на числовой окружности, и наоборот …

∞

0 М 1 М 2

m 1

m 2

c – c+

c

31

Проколотая окрестность точки с получается из еѐ полной окрестности удалени-

ем самой точки с . Как надо изменить определение полной окрестности, чтобы из него получилось

. определение проколотой окрестности ?

Проколотой - окрестностью

точки с называется множество точек х , удовле-

творяющих неравенству

0 < | x – c | < .

Обозначение проколотой -окрестности точки с : Uо(c , ) .

Задачка. Что из себя будет представлять пересечение двух окрестностей?

Отв: либо окрестность, либо пустое множество. (Сделайте два рис)

Теорема. Пересечение полных или проколотых двусторонних окрестностей ко-

нечной точки всегда является опять полной или проколотой двусторонней окрестно-

стью этой точки.

Задание. Проиллюстрируйте эту теорему на рисунке.

3. Односторонние - окрестности конечных точек-чисел из R.

Односторонние окрестности бывают левые и правые.

Интервал (с – ; с) где с R, > 0 , называется левосторонней (или

просто левой) -окрестностью точки с .

Левосторонней -окрестностью точки с

называется множество точек х , удовлетворяющих двойному

неравенству с – < х < с .

Обозначение левосторонней -окрестности точки с : U (c–, ) .

Интервал (с; с+ ) где с R, > 0 , называется правосторонней (или

просто правой) -окрестностью точки с .

Правосторонней - окрестностью точки с

называется множество точек х , удовлетворяющих двойному не-

равенству : с < х < с + .

Обозначение правосторонней -окрестности точки с : U(c+

, ) .

Замечания. 1) Левостороннюю окрестность точки с будем называть ещѐ окрест-

ностью точки с–. Правостороннюю окрестность точки с будем называть ещѐ

окрестностью точки с+.

Символы с–

и с+

(так же как + и – ) можно назвать псевдоточками (псевдочислами). При этом,

конечно, надо было бы как-то обосновать такие названия. Но мы не будем сейчас на это отвлекаться. Только скажем,

что этим четырѐм символам можно дать и компьютерную интерпретацию. Точное же понимание этих символов даѐт-

ся в главе о пределах.

2) Величина характеризует размер окрестности. Чем меньше , тем

меньше окрестность.

c– c+

c

c–

c

5

c+

c

32

Произвольные окрестности для конечных точек

Двусторонние

Иногда говорят не об -окрестности, а просто об окрестности точки с . В этом

случае в определении окрестности не указывают с помощью величины размеры

интервала, являющегося окрестностью, а говорят просто "некоторый или какой-

либо, или просто интервал".

Полной двухсторонней окрестно-

стью (или просто окрестностью) точки с назы-

вают любой (не обязательно симметричный относи-

тельно точки с) интервал, содержащий точку с .

Обозначение: U ( c )

Полная окрестность

U(c)

Если из полной окрестности точки с удалить

саму точку с , то получится проколотая окрест-

ность точки с .

Обозначение: Uо(c)

Проколотая окрестность

U (c)

Односторонние произвольные окрестности

Левая

U(c-)

Любой интервал с правой границей в точке с

называется левосторонней (или просто

левой) окрестностью точки с .

Правая

U(c+

)

Любой интервал с левой границей в точке с

называется правосторонней (или просто

правой) окрестностью точки с .

Если мы не будем отмечать, что окрестность – проколотая или односторонняя,

то будем иметь в виду полную двустороннюю окрестность . Итак, про-

сто окрестность – это полная двусторонняя окрестность.

4. М -окрестност и бесконечност ей.

Бывают М -окрестности + , – и просто .

Множество точек х таких, что х > М

называется М -окрестностью (или пр о-

сто окрестностью) + .

Множество точек х таких, что х < М

называется М -окрестностью (или пр о-

сто окрестностью) – .

М x

М

x

c

c

c


33

Множество точек х , удовле-

творяющих неравенству

| x | > М ,

где М > 0 , называется

М -окрестностью .

Заметьте, что так же как проколотая окрестность конечного числа с склады-

вается из двух односторонних окрестностей, так и окрестность складывается

из окрестности – и окрестности + .

U(c+

, ) U(c–, ) = U (c , ) . U(+ , М ) U(– , -М ) = U( , М ) .

Замечания. 1. Величина М характеризует размер окрестности. Подумайте,

как можно сравнивать бесконечные интервалы? В каком случае можно говорить,

что такой-то интервал больше другого? Догадаетесь ли вы, как математики тут договорились?

Скажите, М–окрестность "больше" при М = 1 000 или при М = 10 000?

2. Рисунки и аналогии позволяют запомнить введѐнные здесь понятия. При

ответе на экзамене, главное, вы должны давать формальные определения (с помо-

щью неравенств).

3. Окрестности бесконечностей, а также односторонние окрестности – окре-

стности точек с+

, с–, договоримся считать проколотыми окрестностями.

5. Символы + и – , как мы уже отметили, можно назвать псевдоточками (псевдочислами).

4. У бесконечностей тоже рассматривают не только М -окрестности, но и

просто окрестности (произвольные окрестности), не фиксируя размер этих окрест-

ностей.

Такие окрестности тоже бывают односторонние и двухсторонние. Односторонние Двусторонняя

Окрестность +

U(+∞)

Окрестность – .

U(–∞)

Окрестность

(просто бесконеч-

ности)

U(∞)

Просто окрестность бесконечности

U() можно определить такой совокупно-

стью неравенств:

2

1

Mx

Mx

Здесь М 1 и М 2 – произвольные, но фиксированные числа.

Тео р ема . Пересечение окрестностей какой-либо бесконечности (+ ,– , )

всегда является опять окрестностью этой бесконечности.15

15

Обратите внимание, символы + и в высшей математике имеют разный смысл (в школе эти символы не раз-

личают). Все три символа + , – , называют бесконечностями. Можно считать их некими "псевдочислами".

–М М

– +

0

М –М

0=

xp,

р

>

1

R

М 2 М 1

0 x

+ –

0

+ –

0

– +

0

34

Объединяя теоремы о пересечениях окрестностей разных типов получаем, что

пересечение двух окрестностей некоторой точки (конечной или бесконечной:

R )

16 является тоже окрестностью точки того же типа.

Покажем это для различных ситуаций на рисунках. Рисунки …

За меча ни е . Односторонние окрестности конечных точек, а также окрестности

бесконечностей договоримся считать проколотыми окрестностями.

Можно дать интересную компьютерную интерпретацию символов (псевдочисел) + , – ,

с+

, с–. ….. . . .. . . .. . . . Строгое понимание этих символов будет разобрано в главе о пределах.

= = = == = = == = == = = = =

§ 7 . Н Е К О Т О Р Ы Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И Ч И С Л О В Ы Х М Н О -

Ж Е С Т В И М Н О Ж Е С Т В Т О Ч Е К Н А Ч И С Л О В О Й П Р Я М О Й

Сейчас мы

будем рассматривать множества чисел (точек) в R .

Говоря о точках-числах, мы будем иметь в виду числа-точки из R .

Напомним, что для этих точек просто под окрестностью мы понимаем

двухстороннюю полную окрестность .

1 . Внутренние и граничные т очки. Откр ытые и замкнутые

множест ва

Хотя эти понятия мы определим для точек из R , но они также определяются

и используются и для чисел из R . Вы же помните, что между точками на числовой

прямой и действительными числами имеется взаимно однозначное соответствие.

Это и обеспечивает возможность использования одних и тех же понятий, как для

чисел из R , так и для точек из R . Даже можно считать, что в некотором смысле

число из R и соответствующая ему точка из R – это одно и то же.

Точка называется в н у т р е н н е й точкой множества Х , если

существует такая окрестность этой точки, которая целиком лежит в Х . Для отрезка

[a, b] и интервала (a , b) любая точка х такая, что а < x < b является внутренней.

На рис. заштриховано

множество Х .

Точка M – внутренняя

точка множества X.

На рисунке показана окрестность точки M, целиком лежащая в множестве Х.

Тут важно, что такая окрестность существует.

Множество называется о т к р ы т ы м , если все его точки являются внут-

О них мы ещѐ будем говорить позже.

16 Символом

R мы будем обозначать объединение конечных точек (чисел) из R , конечных псевдочисел с

+, с

–

и бесконечностей + , – , .

М


35

ренними. То есть, если у каждой точки этого множества есть окрестность, все точки

которой также принадлежат множеству.

Интервал (a, b) – открытое множество. Все виды окрестностей – от-

крытые множества.

Точка называется г р а н и ч н о й т о ч к о й для некоторого множе-

ства , если какую бы окрестность этой точки мы ни взяли, в ней будут точки как

принадлежащие множеству, так и не принадлежащие.

На рис. заштриховано

множество Х.

Точка M – граничная

точка множества X.

На рисунке показана окрестность точки M, в которой находятся как точки, при-

надлежащие множеству Х , так и точки, не принадлежащие множеству Х.

Тут важно, что какую бы окрестность мы ни взяли, в ней обязательно будут как

точки, принадлежащие множеству Х , так и точки, не принадлежащие множеству

Х. .

Для отрезка [a, b] или интервала (a, b) точки a и b – граничные

точки.

У открытого множества граничные точки не принадлежат множеству. У ин-

тервала (a, b) точки a и b не принадлежат интервалу.

Множество называется замкнут ым , если все его граничные точки при-

надлежат ему. 17

(или если вне этого множества нет граничных для него точек)

Отрезок [a, b] – замкнутое множество.

В о п р о с ы . 1. В двусторонней проколотой окрестности выколотая точка будет

ли граничной? (да)

2. Промежуток [a, b) – замкнутое или открытое множество? (ни то, ни

другое)

Чтобы читатели-студенты не подумали, что всѐ так просто в математике, рассмотрим такой

пример . Всѐ множество действительных чисел R – является одновременно и открытым, и замк-

нутым множеством (От этого утверждения у психологически ослабленных студентов, бывает, "крыша едет". ) . Объяс-

нение этому факту такое. Множество R – открытое, так как все его точки – внутренние. В то же

время, так как у R нет граничных точек, то можно считать (и математики так и считают), что все

его граничные точки принадлежат ему. Поэтому множество R – замкнутое. Выходит, любое

множество без граничных точек – замкнутое множество.

Понятия "открытое" и "замкнутое" множества не являются противоположными друг

17

Понятие замкнутости множества рассматривается по отношению к "большему" множеству, для которого рас-

сматриваемое множество является подмножеством. Для нас сейчас большее множество – это множество R . Строгое

общее определение замкнутого множества: множество замкнуто (как подмножество в большем множестве), если все

его граничные точки (включая все точки из большего множества) принадлежат ему. Если у множества нет граничных

точек, то оно считается замкнутым.

М


36

другу понятиями.

2 . Ограниченност ь и неограниченност ь числовых множест в.

В следующем пункте мы будем говорить об ограниченности или неограниченности сверху

ил снизу. Сейчас же поговорим просто об ограниченности или неограниченности числовых мно-

жеств (об "общей" ограниченности-неограниченности) .

Ограниченность множест в .

Определение. Числовое множество Х называется . ограниченным , если

существует такое число M , что для всех элементов х Х выполняется неравен-

ство

| x | M

Можно сказать, что общая ограниченность (просто ограниченность) – это ог-

раниченность по модулю. Если М > 0 (мы всегда можем такое М взять), то гео-

метрически это означает, что существует такой отрезок с центром в начале коорди-

нат (в точке 0 на числовой оси) и "радиуса" М , который целиком покрывает

множество Х . Смотрите рисунок.

Понятие просто ограниченности и неограниченности используется как для

множеств чисел из R , так и для множеств точек из R .

Для множеств точек

на числовой оси ограни-

ченность означает, что все

точки множества удалены

от начала отсчѐта не далее

чем на М , то есть сущест-

вует такой отрезок

[–М, М] , что все точки

данного множества нахо-

дятся внутри этого отрезка.

6

0

x М

-М

0

x

М

-М

На рисунках множество Х заштриховано.

На одном рисунке числовая ось расположе-

на горизонтально, а на другом вертикально. При

вертикальном расположении числовой оси стано-

вится понятной терминология: ограниченность

"снизу", ограниченность "сверху". (см. дальше)

Тут много повторов


37

Неограниченность множест в .

Составим отрицание для определения ограниченного множества.

Правило составления отрицания. Слова общности заменяются словами существования и наоборот. За-

ключение (утверждение) меняется на противоположное.

Используя это правило, получаем следующее определение неограниченного множества.

Числовое множество Х называется . неограниченным , если какое

бы (большое) М мы ни взяли, обязательно найдѐтся элемент х Х , что будет

| x | > M .

Если М > 0 (мы всегда можем такое М взять), то геометрически это означа-

ет, что этот элемент х будет удалѐн от нуля дальше, чем на М . Рис…

То есть, какой бы отрезок [–М, М] мы ни взяли, обязательно найдѐтся элемент

х Х , находящийся вне взятого отрезка.

На следующих рисунках поясняется понятие неограниченности числового множества

(множества точек на числовой прямой).

Вопрос: Чем различаются понятия "бесконечного числового множества" и "неограниченного числового множества".

Помимо общей ограниченности-неограниченности (просто ограниченности-неограниченности) числовых

множеств существуют понятия ограниченности-неограниченности снизу и сверху.

3 . Ограниченност ь -неограниченност ь сверху и снизу .

Границы сверху и снизу для числовых множеств .

Если понятия простой (общей) ограниченности-неограниченности используется не только для множеств на

прямой, но и для множеств на плоскости и в пространстве, то понятия ограниченности-неограниченности снизу и

сверху используется только для множеств на прямой.

А. Граница сверху для числовых множе ств.

Границей сверху для множества Х (или верхней гранью множе-

ства Х ) называется любое число М такое что, при всех х Х выполняется

неравенство

х М .

Вопрос. Всегда ли есть граница сверху для множества?

6

На рисунках множество Х заштриховано. В случае неограниченно-

го множества штриховка должна уходить в бесконечность хотя бы в

одну какую-нибудь сторону (в частности, может уходить в бесконеч-

ность в обе стороны).

Какое бы М мы ни взяли, найдѐтся х Х , для которого вы-

полняется неравенство

| х | > М,

то есть этот х не попадает в отрезок [–М, М].

0

x

М

-М

0

x М

-М


38

Говорят, что . множество Х ограничено сверху , если существует

такое число М , что для всех х Х выполняется неравенство

х М.

Рис, поясняющие понятие ограниченности сверху числового множества (множества точек на числовой пря-

мой).

У ограниченного сверху множества есть верхние грани (границы сверху) (их бес-

численное множество), а у неограниченного сверху множества нет верхних граней.

Построим отрицание для определения ограниченного сверху множества . В результате по-

лучим определение неограниченного сверху множества.

Множество Х называется неограниченным сверху , если какое бы

число М мы ни взяли, всегда найдѐтся х Х , с которым выполняется нера-

венство

х М.

Рис, поясняющие понятие неограниченности сверху числового множества (множества точек на числовой прямой).

Б. Граница снизу для числовых множеств.

Границей снизу для множества Х (или нижней гранью множе-

ства Х ) называется любое число М такое что, при всех х Х выполняется

неравенство

х М .

Вопрос. Всегда ли есть граница снизу для множества?

На рисунках множество Х заштриховано. Выбрано такое М ,

что для всех х Х выполняется неравенство

х М. На одном рисунке числовая ось расположена горизонтально, а

на другом вертикально. При вертикальном расположении числовой

оси становится понятно, почему говорят: множество ограничено

"сверху".

x

М

x М

На рисунках множество Х заштриховано. На вертикальном ри-

сунке штриховка уходит вверх до бесконечности. На горизон-

тальном рисунке штриховка уходит вправо до бесконечности.

Для любого М найдѐтся х Х , для которого выполняется

неравенство х > М.

При вертикальном расположении числовой оси становится по-

нятно, почему говорят: множество неограничено "сверху".

x

М

x М

39

Говорят, что . множество X ограничено снизу , если существует та-

кое число М , что для всех х Х выполняется неравенство

х М.

Рис, поясняющие понятие неограниченности снизу числового множества (множества точек на числовой прямой).

У ограниченного снизу множества есть нижние грани, а неограниченного сни-

зу множества нет нижних граней.

Множество Х называется неограниченным снизу , если какое бы

число М мы ни взяли, всегда найдѐтся х Х , с которым выполняется нера-

венство

х < М.

Следующий рисунок поясняет понятие неограниченности снизу.

4. Второе определение ограниченности -неограниченност и ч и-

словых множеств .

Теорема. (Необходимое и достаточное условие ограниченности числового множества).

Для того, чтобы множество Х было ограниченным, необходимо и достаточно, что-

бы оно было ограниченным и сверху, и снизу.


сунке штриховка уходит вниз до бесконечности. На горизонталь-

ном рисунке штриховка уходит влево до бесконечности.

Для любого М найдѐтся х Х , для которого выполняется

неравенство х < М.

При вертикальном расположении числовой оси становится по-

нятно, почему говорят: множество неограничено "снизу".

x М

x

М


сунке штриховка ограничена снизу. На горизонтальном рисунке

штриховка ограничена слева.

Существенно, что нашлось такое М , что для всех х Х , выполняется неравенство

х ≥ М. При вертикальном расположении числовой оси становится по-

нятно, почему говорят: множество ограничено "снизу".

x М

x

М

40

Д о к - в о ..... 1) | x | M –M x M. 2) a x b ,

возьмѐм M = max ( |a | , |b| ) . Возьмѐм в качестве М – максимальное из

расстояний от начала координат до точек a, b . Или даже можно взять такое М , чтобы оно было

больше, чем | a | и | b | . По свойству Архимеда (см. свойства чисел) это можно сделать. Тогда –M a и b

M . И тогда –M a ≤ x ≤ b M или –M x M , то есть |x | M .

Рисунки … a, b < 0 , a, b > 0 , a, b разных знаков.

Это необходимое и достаточное условие (и оно является характеристическим

свойством) ограниченности. Поэтому оно может быть использовано для определе-

ния понятия ограниченности числового множества.

Второе определение ограниченности числового множества. Числовое множество Х

называется ограниченным (просто ограниченным), если оно ограничено и сверху,

и снизу, то есть, если существуют такие числа m и M , что для всех х Х вы-


m ≤ х ≤ M . = ====

Замечание. Понятия (внутренние и граничные точки, открытые и замкнутые множества, просто

ограниченность и неограниченность), введѐнные здесь для множеств точек на прямой ( в R ) , вводятся

также и для множеств точек на плоскости (в R2), и для множеств точек в пространстве. (в R

3) . С этим

мы познакомимся, когда будем изучать функции двух и трѐх переменных.

5 . Логические связи между просто ограниченностью-неограниченностью

и ограниченностью-неограниченностью сверху и снизу.

Просто ограниченность означает ограниченность одновременно и снизу, и

сверху.

Просто неограниченность числового множества означает, что имеет место хо-

тя бы одна (либо какая-нибудь одна, но, возможно, и обе) из неограниченностей: сверху или сни-

зу.

Используя операции логики высказываний ( - логическое "и", - логиче-

ское "или" )18

, можно написать:

ограниченность сверху ограниченность снизу = просто ограниченность.

неограниченность сверху неограниченность снизу = просто неограниченность.

18

Это вы в школе по информатике проходили. И сейчас в ВУЗе это снова всѐ будет.

x 0 a b

М = max{ |a | , |b |}

М –М

x 0 a b

М = max{ |a | , |b |}

М –М


41

Для человека не знакомого ни с логикой, ни, вообще, с математикой можно так

написать:

ограниченность сверху + ограниченность снизу = просто ограниченность.

неограниченность сверху и/или неограниченность снизу = просто неограниченность.

Знаки равенства в формулах этого пункта можно понимать, как "означает", "рав-

носильно", равно.

В предыдущем пункте мы доказали только теорему, устанавливающую связь

между просто ограниченностью и ограниченностью сверху и снизу. Связь между

просто неограниченностью и неограниченность сверху и снизу устанавливает сле-

дующая теорема, которую мы не будем здесь доказывать.

Т е о р е м а . Для просто неограниченности числового множества необходимо и

достаточно, чтобы это числовое множество было неограниченным сверху и/или сни-

зу.

Если вы понимаете все эти логические связи, то можно сказать, что вы освоили понятия ограниченности-

неограниченности простой (общей) и сверху, снизу.

6 . Наличие-отсутствие наибольшего и наименьшего элементов в число-

вом множестве. При первом чтении можно пропустить.

Рассмотрим один, можно сказать, "тонкий" вопрос. Как вы думаете, обяза-

тельно ли в числовом множестве существует наибольший и наименьший элементы?

Есть понятие: наименьший элемент числового множества .

Наименьший элемент в Х обозначается

xm = xnimXx

.

Элемент xm множества Х называется наименьшим элементом множества Х , если

для всех x Х выполняется неравенство xm ≤ x .

В числовом множестве может быть только один наименьший элемент, таких

элементов может быть несколько, но может оказаться, что в каком-то числовом

множестве нет наименьшего элемента. Если числовое множество неограниченно

снизу, то это нетрудно себе представить, но, оказывается, что и в ограниченных сни-

зу множествах может не быть наименьшего элемента.

И н т е р е с н ы й ф а к т . Не всегда числовое множество имеет среди своих эле-

ментов наименьший! ( Это касается бесконечных числовых множеств). В интерва-

ле (0 , 1) нет и наименьшего элемента, нет и наибольшего элемента.

Вопрос: Чему равны наибольший, наименьший элементы у множеств

(–5; 3 ) и [9; + ) ?

Вопрос: чем отличается граница снизу для множества от наименьшего элемента этого мно-


42

жества? Ответ: Число, определяющее границу снизу, может принадлежать, но может и не при-

надлежать множеству. А наименьший элемент (если он есть в этом множестве) обязательно при-

надлежит множеству. Наименьший элемент является границей снизу (наибольшей элемент явля-

ется границей сверху) для данного множества.

Есть понятие: наибольший элемент числового множества .

Наибольший элемент в Х обозначается

xM = xaxmXx

.

Элемент xM множества Х называется наибольшим элементом множества Х , если

для всех x Х выполняется неравенство xM ≥ x .

В числовом множестве может быть только один наибольший элемент, таких

элементов может быть несколько, но может оказаться , что в каком-то числовом

множестве нет наибольшего элемента. Если числовое множество неограниченно

сверху, то это нетрудно себе представить, но, оказывается, что и в ограниченных

сверху множествах может не быть наибольшего элемента.

И н т е р е с н ы й ф а к т . Не всегда числовое множество имеет среди своих

элементов наибольший! (Это касается бесконечных числовых множеств). В мно-

жестве чисел (2; 3) нет наибольшего элемента. Какое бы число из этого множества

вы ни указали в качестве наибольшего, я смогу указать вам ещѐ большее число из

этого же множества.

Вопрос: чем отличается граница сверху для множества от наибольшего элемента этого

множества? Ответ: Граница сверху может принадлежать, но может и не принадлежать множест-

ву. А наибольший элемент (если он есть в этом множестве) обязательно принадлежит множеству.

Наибольший элемент множества всегда является границей сверху для данного множества. Причѐм

он является наименьшей границей сверху для данного множества.

Н е п р о с т о й в о п р о с . Подумайте, как наличие-отсутствие наибольшего-наименьшего элементов в числовом

множестве связано с открытостью-закрытостью и с ограниченностью-неограниченностью рассматриваемого числово-

го множества. Какие бы утверждения (теоремы), связывающие эти понятия, вы могли бы сформулировать? Исполь-

зуйте свою математическую интуицию и здравый смысл.

§ 8 . П Е Р Е М Е Н Н Ы Е В Е Л И Ч И Н Ы . Ф У Н К Ц И И .

1 . Понятие о переменной величине .

Величину, которая принимает числовые значения, мы будем называть чи-

словой переменной или просто переменной (поскольку пока

мы будем рассматривать только числовые переменные ).

Переменная величина характеризуется следующим:

1) она имеет обозначение,

2) имеется числовое множество возможных еѐ значений.

Обратим внимание на то, что переменная может принимать разные значения,

(0 9 г . ) Л е к ц и я 2 .


43

но может всѐ время иметь одно и то же значение. Если заранее известно, что ве-

личина имеет некоторое значение и не может принимать других значений, то еѐ на-

зывают постоянной или константой . Константами также называют кон-

кретные числа .

2 . Дискретные и непрерывные переменные .

Непрерывная величина – это такая величина, которая принимает все дей-

ствительные значения из некоторого промежутка.

Дискретная величина – это такая величина, значения которой на числовой

оси "отделены" друг от друга. Другими словами, между значениями этой перемен-

ной величины есть такие числовые значения, которые рассматриваемая переменная

величина не принимает.

3 . Независимая переменная величина .

Если некоторой переменной величине мы можем по своему усмотрению да-

вать те или иные значения из некоторого множества еѐ возможных значений, то эту

переменную называют независимой переменной (или свободной перемен-

ной).

Независимая переменная величина будет полностью задана, если указано еѐ

обозначение и если указано множество еѐ возможных значений.

П р и м е р ы . 1) Переменная величина принимает значения из промежутка [a , b] .

x [a, b]

2) Величина k принимает целые значения: k Z .

4 . Соответствие между переменными. Зависимая и неза-

висимая переменные .

Пусть у нас есть две переменные величины. Каждому значению одной вели-

чины можно поставить в соответствие какое-то значение другой вели-

чины.

Между двумя переменными величинами может быть установлено соот-

ветствие следующими способами (укажем три простейших способа).

Можно говорить, что это и способы задания функций . 19

1) с помощью таблицы (табличный способ)

.......Табл…

Здесь значениям переменной х поставлены в соответствие определѐнные

19

Дальше мы будем разбирать понятие функции. Функция задаѐтся указанием соответствия между переменными,

одна из которых считается независимой переменной (аргументом), а другая зависимой переменной( функцией). По-

этому перечисленные способы задания соответствия между переменными одновр е-

менно являются и способами задания функци й .

7


44

значения переменной у .

2) с помощью графика (графический способ)

.........Рис…

3) (аналитический способ) (формульный способ) с помощью формулы, по

которой вычисляются значения переменной у по взятому значению переменной х :

y = f ( x ) .

Обычно

одну из переменных в установленном соответствии считают

независимой (свободной) переменной, а другую зависимой переменной.

Если, допустим, говорят, что с помощью такого-то правила значениям пере-

менной величины х поставлены в соответствие значения переменной величины у ,

то считают, что х – независимая переменная, а у – зависимая .

Вопросы. Как вы думаете, какой из способов задания функций наиболее рас-

пространѐн в жизни? Какое достоинство есть у графического способа задания

функций? Какое достоинство есть у аналитического способа задания функций?

[Мат энц словарь] Понятие переменной (переменной величины) возникло в 17 в. (Декарт

?) первоначально под влиянием запросов естествознания, выдвинувшего на первый план изучение

движения, процессов, а не только состояний. Понятие переменной потребовало использование

буквенной алгебры.

Переменные являются зависимыми или независимыми лишь по отношению друг к другу, и

их различение определяется условиями задачи.

4 . Взаимно однозначное соот ветствие между переменными.

Самыми простыми (и в некотором смысле хорошими) соответствиями явля-

ются взаимно однозначные соответствия.

О п р е д е л е н и е . Соответствие между пере-

менными х и у называется взаимно од-

нозначным , если каждому значению пере-

менной х соответствует единственное значение

переменной у и каждому значению перемен-

ной у соответствует единственное значение пе-

ременной х , причѐм, если значению х1 первой

переменной соответствует значение у1 второй

переменной, то значению у1 второй перемен-

ной соответствует именно значение х1 первой

переменной.

Пр и мер . График, изображѐнный на рисунке, за-

даѐт взаимно однозначное соответствие.

у 1

х 1


45

Примером взаимно-однозначного соответствия является соответствие между

точками на числовой оси и действительными числами.

Соответствие может быть и не взаимно однозначным. Например, функция

y = x2 задаѐт не взаимно однозначное соответствие. Каждому отличному от нуля

значению переменной у (из множества значений функции) здесь соответствует два

значения х . Функция y = sin x задаѐт тоже не взаимно однозначное соответствие.

Каждому значению переменной у (из множества значений функции) здесь соответ-

ствует бесчисленное множество значений х . А вот на промежутке [−𝜋

2;

𝜋

2] функ-

ция y = sin x задаѐт взаимно однозначное соответствие. Сделайте сами рисунки …

В о п р о с . А на каком промежутке функция y = x2 задаѐт взаимно однозначное

соответствие?

З а м е ч а н и е . Надо понимать, что взаимно однозначное соответствие задаѐт две

функции (понятие функции мы рассмотрим позже, впрочем, оно известно вам со школы). Так как

каждому значению х соответствует определѐнное единственное значение у , то

мы имеем функцию у = у(х) . С другой стороны, так как каждому значению у

соответствует определѐнное единственное значение х , то мы имеем функцию

х = х(у) . Эти две функции, о чѐм мы поговорим ещѐ позже, называются взаимно

обратными.

5 . Определение понят ия функции.

Итак, пусть между переменными х и у установлено соответствие. Пусть,

скажем, всем возможным значениям переменной х поставлены в соответствия зна-

чения переменной у .

Будем считать, что х является свободной, независимой пере-

менной, а у – зависимой переменной.

Считается, что значения независимой переменной мы можем брать произ-

вольно ( из некоторого множества ), а значения зависимой переменной получаются

по имеющемуся правилу. Правило может задаваться, например, таблицей, графи-

ком, формулой.

Правило можно изобразить в виде "чѐрного ящика" или в виде мясорубки …

Рис….

Независимую переменную х называют аргументом, а зависимую перемен-

ную у называют функцией. Перед тем как дать точное определение договоримся

об обозначениях. Множество значений независимой переменной х будем обозна-

чать через D , а множество значений у , которые может принимать зависимая пе-

ременная, будем обозначать через F .


46

Сейчас мы рассматриваем числовые функции числового аргумент а .

Поэтому множества D и F, откуда берутся значения переменных, у нас будут

числовыми множествами. Через R мы обозначаем всѐ множество действительных

чисел, поэтому D и F – некоторые подмножества множества действительных

чисел: D R и D R .

Определение функции.

Пусть всем значениям переменной х из множества D (х D) с помо-

щью некоторого правила f поставлены в соответствие значения переменной у .

Пусть при этом каждому значению переменной х поставлено в соответствие од-

но единственное значение переменной у . Тогда:

1) переменную х называют независимой переменной или аргументом ,

а переменную у называют зависимой переменной или функцией перемен-

ной х и пишут

y = f ( x ) , х D .

2) при этом ещѐ говорят, что на множестве D задана (однозначная)

функция f (задана функциональная зависимость) . Если множество зна-

чений, которые принимает переменная у , обозначено через F, то пишут:

f : D F.

При этом говорят, что множество D отображается на множество F .

З а м е ч а н и я . 1) Как видим, термин функция обозначает как переменную у ,

так и правило f . Правило f может быть задано по-разному (см. далее способы задания

функции).

Понятие функции близко к понятию отображения. Поэтому говорят ещѐ так:

функциональная зависимость между двумя переменными определяется как отобра-

жение множества значений одного переменного в множество значений другого.

3) Часто правило, устанавливающее соответствие между х и у (зависи-

мость у от х ) , обозначают также через у : Пишут: у = у(х) .

Но мы будем немного по-разному понимать записи y = f(x) и у = у(х) .

В первой записи символ f будет обозначать определѐнное правило, определѐнную

формулу. Вторая запись будет просто обозначать факт зависимости у от х .

Множество D значений переменной х , которым поставлены в соответствие

значения переменной у , называется областью определения функции.

Множество F значений, которые принимает переменная у , называется

множеством значений функции.

Задать функцию – значит задать область определения функции и задать пра-

вило, по которому каждому значению аргумента из области определения сопостав-

ляется значение функции.

7

7


47

З а м е ч а н и е . Часто область определения функции не указывается, а задаѐтся

только правило, указывающее, как по значению аргумента получить значение функ-

ции. В этом случае предполагается, что областью определения является множество

всех тех значений независимой переменной, для которых по данному правилу мо-

гут быть получены значения функции. Говорят, что это – "естественная" область оп-

ределения данной функции.

З а м е ч а н и е . Поскольку переменная у принимает значения из R , то часто пишут:

f : D R . При этом говорят, что множество D отображается в множество R ,

в этом случае отображение D R называют отображением "в".

З а м е ч а н и е . Иногда в определении понятия функции допускают, что одному значению аргумента х со-

ответствует не одно, а два (или даже больше) значения у . В этом случае говорят, что функция – мно го з на чн а я .

А определѐнные выше функции называют о дно з на чными . В случае однозначной функции каждому значению

аргумента соответствует одно единственное значение функции. Мы с вами пока будем иметь дело только с одно-

значными функциями. Многозначные функции у нас встретятся в разделе "Теория функций комплексной пе-

ременной".

6 . Приращение функции.

Приращением функции y = f(x) в точке х 1 , соответствующим

приращению аргумента х , называется разность значений функции

)x(f)xx(fy 11x,x1

.

y = f (x )

y = f (x 1 +x )– f (x 1 )

x 1

x

f (x 1 +x )

x 1 +x

y

x

f (x 1 )

7

Здесь х и у > 0 .

Функция f (x) возрастает.

y = f(x)

f: D F F

D R

R

f

x D R

y F R

ось х

ось у

Этот рисунок иллюстрирует понятие функции.

48

y = f (x )

y = f (x 1 +x )– f (x 1 )

x 1

x

f (x 1 +x )

x 1 +x

y

x

f (x 1 )

x<0

Приращение функции зависит как от точки х 1 , в которой оно вычисляется,

так и от приращения аргумента х . При разных х будут получаться (вообще

говоря) разные приращения функции.

Задание. Сделайте ещѐ рисунки: 1) когда f (x) возрастает, а х < 0

и 2) когда f (x) убывает, а х > 0 .

7 . График функции.

Графиком функции y = f(x) называется множество точек плоскости

хОу с координатами (х, f(x)), где x D.

8 . Прост ейшие способы задания функций.

Поскольку функции – это соответствия между переменными (Зависимой у и

независимой х : y = f (x ) ), то способы задания функций такие же, как и способы

задания соответствий между переменными. Простейшие три способа задания функ-

ций смотрите в §4 (пункт 3). Более сложные аналитические способы задания функ-

ций (параметрическое задание функций, неявное задание функций) мы рассмотрим

позже.

В жизни функциональные зависимости обычно выявляются путѐм измерений.

Поэтому на практике наиболее распространѐнный способ первоначального описа-

ния функции – табличный.

§ 9 . Я В Н О Е , Н Е Я В Н О Е , ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ З А Д А Н И Е

Ф У Н К Ц И Й

Явным заданием функции называют способ, при котором, имея зна-

чение аргумента х , по формуле y = f (x) можно вычислить значение функции у .

При неявном задании функции у нас нет формулы, выражающей значение

функции через значение аргумента, а есть только соотношение, связывающее зна-

чения аргумента и функции. Если все члены этого соотношения перенести в левую

часть, оставив справа ноль, то это соотношение имеет вид: F(x,y) = 0 .

При неявном задании иногда задаѐтся сразу пара функций.

Пример 1. x2 + y

2 = R

2. Это соотношение задаѐт сразу две функции:

….. . . … Это неявное задание окружности.

Здесь х < 0 , у > 0 .

Функция f (x) убывает.


49

При параметрическом задании функции используется ещѐ одна –

третья переменная, называемая параметром. Часто этот параметр обозначают через

t . Формулы, задающие функцию параметрически, имеют вид: …. ..

Пример 2. ….. . Это параметрическое задание окружности.

§1 0 . Н Е К О Т О Р Ы Е З А К О Н О М Е Р Н О С Т И В П О В Е Д Е Н И И

Ф У Н К Ц И Й

В школе вы рассматривали такие характеристики функций, как чѐтность , не-

чѐтность, периодичность. Вспомните все эти понятия и отразите эту свою работу в

своих тетрадях. Приведите определения, формулы, рисунки.

1. Чѐтность.

2. Нечѐтность.

Геометрический смысл чѐтности и нечѐтности.

3. Периодичность.

§ 1 1 . П О Н Я Т И Е П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т И

Определение . Упорядоченное (пронумерованное) бесконечное множество

чисел

a 1 , a 2 , . . . . . . . . . . , a n , . . . . . . . . (*)

называется числовой последоват ельност ью (или просто последовательно-

стью). (Пока мы будем рассматривать только числовые последовательности)

Последовательность (*) кратко обозначается символом {an }.

Числа an , которые составляют последовательность, называются элемен-

тами последовательности.

Графическое изображение числовой последовательности.

(смотрите рисунок) Графическое изображение последовательности мы бу-

дем называть графиком последовательности. Т.е. график последовательно-

сти {an } – это множество точек с координатами (n, a n ).

Каждому n соответствует своѐ значе-

ние a n : a n = f(n) .

Поэтому можно дать и такое определение.

Последовательност ь – это

функция, областью определения которой

является множество натуральных чисел.

Последовательность – это частный случай функции.

Иногда нумерацию членов последовательности начинают с нуля. В принципе, неважно, как

занумеровать члены последовательности. Главное, должно быть ясно, какой член вслед за каким

8

50

идѐт.

Далее мы рассмотрим некоторые характеристики последовательностей и

функций.

§ 1 2 . В О З Р А С Т А Н И Е , У Б Ы В А Н И Е

1 . Последовательности.

Рис…

Последовательность {an} называется возрастающей , если каждый по-

следующий член последовательности больше предыдущего члена, то есть, если для

любого n выполняется неравенство: а n + 1 > a n .

Последовательность {an} называется убывающей , если каждый после-

дующий член последовательности меньше предыдущего члена, то есть, если для

любого n выполняется неравенство: а n + 1 < a n .

1) Возрастающая (строго возрастающая) :

а n + 1 > a n n

2) Неубывающая: а n + 1 a n n

3) Убывающая (строго убывающая):

а n + 1 < a n n

4) Невозрастающая: а n + 1 a n n

Это всѐ монотонные по-

следовательности.

1 и 3 – строго монотонные,

2 и 4 – нестрого монотонные.

Задание. Изобразите рисунки с каждой из этих четырѐх ситуаций.

Возрастающие и убывающие последовательности называются строго мо-

нотонными , а неубывающая и невозрастающая последовательности называются

нестрого монотонными . И те, и другие последовательности называются про-

сто монотонными .

Если у последовательности какой-то член больше предыдущего, а какой-то

член меньше предыдущего, то такая последовательность не является монотонной.

2 . Функции.

Если для последовательностей понятие возрастания-убывания обычно рас-

сматривают на всей их области определения (для n ), то для функций рассмат-

ривают возрастание-убывание на том или ином промежутке. Это обычная ситуация,

когда на одной части своей области определения функция возрастает, а на другой –

убывает.

Давая определения возрастания-убывания последовательностей, их поведение

обычно рассматривают на всей области их определения (n N ). Давая же опре-

деления возрастания-убывания функций, их рассматривают более детально. Приня-

то рассматривать поведение функции на каком-то промежутке из области определе-

ния. Дело в том, что обычной является ситуация, когда на каком-то промежутке из

области определения функция возрастает, а на другом – убывает. Рисунок.

9

10

8

51

О п р е д е л е н и е . Функция y = f(x) называется воз-

растающей на некотором промежутке Х , ес-

ли на этом промежутке большему значению аргумента

соответствует большее значение функции.

Последнее означает, что для любых х 1 и х 2 Х

таких, что х 1 < х 2 выполняется неравенство f (х 1 ) <

f (х 2 ) .

О п р е д е л е н и е . Функция y = f(x) называется

убывающей на некотором промежутке Х , если на

этом промежутке большему значению аргумента соот-

ветствует меньшее значение функции.

Последнее означает, что для любых х 1 и х 2 Х таких, что х 1 < х 2 вы-

полняется неравенство f (х 1 ) > f (х 2 ) .

Сами сделайте рисунки и сформулируйте определения для неубывающей и

невозрастающей на некотором промежутке функций.

1) Возрастающая (строго возрастающая):

х 1 < x 2 f ( x 1 ) < f (x 2 )

Р и с

…

Это всѐ монотонные

функции

1 и 3 – строго монотонные,

2 и 4 – нестрого монотонные.

2) Неубывающая:

х 1 < x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 )

3) Убывающая (строго убывающая):

х 1 < x 2 f (x 1 ) > f (x 2 )

4) Не возрастающая: х 1 < x 2 f (x 1 ) f ( x 2 )

Задание. Изобразите рисунки с каждой из этих четырѐх ситуаций.

Функции, убывающие на некотором промежутке, и функции, возрастающие на

некотором промежутке, называются строго монотонными на этих промежутках.

Функции, неубывающие на некотором промежутке, и функции, невозрастающие на

некотором промежутке, называются нестрого монотонными на этих промежутках.

Функция называется монотонной на некотором промежут ке ,

если она либо строго монотонна , либо нестрого монотонна на этом промежутке.

функция не монотонная на Х

Х

Если в какой-то части некоторого проме-

жутка функция возрастает, а в другой убывает,

то на этом промежутке функция не является моно-

тонной.

Если, говоря о поведении функции, не указывают промежуток, то имеют в

виду всю область определения.

y = f(x)

x1 x2

y = f(x)

x1 x2

52

Понятие характер. св-ва.

3 . Характ еристические свойства возрастания и убывания

функции .

Понятие характеристического свойства … Для указанного множества объек-

тов (элементов) некоторое свойство называется характеристическим , если: 1) лю-

бой объект из этого множества обладает этим свойством и 2) любой объект, обладаю-

щий этим свойством, обязательно принадлежит указанному множеству.

(Характеристическое свойство – это то же самое, что необходимое и достаточное условие.)

Характеристическое свойство возрастающей функции (упрощѐнная формулировка) .

Функция у = f(x) является возрастающей на Х тогда и только тогда, когда

на этом промежутке в любой его точке x отношение приращения функции к при-

ращению аргумента есть величина положительная

0x

y

.

Рисунок …

Здесь у = f (x + х) – f (x) , х Х , х 0 и такому, что х+ х Х .

(Н.Д.) Тео р ема 1 (Характеристическое свойство возрастающей функции). Функция является

возрастающей на Х тогда и только тогда, когда для всех х Х и всех

х 0 таких, что х +х Х, выполняется неравенство 0x

)x,x(y

,

где у(х, х) = f(x + х) – f(x).

# Это утверждение становится более понятным, если учесть, что для возрас-

тающей функции положительному значению приращения аргумента соответствует

положительное же значение приращения функции, а отрицательному значению

приращения аргумента соответствует отрицательное значение приращения функ-

ции. То есть приращение аргумента и соответствующее ему приращение функции

имеют одинаковые знаки. Поэтому их отношение всегда будет больше нуля.

Смотрите рисунок. На рисунке, правда, точка, в которой рассматривается приращение

функции, обозначена не х , как в тексте, а х 0 . Но, может быть, вас это не запутает. Но

х

у

х 0 х 0 + Δ х

Δ х > 0

Δ y > 0

Δ y = f ( x 0 + Δ x ) – f ( x 0 )

х

у

х 0 х 0 + Δ х

Δ х < 0

Δ y < 0

Δ y = f ( x 0 + Δ x ) – f ( x 0 )

53

вы можете сделать свой рисунок, на котором вместо х 0 везде написать просто х . # 20

Характеристическое свойство убывающей функции (упрощѐнная формули-

ровка) . ……….

Тео р ема 2 (Характеристическое свойство убывающей функции). Функция яв-

ляется убывающей на Х тогда и только тогда, когда для всех х Х и всех х 0

таких, что х + х Х, выполняется неравенство

0x

)x,x(y

,

где у(х, х) = f(x + х)– f(x) .

З а д а н и е . Сами сделайте рисунок и докажите это свойство.

Для запоминания запишем кратко эти свойства возрастающей и убывающей

функций.

Функция возрастающая 0x

y

; (х и у имеют одинаковые знаки)

Функция убывающая 0x

y

; (х и у имеют разные знаки)

З а м е ч а н и е . В случае возрастания функции и большему значению функции со-

ответствует большее значение аргумента: f (x 1 ) < f (x 2 ) х 1 < x 2 . А в слу-

чае убывания функции большему значению функции соответствует меньшее значе-

ние аргумента: f (x 1 ) > f (x 2 ) х 1 < x 2 . Эти факты используются в школь-

ной математике при решении неравенств. Точная формулировка этого свойства, на-

пример, для возрастающей функции такая. Если на промежутке Х функция f (x )

возрастает и для х 1 , х 2 Х выполняется неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ) , то x 1 < x 2 .

4 . Признак взаимно однозначного соот вет ствия, задаваем о-

го функцией.

Здесь мы рассмотрим одно условие, при котором функция y = f (x) задаѐт

на некотором промежутке взаимно однозначное соответствие между переменными

x и y .

Т е о р е м а . Если функция у = f (x) строго возрастает на промежутке Х

или строго убывает на промежутке Х , то эта функция задаѐт на этом проме-

жутке Х взаимно однозначное соответствие между переменными х и у.

Сделайте сами рисунки с возрастающей и с убывающей функцией и постарайтесь понять, что это так.

Замечание об "очевидности" той или иной теоремы. ……

Иногда студенты говорят о той или иной теореме: зачем еѐ доказывать? Без всякого доказательства

20

Значками # я обозначаю начало и конец доказательства. Хотя в данном случае приведѐнные рассуждения ещѐ не доказательство. Эти

рассуждения предназначены только для того, чтобы студент поверил (почувствовал), что теорема верна.

54

ясно, что всѐ это так.

"Очевидность" для простого человека той или иной математической теоремы означает, что мате-

матика с еѐ аксиомами вполне адекватно описывает представление обычного человека об окружающем ми-

ре. И это хорошо. Но чтобы гарантировать эту адекватность, математикам надо доказывать все свои тео-

ремы, исходя из принятых аксиом.

§ 1 3 Т О Ч К И Э К С Т Р Е М У М А

Понятие точек экстремума вводится только для непрерывных функций. То есть точка х из области

определения функции может быть точкой экстремума только, если в этой точке функция непрерывна. Ос-

новательно о непрерывности функции мы поговорим после изучения темы "Пределы", а сейчас ограни-

чимся предварительным представлением о непрерывности функций.

1 . Предварительное представление о непрерывност и фун кций.

Здесь мы дадим упрощѐнное графическое представление о непрерывности

функций.

Если график функции в некотором промежутке можно нарисовать, не отрывая

карандаша от бумаги, то рассматриваемая функция – непрерывна на этом проме-

жутке.

В этом случае также говорят, что она непрерывна во всех точках этого проме-

жутка.

Точные определения, повторяем, будут даны позже.

В о пр ос . Является ли последовательность непрерывной функцией?

2 . Точки максимума функции .

Говоря далее о точках максимума и минимума, мы будем предполагать, что

функция непрерывна в некоторой окрестности этих точек (в полной двусторонней

окрестности) .

Уп р о щѐнно е о пр еделени е ( д л я с л а б ы х т р о е ч н и к о в ) . Точка х 1 называется точкой

максимума функции f (x) , если значение функции в этой точке больше, чем

значения функции в рядом расположенных точках.

О п р е д е л е н и е . Пусть функция f (x) определена в некоторой полной (двусторон-

ней) окрестности точки х 1 . Точка х 1 называется точкой (локального) макси-

мума функции f(x) , если есть такая проколотая окрестность U(x 1 ) этой точ-

ки, что для всех точек х U(x 1 ) выполняется неравенство f (x 1 ) > f (x) .

На рис пок-ть х и у .

Обозначим х = х – х 1 и запишем

это неравенство в другом виде.

f (x 1 ) > f (x 1 + х) или

f (x 1 + х) – f (x 1 ) < 0, или f < 0.

Таким образом,

в точке максимума приращение функции отрицательно.

(Точнее говоря, существует еѐ проколотая окрестность такая, что если x 1+х не

f(x1) > f(x)

x U(x1)

x1 x

11

55

выходит за эту окрестность, то приращение x,x1f

отрицательно.) (Это харак-

теристическое свойство точки максимума)

Свойство (характеристическое свойство точки максимума). Точка х = х 1 является точкой

максимума функции f (x ) тогда и только тогда, когда существует окрестность точ-

ки х1 такая, что для всех х 0 , при которых х 1 + х этой окрестности, вы-


f (x 1 , x) < 0 .

х 1 – точка mах функции у = у(х) 𝛥𝑦 𝑥1< 0 .

Значение f (x 1 ) называется значением функции в точке максимума.

Признак точки максимума (упрощѐнная формулировка21

) . Пусть

f (x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х1 и, в частности, в

самой точке х 1 . Пусть слева от точки х 1 (при х ≤ х1) функция возрастает, а спра-

ва (при х ≥ х1) – убывает. Тогда (и только тогда) точка х 1 является точкой макси-

мума функции f (x) .

Обратите внимание, что точка максимума – это точка на оси абсцисс, т.е. это

значение аргумента. То же самое и с точкой минимума …

Рис … В о п р о с . Будет ли точка х1 на этом рисунке

точкой максимума? Почему?

О т в е т: Нет. Функция не является непрерывной в точке х1 .

Поэтому вообще не приходится говорить о том, что эта точка мо-

жет быть точкой максимума или минимума.

2 . Точки минимума ф ункции.

Перейдѐм к точке минимума. Уп р о щѐнно е о п р еделени е ( д л я с л а б ы х т р о е ч н и к о в ) . Точка

х 1 называется точкой минимума функции f (x) , если значение функции в

этой точке меньше, чем значения функции в рядом расположенных точках.

О п р е д е л е н и е . Пусть функция f (x) определена

и непрерывна в некоторой полной (двусторонней) ок-

рестности точки х 1 . Точка х 1 называется точ-

кой (локального) минимума функции f (x) , ес-

ли есть такая проколотая окрестность Х этой точки,

что для всех точек х из этой окрестности выполняет-

ся неравенство f (x 1 ) < f (x) .

21

В строгой формулировке … Если есть такое , что на промежутке (х 1 – ; х 1] функция возрастает, а на про-

межутке [х 1 ; х 1 + ) функция убывает ….

f(x1) < f(x)

x U(x1)

x1 x

11

x1 x


56

Свойство (характеристическое свойство точки минимума). Точка х = х 1 является точкой

минимума функции f (x) тогда и только тогда, когда существует окрестность точки

х1 такая, что для всех х 0 , при которых х 1 + х этой окрестности, выпол-

няется неравенство .

f (x 1 , x) > 0 .

х 1 – точка min функции у = у(х) 𝛥𝑦 𝑥1> 0 .

Значение функции в точке минимума f ( x 1 ) так и называется значением

функции в точке минимума.

Признак точки минимума (упрощѐнная формулировка) . Пусть f (x )

определена в ………. (Сами сформулируйте по аналогии с признаком точки максимума).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а зна-

чения функции в этих точках называются экстремальными значениями .

З а м е ч а н и е . 1) Так определѐнные точки максимума и минимума называются

точками строгого максимума и минимума. Если в определениях строгие нера-

венства заменить нестрогими,

f (x 1 ) f (x) и f (x 1 ) f (x) ,

то х 1 будут точками нестрого максимума и минимума.

2) Когда требуется исследовать функцию на экстремум надо найти все точки

максимума и минимума этой функции (или показать, что таких точек нет) и вы-

числить значения функции в этих точках.

3) Понятия максимума и минимума функции в точке являются локальны-

ми понятиями. Они характеризуют поведение функции в некоторой окрестности

данной точки.

Точка x 1 – точка минимума, хотя есть

точки, где функция принимает мéньшее зна-

чение. Но есть такая окрестность точки x 1 ,

что для этой окрестности значение функции в

точке x 1 , действительно, является наимень-

шим.

Иногда говорят о глобальных минимуме и максимуме функции на некотором

промежутке. Под глобальным максимумом и минимумом функции на некотором

промежутке понимают наибольшее и наименьшее значение функции на рассматри-

ваемом промежутке. Помните, в школе была задача найти наибольшее и наимень-

шее значения функции на отрезке?

4 . Существование или отсутствие наибольшего и наименьшего

значения функции на промежутке .

Сначала вопрос: всегда ли в числовом множестве есть наибольший и наименьший элементы?


57

Если функция неограниченная, то нетрудно понять, что у неѐ нет наибольше-

го и/или наименьшего значения. А вот если функция ограниченная, всегда ли эта

функция на том или ином промежутке имеет наибольшее и наименьшее значения?

Приведите примеры. ( 𝑦 =1

𝑥 ; 𝑦 =

sin𝑥

𝑥 )

§ 1 4 . О Г Р А Н И Ч Е Н Н О С Т Ь И Н Е О Г Р А Н И Ч Е Н Н О С Т Ь

Обычно, говоря об ограниченности-неограниченности последовательностей,

рассматривают всѐ множество значений элементов последовательности, а говоря об

ограниченности-неограниченности функций, рассматривают множество значений

функции, принимаемое ею на некотором промежутке. Очень часто на одном про-

межутке из области определения функция может быть ограниченной, а на другом –

неограниченной.

Последовательность или функция на некотором промежутке Х называется

ограниченной, неограниченной, ограниченной сверху, снизу

и т. п., если ограничено, не ограничено, ограничено сверху, снизу и т. п.

множество значений элементов последовательности или множество значений функ-

ции на некотором промежутке Х .

Приведѐм примеры конкретных определений.

О п р е д е л е н и е . Функция f ( x ) называется ограниченной на некото-

ром промежутке Х , если существует такое число М , что для всех х Х

выполняется неравенство

| f (x) | M .

О п р е д е л е н и е . Последовательность {a n } называется ограниченной

сверху , если существует число М такое, что

a n M при всех n .

И так далее...... (Сами составьте формулировки определений)

З а м е ч а н и е . Если не указывается промежуток, на котором функция ограничена,

не ограничена и т. п., то имеется в виду вся область определения.

Задание . Используя соответствующие понятия для числовых множеств, сами

сформулируйте для последовательностей и для функций на некотором промежутке опре-

деления ограниченности сверху, снизу или неограниченности сверху, снизу, или просто

неограниченности.

§ 1 5 . В З А И М Н О О Б Р А Т Н Ы Е Ф У Н К Ц И И

1 . Понят ие взаимно обратных функций .

Как мы уже говорили, взаимно однозначные соответствия – это в некотором

смысле хорошие соответствия. Что же в них хорошего? Достоинством взаимно од-

нозначного соответствия является то, что такое соответствие задаѐт две функции,

которые называются по отношению друг к другу взаимно обратными.

12

12


58

Пусть имеется взаимно однозначное соответствие между элементами х Х

и у Y . Оно задаѐт две функции. В самом деле. С одной стороны, так как каж-

дому х Х поставлено в соответствие единственное значение у, то задана

функция у = f(х) . Пишут f : X Y. С другой стороны, так как каждо-

му у Y поставлено в соответствие единственное значение х , то задана функ-

ция х = ф ( у ) . Пишут ф : Y Х.

Эти две функции f и ф, которые задаются одним и тем же взаимно одно-

значным соответствием, называются взаимно обратными функциями.

Функция ф называется обратной по отношению к f и обозначается f - 1 .

Функция f называется обратной по отношению к ф и обозначается ф - 1 .

С в о й с т в о . ( f - 1 ) - 1 = f . Функция, обратная по отношению к об-

ратной функции для f , совпадает с самой функцией f.

З а м е ч а н и е . Иногда и так дают определение обратной функции. Пусть функция у = f ( х ) задаѐт взаимно

однозначное соответствие между переменными х и у . Тогда это соответствие задаѐт и некоторую функцию

х = f– 1

( у ) , которая и называется о б р а т н о й по отношению к функции у = f ( х ) .

П р и м е р . Найдѐм обратные для функций у = 0,5х + 1 и у = ех. …….

2. Признак существования обратной функции для функции y = f (x).

Т е о р е м а .(следствие из признака взаимно однозначного соответствия) (Признак существо-

вания обратной функции). Если y = f(x) (D F) строго моно-

тонна на D (либо возрастает на всѐм D , либо убывает на всѐм D ), то на F существует

обратная к y = f(x) функция: х = f - 1 (у) (F D) или (если аргумент

обозначить х , а зависимую переменную через у ) у = f - 1 (x) (F D) .

# В самом деле, … Если функция строго монотонная, то она задаѐт взаимно однознач-

ное соответствие (смотрите рисунок). Если соответствие между переменными взаимно

однозначное, то оно задаѐт две взаимно обратные функции. Одна из них является исходной

функцией, а другая является обратной по отношению к ней. #

........

3 . Графики взаимно обратных функций .

Поступим следующим образом. Для функции y = f ( x ) рассмотрим еѐ

обратную х = f - 1 (у) . Теперь аргумент у неѐ обозначим через х , а значение

функции через у . Тогда получится функция у = f - 1 (x) . Для взаимно об-

ратных функций y = f ( x ) и у = f - 1 (x) имеет место следующий результат.

Графики взаимно обратных функций y = f ( x ) и у = f - 1 (x)

симметричны относительно биссектрисы первого и третьего к о-

ординатных углов .

Без обоснования.


59

Пример. y = sin x на [- /2 , /2] .

Обратная функция: y = arc s in x .

..... рис.

§ 1 6 . П О Н Я Т И Е С Л О Ж Н О Й Ф У Н К Ц И И

О п р е д е л е н и е . Если у функции y = f(x) аргумент сам яв-

ляется функцией некоторой переменной t : x = h(t) , то есть

y = f (h( t )) , то y называется функцией от функции или

сложной функцией .

Операцию "взятия функции от функции", когда на место аргумента функции

ставится какая-либо функция, называют ещѐ суперпозицией функций.

При этом х называют "промежуточным", зависимым аргументом (он зависит

от t ), а про t будем говорить, что это "конечный" , независимый аргумент.

Операция " взятия функции от функции " может производиться не один, а

любое число раз. То есть промежуточных аргументов может быть несколько.

y = ln [ s in ( х2

+ 1 ) ]

y = ln u , u = sin t , t = х2

+ 1 .

Построение графиков сложных функций …

Пр и мер . x/12y .

Чтобы интерпретировать эту функцию, как

сложную функцию, надо представить себе, что

y = 2t , где

x

1t .

§ 1 7 . К Л А С С Э Л Е М Е Н Т А Р Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й

1 . Основные (базовые ) элементарные функции.

1) постоянные y = c .

2) степенные функции y = xp. (p 0)

(при р = 0 получается постоянная функция)

В частности, у = х, у = х2, у = х

3,

x

1y ,

2x

1y , xy ,

3 xy – это всѐ степенные функции. Постройте графики этих функций.

Из контрольной?

13

14

60

При разных p возможны разные об-

ласти определения степенных функций.

Если ограничиться областью определения

x > 0 , то p может быть произвольным,

но 0 .

Поведение степенных функций

y = xp при x 0 с разными p по-

казано на рисунке справа.

3) показательные функции y = ах

, a > 0 , a 1 .

4) логарифмические функции y = log a x , a > 0 , a 1 .

5) тригонометрические функции:

y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x .

У себя в тетрадях сами постройте графики функций 3-5.

6) обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x , y = arcctg x .

Укажите множества значений обратных тригонометрических функций.

Задание. Постройте графики обратных тригонометрических функций, вос-

пользовавшись тем фактом, что графики взаимно обратных функций симметричны

относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

................

2 . Класс элементарных функций .

О п р е д е л е н и е . Функция называется комбинированной элементарной

(или просто элементарной ) , если она выражается одной формулой через

основные элементарные функции с использованием конечного числа операций сло-

жения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня и

"взятия функции от функции".

З а м е ч а н и е . Поскольку операция возведения в степень и извлечения корня ......

К элементарным функциям относятся, в частности, функции, которые вы про-

ходили в школе:

линейная y = kx + b, квадратичная у = ах2 + bx + c, и, в частности,

у = ах2, обратно пропорциональная

x

ky , дробно линейная

dcx

baxy

.

Задание. Изобразите схематично, как выглядят графики этих функций.

Вопросы. Как зависит вид графиков линейной и обратно пропорциональной

функций от коэффициентов, входящих в формулы для этих функций? Как зависит

вид графиков квадратичных функций от коэффициента при квадратичном члене в

формуле для этих функций?

y=xp, 0 < р < 1

y=x

p, р < 0

y=x , р = 1

1

y=xp, р > 1

14

14 14


61

Показательно-степенная функция y = a(x)p (x )

также относится к элементар-

ным функциям, так как она выражается через базовые элементарные функции с по-

мощью показательной и логарифмической функции (знаете, как?)

Вот ещѐ примеры элементарных функций: у = 0,3 х sinx, xsin

x2y .

Рис…

П р и м е р ы функций, не являющихся элементарными.

1) 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑡2𝑑𝑡

𝑥

0. 2)

.0если,1

,0если,2 xx

xey

x

3)

.0x,1

,0x,0

,0x,1

x sgn y

если

если

если

4 ) Функция Дирихле (равна единице, если аргумент рациональный и равна нулю,

если аргумент иррациональный). График такой функции нарисовать невозможно.

В нашем курсе мы не будем рассматривать такие экзотические функции.

Все элементарные функции составляют класс элементарных функций .

3 . Классификация элементарных функций .

Базовые элементарные функции: постоянная и все степенные, а также все ком-

бинированные функции, составленные из постоянной и степенных функций, назы-

ваются алгебраическими элементарными функциями.

Базовые элементарные функции: показательные, логарифмические, тригоно-

метрические и обратные тригонометрические функции, а также все комбинирован-

ные функции, в состав которых входят эти функции, называются трансцен-

дентными элементарными функциями.

Замечание . Среди алгебраических и среди трансцендентных функций есть неэлемен-

тарные функции.

Алгебраические элементарные функции разделяются на рациональные и на

иррациональные функции.

Рациональные алгебраические функции – это такие алгебраические функ-

𝑥

𝑎𝑥 + 𝑏

𝑐𝑥2

s in x , ln x

Элементарные функции

Алгебраические

элементарные функции Трансцендентные

элементарные функции

Рациональные Иррациональные

Целые рациональ-

ные (многочлены)

функции

Дробно-рациональные

функции


62

ции, в которых степенные функции имеют только целые показатели степени.

Иррациональные алгебраические функции – это такие алгебраические

функции, в которых степенные функции присутствуют с дробными (m/n) показате-

лями степени. Если в формуле присутствует радикал (корень квадратный, кубиче-

ский или более высокой степени), то это уже иррациональная функция.

Рациональные алгебраические функции делятся на целые рациональные

функции и дробно-рациональные функции.

Целые рациональные функции – это многочлены.

Дробно-рациональные функции – это функции, которые могут быть за-

писаны в виде отношения двух многочленов. Отношение двух многочленов назы-

вают ещѐ рациональной дробью . Если у этой дроби степень многочлена в чис-

лителе больше или равна степени многочлена в знаменателе, то она называется

неправильной рациональной дробью. Если же у этой дроби степень многочлена в

числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то она называется правиль-

ной рациональной дробью.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы

многочлена и правильной рациональной дроби. При этом многочлен называют це-

лой частью исходной рациональной дроби.

Пр и мер . Выделить целую часть в рациональной дроби ……. конец первой главы

.

Т К - 1 ( н у л е в о й у р о в е н ь ) .

63

ТК-1.

Десять карточек по три вопроса. В карточке (ТК-1 нулевого уровня) будет три вопроса.

Три балла (правильные ответы на все три вопроса) – "полный зачѐт". Если студент получает "полный за-

чѐт", то он может пойти на дополнительные контроли для получения "хор" или "отл".

Два с половиной балла – "полузачѐт".

Два балла или меньше – это "незачѐт".

В опр о сы конт р оля ТК - 1 (н ул евой ур ов ень )

по г ла ве "Мн о ж ест в а , чи сла , ф ункции" . Для студентов ГФ . Первый семестр. 2011 год. Л е к т о р п р о ф . Л и с е е в И . А .

1. Объединение и пересечение множеств (определения и рисунки).

2. Геометрическая интерпретация действительных чисел. Свойство непрерывности действитель-

ных чисел (упрощѐнная формулировка).

3. Раскрытие неравенств |x | < a , |x | ≤ a , |x | > a и |x | ≥ a (с рисунками) (при а > 0 ).

4. Интервал и отрезок. Обозначения, рисунки, определения с помощью неравенств.

5. Полные и проколотые -окрестности, ( рисунки, определения с помощью неравенств ) (для

конечных чисел из R ).

6. Ограниченные и неограниченные числовые множества (просто ограниченные, просто неогра-

ниченные).

7. Понятие функции y = f (x ), x , y R . Область определения функции. Приращение функ-

ции в точке (определение с рисунком и формулой). Простейшие способы задания функций

(три способа).

8. Понятие последовательности. Графическое изображение последовательности.

9. Возрастающие и убывающие последовательности. Определение и рисунок.

10. Возрастающие и убывающие функции на промежутке. Определение и рисунок.

11. Точки максимума и минимума функции y = f (x ) . Определения, рисунки.

12. Ограниченные и неограниченные последовательности. Функции, ограниченные и неограни-

ченные на промежутке. (просто ограниченные, просто неограниченные.)

13. Понятие сложной функции (определение и примеры).

14. Графики (и формулы) линейной, квадратичной и обратно пропорциональной функций; графи-

ки степенных функций для х ≥ 0 при различных показателях степени (p >1, p =1 ,

0 < p <1 , p <0 ).

Пояснение к вопросу 14. По этому вопросу в карточке может быть, например, такое задание:

изобразите схематично на одном рисунке (при х ≥ 0 ) графики функций

у = х3 , 𝑦 = 𝑥23 , 𝑦 =

1

𝑥 . Для линейной функции надо знать смысл величин, вхо-

дящих в формулу, и показывать эти величины на рисунке. Для квадратичной функции надо

знать, как зависит вид графика функции от коэффициента при квадратичном члене в формуле

(как выглядят графики, если коэффициент положительный, отрицательный, по модулю равен

единице, больше, меньше единицы). Для обратно пропорциональной функции надо знать, как

зависит вид графика функции от коэффициента в формуле (как выглядят графики, если коэф-

фициент положительный, отрицательный, по модулю равен единице, больше, меньше едини-

цы).

-- -- - -- - - - - --- -- - - - -- - --

В тексте этой методички ответы на эти вопросы "нулевого уровня" помечены жирным треугольничком с указанием

номера вопроса, например, 5 .

= == = = = = = = = == = = = = = = = = =

Для общего сведения. Чтобы студент имел "зачѐт по работе в семестре " и был допу-

щен к экзамену, он должен иметь зачѐты по всем контролям, проводимым в семестре.

Подробнее … (Для математики. Для студентов ГФ первого курса – осень 2009)

Надо иметь зачѐты по всем теоретическим контролям. (ТК-1, ТК-2, ТК-3,ТК-4)

Надо написать все контрольные работы с задачами, то есть надо иметь зачѐты по всем этим контрольным

работам. (КР-1, КР-2, КР-3, КР-4)

Надо выполнить и защитить все домашние задания. (ДР-1, ДР-2, и т.д. … по всем темам)

Надо иметь конспект по теоретическому материалу (конспект лекций) и надо ориентироваться в своѐм кон-

спекте (понимать, что там написано).

Иногда, чтобы поставить студенту зачѐт по работе в семестре, преподаватель устраивает ещѐ итоговый кон-

троль в конце семестра. Хотя часто ставит зачѐт "автоматом", если студент не имеет никаких долгов по

работе в семестре и если студент занимался добросовестно, посещал все занятия и лекции.

- -- - - -- - -- -

Зачѐт по работе в семестре иногда надо проставлять в зачѐтку (и тогда говорят, что это – официальный за-

чѐт), а иногда не надо проставлять в зачѐтку (и тогда говорят, что это – кафедральный зачѐт). Но для пре-

подавателя, и, следовательно, для студента тут особой разницы нет. В любом случае студенты должны доб-

росовестно заниматься и знать материал, пройденный в семестре.

1. Функции пределы...

Documents