山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂

§1.2 概率的定义

1.2.1 频率

1.2.3 概率的性质

1.2.2 概率的定义

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂

1.2.1 频 率 1. 随机事件的发生可能性有大小之分

投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大小．令Ａ＝出现点数２，Ｂ＝出现偶数点，则 B 比 A更容易出现。 2. 频率的定义 定义 如果在 n 次重复试验中事件 A 发生了 nA 次，则称 nA/n 为事件 A 在 n 次试验中发生的频率，记为 fn(A) ，即 fn(A) ＝

频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。 频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。

.An

n

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大量次的观察，发现事件发生的频率具有稳定性。

3. 频率具有稳定性

例 1 抛一枚硬币 , 观察事件“正面向上”发生的规律。

实 验 者 N nH fn(H)

蒲 丰 4040 2048 0.5070

K. 皮尔逊 12000 6019 0.5016

K. 皮尔逊 24000 12012 0.5005

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4. 频率的性质(1) 0≤fn (A)≤1;

(2) fn (Ω) =1 ；(3) 若 A1 ， A2 ，…， An 是两两互不相容的事件，则

11

( ) ( ).n n

n k n kkk

f A f A

1.1.2 概率的定义 简单说来，随机事件 A 发生可能性大小的度量（数值），称为 A 发生的概率，记作 P(A) ．

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1. 概率的一般（公理化）定义

定义 设 E 是随机试验， Ω 是它的样本空间，对于 E

的每一事件 A 对应于一个实数 P(A) ，称 P(A) 为事件 A

的概率，若 P(A) 满足下列三个条件： (1) 0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1 ； (3) 对于两两互不相容的事件 A1 ， A2 ，…，有

11

)()(k

k

k

k APAP 以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列可加性。 利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。

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性质 1 ( ) 0.P 因为 , 由可列可加性

( ) ( ) ( ) ( ) ,P P P P

0 ( ) 1,P 故 ( ) 0.P 性质 2 若 A1 ， A2 ，…， An 为两两互不相容的事件，则

11( ) ( ).n n

i iiiP A P A

由可列可加性有 1

1( ) ( )

n

i ni

P A P A A

1( ) ( ) ( )np A p A p

1( ) ( ).np A p A

2. 概率的性质

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则 P (B － A) = P (B) － P (A).Ａ

Ω

Ｂ 证明 由于 B =A (∪ B － A) 且 A (B － A) = Φ,

P(B) = P(A)+ P(B － A),

于是 P(B － A) = P(B) － P(A).

推论 1 Ｐ (B-A)=P(B)-P(AB).

推论 2 若 AB, 则 P(B)≥P(A).

性质 3 设 A ， B 是两事件，若 AB,

A BΩ

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性质 4 对于任一事件 A ，有

( ) 1 ( ).P A P A

,A A因 ,AA

则有 1 ( ) ( ) ( ),P P A P A

于是有 ( ) 1 ( ).P A P A

AA

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性质 5 设任意两个事件 A 、 B ，则 P(AB)=P(A)+P(B) － P(AB) 证明 由右图可知 A B=A (B - AB) 且

由概率可加性及性质３得 P(A B)=P(A)+P(B - AB)=P(A)+P(B) - P(AB ）

A(B - AB)=Φ ， ABBＡ Ｂ

推论 1. P(A∪B )≤ P(A)+P(B). 推论 2. 设随机事件 A1, A2, A3 ,

则

)()()(

)()()()(

)(

3213231

21321

321

AAAPAAPAAP

AAPAPAPAP

AAAP

Ａ 1 A2

A3

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推论 3 设 A1 ， A2 ，…， An 是 n 个随机事件， 则

n

nji

n

nkjij

n

i

i

n

i

ikjiiAAAPAApAPAP

1 111

)()()()(

11 2( 1) ( ).n

nP A A A

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例 1 设事件 A 、 B 、 A∪B 的概率分别为 p 、 q 、 r ，求 P（ AB ） ,P （ A ）， P （ B ）， P （ ）

B A BA

解 （ 1 ）因为 P （ A∪B ） =P （ A ） +P （ B ） -P （ AB ），所以 P （ AB ） = p+q-r ．

（ 2 ）因为 A =A-AB 且 ABA ，故B

P（ A qrrqppABPAPB )()()()

同理可求出 P（ prBA )

（ 3 ）因 = ，所以 ．BA BA rBApBAP 1)(1)(