27.2 .2 等可能下的概率计算

复习1. 从分别标有 1,2,3,4,5 号的 5 根纸签中随机地抽取一根 , 有几种可能性 , 每种可能性的概率为多少 ?

2. 掷一个骰子，向上一面的点数共有 ____种可能 . 每种可能性的概率为 .

3. 口袋中有 2 个白球， 1 个黑球，从中任取一个球，摸到白球的概率为_________ ．摸到黑球的概率为 .

上面的问题中 , 都有两个共同的特点 :

1)在一次实验中 , 可能出现的结果有限多个 .

2) 在一次实验中 , 各种结果发生的可能性相等 .

一般地 , 如果在一次实验中 , 有 n 种可能的结果 , 并且它们发生的可能性相等 , 事件 A 包含其中的m 种结果 , 那么事件 A 发生的概率为 :

n

mAP

任意抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后 .（ 1 ）写出抛掷后所有可能的结果 ;（ 2 ）一正一反的概率是多少？

解 我们可以用直接列举法 列出所有可能出现的结果。抛掷两枚硬币，向上一面的情况一共可能出现的如下四种不同的结果（正、反）、（正、正）、（反、正）、（反、反）我们还可以用树状图来表示上述所有可能出现的结果 正 正 （正、正）开始 反 （正、反） 反 正 （反、正） 反 （反、反）

由于每种结果出现的可能性相等，其中两枚一正一反向上的结果有两种，所以 P （一正一反） =

21

42

上面的解题过程我们用“树状图”列出所有可能出现的结果，图中从左到右每条路径表示一种结果，每个结果发生的概率相等。

计算等可能情形下的概率关键是确定所有可能性相同的结果的总数 n 和求出其中使事件 A 发生的结果的总数 m.“ 树状图”能帮助我们有序的思考，不重复、不遗漏地得出 n 和 m 。

2 、一个袋中里有 4 个珠子，其中 2 个红色，2 个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取 2 个珠子，都是蓝色珠子的概率为多少？解：由题意画出树状图：

开始

由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有 6 个，都是蓝色珠子的结果有 1 个。

故 61

都是蓝色 P

红1

蓝 1

红 2

蓝 1蓝2红1红2蓝 2

例 3 一个盒子里装有 4 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球， 1 个白球。从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球。

（ 2 ）摸出一个红球，一个白球的概率；（ 3 ）摸出 2 个红球的概率；

不放回

第 1 次第 2 次

白

红 1

红 2

红 3

白 红 1 红 2 红 3

白 , 白 白 , 红 1 白 , 红 2 白 , 红 3

红 1, 白 红 1 , 红 1 红 1, 红 2 红 1, 红 3

红 2 , 白 红 2, 红 1 红 2 , 红 2 红 2 , 红 3

红 3 , 白 红 3 , 红 1 红 3 , 红 2 红 3, 红 3

（ 1 ）写出两次摸球的所有可能的结果；

例 4 同时抛掷两枚均匀的骰子，骰子各面上的点 数分别是 1 、2 、 3 、 4 、 5 、 6 ，试分别计算如下各随机事件的概率。 1 ）抛出的点数之和等于 8 ； 2) 抛出的点数之和等于 12.

例 4 同时抛掷两枚均匀的骰子，骰子各面上的点 数分别是 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 ，试分别计算如下各随机事件的概率。 1 ）抛出的点数之和等于8 ； 2) 抛出的点数之和等于 12.

第一枚骰子结果

第二枚骰子

1

2

3

54

6

1 2 3 4 5 6

（ 1 、1 ）

（ 1 、 2 ）（ 1 、 3 ） (1 、4 ）

（ 1 、5)

(1 、6 ）

（ 2 、1 ）（ 3 、1 ）（ 4 、 1）

（ 5 、1 ）（ 6 、1 ）

（ 2 、2 ）（ 3 、2 ）

（ 4 、2 ）

（ 5 、2 ）（ 6 、2 ）

（ 2 、3 ）（ 3 、3 ）（ 4 、3 ）（ 5 、3 ）

（ 6 、3 ）

（ 2 、4 ）

（ 2 、5 ）

（ 2 、6 ）

（ 3 、4 ）

（ 3 、5 ）

（ 3 、6 ）

（ 4 、4 ）

（ 4 、5 ）

（ 4 、6 ）

（ 5 、4 ）

（ 5 、5 ）

（ 5 、6 ）（ 6 、

4 ）（ 6 、5 ）

（ 6 、6 ）

解 从上面表格中可以看到，同时抛掷两枚骰子，所有可能出现的结果共有 36 种，由于骰子是均匀的，所以每个结果出现的可能性相同。（ 1 ）抛出的点数之和是 8 的结果有（ 2 、6 ）、（ 3 、 5 ）、（ 4 、 4 ）、（ 5 、 3 ）、（ 6 、 2 ）五种，所以抛出的点数之和等于 8 这个事件发生的概率为 5/36.（ 2 ）抛出的点数之和等于 12 的结果仅有（ 6 、 6 ）一种，所以抛出的点数之和等于12 这个事件的概率为 1/36

课堂总结 :用列表法和树形图法求概率时应注意什么情况？利用树形图或表格可以清晰地表示

出某个事件发生的所有可能出现的结果 ; 从而较方便地求出某些事件发生的概率 . 当试验包含两步时 ,列表法比较方便 , 当然 , 此时也可以用树形图法 , 当试验在三步或三步以上时 , 用树形图法方便 .

利用直接列举（把事件可能出现的结果一一列出）、列表（用表格列出事件可能出现的结果）、画树状图（按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果）。的方法求出共出现的结果 n 和 A 事件出现的结果 m ，在用公式 求出 A 事件的概率为列举法

n

mAP

利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果 ;

从而较方便地求出某些事件发生的概率 .

1. 一张圆桌旁有四个座位， A 先坐在如图所示的座位上， B 、 C 、 D 三人随机坐到其他三个座位上。求 A 与 B不相邻而坐的概率为 .3

1A

练一练

2. 下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等。四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了 3 号扇形，下次就一定不会停在 3 号扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在 6 号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在 6 号扇形，指针停在 6 号扇形的可能性就会加大。其中，你认为正确的见解有（ ）A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个

1 2

3

45

6

3. 甲袋中有 2 个相同的小球，分别写有字母 A和 B ；乙袋中有 3 个相同的小球， , 分别写有字母 C 、 D 、 E ；丙袋中有 2 个相同的小球，分别写有字母H 、 I 。从 3 个口袋中各随机取出 1 个球。（ 1 ）取出的 3 个球上恰好有 1 个、 2 个、 3个元音字母的概率分别是多少？（ 2 ）取出的 3 个球上全是辅音字母的概率是多少？提示：在字母A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 H 、 I 中A 、 E 、 I 是元音。 B 、 C 、 D 、 H 是辅音。

解：依题意，画树形图如下：A

C ED

B

C ED

¼×

ÒÒ

¶¡ H I H I H I H I H I H I

所以可能出现的结果共 12 个：

A

H

E

I I I

C

B

D D E DE ED

HH H I H I H I

A A A A A B BBBB

C C C

这 12 种结果出现的可能性相等。（ 1 ）只有一个元音字母的结果有 5 个：ACH 、 ADH 、 BCI 、 BDI 、 BEH 。所以 P （一个元音） =

12

5

有两个元音字母的结果有 4 个：ACI 、 ADI 、 AEH 、 BEI 。所以， P （两个元音） =

31

124

121

3 个元音字母的结果只有 1 个：AEI 。所以， P （ 三个元音） =

（ 2 ）全是辅音字母的结果共有 2个：BCH 、 BDH 。所以， P （三个辅音） = 6

1122

nm

AP

1. 用列举法求概率的条件是 :

(1) 实验的结果是有限个 (n)

(2) 各种结果的可能性相等 .

小结 :

2. 用列举法求概率的的公式是 :

作 业一、课堂：1 、 P97 习题 27.2 第 3 题；2 、补充：用圆心角为 120° ，半径为 6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，试求这个纸帽的高。二、家庭：1 、 P94 练习 1-4 ；2 、 P97 练习 1-3 、习题 27.2 第 2 题；3 、综合练习册 P108-110.