บทท 3 การเคลอนทในระนาบ

จากทไดศกษาการเคลอนทในหนงมตมาแลว ในบทนจะเปนการศกษาเกยวกบการเคลอนท

ในระนาบ 2 มต เชน การเคลอนทของอนภาคทเปนวงกลม หรอการเคลอนทแบบวถโคงของลกบอล เปนตน โดยในการศกษาจะพจารณาอนภาคทถกขวางใหเคลอนทระนาบ x - y ซงสามารถแบงออกไดเปน 2 กรณ คอ กรณแรกอนภาคไมมการหมนในขณะเคลอนท สามารถแทนแนวทางเดนของทกๆ จดบนอนภาค ดวยแนวการเคลอนทของจดศนยกลางมวลจะมแนวทางเดนทขนานกบแนวทางของ จดศนยกลางมวล การเคลอนทในลกษณะเชนนอนภาคจะมเฉพาะเลอนต าแหนง (Translational motion) กรณทสองอนภาคมการหมนในขณะทเคลอนทจะพบวาในขณะทจดศนยกลางมวลเคลอนทไปนน จดอนๆบนอนภาคจะเคลอนทหมนรอบจดศนยกลางมวลอกทหนง การเคลอนทแบบนจงมทงการเลอนต าแหนงและการเคลอนทแบบหมน (Rotational motion) พรอมกนไป ในทนเราจะศกษาเฉพาะกรณทอนภาคทเคลอนทแบบเลอนต าแหนงในระนาบและไมมการหมนเทานน 3.1 เวกเตอรต ำแหนง (Position vector)

ในการอธบายการเคลอนทของอนภาคในระนาบนน สงทตองค านงถงคอต าแหนงของอนภาคซงก าหนดไดดวยเวกเตอรต าแหนง (t)r สมมตวาอนภาคมเสนทางการเคลอนทดงภาพท 3.1 ทเวลา t ใดๆ อนภาคจะอยทจดใดจดหนงบนเสนทางเดนดงกลาว ซงสามารถบอกต าแหนงของอนภาคไดดวยลกศรทชจากจดก าเนดของระบบพกดไปยงต าแหนงดงกลาว โดยเวกเตอรต าแหนงจะเปนตวก าหนดต าแหนงของวตถเทยบกบจดก าเนด

ในกรณทอนภาคเคลอนทในระบบพกดฉากแบบ 2 มต สามารถเขยนเวกเตอรต าแหนงในภาพฟงกชนของเวลาไดเปน j y(t)ix(t)(t)r ˆˆ

(3.1) เมอ i และ j เปนเวกเตอรหนงหนวย (Unit vector) ในแกน x และ y ตามล าดบ พจารณาอนภาคตวหนงทเคลอนทในระนาบ x-y ดงภาพท 3.2 ทเวลา t1 อนภาคจะอยทจด P มเวกเตอรต าแหนงเปน )(tr 1

และทเวลา t2 อนภาคเคลอนทมาอยทจด Q มเวกเตอรต าแหนงเปน )(tr 2

สามารถหาการกระจดของอนภาคในระหวางชวงเวลา t2- t1 ไดจาก )(tr)(trr 1212

]ˆˆ[]ˆˆ[ j )(t yi)(tx j )(t yi )(tx 1122 j )(t y-)(t yi)(tx -)(t[x 1212

ˆ][ˆ] (3.2)

66

ถาชวงเวลา t2 - t1 เทากบ t ซงมคานอยมากๆแลว การกระจดของอนภาคจะมขนาดนอยๆ 12 rΔ

หรอ เขยนในภาพงายๆ rΔ คอ j yix r ˆˆ ΔΔΔ (3.3) และเรยกปรมาณในสมการ (3.3) วา “เวกเตอรการกระจดทเพมขน (Incremental displacement vector)”

y(t)

x(t)0

y

x

ทางเดนของอนภาคต าแหนงของอนภาคทเวลา t

ภาพท 3.1 เวกเตอรต าแหนงของอนภาคในระบบพกดฉาก ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 60)

)y(t2

0

y

x

)y(t1j

)x(t2)x(t1

)(tr 2

)(tr 1

Q

P

i

)(tr)(trr 12 12

ทางเดนของอนภาค

ภาพท 3.2 แสดงการกระจดของอนภาค 12 r ในชวง t1-t2

ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 61) ตวอยำงท 3.1 ถาทางเดนของอนภาคตวหนงเปน j y(t)i x(t)(t)r ˆˆ โดย x(t) = at2 + bt + c และ y(t) = dt + e เมอ a, b,c,d และ e เปนคาคงท จงหาการกระจดของอนภาคทเวลา t = 0 s และ t = 5 s วธท ำ จากสมการ (3.2) จะไดวา

67

rΔ = [x(5) - x(0)] i +[y(5) - y(0)] j เมอ x(t) = at2 + bt +c และ y(t) = dt + e จะได x(5) = 25a + 5b +c y(5) = 5d + e x(0) = c y(0) = e ดงนน rΔ = (25a + 5b +c-c) i + (5d + e –e) j = (25a + 5b) i + (5d) j 3.2 เวกเตอรควำมเรว (Velocity vector)

เมออนภาคมการเคลอนท พบวาทเวลา t1 และ t2 อนภาคมเวกเตอรต าแหนงเปน )(tr 1

และ )(tr 2 ตามล าดบ และมการกระจดเปน )(tr)(trr 1212

จากนยามพนฐานของความเรวเฉลยสามารถนยามเวกเตอรความเรวเฉลย (Average vector velocity) ในชวงเวลาดงกลาวได

12

12

12

12av tt

r

tt

)(tr)(trv

(3.4)

avv เปนปรมาณเวกเตอร ซงเกดจากการคณเวกเตอร 12 r ดวยปรมาณสเกลาร

)t(t

1

12 โดย

ขนาดของ avv คอ 12

12

tt

r

ซงมทศทางเดยวกบ 12 r

ถาแทน t1, t2-t1 และ 12 r ดวย t, t และ rΔ ตามล าดบ สามารถเขยนสมการ (3.4) ไดใหมเปน

t

r

t

(t)rt)(trvav

Δ

Δ

Δ

Δ

(3.5)

และสามารถหาความเรวขณะเวลาใดๆไดจาก

dt

(t)rd

t

(t)rt)(trlim(t)v

Δ

Δ

0t (3.6)

68

จากภาพท 3.3 แสดงทางเดนของอนภาคตามสมการ (3.5) และ (3.6) พบวา (t)v ม

ทศทางอยในแนวเสนสมผสกบทางเดนของอนภาคทจดนนๆ สามารถเขยนขนาดของความเรว (t)v เปน (t)v ซงจะเรยก v(t) วา “ อตราเรว (Speed) ” ของอนภาค

จากภาพท 3.3 พบวา (t)r มการเปลยนแปลงขนาดและทศทางตามเวลา ดงนนจงสามารถหาความเรวไดจากขนาดของการเปลยนแปลงดงกลาว เชน อนภาคเคลอนทเปนวงกลมดวยรศม R รอบจดศนยกลางทอยบนจดก าเนดของระบบพกด นนคอ R(t)r ซงเปนคาคงท สวนทศทางของอนภาคทจดใดๆสามารถหาไดจากทศทางของเสนสมผสกบแนวทางเดนของอนภาคทจดนนๆ สามารถเขยนเวกเตอรความเรวในภาพขององคประกอบไดดงน

t)(tr Δ

(t)ravv rΔ

y

x0P

Q

อนภาคทางเดนของ

(t)r

(t)v

y

x0

P

Q

อนภาคทางเดนของ

) ก ( ) ข (

ภาพท 3.3 (ก) แสดงความเรวเฉลย (ข) แสดงความเรวในขณะเวลาใดๆ ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, Resnick, & Walker, 2007, หนา 60)

]ˆˆ[ jy(t)ix(t)dt

d

dt

(t)rd(t)v

jdt

dy(t)i

dt

dx(t) ˆˆ

j (t)vi (t)v yxˆˆ (3.7)

เมอ dt

dx(t)(t)v x และ

dt

dy(t)(t)v y องคประกอบของเวกเตอรความเรวเปน

idt

dxv x

ˆ และ jdt

dyv y

ˆ

ทเวลาใดๆอนภาคมอตราเรวเปน

69

2y

2x vv(t)vv(t) (3.8)

ตวอยำงท 3.2 เรอล าหนงเคลอนทในระนาบ x - y โดยมฟงกชนต าแหนงทเวลาใดๆในระบบพกดฉากเปน x(t) = 3t2 – 2t +1 และ y(t) = - t2 + 2t - 3 จงหาเวกเตอรต าแหนงและความเรวของเรอล านทเวลา t = 3 s วธท ำ จากฟงกชนต าแหนงทก าหนดใหสามารถเขยนเวกเตอรต าแหนงทเวลา t ใดๆ ได m j )32tt(i )12t3t((t)r 22 และมเวกเตอรของความเรวทเวลา t ใดๆ เปน

m/s j 22ti 2-6tdt

(t)rd(t)v ˆ)(ˆ)(

ดงนนเวกเตอรต าแหนงและเวกเตอรความเรวทเวลา t = 3 s คอ m j 6i 22 j 3-6-9i 16-27s) 3(tr ˆˆˆ)(ˆ)( m/s j i 16 j 2-6i 2-18s) 3(tv ˆ4ˆˆ)(ˆ)( ตวอยำงท 3.3 รถยนตคนหนงเคลอนทในระนาบ x - y ดวยความเรง 2m/s i 2a ˆ ถารถยนตคนนเรมเคลอนทเมอเวลา t = 0 มความเรวเรมตน m/s ) j 5i 10t (v0

ˆˆ จงหา ก) ความเรวทเวลา t ใดๆ ข) ความเรวและอตราเรวของอนภาคทเวลา t = 7 s ค) เวกเตอรต าแหนงทเวลา t ใดๆ วธท ำ ก) จาก tav(t)v 0

จะได )]ˆ()ˆˆ[( i 2tj 5i 10t(t)v m/s ]ˆˆ[ j 5i 2t)(10t m/s ]ˆˆ[ j 5i 12t m/s ข) จากขอ ก) เมอ t = 7 s จะได ]ˆˆ)12[ j5i)(7(s) (7v ]ˆˆ8[ j 5i 4 m/s อตราเรว คอ

70

2y

2x vvs) (7vs) (7v

m/s 85)((84) 22 15.4 สามารถหามม ท v กระท ากบแกน x ไดดงน

41.3-84

5tan

v

vtan 1

x

y1

θ

ค) สามารถหาเวกเตอรต าแหนงทเวลาใดๆ ไดจาก

dt

(t)rd(t)v

t

0

t

0(t)dtv(t)rd

j ]dt5[i ]tdt12[dt j5i 12t(t)rt

0

t

0

t

0

ˆˆ]ˆˆ[

m j 5t- i 6t j 5ti ]2

t[ 2

2ˆˆˆˆ12

3.3 เวกเตอรควำมเรง (Acceleration vector)

(t)r

(t)v

Δt)(tv

vΔ

Δt)(tv

(t)v

(t)a

j

i

P

Q

x

y

O

ภาพท 3.4 แสดงทางเดนของอนภาคเมอความเรวเพมขนเปน vΔ และความเรงเฉลย (t)a ทมา (ปรบปรงจาก พงษศกด ชนนาบญ และ วระชย ลมพรชยเจรญ, 2549, หนา 56)

71

ทเวลา t อนภาคมการเคลอนทดวยความเรว (t)v จากจด P เมอเวลาผานไป t อนภาคเคลอนทมาอยทจด Q มความเรวเปน t)(tv Δ ดงภาพท 3.4 ซงการทความเรวของอนภาคมการเปลยนแปลงไป เราสามารถนยามไดเปน “เวกเตอรของความเรงเฉลย (Average vector acceleration)” เขยนเปนสมการคอ

t

v

t

(t)vt)(tvaav

Δ

Δ

Δ

Δ

(3.9)

และความเรงของอนภาคทเวลา t ใดๆ (Instantaneous vector acceleration) มคาเปน

dt

(t)vd

t

(t)vt)(tvlim(t)a

0t

Δ

Δ

Δ (3.10)

จะพบวาขนาดและทศทางของ (t)v จะเปลยนไปตามเวลา ซงการเปลยนแปลงดงกลาวจะ

มผลตอเวกเตอรความเรงดวย พจารณาอนภาคทมการเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวคงท ถงแมวาอตราเรวของอนภาคจะคงทแตทศทางของอนภาคมการเปลยนแปลงอยตลอดเวลา จะสงผลใหความเรงของการเคลอนทมการเปลยนแปลงตามเวลาไปดวย ส าหรบองคประกอบของเวกเตอรความเรงสามารถหาไดจากสมการ (3.7) คอ j (t)vi (t)v(t)v yx

ˆˆ

จะได j (t)ai (t)a(t)a yx

ˆˆ

j dt

(t)dvi

dt

(t)dv yx ˆˆ (3.11)

ดงนนองคประกอบของความเรงคอ

2

2x

xdt

x(t)d

dt

(t)dv(t)a และ

2

2y

ydt

y(t)d

dt

(t)dv(t)a

ตวอยำงท 3.4 เรอมฟงกชนความเรวเปน j bti at(t)v 2 ˆˆ โดยก าหนดให a = 10 m/s3 และ b = -5 m/s2 จงหา

72

(ก) ความเรวทเวลา t = 1 s และ t = 2 s (ข) ความเรงเฉลยระหวางชวงเวลาตามขอ (ก) และความเรงท t = 1.5 s วธท ำ (ก) จากโจทยจะได m/s j 5i 1(1)v ˆˆ0 m/s j 10i 4(2)v ˆˆ0 (ข) สามารถค านวณหาความเรงเฉลยไดจากสมการ (3.10) โดยก าหนดให t = 1.5 s และ t = 2 s - 1 s = 1 s ดงนน

2m/s )j 5i 30(s 1

)j 5-i (10- )j 10-i (40

s 1

) 1 (v) 2 (va

และความเรงทเวลา t = 1.5 s คอ

j bi 2atdt

(t)vd(t)a ˆˆ

) j 5i 30 ( ) s 1.5 ( a ˆˆ 3.4 กำรเคลอนทแบบวถโคง (Projectile motion)

0xv

0xv

0xv

0xv

0xv

0yv

0yv

yv

yv

v

v

v

v

θ

y

g

x

H

RO

ภาพท 3.5 แสดงทางเดนของอนภาคทเคลอนทแบบวถโคง ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 77)

73

การเคลอนทแบบวถโคง คอการทวตถมการเคลอนทในแนวราบและแนวระดบพรอมๆ กน จะเกดขนไดเมอวตถมความหนาแนนมากพอ ในขนพนฐานเพอใหงายขนตอการศกษาจะก าหนดเงอนไขส าหรบพจารณาการเคลอนทแบบวถโคงดงน

1) ไมคดความตานทานของอากาศ 2) วตถเคลอนทในลกษณะแบบเลอนต าแหนงและไมมการหมน 3) ความเรงทกระท ากบวตถเกดจากความโนมถวงเทานน นนคอ

0xa และ jg ay

ในการศกษาการเคลอนทแบบวถโคงจะพจารณาความเรว ความเรง และระยะทางออกเปน

2 สวน คอ องคประกอบในแนวราบ และองคประกอบในแนวดง ดงภาพท 3.5 ถาวตถมความเรวตนเปน v0 และเคลอนทท ามม กบแนวราบ เมอแยกพจารณาในแตละแกนในระนาบ x - y จะได

1) องคประกอบในแนวรำบ ความเรวในแนวราบคอ vx(t) = v0x(t) = v0cos() จะมคาคงทเนองจากไมมความเรงใน

แนวราบ ( 0xa ) ระยะทางทเคลอนทไดไกลทสดในแนวราบคอ R = v0xT เมอ t เปนเวลาทวตถเคลอนทในอากาศ

2) องคประกอบในแนวดง

vy(t) = v0y - gt

h = v0yt – 2

1 gt2

2ghvv 20y

2y

v0y = v0sin() เมอ t และ vy เปนเวลาและความเรวในแนวดง และ h คอระยะสงสดทวตถเคลอนทขนไปได สวนอตราเรวขณะเวลา t ใดๆ สามารถหาไดจาก

74

(t)v(t)vv(t) 2y

2x

ปรมาณทมกไดรบความสนใจส าหรบการเคลอนทแบบวถโคง คอ (1) เวลาทวตถใชในการเคลอนทถงจดสงสด และเวลาทวตถอยในอากาศ หรอเวลาทใชใน

การเคลอนท (T) (2) ระยะทางทวตถขนไปไดสงสด (h) (3) ระยะทางไกลสดในแนวราบ (R)

กำรหำเวลำทวตถอยในอำกำศ จาก vy(t) = v0y - gt ทต าแหนงสงสด (h) นน vy = 0 ดงนน เวลาทวตถใชเคลอนทไปถง

จดสงสด คอ

g

)sin(v

g

vt 00y

(3.12)

ส าหรบเวลาทวตถอยในอากาศ คอ T = 2t ดงนน

g

)sin(2vT 0 (3.13)

กำรหำระยะทวตถขนไปไดสงสด

จาก 2ghvv 20y

2y เมอแทนคา vy = 0 และ v0y = v0sin() จะไดวา

2g

sinvh

220 )(

(3.14)

ควำมสมพนธระหวำง T กบ h

เมอยกก าลงสองสมการ (3.13) จะได 2

2202

g

sin4vT

)( ดงนนอตราสวน

h

T 2

คอ

g

8

h

T 2

หรอ

75

g

2h2T

และ

g

2ht (3.15)

กำรหำระยะทวตถเคลอนทไดไกลสดในแนวรำบ จาก

g

)).cos(sin(2v

g

)sin(2v).cos(vTvTvR

200

00xx

แต sin() = 2sin()cos() ดงนน

g

)sin(2vR

20

(3.16)

ตวอยำงท 3.5 เมอขวางลกเบสบอลไปยงตกหลงหนงโดยลกเบสบอลมความเรวตนเทากบ 15 m/s และท ามม 600 กบแนวราบ ปรากฏวาลกเบสบอลกระทบกบตกซงสงกวาแนวระดบ 5 m ดงภาพท 3.6 จงหา ก) เวลาทลกเบสบอลอยในอากาศ ข) ระยะทางในแนวราบและความเรวของลกเบสบอลขณะกระทบตก

60

15 เมตร/วนาท 5 เมตร

ภาพท 3.6 ภาพประกอบตวอยางท 3.5

76

วธท ำ เพอความสะดวกใหพจารณาเปนการเคลอนทในแนวราบและแนวดงแยกกนจะได องคประกอบของการเคลอนทในแนวราบ ax = 0 คอ vx(t) = v0x = vxcos(60) = (15 m/s)(0.5) = 7.5 m/s

m 5t7 t)](60 [15costa2

1vR 2

x0 .t

องคประกอบของการเคลอนทในแนวดง จาก v0y(t) = v0ysin() = (15 m/s)sin(60) 13.0 m/s

20y gt

2

1tvy

0ytvgt2

10y

2

g

2gy-vvt

20y0y

)(

s 0.47 , 2.189.8

8.413

(9.8)

(9.8)(5) 2]13.0 -[13.02

2

จะได t = 2.18 s และ t = 0.47 s แตในทนจะเลอกใช t = 2.18 s เพราะวา t = 0.47 s

เปนเวลาทลกเบสบอลใชเดนทางในแนวดงขนไปสง 50 m จะไดระยะในแนวราบทลกเบสบอลชนตกวดจากต าแหนงยง คอ

R = 7.5t = (7.5)(2.18) = 16.35 m และสามารถหาองคประกอบของความเรวในแนวดง (vy) ไดจาก vy(t) = v0y - gt = (13.0) – (9.8)(2.18) = -8.36 ดงนน ความเรวขณะกระทบตก คอ

m/s 9.96(-8.36)(13.0)vvv 222y

2x

77

ตวอยำงท 3.6 ผชายคนหนงยนอยทขอบหลงคาของอาคารหลงหนงซงสงจากพน 30 m ถาเขาขวางกอนหนไปในแนวราบดวยความเรว 10 m/s จงหา ก) เวลาทกอนหนอยในอากาศ ข) อตราเรวขณะกระทบพน ค) มมขณะกระทบพน

vβ

x

y

g

m 30h

m/s 10v0

ภาพท 3.7 ภาพประกอบตวอยางท 3.6

วธท ำ ก) จากภาพท 3.7 ก าหนดใหจดอางองอยทพนดานลางของอาคารเมอเวลา t ใดๆ กอนหน

จะมระยะทางในแนวราบเทากบ x(t) = v0t และระยะความสงจากพนเทากบ 2gt2

1hy เมอ

กอนหนกระทบพนนนคอ y = 0 สามารถหาเวลาทกอนหนอยในอากาศ คอ

s 47.29.8

) 2(30

g

2ht

ข) อตราเรวขณะทกอนหนกระทบพน คอ

m/s 24.219.8)(2.47)(gtdt

dyv y

m/s 10vdt

dxv 0x

ดงนน อตราเรวขณะกระทบพน คอ

78

m/s 26.1924.21)((10)vvv 222y

2x

ค) มมขณะกระทบพนหาไดจาก

10

21.42

v

v)tan(

x

y β จะได = -67.56

3.5 กำรเคลอนทเปนวงกลมสมบรณ (Uniform circular motion)

การเคลอนทเปนวงกลมสมบรณ คอ การทอนภาคเคลอนทเปนวงกลมโดยมวงโคจรทบแนวเดมตลอดเวลา นนแสดงวาอนภาคมอตราเรวคงท และมความเรงเขาสศนยกลางเสมอ

พจารณาการเคลอนทของอนภาคเปนวงกลมรศม R ดวยความเรว v ในระนาบ x - y ดงภาพท 3.8

θvsin

θvsin

θvcos θvcos

v

v

θ θ

P

y

Q

x

R

ภาพท 3.8 อนภาคเคลอนทเปนวงกลมรศม R ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 1996, หนา 78)

ถาอนภาคเคลอนทจาก P ผานจดสงสดไปยงจด Q ในชวงเวลา t ถามม มคานอยๆ ระยะทางทอนภาคเคลอนทมคาเทากบ 2R สามารถหาเวลา t ไดจาก

v

)R(2t

θΔ (3.17)

และมขนาดของความเรงเฉลยของการเคลอนทในแนวแกน x จาก P ไป Q คอ

t

vvaxis)(xa PxQx

avΔ

0

t

)vcos()vcos(

Δ

θθ

79

นนคอ องคประกอบของความเรวในแนวแกน x มคาคงท และส าหรบขนาดของความเรงเฉลย ในแนวแกน y ในการเคลอนทในชวงเดยวกนคอ

t

vvaxis)(ya PyQy

avΔ

t

)vsin()vsin(

Δ

θθ )]([

t

)2vsin(

Δ

θ

เมอแทนคา t จากสมการ (3.17) จะได

)()(θ

θ

θ

θ )sin(

R

v

2R

)sin(2vaxisya

22

av (3.18)

ถามม นอยๆ และมหนวยเปนเรเดยน สามารถประมาณไดวา θθ )sin( จากสมการ (3.18) จะไดความเรงตามแกน y หรอความเรงตามแนวรศมเปน

R

va

2

(3.19)

จดรปใหมจะได

.RR

v

R

R.

R

va

22

C

เมอแทนเทอม R

v ดวย ซงเปน “ความถเชงมมของการหมน (Angular frequency of

rotation)” หรอ “อตราเรวเชงมม (Angular speed)” ของการเคลอนท นนคอ

R

vω (3.20)

จากความสมพนธระหวางอตราเรวกบคาบเวลาในการเคลอนทครบหนงรอบ จะได

80

R2

v2

R

v

π

πω

เมอ 2R คอเสนรอบวงหรอระยะทางทอนภาคเคลอนท และ v

R2T

π เปนคาบเวลา ดงนน

T

2πω (3.21)

จากสมการ (3.13) พบวา มหนวยเปน เรเดยน (Radian) ตอวนาท เขยนยอเปน rad/s

จากภาพท 3.8 จะเหนวาเวกเตอรต าแหนง ( r ) , ความเรวเชงเสน ( v ) และความเรง สศนยกลาง ( Ca ) จะเปลยนแปลงไปตามเวลา เมอการเคลอนทเปนวงกลมสมบรณ พบวา v v, r r และ CC a a มคาคงท 3.6 กำรเคลอนทเปนวงกลมดวยควำมเรงเชงมมคงท (Circular motion with constant angular acceleration)

เมออนภาคเคลอนทเปนวงกลมโดยทความเรวเชงมมมการเปลยนแปลง เราสามารถนยามอตราการเปลยนแปลงของอตราเรวเชงมม ไดเปน “ความเรงเชงมม (Angular acceleration; )” ดงนน

dt

dωα (3.22)

ทเวลา t = 0 อนภาคมอตราเรวเชงมมเปน 0 และทเวลา t ใดๆ อนภาคมอตราเรวเชงมมเปน (t) เมออนภาคเคลอนทดวยความเรงเชงมมคงทจะไดวา

(t)t

0 0

ddtω

ω

ωα

(t) = (t) - 0 (t) = (t) + 0 (3.23)

81

t

0

b

a

O

ภาพท 3.9 แสดงสวนของทางเดนของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลม ทมา (ดดแปลงมา Halliday, Resnick, & Walker, 2007, หนา 243)

จากภาพท 3.9 ทเวลา t = 0 อนภาคอยทต าแหนงจด a มการกระจดเชงมมเปน 0 เมอเวลาผานไป t วนาท ปรากฏวาอนภาคเคลอนทมาอยทจด b มการกระจดเชงมม (t) เนองจาก

อตราเรวเชงมมคอ อตราการเปลยนแปลงของการกระจด dt

dω ดงนน

(t)t

0 0

ddtω

0

t

o0 (t)dtt αω

2t2

1t(t) o0 αω (3.24)

จากสมการ (3.23) จะได

α

ωω 0(t)t

เมอน าคา t จากสมการดานบนแทนลงในสมการ (3.24) จะได ](t)[2(t) 0

20

2 αωω (3.25)

สมการ (3.23), (3.24) และ (3.25) เปนสมการทใชอธบายการเคลอนทเปนวงกลมซงมความเรงเชงมมคงทเมอน าไปเปรยบเทยบกนสมการของการเคลอนทเปนเชงเสนดวยความเรงคงท พบวาสมการทงสามชดนมลกษณะทเหมอนกนดงตารางท 3.1 ตารางท 3.1 เปรยบเทยบสมการของการเคลอนทเชงเสนกบวงกลม

82

การเคลอนทเชงเสนทมความเรงคงท การเคลอนทแบบวงกลมทมความเรงเชงมมคงท v(t) = v0 - at

s = v0t – 21 at2

]xa[x(t)2vv(t) 020

2

(t) = (t) + 0 2t

2

1t(t) o0 αω

](t)[2(t) 020

2 αωω

ส าหรบอนภาคทเคลอนทเปนทางโคงใดๆจะมองคประกอบของเวกเตอรความเรงทงในแนว สศนยกลางและในแนวสมผสทางเดน ดงนน uauaa rr ˆˆ (3.26)

เมอ ru และ

u เปนเวกเตอรหนงหนวยในแนวรศมและแนวสมผสทางเดนตามล าดบ

โดยก าหนดให ru มทศทางเปนบวกเมอพงออกจากจดศนยกลาง และมทศทางเปนลบเมอเขาหา จดศนยกลางการเคลอนท ถา 0a จะท าใหสมการ (3.26) เปนกรณการเคลอนทเปนวงกลม

สมบรณ ซงมเฉพาะความเรงในแนวรศมและ ar = aC ดงนนจากสมการ (3.19) จะไดความเรงในแนวรศมเปน

22

r RR

va ω (3.27)

ถา aC มเครองหมายลบ ( - ) แสดงวาความเรงในแนวรศมมทศเขาสศนยกลาง สวนขนาดของความเรงในแนวสมผสกบทางเดนสามารถหาไดจากสมการ

αωω

Rdt

dR

dt

)d(R

dt

dva (3.28)

องคประกอบของความเรงในแนวรศมและแนวสมผสทางเดนจะตงฉากซงกนและกน

ดงภาพท 3.10 โดยทขนาดของความเรงสทธหาไดจาก

22r aaaa (3.29)

เมอ aC และ

a เปนขนาดของความเรงในแนวรศมและแนวสมผสทางเดน ตามล าดบ

สวนทศทางของความเรงลพธสามารถหาไดจาก

83

a

a)tan( r (3.30)

ca

a

a

uru

R

β

ภาพท 3.10 แสดงองคประกอบของความเรง ทมา (ดดแปลงมา Halliday, Resnick, & Walker, 2007, หนา 250) ตวอยำงท 3.7 อเลกตรอนเคลอนทเปนวงกลมรศม 0.2 m ดวยอตราเรวเชงเสน 0.8 m/s และมความเรงเชงมมเปน = 8 rad/s2 จงหาขนาดของความเรงลพธและทศทางของอเลกตรอนตวดงกลาว วธท ำ จากสมการ (3.19) จะได

222

r m/s 4.0(0.2)

(0.8)

R

va

จากสมการ (3.28) จะได

2m/s 6.1)8)(0.2(Ra α

จากสมการ (3.29) จะได

22r aaaa

222 4.31m/s(1.6)-4 )00.(

และ

14.041.6

4.0-tan

a

atan 1r1 )()(

φ

β

84

สรป

1. ความเรวเฉลย

12

12

tt

xxv

t

x

85

2. ความเรวขณะหนง

dt

dx

t

xlimv0t

3. ความเรงเฉลย

t

v

tt

vva

12

12

4. ความเรงขณะหนง

2

2

0t dt

xd)

dt

dx(

dt

d

dt

dv

t

vlima

5. สมการแมบทของการเคลอนทแบบโพรเจกไทล

t)cosv(x 0

20 gt

2

1t)sinv(y

cosvv 0x gtsinvv 0y

6. ระยะทาง r จากจดก าเนดของโพรเจกไทลทเวลา t ใด ๆ

22 yxr

7. ความเรวลพธของโพรเจกไทล

2y

2x vvv

8. ความเรงสศนยกลาง

R

va

2

แบบฝกหด

1. ถาอนภาคหนงเคลอนทในระนาบ xy โดยมโคออรดเนตเปนฟงกชนของเวลา คอ x = (1.75 m/s)t + (0.5 m/s2)t2 และ

86

y = 2 m + (0.5 m/s)t + (1 m/s2)t2 จงหาต าแหนงของอนภาค ความเรว และความเรง ทเวลา t = 4 s ตอบ 25 m, 9.29 m/s และ 2.24 m/s2 ท ามม 26.57 เทยบกบแกน x 2. ลกบอลถกขวางออกไปจากยอดตกในแนวราบดวยความเรว 2 m/s จงหาต าแหนง ความเรว

หลงจากขวาง 2 s ตอบ ทเวลา 2 s บอลอยหางจากจดก าเนด 10.84 m มความเรว 19.71 m/s ท ามม 84.20o ใต

แกน x 3. รถยนตวงดวยอตราเรวคงตวขนาด 15 m/s บนทางโคงทมรศม 25 m จงหาความเรง ตอบ 9.0 m/s 4. ปลอยกอนหนสองกอนจากหนาผาสง H กอนทสองถกปลอยเมอหนกอนแรกเคลอนทได

ระยะทางเทากบ D จงแสดงวาเมอหนกอนแรกตกกระทบพน หนกอนทสองอยเหนอพน

DDH2

5. ชายคนหนง ยนบนหนาผาสง 80 เมตร ขวางลกบอลออกไปในแนวราบ ดวยความเรวตน 330 เมตร/วนาท ถามวาลกบอลไปตกไกลจากหนาผาเทาไร

ตอบ 1,415.7 เมตร 6. ยงกระสนปน มวล 50 กรม ดวยความเรวตน 100 เมตร/วนาท ท ามม 60 กบแนวระดบหลง

จากนน 5 วนาท กระสนตกกระทบเปาบนหนาผาเปานนอยสงจากพนระดบทยงเทาไร ตอบ 377.5 เมตร 7. ก าแพงหางจากปากกระบอกปน 8 เมตร โดยทปากกระบอกปนเอยงท ามม 45 เมอกระสนถก

ยงออกจากปากกระบอกปนดวยอตราเรว 20 เมตร/วนาท กระสนปนจะกระทบก าแพงสงจากพนกเมตร

ตอบ 6.432 เมตร 8. ขวางกอนหนขนไปในอากาศท ามม θ กบแนวราบให t1 เปนเวลาทคดการเคลอนทในแนวดง

จากพนจนตกกลบมาทเดม t2 เปนเวลาทคดการเคลอนทในแนวราบจากจดทขวางถงจดทตก t3 เปนเวลาทกอนหนใชในการลอยอยในอากาศทงหมดขอใดถก

ตอบ t1 = t2 = t3

87

9. นกบาสเกตบอลยงลกจากระยะในแนวราบ 5 เมตร หางจากหวง ขณะทลกเขาหวง พบวามความเรว 10 เมตร/วนาท ท ามม 60 กบแนวราบ จงหาเวลาทลกบาสเกตบอลใชในการเคลอนทมาถงหวงในหนวยวนาท

ตอบ t = 1 10. นกรกบคนหนงเตะลกบอลขนดวยความเรว 20 เมตร/วนาท เปนมม 60 องศา กบแนวระดบ

เขาจะตองวงดวยความเรวอยางนอยทสดเทาไรจงจะไปรบลกบอลทเขาเตะออกไปเองไดพอดกอนตกถงพนดน

ตอบ t = 1 เอกสำรอำงอง

พงษศกด ชนนาบญ และ วระชย ลมพรชยเจรญ. (2549). ฟสกส มหำวทยำลย เลม 1 (พมพครงท 1). กรงเทพฯ: วทยพฒน.

สมพงษ ใจด. (2548). ฟสกส มหำวทยำลย 1 (พมพครงท 6). กรงเทพฯ: ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

88

สมาคมวทยาศาสตรแหงประเทศไทยในพระบรมชปถมภ. (2543). ฟสกส เลม 1 (พมพครงท 2 ฉบบปรบปรงแกไข). กรงเทพฯ.

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (1997). Fundamental of physics (5th ed.). New York: John Wiley & Sons. . (2001). Fundamental of physics (6th ed.). New York: John Willey & Sons. . (2007). Fundamental of physics (8th ed.). New York: John Willey & Sons. Serway, R. A. (1996). Physics for scientists & engineers with modern physics

(4th ed.). Philadelphia: Saunders College. . (2008). Physics for scientists & engineers with modern physics (7th ed.).

Philadelphia: Saunders College.