บทท 7 การเคลอนทแบบแกวง

ในธรรมชาตมการเคลอนทแบบหนงซงมลกษณะเปนการเคลอนทซ าๆ ในชางเวลาใดเวลา

หนง เชน การเคลอนทของโลกรอบดวงอาทตย การเคลอนทของดวงจนทรรอบโลก การหมนรอบตวเองของโลกและดวงจนทร และการแกวงของลกตมนาฬกา เปนตน การเคลอนทดงกลาวจะผานจดใดจดหนงเสมอ จงเรยกวา “การเคลอนทเปนคาบ (Periodic motion)” หรอ การแกวง (Oscillatory) การเคลอนทเปนคาบ หรอการแกวงเปนการเคลอนทของวตถทถกแรงกระทาและมตาแหนงเปลยนไปจากตาแหนงสมดล (Stable equilibrium) เมอปลอยหรอไมมแรงกระทา วตถจะพยายามกลบสจดสมดล แตเนองจากวตถมความเฉอยทาใหวตถเคลอนทผานจดสมดลไปยงอกดานหนง และแรงทดงวตถกลบสสมดลจะทาใหวตถหยดและเคลอนทกลบไปยงจดสมดลอกคร ง ซงผลดงกลาวทาใหวตถเคลอนทกลบไปกลบมาผานจดสมดล ถาไมมแรงเสยดทานวตถจะเคลอนทอยางตอเนองตลอดไป การเคลอนทบางอยางมแรงเสยดทานเขามาเกยวของจงจาเปนตองมแรงหรอพลงงานปอนใหกบระบบตลอดเวลา 7.1 การแกวงแบบซมเปลฮารโมนก (Simple harmonic oscillations)

mk

x L

0

ภาพท 7.1 การเคลอนทของระบบมวล - สปรง ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, 2007, หนา 390)

พจารณาการเคลอนทของมวล m ตดอยกบสปรงซงมคาคงท k และปลายอกดานหนงของสปรงถกยดไวกบผนง ดงภาพท 7.1 ถา L คอความยาวเรมตนของสปรง และไมมความเสยดทานระหวางพ นและวตถ เมอออกแรงดงมวลดงกลาวแลวปลอย พบวามวลจะเคลอนทกลบไปกลบมารอบๆ จดเรมตนหรอจดสมดล โดยมระยะกระจดของการเคลอนทเปน x ซงมความสมพนธกบแรงตามกฎของฮคดงสมการ F(x) = - kx (7.1) และมพลงงานศกย U(x) เทากบ

184

x

0

x

0kx.dxF(x).dxU(x)

2kx

2

1 (7.2)

และพลงงานจลน (Ek) ของมวลทระยะตางๆคอ

2k mv

2

1E (7.3)

เนองจากไมมแรงเสยดทานระหวางพ นและมวลทาใหงายทจะใชกฎถาวรของพลงงาน

อธบายการเคลอนทของระบบ โดยผลรวมของพลงงานศกยของสปรงและพลงงานจลนของมวลมคาคงท นนคอ E = U(x) + Ek

คาคงทmv2

1kx

2

1 22 (7.4)

AA 0 xx

xU

KE

ba E

พลงงาน

พลงงานจลน

พลงงานศกย

ภาพท 7.2 พลงงานจลนและพลงงานศกยทระยะกระจดตางๆ ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 427)

ความสมพนธระหวางพลงงานรวม (E) ในเทอมของพลงงานศกยและพลงงานจลนทระยะกระจดตางๆแสดงดงภาพท 7.2 โดยพลงงานจลนของมวลจะมคาเปนศนยเมอ x = A หรอทจด a และ b ซงเปนจดทมวลเคลอนทไดระยะกระจดสงสด จงเรยกจด a และ b วา “จดวกกลบ (Turning point)” กลาวคอ เมอมวลเคลอนทไปทางขวาจนถงจด b หรอท x = + A มวลจะหยดชวขณะแลวเคลอนทกลบไปทางซาย จนกระทงถงจด a หรอท x = - A มวลกจะหยดนงชวขณะแลวจะเคลอนท

185

กลบไปทางขวาอกคร ง ทาใหระยะกระจดของการเคลอนทอยในชวง –A x +A และทระยะ x = A มวลจะมพลงงานศกยสงสด (Um) สวนพลงงานจลนมคาเปนศนย ดงน น Um = U(A)

EkA2

1 2 ท x = A (7.5)

เมอมวลเคลอนทผานจด x = 0 มวลจะมพลงงานจลนสงสด [Ek(max)] และมพลงงานศกยเปนศนย ดงน น

Emv2

1(max)E 2

k ท x = 0 (7.6)

หรอมวลมความเรวสงสด (vmax) เทากบ

m

2Evmax (7.7)

และจากสมการ (7.4) และ (7.5) จะได

222 kA2

1kx

2

1mv

2

1

หรอ

)x(Am

k

dt

dxv 22 (7.8)

ซงสามารถหาระยะทวตถเคลอนทไดในชวงเวลา t ใดๆ โดยการอนทเกรทสมการ (7.8) ต งแตเวลา 0 ถง t และมระยกระจดต งแต x0 ถง x จะได

t

0

x

x

122 dtm

kdx)x(A

0

tm

k)

A

x(sin 1

x

x0

186

หรอ

)A

x(sint

m

k)

A

x(sin 011 (7.9)

ถากาหนดให 0 = sin-1(x0/A) เมอ 0 0 2 และ m

k0 ω จะเขยนสมการ (7.9)

ในเทอมของระยะกระจดทเวลาตางๆได x(t) = Asin(0t + 0) (7.10) เมอ (t) = 0t + 0 คอมมเฟสของการเคลอนท (Phase angle) โดยมมมเฟสเรมตน (0) หรอเฟสทเวลา t = 0 มคาคงท สวน A คอ ระยะกระจดสงสด หรอ แอมพลจด (Amplitude) ของ

การเคลอนท ถา 20π

สามารถเขยนสมการ (7.10) ไดใหมเปน

x(t) = Acos(0t) (7.11) โดยระยะกระจดทเวลาตางๆตามสมการ (7.10) และ (7.11) จะใชอธบายการเคลอนทแบบซ าๆ หรอการแกวงเมอมมเฟสเรมข น 2 ทกๆรอบของการแกวง ซงเรยกวา คาบ (Period, T) ของ การเคลอนท ดงน น (t + T) + 0 = 0t + 0 + 2

เมอ 0T = 2 ดงน น T

20

πω หรอสามารถหาคาบของการเคลอนทไดจาก

k

m2

2T

0

πω

π (7.12)

และความถ (Frequency, f ) ของการแกวง

m

k

2

1

T

1f

π (7.13)

187

ซงหนวยเปนเฮรตซ (Hertz, Hz) โดย 1 Hz เทากบจานวนรอบทเคลอนทไดในหนงวนาท เชน การแกวงทมคาบเทากบ 0.02 s จะมความถเทากบ 50 Hz ถาการเคลอนทหรอการแกวงเปน แบบอสระจะเรยกความถน วา ความถธรรมชาต หรอความถคณลกษณะ (Natural or characteristic frequency) โดยมความถเชงมม (angular frequency, 0) คอ

m

k f20 πω (7.14)

มหนวยเปน rad/s และจากสมการ (7.10) สามารถหาความเรวของมวลได

)tcos(Adt

dx(t)v(t) 000 ωω (7.15)

และความเรงของมวลเทากบ

)tsin(Adt

x(t)da(t) 00

202

2

ωω (7.16)

A

A

0π 2π

x(t) 00

tωo

0Aω

0Aω

0 π 2πtωo

v(t)

0π 2π

a(t)

tωo

20Aω

20Aω

ภาพท 7.3 ระยะกระจด ความเรว และความเรงทเวลาตางๆ ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 423)

188

A

0x

0

0

0

ω

v

ภาพท 7.4 เรขาคณตทใชแทนพารามเตอรของการแกวง ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, 2007, หนา 407)

จากสมการ (7.10), (7.15) และ (7.16) เมอให 0 = 0 จะไดความสมพนธระหวาง ระยะกระจด ความเรวและความเรงทเวลาตางๆ แสดงดงภาพท 7.3 พบวาระยะกระจดและความเรวสงสด

จะมเฟสตางกน 2

π เรเดยน หรอ 90๐ การเคลอนทดงกลาวสามารถอธบายไดดวยคลนภาพ (Sine)

หรอ ภาพโคไซน (Cosine) และเรยกการเคลอนทแบบน วา “การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก (Simple harmonic motion, SHM)” และจากสมการ (7.16) จะได

x(t))tsin(Adt

x(t)d 2000

202

2

ωωω

และจากสมการ (7.14) จะไดสมการการเคลอนทคอ

x(t)m

k

dt

x(t)d2

2

(7.17)

และสามารถหาแอมพลจด A และมมเฟสเรมตน 0 ของการเคลอนทไดโดยกาหนดเงอนไขเรมตนท t = 0 ดงน น จากสมการ (7.10) และ (7.15) จะได x0 = Asin(0) (7.18a) และ v0 = A0cos(0) (7.18b) ดงน น

189

0

000 v

x)tan(

ω (7.19)

และจากสมการ (7.18) จะได

)(cosA)(sinAv

x 022

022

2

0

020

ω

= A2[sin2(0) + cos2(0)] = A2 ดงน น

2

0

020

vxA

ω (7.20)

จากภาพท 7.5 ถาออกแรงดงสปรงใหยดออกเปนระยะ x = c แลวปลอย จะได

ความสมพนธระหวางระยะกระจด ความเรว และความเรงทเวลาตางๆ ดงภาพท 7.5

190

2

cc

2

c c0

x

m

a

v

m

ma

0v

m0a

mv

m

a

v

m

ma

0v

m

a

v

m0a

mv

m

a

v

m

ma

0v

0

4

π

2

π

4

3π

π

4

5π

2

3π

4

7π

2π

tω0

ภาพท 7.5 แสดงความเรว ความเรง และระยะกระจดทเวลาตางๆ ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 429) ตวอยางท 7.1 สปรงยดออก 0.02 m เมอดงดวยแรงขนาด 4 N ถายดใหสปรงตดกบมวล 2 kg ดงสปรงยดออก 0.04 m แลวปลอยใหเคลอนทอยางเสร แสดงดงภาพท 7.6 จงหา

ก) คาคงตวสปรง ข) คาบและความถของการสน ค) ความเรวสงสด ง) ความเรงสงสด จ) ความเรวและความเรงขณะมวลเคลอนทมาถงครงทางจากจดเรมตน ช) เวลา t ทใชขณะเคลอนทมาถงครงทางจากจดเรมตน x

191

m

x

k

ภาพท 7.6 ภาพประกอบตวอยางท 7.1 วธท า ก) จากสมการ

x

Fk

0.02m

4N

= 200 N/m ข) คาบ

k

m2T

200

22

= 0.628 s ความถ

T

1f

628.0

1

= 1.59 s-1 = 1.59 Hz ความถเชงมม =2f = 2(1.59)

192

= 10 s-1 ค) ความเรวสงสดเมอมวลมาถงตาแหนงสมดลการกระจด x = 0 จากสมการ 22 xAv ดงน น v = vmax = A = (10)(0.04) = 0.4 m/s ง) จากสมการ

xxm

ka 2

ความเรงสงสดเกดทจดปลายของทางเดน การกระจด x = A amax = 2A = (10)2(0.04) = 4.0 m/s จ) วตถเคลอนทไดครงทางจากจดเรมตน

ทจดน การกระจด m02.02

Ax

ดงน นความเรว

22 )02.0()04.0()10(v = - 0.346 m/s

193

ความเรง a = - 2x = (10)2(0.02) = - 2.0 m/s2 ช) ตาแหนงทเวลา t ใดๆ x = Acost จากโจทย

t)10cos(A2

A

หรอ

2

1t)10cos(

2

1cos)

10

1(t 1

s30

7.2 ลกตมนาฬกาอยางงาย (Simple pendulum)

การแกวงของลกตมนาฬกาเปนอกตวอยางหน งทแสดงการเคลอนทแบบแกวง ซงประกอบดวยมวล m แขวนในแนวดงดวยเชอกเบายาว L ดงภาพท 7.7 เมอมแรงกระทาตอมวลดงกลาวทาใหเคลอนทอยบนระนาบในแนวดง โดยแรงโนมถวงจะเปนแรงผลกดนมวลใหเคลอนทตอไป ถามวลแกวงไปดวยมมแคบๆ การเคลอนทดงกลาวเปนแบบซมเปลฮารโมนก และมแรงกระทาตอมวลคอแรงตงในเสนเชอก (T) และแรงโนมถวง (mg) โดยมแรงขนาด mgsin() ดงมวลใหเคลอนทเขาหาจดสมดลและจากกฎขอทสองของนวตน พบวา

194

θ

θ

LT

s

θmgsin θmgcos

mg

ภาพท 7.7 ลกตมนาฬกาอยางงาย ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, 2007, หนา 402)

2

2

tdt

sdmmaF

เมอ Ft = mgsin() ดงน น

2

2

dt

sdm)mgsin( (7.21)

เมอ s เปนระยะทางทมวลเคลอนทได เครองหมายลบแสดงถงทศทางการเคลอนทเขาหาจดสมดลแต s = L และ L มคาคงท สามารถเขยนสมการ (7.21) ไดใหมเปน

)sin(L

g

dt

d2

2

θ

(7.22)

ถา มคานอยๆ จะทาให sin() เมอ มหนวยเปนเรเดยน จะได

θθ

L

g

dt

d2

2

(7.23)

สมการ (7.23) มความสมพนธคลายกบสมการ (7.17) ซงเปนการเคลอนทแบบซมเปลฮาร

โมนก จงสามารถเขยนสมการ ทเวลาตางๆได

195

(t) = 0sin(i + ) (7.24) เมอ 0 เปนมมทลกตมนาฬกาแกวงออกไปไดกวางทสด และมความถเชงมมเทากบ

L

gω (7.25)

ซงมคาบของการแกวงเทากบ

g

L2

2T π

ω

π (7.26)

แสดงวาคาบของการแกวงจะข นอยกบความยาวเชอกและคาโนมถวงของโลกจะไมข นอย

กบขนาดของมวล จงสามารถนามาประยกตสรางนาฬกาจบเวลาได ตวอยางท 7.2 ลกตมเชงเดยวแขวนเสนลวดยาว L = 1.8 m ปลอยจากหยดนงมม 1 = 3 แสดงดงภาพท 7.8 สมมตวา d = 0.9 m จงหาเวลาทลกตมเชงเดยวแกวงกวดจาก A ไปยง A

2

d 1 L

A

C B

Bv

ภาพท 7.8 ภาพประกอบตวอยางท 7.2 วธท า จากสมการ

g

L2T

เวลาทใชจากจด A ไปยง B ความยาว L = 1.8 m

196

T4

1tAB

s67.0)s.m8.9

m8.12(

4

1)g

L2(

4

12

ทานองเดยวกนเวลาทใชจากจด B ไปยง C ความยาว L = 0.9 m

s47.0)s/m8.9

m9.02(

4

1t

2BC

ดงน นเวลาของการแกวงกวดจาก A ไปยง A = 2(0.67s + 0.47s) = 2.28s 7.3 ลกตมกายภาพ (Physical pendulum)

0

θL

M

c

Mg

ภาพท 7.9 ลกตมกายภาพ ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 434)

เมอนาวตถมาแขวนทจดๆหนง โดยจดดงกลาวไมอยในแนวทผานศนยกลาง (Center of mass) ทาใหไมสามารถพจารณาความเรงของวตถดงกลาวในเทอมของมวลทเปนกอนเหมอนกบ การแกวงของลกตมนาฬกาอยางงาย จาเปนตองคานงถงภาพรางทางกายภาพของวตถดงกลาว พจารณาการแกวงของวตถดงภาพท 7.9 โดยแขวนวตถทจด O ซงหางจากจดศนยกลาวมวลพบวาแรงทกระทาตอวตถจะเกดจากน าหนกของวตถดงกลาวเทากบ mgsin() หรอเกดแรงบดเทากบ mgLsin() ซงแรงบดดงกลาวจะมคาเทากบแรงจากโมเมนตความเฉอย (Moment of inertia, I) รอบๆ แกนดงสมการ

197

2

2

dt

dI)mgLsin(θ

(7.27)

เครองหมายลบแสดงถงทศทางของแรงบดดงกลาวททาใหมม เลกลง ถา แคบๆ จะทาให sin() จากสมการ (7.27) จะได

θωθθ 22

2

I

mgL

dt

d )( (7.28)

สมการ (7.28) จะมภาพแบบเหมอนกบสมการ (7.17) แสดงวาการแกวงของลกตมกายภาพเปน การแกวงแบบซมเปลฮารโมนกจะไดมมของการแกวงทเปลยนไปตามเวลา คอ (t) = 0sin(i + ) (7.29) เมอ 0 เปนมมทวตถแกวงไดกวางทสด และ

I

mgLω (7.30)

และมคาบของการแกวงเทากบ

mgL

I2

2T π

ω

π (7.31)

จากสมการ (7.31) สามารถคานวณหาโมเมนตความเฉอยของวตถไดเมอทราบระยะ และวดคาบของการแกวง ถามวลท งหมดของวตถอยทจดศนยกลางมวลจะทาใหโมเมนตความเฉอยเทากบ mL2 และทาใหสมการ (7.31) เทากบสมการ (7.26)

ตวอยางท 7.3 ดามไมกวาดความยาว L = 1.5 m โมเมนตความเฉอย 2mL3

1I ถกทาใหเกด

การแกวงกวด จงหา ก) คาบการแกวงกวด ข) ความยาวของลกตมเชงเดยวทมคาบเทากน

198

วธท า ก) จากสมการ

mgh

I2T

ระยะทาง h จากจดหมนไปยงจดศนยถวงของดามไมกวาด h = L/2 ดงน น

2/mgL

3/mL2T

2

g3

L22

s01.2)8.9(3

)5.1(22

ข) คาบการแกวงกวดของลกตมเชงเดยว

g

L2T

จะไดวาความยาวของลกตมเชงเดยวทมคาบเทากน

m99.04

)01.2)(8.9(

4

TgL

2

2

2

2

199

7.4 ลกตมชนดบด (Torsional pendulum)

θ

0

P

ภาพท 7.10 ลกตมชนดบด ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 435)

พจารณาวตถแผนกลมถกแขวนดวยเสนลวดดงภาพท 7.10 ถาจบวตถบดไปเปนมม แคบๆ แลวปลอย วตถจะแกวงไปแกวงมาเนองจากแรงบดของเสนลวดทพยายามดงวตถใหกลบสตาแหนงสมดล โดยแรงบด () ดงกลาวจะมคาดงสมการ = -K เมอ K คอคาคงทของการบดตวของเสนลวด (Torsion constant) สามารถหาไดโดยใสแรงบดททราบคาแนนอนและวดมมทบดไป และจากกฎขอทสองของนวตน จะได

2

2

dt

dIKθ

θτ

θθ

I

K

dt

d2

2

(7.32)

ซงไดสมการทสอดคลองกบสมการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกดวยความถเชงมม I

Kω และ

มคาบเปน

K

I2T π (7.33)

200

และเรยกระบบการแกวงแบบน วา “ลกตมชนดบด (Torsional pendulum)” 7.5 การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก และการเคลอนทเปนวงกลมสม าเสมอ (Simple harmonic motion and uniform circular motion)

พจารณาการเคลอนทของอนภาคเปนวงกลม ดงภาพท 7.11 (ก) โดยอนภาคเคลอนทรอบจด O ดวยรศม A และมความเรวเชงมมเทากบ ถาอนภาคเคลอนทเปนเวลา t จะทาใหเกดมมระหวาง OP และแกน x เทากบ t + เมอ คอมมระหวาง OP และแกน x ทเวลาเรมตน (t = 0) พบวาระยะกระจดเชงมม หรอมมท OP ทากบแกน x จะมคาเปลยนไปทเวลาตางๆ ถาพจารณาเงาของจด P ทฉายลงบนแกน x (จด Q) พบวาจด Q จะเคลอนทกลบไปกลบมาระหวาง x = A ซงมระยะกระจดทเวลาใดๆ บนแกน x ดงสมการ x(t) = Asin(t + ) (7.34)

จด Q จะเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกตามแกน x หรอกลาวไดวาเงาของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลมจะเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกบนเสนผานศนยกลาง ดงน นเงาของอนภาคตามแกน y จะเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกดวย จงกลาวไดวาการเคลอนทแบบวงกลมของอนภาคใดๆ กคอผลรวมของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกตามแกน x และแกน y ซงมเฟสของการเคลอนทแตกตางกน 90๐ โดยคาบของการเคลอนทของอนภาคแบบวงกลมจะสอดคลองกบการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกทมระยะกระจดอยระหวาง x = A ถาอนภาคเคลอนทแบบวงกลมมรศมเทากบแอมพลจดของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกจะทาใหความเรวเชงมมของอนภาคมขนาดเทากบความถเชงมมของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก

จากความสมพนธระหวางความเรวเชงเสนและความเรวเชงมม คอ v = r ถาอนภาคเคลอนทดวยรศม A จะมความเรวเทากบ v = A ดงน นจากภาพท 7.11 (ข) จะไดความเรวของอนภาคตามแกน x เทากบ Acos(t + ) ซงมคาเทากบอนพนธของระยะกระจดเทยบกบเวลา

][dt

dx(t) นนเอง และความเรงของอนภาคบนเสนรอบวงจะมทศทางพงเขาหาจดศนยกลางซงมขนาด

เทากบ v2/A = 2A จากภาพท 7.11 (ง) จะไดความเรงในแนวแกน x เทากบ - A2sin(t + ) ซงเปนความเรงของเงาหรอจด Q ตามแกน x ซงมคาเทากบความเรงของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกดงทกลาวมาแลว

201

P

0

A

P

0

θ

A

Q

0t y

x

(ก) (ข)

P

0

ωAv

Q

v

xv

P

0

Aωa 2

xa

xa

a

(ค) (ง)

ภาพท 7.11 การเคลอนทเปนวงกลม ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, 2007, หนา 407) ตวอยางท 7.5 จงแสดงวา Acost + Bsint สามารถเขยนแทนดวย Ccos(t - ) เมอ

22 BAC และ A

Btan 1 พรอมท งหาแอมพลจด คาบและความถของฟงกชน

วธท า

22 BA B

A

ภาพท 7.12 ภาพประกอบตวอยางท 7.5

C

A

BA

Acos

22

202

C

B

BA

Bsin

22

222 BAC หรอ

22 BAC

และ

A

Btan 1

tsinBtcosA

tsin

BA

Btcos

BA

ABA

2222

22

]tsinsintcos[cosBA 22

)tcos(BA 22

)tcos(C ; 0

แอมพลจด = คาสงสด

22 BAC คาบ

2

T

และความถ

2

f

203

7.6 การแกวงแบบหนวง (Damped oscillators)

การศกษาการแกวงของวตถหรอการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกทผานมาจะเปนระบบในอดมคต การเคลอนทของระบบจะมแอมพลจดคงทตลอดเวลาโดยระบบจะไมมแรงเสยดทานทาใหการเคลอนทเปนแบบคงตว แตในธรรมชาตจะมการสญเสยพลงงานระหวางการเคลอนทซงเกดจากแรงเสยดทานของอปกรณและสงแวดลอม ทาใหพลงงานและแอมพลจดลดลงเมอเวลาเปลยนไป โดยแรงตานทานเปนสดสวนโดยตรงกบความเรวของวตถนนคอ R = - bv เมอ b เปนคาคงทและ v คอความเรวของวตถ เพอใหวตถเคลอนทแบบคงตวจงตองปอนพลงงานใหกบระบบ หรอจาเปนตองมแรงชดเชยใหกบระบบอาจไดจากการหดหรอยดตวของสปรงโดยมคาเทากบ -kx จากกฎขอทสองของนวตน จะได

Fx = - kx – bv = max

2

2

dt

xdm

dt

dxbkx (7.35)

การหาคาตอบจากสมการ (7.35) จาเปนตองอาศยคณตศาสตรเขาชวย ซงจะไมกลาวถง

รายละเอยดในทน ถาแรงตานมขนาดนอยมากเมอเทยบกบแรงดงของสปรง จะไดระยะกระจดทเวลาตางๆ คอ

)t sin(Aex(t) 2m

bt

ω (7.36) โดย b มคานอยๆ และมความถเชงมมของการเคลอนทเทากบ

2

2m

b

m

k

ω (7.37)

จากสมการ (7.36) จะไดระยะกระจดทเวลาตางๆ แสดงดงภาพท 7.13 (ก) พบวาขนาด

ของแอมพลจดจะลดลงเรอยๆเมอเวลาผานไป จงเรยกการเคลอนทแบบน วา การแกวงแบบหนวง (Damped oscillators) เชน การแกวงของมวลทตดกบสปรงหรอการแกวงของลกตมนาฬกา โดยแอมพลจดจะลดลงแบบเอกซโพเนนเชยล ถาไมมพลงงานชดเชยจากแบตเตอรหรอขดลวดแอมพลจดของการเคลอนทจะลดลงอยางรวดเรว ดงตวอยางการแกวงของมวลทตดอยกบสปรง ดงภาพท 7.13 (ข) จากสมการ (7.37) สามารถเขยนใหมได

204

2

20 2m

b

ωω

เมอ m

k0 ω เปนความถเชงมมเมอไมมแรงหนวง (b = 0) ทาใหระบบแกวงดวยความถ

ธรรมชาต (0) ถา b = 2m(0) ระบบจะไมมการแกวงอกตอไป เรยกจดน วา “การหนวงวกฤต (Critically damped)” โดยวตถจะกลบมาอยทตาแหนงสมดลดงกราฟ b ในภาพท 7.14 ในกรณทแรงหนวงมคามากกวาแรงชดเชยใหกบระบบ นนคอ b > 2m(0) จะทาใหระบบเกดการหนวงเกน (Over damped) จะไดกราฟการกลบสสมดลดงกราฟ c โดยการกลบสสมดลจะข นอยกบขนาดของแรงหนวง ถาแรงหนวงมขนาดใหญข น เวลาทใชในการเคลอนทกลบสจดสมดลกจะเพมข นตามดวย การแกวงแบบหนวงจะมพลงงานลดลงเปนศนยทจดสมดลโดยพลงงานของระบบจะสญเสยใหกบสงแวดลอมในภาพพลงงานความรอน

t0

x

t2m

b-

Ae

(ก) (ข)

ภาพท 7.13 การเคลอนทแบบหนวง ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, 2007, หนา 409)

ab

c

t

x

ภาพท 7.14 ระยะกระจดของการเคลอนทแบบตางๆ ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, 2007, หนา 409)

205

7.7 การแกวงดวยแรงบงคบ (Forced oscillators)

ในกรณทวตถมการแกวงแบบหนวง โดยมการสญเสยพลงงานในขณะทวตถเคลอนท ถามการปอนแรงจากภายนอกใหกบวตถในทศทางการเคลอนท จะทาใหวตถแกวงดวยแอมพลจดขนาดเทาเดม เชน การแกวงของชงชา ความสงของการแกวงจะลดลงเรอยๆ จงจาเปนตองออกแรงผลกอยางสมาเสมอเพอใหชงชาแกวงอยได ถาพลงงานทผลกเทากบพลงงานสญเสยไปเนองจากแรงเสยดทานจะทาใหการแกวงมแอมพลจดทคงท

ถาแรงทปอนใหกบระบบเปนไปอยางตอเนอง โดยมคา F = F0sin(t) เมอ F0 คอ ขนาดสงสดของแรงทปอนใหกบระบบ และ เปนความถเชงมมของการแกวง จากสมการ (7.35) จะได

2

2

0dt

xdm

dt

dxbkxt) sin( F ω (7.38)

เมอพลงงานทปอนใหกบระบบมคาเทากบพลงงานทสญเสยไประหวางเคลอนทในแตละระบบ จะทาใหระบบแกวงดวยแอมพลจดทคงท ซงมระยะกระจดทเวลาตางๆ คอ x(t) = Asin(t + ) (7.39) เมอ

222

02

0

m

bm

F

A

)()(ω

ωω

(7.40)

เมอ m

k0 ω คอความถเชงมมของการแกวงเมอไมมแรงหนวง (b = 0) จากสมการ (7.40) แสดง

ใหเหนถงระบบทมแรงภายนอกมากระทาจะแตกตางจากการเคลอนทแบบหนวงทกลาวมาแลว โดยแรงทปอนใหกบระบบจะชดเชยแรงทหายไปเนองจากแรงหนวง ถาระบบมแรงหนวงขนาดนอยๆ จะทาใหแอมพลจดของการแกวงมขนาดใหญมาก เมอความถเชงมมของการแกวงมคาใกลเคยงกบความถธรรมชาตจะทาใหการแกวงเกดเรโซแนนซ (Resonance) ข น เรยกความถเชงมมทจดดงกลาววา “ความถเรโซแนนซ (Resonance Frequency)”

การทขนาดของแอมพลจดของการแกวงมขนาดใหญมากทความถ เรโซแนนซ แสดงวาพลงงานจากภายนอกถกถายทอดไปยงระบบไดสงสด สามารถหาความเรวของการเคลอนทจากอนพนธของระยะกระจดเทยบกบเวลา พบวาความเรว (v) ของการเคลอนทจะเปนสดสวนโดยตรงกบ cos(t + ) เมอมแรง F จากภายนอกกระทาสอดคลองกบเฟสของความเรวจะทาใหเกดงานข น

206

เทากบ Fv ซงมคาเปนบวกเสมอ ถา F และ v มเฟสตรงกน จะทาใหเกดพลงงานสงสดถายทอดไปกบระบบ และทาใหการแกวงเกดเรโซแนนซข นทตาแหนงดงกลาว ในภาพท 7.15 จะแสดงแอมพลจดของการแกวงทความถตางๆ และระยะกระจดของการแกวงเมอมและไมมแรงหนวง โดยแอมพลจดของแกวงจะเพมข นเมอแรงหนวงลดลงและกราฟจะกวางมากข นเมอแรงหนวงลดลงและกราฟจะกวางมากข นเมอแรงหนวงมขนาดเพมข น

สาหรบการแกวงแบบคงตวหรอการแกวงทมแรงจากภายนอกเทากบแรงหนวงของระบบพอด ทาใหระบบมพลงงานเฉลยคงท ถาระบบไมมแรงหนวง (b = 0) จากสมการ (7.40) จะพบวาแอมพลจดของการแกวงมคาเปนอนนต เมอความถของการแกวงเทากบความถธรรมชาตหรอกลาวไดวาระบบไมมการสญเสยพลงงานใหสงแวดลอมเลย แตมการปอนพลงงานใหกบระบบเทากบพลงงานทปอนคร งแรกโดยปอนพลงงานใหสอดคลองกบความเรวของการเคลอนท แอมพลจดของการเคลอนทจะเพมข นอยางไมจากด แตในทางปฏบตเหตการณดงกลาวจะไมเกดข น เนองจากมแรงหนวงเขามาเกยวของเสมอ ดงตวอยางการแกวงของลกตมนาฬกาในภาพท 7.16 ประกอบดวยลกตมหลายๆลกทแขวนดวยเชอกทมความยาวแตกตางกน ถาลกตม P ถกผลกใหแกวง ลกอนจะแกวงตามไปดวย ลกตม Q ซงแขวนดวยเชอกยาวเทากบลกตม P จะมแอมพลจดสงสด หรออาจจะพบตวอยางอนๆอกทเกดเรโซแนนซ เชน วงจรไฟฟา หรอการแกวงของสะพานแขวน เปนตน

ไมมแรงหนวง

แรงหนวงขนาดนอยๆ

แรงหนวงขนาดใหญ

A

00ω

ω

0b

ภาพท 7.15 กราฟแสดงระยะกระจดของการแกวงทความถตางๆ ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 438)

207

P

Q

ภาพท 7.16 แสดงการแกวงของลกตมนาฬกาหลายลก ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, 2007, หนา 411)

208

สรป

การเคลอนทแบบฮารมอนกเชงเดยว สมการแสดงการกระจด ความเรวและความเรง x(t) = Asin(t + )

dt

dxv = Acos(t + )

dt

dva = - A2sin(t + ) = - 2x

กรณของสปรง คาบการแกวงกวด

k

m2

2T

0

πω

π

ลกตมเชงเดยว คาบการแกวงกวด

g

L2

2T π

ω

π

ฟสกลปเพนดลม

mgL

I2

2T π

ω

π

ทอรชนเพนดลม

K

I2T π

สมการการแกวงกวดแบบหนวง

2

2

dt

xdm

dt

dxbkx

209

แบบฝกหด

1. การทดสอบสปรงเสนหนงโดยออกแรงกดขนาด 10 N ทาใหความยาวของสปรงลดลง 10 cm ถานาแทงเหลกหนก 1 kg มาเชอมตดทปลายดานหนงของสปรงดงกลาว สวนปลายอกดานหนงยดตดอยกบเพดานหอง เมอกดสปรงใหหดส นจากระยะเรมตนเทากบ 5 cm แลวปลอยจะทาใหสปรงแกวงในแนวดง จงหา

ก) คาคงทของสปรง ข) คาบ ความถ และความถเชงมมของการแกวง ค) แอมพลจด และเฟสเรมตน ง) ความเรวสงสด และความเรงสงสดของแทงเหลก จ) พลงงานรวมของระบบ

ฉ) หาระยะกระจด ความเรว และความเรง เมอ 4

πω t0

ตอบ ก) 100 N/m ข) 0.629 s, 1.59 Hz, 10 rad/s ค) 0.1, 2

π3

ง) 1 m/s, 10 m/s2 จ) 1 J ฉ) -0.07 m, 0.71 m/s, 7.07 m/s2 2. จากภาพท 7.17 ถาความถเชงมมของการแกวงเทากบ 2 rad/s จงหาระยะกระจดทเวลาตางๆ

เมอ x0 = 0.5m และ v0 = -2.5m/s

A

A

x

m

ภาพท 7.17 ภาพแบบฝกหดขอท 2 ตอบ 1.082)t(2 sin (0.434) x(t) π 3. ผเขาชมตกใบหยกคนหนงตองการทราบความสงของจดชมวว เขาสงเกตลกตมนาฬกาอยางงาย

ซงปลายเชอกผกจากจดชมววดงกลาว พบวาคาบของการแกวงทพ นช นลางสดเทากบ 20 s จงหา

ก) ความสงของจดชมววของตกใบหยก ข) แรงโนมถวง ถานาลกตมนาฬกาดงกลาวไปไวทดวงจนทรวดคาบได 30 s ตอบ ก) 99.4 m ข) 4.356 m/s2

210

4. เมอนาไมเมตรมาแขวนทปลายดานหนงแลวปลอยใหแกวงดวยมมแคบๆ ถาไมเมตร (L) มมวล m จงหาคาบของการแกวง

ตอบ 1.64 s 5. พจารณาการเคลอนทเปนวงกลมของวตถช นหนง โดยมทศทางการเคลอนทตามเขมนาฬกา ดวย

รศม 2 m และมความเรวเชงมม 2.0 rad/s เมอเวลา t พบวาเงาของวตถดงกลาวมระยะเทากบ 1 m ตามแนวแกน +x จงหา

ก) ฟงกชนของระยะกระจดตามแนวแกน x ทเวลาตางๆ ข) ฟงกชนของความเรว และความเรงตามแนวแกน x

ตอบ ก) 0.523)t2.0sin(2.0x(t) ข) )t4.0cos(2.0 )t(v x , )t8.0sin(2.0 )t(ax 6. มวล m แขวนกบสปรง แสดงดงภาพท 7.18 ถาไมคดแรงเสยดทาน จงหาคาบของการเคลอนท

ของระบบ

1k 1k

m m

m1k 1k

1k2 1k

2k

(ก) (ข) (ค)

ภาพท 7.18 ภาพแบบฝกหดขอท 6

ตอบ ก) 1k2

m2T ข)

1k4

m2T ค) )

kk

kk(m2T

21

21

7. จากแบบฝกหดขอท 6 ถาการกระจดเรมตนท 0.05 m ความเรว 2 m/s จงหาแอมพลจด มม

เฟส พลงงานรวมของการเคลอนทพรอมท งเขยนสมการแสดงตาแหนงเปนฟงกชนของเวลา ตอบ แอมพลจด 0.206 m, มมเฟส -1.33 rad, พลงงานรวม 4.25 J, ]33.1t)10sin[()206.0(x

211

8. อนภาคมวล 5 kg เคลอนทไปตามแนวแกน x ดวยแรงดงกลบของสปรงเขาหาจดกาเนดขนาด 40 เทา ของระยะทางจากจดกาเนด และแรงของความเสยดทานซงเปนสดสวนกบอตราเรว เมออนภาคมอตราเรว 10 m/s ทาใหเกดแดมพเทากบ 200 N ถาอนภาคเคลอนทจากหยดนงทระยะทาง 20 m จากจดกาเนด จงหา

ก) สมการอนพนธของการเคลอนท ข) ตาแหนงของอนภาคทเวลาใดๆ ค) แอมพลจด คาบ ความถและมมเฟส

i)dtdx(20

ix40

ixx

y

0 P

ภาพท 7.19 ภาพแบบฝกหดขอท 8

ตอบ ก) 0x8dt

dx4

dt

xd2

2

ข) )4

t2cos(e220x t2 ,

ค) คาบ s, ความถ

1 Hz, มมเฟส

4

rad

9. มวล 300 g ผกตดกบสปรงแลวเคลอนทแบบฮารมอนกเชงเดยวดวยคาบ 2.4 s จะมคาบการ

แกวงกวดเทาไร ถาผกตดดวยมวลขนาด 133 g ตอบ 1.60 s 10. อนภาคเคลอนทแบบฮารมอนกเชงเดยว ถาความเรงทระยะทาง D จากตาแหนงสมดลเปน A จง

แสดงวาคาบการเคลอนทสามารถเขยนไดในรป

A

D2T

212

11. มวล M แขวนกบจดปลายของสปรงแนวดง คาบการเคลอนทเทากบ T จงแสดงวาคาบการเคลอนทจะมคาเปน

M

m1T

12. จงพสจนวาผลการซอนทบของสองฮารมอนกเชงเดยวความถเทากนในตวกลางเดยวกน จะได

ฮารมอนกเชงเดยวมความถเดยวกน )tcos(A)tcos(A)tcos(A 2211

เมอ )cos(AA2AAA 212122

21

และ 2211

22111

cosAcosA

sinAsinAtan

13. อนภาคมประจไฟฟาเบยงเบนในสนามไฟฟาสองสนามในระนาบ xy การกระจดของอนภาคม

ประจไฟฟาทเวลา t ใดๆ คอ tcosAx และ )tcos(Ay จงหาสมการทางเดนของอนภาคมประจไฟฟาน กรณมม 60 และ 90

ตอบ 222 A4

3yxyx และ 222 Ayx

เอกสารอางอง

213

พงษศกด ชนนาบญ และ วระชย ล มพรชยเจรญ. (2549). ฟสกส มหาวทยาลย เลม 1 (พมพคร งท 1). กรงเทพฯ: วทยพฒน.

สมพงษ ใจด. (2548). ฟสกส มหาวทยาลย 1 (พมพคร งท 6). กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

สมาคมวทยาศาสตรแหงประเทศไทยในพระบรมชปถมภ. (2543). ฟสกส เลม 1 (พมพคร งท 2 ฉบบปรบปรงแกไข). กรงเทพฯ.

Halliday, D. , Resnick, R. , & Walker, J. (1997). Fundamental of physics (5th ed.). New York: John Wiley & Sons. . (2001). Fundamental of physics (6th ed.). New York: John Willey & Sons. . (2007). Fundamental of physics (8th ed.). New York: John Willey & Sons. Serway, R. A. (1996). Physics for scientists & engineers with modern physics

(4th ed.). Philadelphia: Saunders College. . (2008). Physics for scientists & engineers with modern physics (7th ed.).

Philadelphia: Saunders College.