锁具装箱

1 题目

某厂生产一种弹子锁具，每个锁具有n个槽，每个槽有m个高度，每个槽的高

度从｛1，2，…，m｝这m个数(单位略)中任取一个，限制至少有一个相邻的槽

高之差等于m-1，且至少有3个不同的槽高。每个槽的高度取遍这m个数且满足上

面这两个限制时生产出一批锁。

对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的 n个槽的高度中有 n-1 个相同，另一个槽的高度差为 1，则能互开，在其它情形下

不可能互开。将这一批锁按槽高数之和分为奇数(A)和偶数(B)两类。请给出这

两类锁之间的最大匹配。

2 分析

1. 求出所有满足条件的锁，和为奇数的保存在矩阵 LMA中，和为偶数的保存

在矩阵 LMB中，这样我们便得到了锁与自然数的映射（矩阵行标）。

2. 建立邻接矩阵，若可以互开则设置相应位置为 1否则设为 0.

3. 利用 Edmonds算法求完美匹配。

两个数组记录匹配，设 MatA,MatB。例如 MatA(i)=j表示 A中第 i个

元素与 B中的第 j个元素相匹配（此时必须有 MatB(j)=i）。

三个数组 XYZ用来求某个未匹配点的增广轨。

具体过程有：

a) 初始化 MatA,MatB,X,Y,Z为 0；

b) 若 MatA中不存在 0元素，则表明匹配已经是最大匹配，算法结束。

若 A中存在未匹配点，任取一未匹配点 i。

c) 将 i所有相邻结点在 Y中标记为 i。

d) 若 Y与 Z相同，表明 i没有与之相应的匹配，将 MatA(i)标记为-1，

转至 b。否则设 Y-Z中第一个元素的下标为 j。若 j不在匹配中，

则得到一个增广轨 P，从 j开始逆向得到一条边在匹配和非匹配

中交替出现的路径，取匹配为原匹配与该增广轨的对称差，转至

b。

e) 若 j在匹配中，则标记 Z(j)=Y(j)。假设 MatB(j)=i（即与 j相匹

配的元素为 i），记 X(i)=j,并转至 c。

f) 清空 XYZ，转至 b。

3 实现

Edmonds算法（匈牙利算法）的关键在于寻找增广轨并求原匹配与该增广轨

的对称差，下面结合代码详细说明增广轨的求法：

1. 首先寻找初始匹配，为方便起见可以选取 A中第一个元素，代码实现：

j = find(AB(1,:), 1);

MatA(1)=j; MatB(j)=1;

2. 接着只要 MatA中存在 0元素就表明 A中存在尚未匹配点（不能匹配的点用-1

表示），为方便起见可以选取第一个 0元素（设下标为 i）为下次进行匹配的

点，代码如下：

while length(find(MatA==0)) ~= 0 % 存在不匹配的元素

J = find(MatA==0); i = J(1); % 第 i个元素未被匹配

init = i;

3. 标记 X(i)=0 （标记为 0方便逆向寻找增广轨，可以做为终结条件），并标记

Y中所有与 i相邻的结点为 i，代码如下：

X(i)=0;

J = find(AB(i,:)); % J 为所有与 i相邻结点

Y(J) = i; j=J(1);

4. 当 Y=Z时表明不存在 i的匹配，此时清空 XYZ并标记 MatA(i)=-1继续下次尚

未匹配点的匹配，否则当 j在匹配中时，标记 Z(j)=Y(j)，设与 j匹配的点为 i，

标记 Y中所有 I 相邻的结点，并记 Y-Z中第一个元素的下标为 j。代码如下：

if MatB(j) ~= 0 % j 是匹配点

Z(j) = Y(j);

i = MatB(j);

X(i)=j;

J = find(AB(i,:));

Y(J)=i;

J = find(Y);

JJ = find(Z);

J = setxor(intersect(J, JJ), J);

j=J(1);

5. 如果 j不在匹配中，则表明已经找到了一个增广轨，接下来就是要用原匹配

与增广轨的对称差来替代原来的匹配，例如最后一次 i=8，j=8时发现 MatB(8)=0

（即 8不在匹配中），之后便可以利用 X和 Z 中的数据来得到一条增广轨：

下标 1 2 3 4 5 6 7 8

X 0 3B 1B 6B

Y NM

Z 1A 6A 5A

得到增广轨后便更新原来匹配，其具体代码实现：

i = Y(j);

MatA(i) = j;

MatB(j) = i;

while X(i)

j = X(i);

i = Z(j);

MatA(i) = j;

MatB(j) = i;

end

break;

6. 最后为方便人机交互，可以用 Matlab GUI 设计简单的界面。

function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)

a = get(handles.edit1, 'String');

b = get(handles.edit2, 'String');

str = Edmonds(str2num(a), str2num(b));

set(handles.edit4, 'String', str);

guidata(hObject, handles);

4 结果

槽数高度

4 5

4 32 1805 50 378

5 改进

从结果中可以看到当有 5个槽 5个高度时匹配有 378个，此时建立邻接矩阵

为大于 378*378的矩阵，随着槽数和高度的增加，该程序对内存空间的要求会很

高，而矩阵中真正有用的标记并不多，故空间利用率是很低的，但此方法的优点

在于可以充分利用 Matlab的内建函数，思路清晰代码简洁。一种改进方法是不

用邻接矩阵，令每个结点对应一个由其邻接结点构成的向量，这样便可减少空间

需求，同时代码量也会增加，对编程能力要求较高。

6 源码

LockMap.m

function [LMA, LMB] = LockMap(n, m)

% LOCKMAP - 求解满足条件锁并设置相应的映射

% 输入参数：n 表槽数，m 表高度数。

% 输出参数：LMA，LMB 分别为二维矩阵表示自然数到满足条件锁之间的映射。

global jiA ouB ary A B mm N % 调用递归函数时要用到的变量所以

% 设为全局

N = n; mm = m;

jiA=0; ouB=0;

A=[]; B=[];

ary = zeros(1, n);

RecuCal(n);

LMA=A; LMB=B;

[lena, n] = size(LMA);

[lenb, n] =size(LMB);

if lena>lenb

temp = LMA; LMA=LMB;LMB=temp;

temp = lena;lena=lenb;lenb=temp;

end

RecuCal.m

function RecuCal(n)

% RECUCAL - 递归函数

global jiA ouB ary A B mm N

if n ==1

for k=1:mm

ary(1) = k;

Max = max(ary); Min = min(ary);

num = 0; neighbor = 0;

for i=1:N

num = num + (Max-ary(i))*(ary(i)-Min);

if (i~=N)

neighbor = max(neighbor, abs(ary(i)-ary(i+1)));

end

end

if (neighbor > mm-1.5)&&(num > 0.5)

if mod(sum(ary), 2) % 奇数，属于 A类

jiA = jiA+1;

A(jiA,:) = ary;

else % 偶数，属于 B类

ouB = ouB+1;

B(ouB,:) = ary;

end

end

end

else

for k=1:mm

ary(n) = k;

RecuCal(n-1);

end

end

BuildMatrix.m

function AB = BuildMatrix(LMA, LMB)

% BUILDMATRIX - 建立邻接矩阵，若 i与 j之间可以互开则 AB(i,j)=1，否则为 0。

AB = [];

[lena, n] = size(LMA);

[lenb, n] =size(LMB);

for i = 1:lena

for j=1:lenb

tmp = 0;

for k=1:n

tmp = tmp + abs(LMA(i,k)-LMB(j,k));

end

if tmp == 1

AB(i, j)=1;

end

end

end

Edmonds.m

function str = Edmonds(n, m)

% EDMONDS - Edmonds算法寻找完美匹配

str = [];

[LMA, LMB] = LockMap(n, m);

AB = BuildMatrix(LMA, LMB);

lena = length(LMA);

lenb = length(LMB);

if lena==0

disp('其中一个分组为空，无法匹配'); %当 n=m=3时只有偶数组无奇数组，不能完成

匹配

return;

end

MatA = zeros(1, lena);

MatB = zeros(1, lenb);

X = MatA; Y=MatB; Z=Y;

NumNoMat = 0; % 无法匹配的点的个数

% 最初匹配，只有一个匹配

j = find(AB(1,:), 1);

MatA(1)=j; MatB(j)=1;

while length(find(MatA==0)) ~= 0 % 存在不匹配的元素

J = find(MatA==0); i = J(1); % 第 i个元素未被匹配

init = i; X(i)=0;

J = find(AB(i,:)); % J 为所有与 i相邻结点

Y(J) = i; j=J(1);

while ~isempty(find(Y~=Z))

if MatB(j) ~= 0 % j 是匹配点

Z(j) = Y(j);

i = MatB(j);

X(i)=j;

J = find(AB(i,:));

Y(J)=i;

J = find(Y);

JJ = find(Z);

J = setxor(intersect(J, JJ), J);

j=J(1);

else % j 不是匹配点

i = Y(j);

MatA(i) = j;

MatB(j) = i;

while X(i)

j = X(i);

i = Z(j);

MatA(i) = j;

MatB(j) = i;

end

break;

end

end

% 如果 Y==Z则表明该点没有与之相应的匹配，即不存在完美匹配，在 MatA中标

% 记为－1。

if isempty(find(Y~=Z, 1))

NumNoMat = NumNoMat + 1;

MatA(init) = -1;

end

X(1:lena)=0; Y(1:lenb)=0; Z=Y;

end

total = 0;

for i=1:lena

k = MatA(i);

if k<=0 continue; end % k<=0时表明匹配不存在

stra = ''; strb = '';

for j=1:n

stra = [stra, num2str(LMA(i, j)), ' '];

strb = [strb, num2str(LMB(k, j)), ' '];

end

str = [str, stra, '------ ', strb, 10];

total = total + 1;

end

str = [str, '匹配个数有：', num2str(total)];

GUI1.m

function varargout = GUI1(varargin)

gui_Singleton = 1;

gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...

'gui_Singleton', gui_Singleton, ...

'gui_OpeningFcn', @GUI1_OpeningFcn, ...

'gui_OutputFcn', @GUI1_OutputFcn, ...

'gui_LayoutFcn', [] , ...

'gui_Callback', []);

if nargin && ischar(varargin{1})

gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1});

end

if nargout

[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});

else

gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});

end

% End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before GUI1 is made visible.

function GUI1_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin)

handles.output = hObject;


function varargout = GUI1_OutputFcn(hObject, eventdata, handles)

varargout{1} = handles.output;


a = get(handles.edit1, 'String');

b = get(handles.edit2, 'String');

str = Edmonds(str2num(a), str2num(b));

set(handles.edit4, 'String', str);


function edit1_Callback(hObject, eventdata, handles)

input = str2num(get(hObject, 'String'));


function edit1_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)

if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),

get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))

set(hObject,'BackgroundColor','white');

end


input = str2num(get(hObject, 'String'));






end

function slider1_Callback(hObject, eventdata, handles)

function slider1_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)

if isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),


set(hObject,'BackgroundColor',[.9 .9 .9]);

end

function text_result_Callback(hObject, eventdata, handles)

function text_result_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)




end






end


set(handles.edit4, 'String', '');



锁具装箱

Documents