7.1 序言7.2 縱橫距預估誤差之推導7.3 導線邊方位角預估標準誤差之推導7.4 多邊形導線閉合差之計算與分析7.5 連結導線閉合差之計算與分析7.6 結論問題

第七章 導線測量之誤差傳播

7.1 序言專案計畫之規格可能允許不同等級之精確度，但量測中的一些大錯則不能接受。測量員常面臨的問題是：當資料存在大錯時如何告知？本章將開始討論這類問題，特別強調導線測量分析，第 19 章會討論更詳細。第 5 章曾證明量測函數之估計誤差與個別量測誤差有關；通常平面測量 ( 如導線測量 ) 中之觀測是互相獨立的，譬如線長之距離與其方位角量測互相獨立；但根據距離與方位角所計算之縱距與橫距則非互相獨立。由圖 7.1可見距離 (a) 與方位角 (b)誤差對所計算之縱橫距之影響；由圖亦可見縱橫距彼此相關 ( 此即：改變距離或方位角，縱橫距均會改變 ) 。

因為假設計算縱橫距所根據之觀測量為互相獨立且不相關，故可利用 SLOPOV 方式或 (5.15) 式來計算其預估誤差；但若利用這些計算值來推算函數時，必須考慮相關性之效應，則應利用 GLOPOV 方式或 (5.12) 式來計算其預估誤差，譬如導線測量之閉合差。

7.2 縱橫距預估誤差之推導在計算導線邊之縱橫距時，常用下列公式： Lat = D cos(Az) (7.1) Dep= D sin(Az)式中， Lat 為縱距， Dep 為橫距， Az 為方位角， D 為導線邊之平距；為推導縱橫距之估計誤差，在利用 (5.15) 式時，需對 (7.1) 式偏導：

Dcos(Az)Az

Dep )Az(sin

D

Dep

)7.2( -Dsin(Az)Az

Lat )Azcos(

D

Lat

例 7.1 假設導線邊長 139.2540.006m ，方位角為 23°35´26 9 ，縱橫距與其估計誤差各若干？

解：利用 (5.15) 矩陣式：

2DepDepLat,

DepLat,2Lat

2Az

2D

Dep,Lat

Az

Dep

Az

LatD

Dep

D

Lat

0

0

Az

Dep

D

DepAz

Lat

D

Lat

將偏導數代入上式，得：

(7.3)

Dcos(Az) Dsin(Az)-

(Az) sincos(Az)

)/9( 0

0 0.006

Dcos(Az) sin(Az)

Dsin(Az)- cos(Az)2

2

Dep,Lat

將數值代入 (7.3) 式，得：

(7.4) 000036772.0 000000337.0

000000337.0 000036147.0

127.6164 55.7292-

0.4002 0.9164

9-.9039e1 0

0 0.000036

127.6164 0.4002

55.7292- 0.9164Dep,Lat

(7.4) 式中， 211 為縱距之變方， 2

22 為橫距之變方， 12 與 21 為縱距與橫距之協變方，故縱距之標準偏差： Lat= (2

11)½ =±0.006m，橫距之標準偏差：Dep= (2

22)½ =±0.006m ；由 (7.4) 式可見：協變方矩陣之非對角線上元素非為 0 ，故縱橫距之計算值為互相相關，如圖 7.1 所示。

(7.1) 式係由導線邊之方位角來計算縱橫距，但實際上，邊之方位角常非由觀測值，而由量測角度直接計算，由角度值計算之方位角存在另一層次之誤差傳播，如下述之分析；觀測內角，方位角則沿著導線方向而逆時鐘計算，如下式所示： Azc=Azp+180º+i (7.5)式中， Azc 為正計算邊之方位角， Azp 為前一邊之方位角， i 為用來計算之相對應內角，利用 (5.17) 式，正計算邊方位角之估計誤差為：

7.3 導線邊方位角預估標準誤差之推導

(7.6) 22AzAz ipc

式中， i 為內角之誤差，其他各項如前所定義。

7.4 多邊形導線閉合差之計算與分析一般測量可知，對閉合多邊形導線，存在一幾何條件： 內角 =(n-2)×180º (7.7)且 Lats = 縱距和 = 0 (7.8) Deps= 橫距和 = 0 (7.9)與上述條件之不符值，即所謂閉合差，可根據導線之觀測值來計算。統計分析閉合差時，可決定閉合差合理或接受與否，也可看出觀測值中是否存在大錯。若存在大錯，須捨去量測值，並重複觀測；下例為閉合多邊導線之計算。例 7.2 計算圖 7.2 所示導線之角度與線性閉合差，導線

觀測數據如表 7.1 所列，距離單位為 m ，在 95 ％之信心水準下，預估閉合差為若干？是否有任何可能之大錯存在？

解：首先檢核內角是否在指定容許範圍內閉合，利用(5.18) 矩陣式，又代入 7.1 表中各角度標準偏差值，即角度和誤差須位於 之 68.3 ％內；又因每個角度觀測四次，各角度平均值自由度為 3 ，查表 D.3 ，得 t0.025,3=3.183 ，故在 95 ％之信心水準下，角度閉合差預估為：

2n

22

21

6.249.31.36.31.35.3183.3 22222 由表 7.1 知：實際的角度閉合差為 19 ±24.6 ，故在 95 ％之信心水準下，沒理由相信存有角度大誤差。表7.1 圖7.2之觀測距離與角度

測站 照準 距離(m) S(m) 後視 測站 前視 S"A B 437.592 0.006 E A B 110 24 40 3.5B C 261.195 0.006 A B C 87 36 14 3.1C D 343.101 0.006 B C D 125 47 27 3.6D E 321.424 0.006 C D E 99 57 2 3.1E A 230.535 0.006 D E A 116 14 56 3.9

Σ ＝ 540 0 19

角度a

° ′ 〞

a每個角度觀測四次(二次正鏡二次倒鏡)

方位角計算：本題並無任何已知方位角，為解決這個問題，可假設第一邊之方位角為 0°0´0 ，且無誤差，可以這麼假設，因為問題僅在檢核導線之幾何閉合條件，而非檢核導線的方位，即使觀測了第一個邊方位角，也是如此。利用 (7.5) 與 (7.6) 式，各邊方位角及其估計標準誤差計算如表 7.2 所示。線性閉合差計算：在計算導線線性閉合差時，應利用(5.12) 式來考量縱橫距之相關性，利用 (7.2) 式計算縱橫距之偏導數後，可得係數矩陣 A 如 (7.10) 式所示。

表7.2 圖7.2之計算方位角與其估計誤差由 至 估 計 誤 差A B 0 0 0 0"B C 267 36 14 ±3.1"

C D 213 23 41 (3.1 2 +3.6 2 ) 1/2 =±4.8"

D E 133 20 43 (4.8 2 +3.1 2 ) 1/2 =±5.7"

E A 69 35 39 (5.7 2 +3.9 2 ) 1/2 =±6.9"

方 位 角

因為觀測距離與角度為互相獨立，彼此不相關，因此，利用 (5.15) 式解得協變方矩陣之為：

(7.10)

)Az(cosD )Az( sin 0 0 0 0

)Azsin(D- )Azcos( 0 0 0 0

0 0 )Azcos(D )Az( sin0 0

0 0 )Azsin(D- )Azcos( 0 0

0 0 0 0 )Azcos(D )Azsin(

0 0 0 0 )Azsin(D- )Azcos(

A

EAEAEA

EAEAEA

CBBCCB

CBBCCB

ABABAB

ABABAB

(7.11)

)( 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 )( 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 )( 0

0 0 0 0 0

2Az

2D

22Az

2D

22Az

2D

EA

EA

AB

BC

AB

AB

將數值代入 (7.10) 與 (7.11) 式，縱橫距之協變方矩陣lat,dep=AAT 如 (7.12) 式所示。求 (7.12) 式各對角線元素的平方根，即可得每一邊縱橫距之估計誤差，譬如BC 邊之縱距估計誤差為 (7.12) 式中 (3,3) 元素之平方根， BC 邊之橫距估計誤差為 (7.12) 式中 (4,4) 元素之平方根；其餘邊縱橫距之估計誤差同理類推。閉合多邊形導線之限性閉合差如下所求：LC=[(LatAB+LatBC++LatEA)2+(DepAB+DepBC++DepEA)2]½ (7.13)

為計算限性閉合差之估計誤差，將 (5.15) 式應用至 (7.13) 式之前，需先求得 (7.13) 式中線性閉合差對各邊縱橫距之偏導數，譬如 LC 對 AB 邊縱橫距之偏導數為：

(7.14) LC

Deps

Dep

LC

LC

Lats

Lat

LC

ABAB

；

由上可見：這些偏導數均與邊無關，且其他邊之偏導數亦如同 (7.14) 式，故 (5.15) 式中之係數矩陣 A 如下：

例 7.2 之縱橫距計算如表 7.3 所示，由表可見：縱距和為 -0.025m ，橫距和為 0.007m ，線性閉合差為 0.026m 。將這些數值代入 (5.15) 式，得閉合差之之協變方矩陣或σ2

LC=LC=Alat,depAT 如 (7.16) 式所示，其中之 A 如 (7.15) 式所示， lat,dep 則如 (7.12) 式所示； LC 為僅有單一元素之矩陣。接著計算 E95 ，查表 D.3 ，得 α=0.05, 自由度 =3 之 t0.025,3=3.183 ；在 95 ％之信心水準下，線性閉合

(7.15) LC

Deps

LC

Lats

LC

Deps

LC

Lats

LC

Deps

LC

LatsA

表7.3 例7.2之縱距與橫距邊 縱距(m) 橫距(m)AB 437.592 0.000BC -10.920 -260.967CD -286.455 -188.844DE -220.623 233.749EA 80.380 216.069

Σ = -0.025 0.007

LC= [(-0.025) 2 +(0.007) 2 ] 1/2 0.026

差預估為： ±0.046m ，比實際閉合差 0.026m高很多，在 95 ％之信心水準下，沒理由相信導線存有大誤差。( 自由度 =11-8 ？ )

7.5 連結 (附合 ) 導線閉合差之計算與分析圖 7.3 所示為兩端各附合於已知點之附合導線，類此通常為求解如圖中之 A、 B、 C、 D 等點之位置，另求解角度與線性閉合差，以評估觀測值之接受與否。如例 7.3 所述。例 7.3 計算圖 7.3 所示導線之角度與線性閉合差，導線

觀測數據如表 7.4 所列，距離單位為 m ，在 95 ％之信心水準下，預估閉合差為若干？評估是否有任何可能之大錯存在？

解：角度閉合差：計算附合導線之角度閉合差時，先求各邊方位角之初值，再將最後邊所得減去其已知值；根據 (7.5) 與 (7.6) 式，求得各邊方位角初值及其估計誤差計算如表 7.5 所列。由表可見：最後邊計算值與其已知值之差為 +9(=84º19´22-(264º19´13-180º)) ，而利用 (5.18) 式，得其預估誤差為 (11.02+4.12)1/2=±11.7 ，實際值小於未乘以 t 之預估值，沒理由假設角度存有大錯。 表7.4 例7.3之導線資料

自： 至： 距離(m) S(m) 後視 測站 前視 S(")1 A 325.880 0.006 1 A B 66 16 35 4.9A B 284.458 0.006 A B C 205 16 46 5.5B C 249.930 0.006 B C D 123 40 19 5.1C D 372.871 0.006 C D 2 212 0 55 4.6D 2 388.077 0.006

測站 X(m) Y(m) 自： 至： S(")1 380.390 1212.799 1 A 197 4 47 4.32 1485.290 1120.750 2 D 264 19 13 4.1

方位角(° ' ")

角度(° ' ")角度觀測

控制點 方位角觀測

距離觀測

線性閉合差計算：在計算導線線性閉合差時，根據已知點數據， 1、 2兩點之縱橫距差應各為： -92.050m與 1104.900m，而由表 7.6 得知： 1、 2兩點實際之縱橫距差各為： -92.089m 與 1104.890m ，故根據觀測求得之縱橫距閉合差分別為： -0.039m 與 -0.010m ，線性閉合差為此兩者平方之平方根 =0.040m 。導線預估線性閉合差：下列計算類似前述閉合導線，先求縱橫距之 A、 Σ 係數矩陣，次求縱橫距誤差之協變方矩陣，再求線性閉合差誤差之協變方矩陣，如下諸式所示。

表7.5 方位角初值與其誤差邊 σ "1A 197 4 47 4.3AB 83 21 22 6.5BC 108 38 8 8.5CD 52 18 27 9.9D2 84 19 22 11.0

方位角

表7.6 縱橫距計算值邊 縱距(m) 橫距(m)1A -311.508 -95.712AB 32.911 282.547BC -79.864 236.826CD 227.982 295.054D2 38.390 386.174Σ = -92.089 1104.890

(7.19)

)Az(cosD )Az( sin 0 0 0 0

)Azsin(D- )Azcos( 0 0 0 0

0 0 )Azcos(D )Az( sin0 0

0 0 )Azsin(D- )Azcos( 0 0

0 0 0 0 )Azcos(D )Azsin(

0 0 0 0 )Azsin(D- )Azcos(

A

D2D2D2

D2D2D2

ABABAB

ABABAB

A11AA1

A11AA1

(7.20)

)( 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 )( 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 )( 0

0 0 0 0 0

2Az

2D

22Az

2D

22Az

2D

2D

2D

AB

AB

A1

1A

)18.7 (LatDepLC 22 閉合差

0.000041 -0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000-0.000001 0.000046 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.0000000.000000 0.000000 0.000080 -0.000005 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.0000000.000000 0.000000 -0.000005 0.000038 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

Σ Lat,Dep = 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000100 0.000021 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

AΣ A T = 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000021 0.000044 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

unit=m 2 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000217 -0.000136 0.000000 0.0000000.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.000136 0.000146 0.000000 0.0000000.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000421 -0.0000380.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.000038 0.000041

將數值代入 (7.19) 與 (7.20) 式，並應用 (5.15) 式，得縱橫距誤差之協變方矩陣，如下式所示。

為求導線線性閉合差之預估誤差，應將 (5.15) 式應用至 (7.18) 式，類似閉合導線， A 係數矩陣內各項與邊不相關，故 A 係數矩陣為：

)21.7(LC

Dep

LC

Lat

LC

Dep

LC

Lat

LC

Dep

LC

LatA

同理，附合導線閉合差之預估誤差如下：LC=ALat,DepAT=[0.000749] 。由上述結果， LC 為僅有單一元素之矩陣。接著計算 E

95 ，查表 D.3 ，得 α=0.05, 自由度 =3(=11-8 ？ ) 之 t0.02

5,3=3.183 ；在 95 ％之信心水準下，預估線性閉合差 =±3.183×0.000749½m=±0.087m ，比實際閉合差 0.040m高很多，在 95 ％之信心水準下，沒理由相信導線存有大誤差。利用傳統方式，譬如羅盤儀法則平差計算附合導線時，常假設控制無誤差；實際上，控制坐標也是由觀測值所推導的，自然包含誤差，對應用 (7.21) 式時，也假設控制點坐標沒誤差，嚴謹計算時，應修正相關計算式。最小自乘法平差的主要優點即因平差計算時可包含控制，詳如第十八章所述。

7.6 結論本章透過導線計算討論觀測誤差之傳播；對測量員而言，誤差傳播是很有用的工具，可用之回答下列問題：哪些是可接受之導線閉合差？測量工程的一個例子：測量員常設計觀測系統，並利用自己或法定標準來檢核測量成果。之後各章仍會繼續討論誤差傳播相關主題與測量之偵錯。

問題第 7.2、 7.7、 7.9、 7.11 題，各題中單位更改為公制。檔名： Adjlab7_姓名 .doc ，請標明原題號。