บทที่ 3...

บทท 3 ความหนาแนนสเปกตรมและคอรรเลชน

ในบทนจะมาศกษาการหาพลงงานและก าลงงานของสญญาณทงในอาณาจกรของเวลาและอาณาจกรของความถ พรอมทงท าความเขาใจกบค าวา ความหนาแนนสเปกตรม (spectral density) ของสญญาณพลงงาน (energy signal ) และสญญาณก าลงงาน (power signal) ซงหมายถง การกระจายของพลงงาน หรอก าลงงาน ตอหนงหนวยของแบนดวท จากนน ในบทนยงศกษาความหมายของค าวา คอรรเลชน (correlation) ในอาณาจกรของเวลาซงมฟเรยรทรานสฟอรมเปนความหนาแนนสเปกตรม 3.1 ความหนาแนนสเปกตรมพลงงาน

ก าหนดให ( )g t คอสญญาณคาจรง พลงงานของ ( )g t ก าหนดโดยสมการ

2( )gE g t dt

(3.1)

เมอ gE คอ พลงงานของ ( )g t และถา gE มคาจ ากด (finite) นนคอ gE แลว จะเรยก

( )g t วาเปน สญญาณพลงงาน (energy signal) จากบทท 1 ไดอธบายวาสามารถหาพลงงานของสญญาณในอาณาจกรของความถได

โดยใชกฎของพารซวล นนคอ

2 21( ) | ( ) |

2gE g t dt G d

(3.2)

โดยทเทอม 2| ( ) |G เรยกวา ความหนาแนนสเปกตรมพลงงาน (energy spectral density , ESD ) ตอไปนจะมาดความหมายของ ESD วาคออะไร พจารณาสญญาณ ( )g t เมอถกปอนเขาสตวกรองผานแถบความถซงมทรานสเฟอรฟงกชน ( )H ดงแสดงในรปท 3.1(a) ตวกรองนท าหนาทผานความถภายในชวงแถบ ศนยกลางท o เมอ 0 ถาให ( ) ( )y t Y คอเอาทพตของตวกรอง แลวจะได

( ) ( ) ( )Y G H และให yE คอ พลงงานของ ( )y t ซงหาไดโดย

2 2

| ( ) | | ( ) ( ) |yE Y d G H d

ความหนาแนนสเปกตรมและคอรรเลชน

49

เนองจาก ( ) 0H ยกเวนภายในชวง ศนยกลางท o คาของ ( )H มคาเทากบหนงดงนนจะได

2

2

12 | ( ) |

2

2 | ( ) |

y

o

E G

G f

00

1

( )H

(a)

(b)

0

2( )Y

2( )G

2

0( )G

00

รปท 3.1 การแปลความหมายของ ESD [Lathi, 1989] จากรปท 3.1(b) จะเหนวามเฉพาะองคประกอบทางความถของ ( )g t ทอยในชวง เทานนทจะผานตวกรองได ดงนน คา 22 | ( ) |oG f แทนสวนของพลงงานของ ( )g t ภายในชวงความถ f ทศนยกลาง o ดงนน 2| ( ) |G คอ พลงงานตอหนงหนวยของแบนดวท ซงมหนวยเปน จลตอเฮรตซ ใหสญลกษณ ( )g แทน ESD นนคอ 2( ) | ( ) |g G (3.3)

50 ระบบสอสาร

ดงนน การค านวณหาคาพลงงานของสญญาณหนงๆ กคอการหาพนทใตกราฟของ ESD ของสญญาณนนนนเอง จากสมการท (4.2) สามารถเขยนใหมเปน

2 2

2

0

1| ( ) | | ( ) |

2

2 | ( ) | 2 ( )

g

g

E G d G df

G df df

(3.4)

รปท 3.2 แสดงการพลอตความหนาแนนสเปกตรมพลงงานของสญญาณ ( ) ( )atg t e u t 3.1.1 ฟงกชนออโตคอรรเลชนและความหนาแนนสเปกตรมพลงงาน

ในหวขอนจะเปนการพสจนวา ESD ( )g คอ ฟเรยรทรานสฟอรมของฟงกชนออโตคอรรเลชนทางเวลา ( )g ของ ( )g t ซงถกก าหนดดวยสมการ

( ) ( ) ( )g g t g t dt

(3.5)

กอนอนจะพสจนวา ( )g เปนฟงกชนคของ ส าหรบ ( )g t ทเปนคาจรง ให x t ดงนน t x และ dt dx จากสมการท (3.5) สามารถเขยนใหมไดวา

( ) ( ) ( )g g x g x dx

(3.6)

เมอดจากสมการท (3.5) จะเหนวาคาอนตกรลทางขวามอในสมการท (3.6) คอ ( )g ดงนน ( ) ( )g g (3.7) ตอไปจะพสจนวา ( )g และ ( )g คอ คฟเรยรทรานสฟอรม ขนแรกจะแสดงวา

( ) ( ) ( )g g g ให ( ) ( )g f (3.8) แลว

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g g g f g x f x dx

(3.9)


51

21/ a

2( ) ( )g G

1/ a

( )G t

ate1

( )g t

(a)

(b)

(c)

รปท 3.2 แสดงการพลอตความหนาแนนสเปกตรมพลงงานของสญญาณ ( ) ( )atg t e u t

จากสมการท (3.8 ) ผลทไดตามมาคอ

( ) [ ( )] ( )f x g x g x แทนคาลงในสมการท (3.9 ) จะได

( ) ( ) ( ) ( )g g g x g x dx


จากสมการท (3.6) จะเหนชดเจนวาคาอนตกรลทางขวามอของสมการขางตน คอ ( )g ดงนน ( ) ( ) ( )g g g (3.10) ส าหรบ ( )g ทเปนคาจรง ถา

*

( ) ( )

( ) ( ) ( )

g G

g G G

และ

2( ) ( ) | ( ) | ( )gg g G ดงนน ( ) ( )g g (3.11) 3.1.2 พลงงานของสญญาณมอดเลต

ในหวขอนจะแสดงวามอดเลชน (modulation) ท าให ESD ของสญญาณเบสแบนดเลอนไป และพลงงานของสญญาณทมอดเลตแลวจะเปนครงหนงของพลงงานของสญญาณเบสแบนด ให ( )g t เปนสญญาณเบสแบนด ซงมแบนดจ ากดอยท B Hz และให ( )t คอสญญาณมอดเลตซงมสมการเปน

( ) ( )cos ot g t t ดงนน

1( ) [ ( ) ( )]

2o oG G

และ ESD ของสญญาณมอดเลต ( )t คอ

21( ) | ( ) ( ) |

4o oG G

ถา 2o B แลว ( )oG และ ( )oG จะไมทบกนและจะได

2 21

( ) [| ( ) | | ( ) | ]4

1[ ( ) ( )]

4

o o

g o g o

G G

(3.12)

รปท 3.3 แสดง ESD ของ ( )g t และ ( )t ซงจะเหนชดเจนวามอดเลชนเลอน ESD ของ


53

สญญาณเบสแบนดไปท o เนองจากพลงงานของสญญาณหาไดจากพนทไตกราฟของ ESD จากรปท 3.3 จะเหนวาพลงงานของ ( )t เหลอครงหนงของพลงงานของ ( )g t นนคอ

1( 2 )

2g oE E B (3.13)

0

/ 4K

0

K

( )g

( )

2 B 2 B

4 B

0

0

(a)

(b)

รปท 3.3 ความหนาแนนสเปกตรมพลงงานของ ( )g t และ ( )t

3.2 การประมาณคาแบนดวทของสญญาณ

แบนดวทของสญญาณอนาลอก เปนพารามเตอรทจะตองรในขบวนการแปลงสญญาณ อนาลอกใหเปนดจตอล ซงจะกลาวถงในรายละเอยดในบทท 5 ตอนนมาดวธการประมาณแบนดวทโดยใชพลงงานของสญญาณเปนเกณฑ

เปนททราบกนดอยแลววา สญญาณในชวตจรงมกจะเปนสญญาณทเปนแบบไมจ ากดทางความถ (เนองจากเปนสญญาณทจ ากดทางเวลา) แตองคประกอบของสญญาณทความถสงเกนกวาคาๆหนงสามารถทจะตดทงออกไปได เนองจากมสวนของขอมลนอยมากๆ ลองดตวอยางตอไปน


ตวอยาง 3.1 จงประมาณแบนดวทของสญญาณ 2 2

2( )

ag t

t a

เมอก าหนดให

แบนดวททประมาณมพลงงานของสญญาณเปน 99 % ของพลงงานทงหมด

วธท า ใชคณสมบตสมมาตรหรอการเขาคเพอหาฟเรยรทรานสฟอรมของ ( )g t ได

| |

2 2

22 aa

et a

รปท 3.4 แสดงสญญาณ ( )g t และ ( )G ซงจะเหนวาสเปกตรมของ ( )g t มความถทกๆความถ จนถงอนฟนต ถาให ˆ ( )G คอ สเปกตรมของสญญาณหลงจากตดองคประกอบทมความถเกน B Hzขนไปทงโดยท ˆ ( )G มพลงงานเปน 99 % ของ ( )G ถาให

ˆ( ) ( ) ( )E G G และ eE คอสวนของพลงงาน 1% ทหายไป ซงหาจาก

2 2

2

0

1 1 ˆ| ( ) | | ( ) ( ) |2 2

1 ˆ| ( ) ( ) |

eE E d G G d

G G d

จากรปท 3.4d จะเหนวา ( )E เรมจาก 2 B จนถงอนฟนต ดงนนจะได

2

2

2

2

4

1| 2 |

4

2

a

eB

a

B

aB

E e d

e d

ea

เมอ 0B (เลอน B มาไวทจด 0 ) จะได eE และ gE มคาเทากน นนคอ

ˆ( ) ( ) [ ( ) 0]E G G และ

4

0 0

2 2lim lim aB

g eB B

E E ea a

ตองการ 1% 0.01e g gE E E ซงกคอ

42 20.01

4 ln(100)

0.36

aBea a

aB

Ba

ดงนนเพอทจะให 0.01e gE E จงตองเลอก 0.36B

a


55

( )g t

( )G

( )G

2 B 2 B

( ) ( ) ( )E G G

t0

2 B2 B

0

0

(a)

(b)

(c)

(d)

รปท 3.4 การประมาณแบนดวทของสญญาณ

ส าหรบการหาความหนาแนนพลงงานของอนพตและเอาทพต สามารถหาไดดงน คอ ถาสมมตให ( )g t และ ( )y t คอ อนพตและเอาทพตของระบบเชงเสนระบบหนง ซงมทรานสเฟอรฟงกชนเปน ( )H แลว

( ) ( ) ( )Y H G ให ESD ของ ( )g t และ ( )y t เปน ( )g และ ( )y ตามล าดบ จะไดความสมพนธ


2

2

2

( ) | ( ) |

| ( ) ( ) |

| ( ) | ( )

y

g

Y

H G

H

(3.14)

สามารถสรปหวขอนไดโดยการเขยนในรปไดอะแกรม ดงนคอ นนคอ สามารถทจะหา ESD ของสญญาณ ( )g t ผานทางออโตคอรรเลชน ( )g หรอ ผานทางสเปกตรม ( )G กได จรงๆแลวการยกเอาหลกการของออโตคอรรเลชนมาอธบายกเพอทจะเปนพนฐานของการอธบายหวขอตอไป ซงเกยวของกบการหาความหนาแนนสเปกตรมก าลงของสญญาณซงไมสามารถหาสเปกตรมโดยการท าฟเรยรทรานสฟอรมไดโดยตรง เชน สญญาณแรนดม

3.3 ความหนาแนนสเปกตรมก าลง

ถาสญญาณ ( )g t หนงๆ มคาอยภายในชวง ( , ) จะนยามก าลงงาน gP ของ ( )g t ทเปนคาจรงในเชงของก าลงงานเฉลยดงนคอ

/ 2

2

/ 2

1lim ( )

T

gTT

P g t dtT

(3.15)

ซงจรงๆแลว gP กคอ คาก าลงสองเฉลย (mean square value) หรอ คาเฉลยทางเวลา (time average) ของสญญาณก าลงสอง (squared signal) ใหสญลกษณของคาเฉลยทางเวลาของฟงกชน ( )x t เปน ( )x t ดงนน

/ 2

2 2

/ 2

1( ) lim ( )

T

gTT

P g t g t dtT

(3.16)

สงเกตวาถา gE ซงเปนพลงงานของ ( )g t มคาจ ากดแลว ก าลงงาน gP จะเปนศนย แตถา gP เปนคาจ ากดทไมเปนศนยแลว gE จะไมจ ากด บอกวาสญญาณทม gE เปนคาจ ากด จะเปน

สญญาณ

( )g t

( )G

( )g

2| ( ) | ( )G ESD


57

สญญาณพลงงาน และสญญาณทม gP จ ากดจะเปนสญญาณก าลงงาน แตกมบางสญญาณทไมเปนทงสญญาณพลงงานหรอสญญาณก าลงงาน เชน ( ) ( )atg t e t ซงมคา

gE และ gP มคาไมจ ากดทงค ดงนน สญญาณนไมเปนทงสญญาณพลงงานและสญญาณก าลงงาน เนองจากสญญาณก าลงงานมก าลงงานทจ ากดแตพลงงานไมจ ากด ท าใหเกดปญหาในการอธบายรายละเอยดของสญญาณก าลงงาน ในอาณาจกรของความถ เพราะไมสามารถทจะหาฟเรยรทรานฟอรมของสญญาณก าลงงานไดโดยตรง ดงนนจะเรมตนหาสเปกตรมของสญญาณก าลงงานโดยการตดเอามาบางสวน (truncation) ของสญญาณก าลงงาน ใหเปนสญญาณพลงงาน ซงมพลงงานจ ากดเสยกอน พจารณาสญญาณ ( )Tg t ซงถกก าหนดดวยสมการ

( ) | | / 2( )

0 | | / 2T

g t t Tg t

t T

ดรปท 3.5 ประกอบ จะเหนวา เมอ T มคาจ ากด สญญาณ ( )Tg t กจะมพลงงานทจ ากด และสามารถหาฟเรยรทรานฟอรมได

( )g t

( )Tg t

/2T /2T0 t

รปท 3.5 การตดเอามาบางสวนของสญญาณก าลงงานเพอแปลงใหเปนสญญาณพลงงาน ให

( ) ( )T Tg t G และ TE คอพลงงานของ ( )Tg t ซงหาไดจาก

2 21( ) | ( ) |

2T T TE g t dt G d

แต

/ 2

2 2

/ 2( ) ( )

T

TT

g t dt g t dt


ดงนนสามารถหา gP ไดจาก

21 1lim lim | ( ) |

2T

g TT T

EP G d

T T

(3.17)

เมอ T เพมคา TE กจะเพมตามและถา T จะได TE เชนกน จากสมการท (3.17) คาอนตกรลทางขวามอจะตองลเขาหรอหาคาได เนองจาก gP มคาจ ากด ดวยเหตนจงสามารถทจะสลบล าดบของการใสลมตและการอนทเกรตได ดงนคอ

21 | ( ) |

lim2

Tg

T

GP d

T

นยาม ความหนาแนนสเปกตรมก าลง (power spectral density , PSD ) ของสญญาณก าลงงาน ( )g t ไดดงนคอ

2| ( ) |

( ) lim Tg

T

GS

T

(3.18)

จากนนจะได

0

1( )

2

1( )

g g

g

P S d

S d

(3.19)

หนวยของ PSD คอ วตตตอเฮรตซ หรอก าลงงานเฉลยตอหนงหนวยของแบนดวทนนเอง เชนเดยวกนกบกรณของ ESD สามารถทจะเขยน

0

(2 ) 2 (2 )g g gP S f df S f df

ไดเชนกน นนคอก าลงงานเฉลยของสญญาณคอพนทใตกราฟของ PSD นนเอง 3.4 คอรรเลชนของสญญาณก าลงงาน

ฟงกชนออโตคอรรเลชน ( )gR ของสญญาณจรง ( )g t ถกก าหนดโดยสมการ

/ 2

/ 2

1( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )

T

gTT

R g t g t g t g t dtT

(3.20)


59

เมอเปลยนตวแปรให x t สามารถเขยนสมการท (3.20) ไดเปน

/ 2

/ 2

1( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )

T

gTT


(3.21)

จากสมการท (3.20) และ (3.21) สรปวา ( )gR คอฟงกชนค นนคอ ( ) ( )g gR R (3.22) เชนเดยวกนกบกรณของสญญาณพลงงาน PSD ( )gS คอ ฟเรยรทรานฟอรมของ ( )gR ซงสามารถพสจนไดโดยพจารณาจากสญญาณ ( )Tg และ ESD ของ ( )Tg ซงกคอ

2| ( ) |TG จากสมการท (3.20) สามารถเขยนไดวา

( )1( ) lim ( ) ( ) lim

g

g T TT T

R g t g t dtT T

ฟเรยรทรานฟอรมของ ( )g คอ 2| ( ) |TG ดงนน เมอท าฟเรยรทรานฟอรมสมการขางตนจะได

2| ( ) |

( ) lim ( )Tg g

T

GR S

T

(3.23)

จากสมการท (3.20) เมอให 0 จะได gP นนคอ 2( ) (0)g gP g t R (3.24)

ตวอยาง 3.2 จงหา PSD และก าลงงานเฉลยของ ( ) cos( )og t A t

วธท า

/ 22

/ 2

2/ 2 / 2

/ 2 / 2

2

( ) lim cos( )cos[ ( ) ]

1lim cos cos(2 2 )

2

cos2

T

g o oTT

T T

o o oT TT

o

R A t t dt

Adt t dt

T

A

ดงนน


2

2

( ) [ ( ) ( )]2

[ ( ) ( )]2

g o o

o o

AS

A

หาก าลงงานเฉลยของ ( )g t โดยใชสมการท (3.24)

2

(0)2

g g

AP R

หรอจะหา gP โดยตรงจากการหาพนทใตกราฟของ ( )gS กจะไดค าตอบเดยวกน ดงนคอ

0

2

0

2

2 ( )

2 ( )2

2

g g

o

P S df

Adf

A

จะเหนวา ผลทไดสอดคลองกบความจรงทวา ก าลงสองเฉลยของ cos( )oA t คอ 2 / 2A รปท 3.6 แสดง PSD ของสญญาณ ( ) cos( )og t A t

0( ) cos( )g t A t

t

( )g

2

2

A

( )gS

2

2

A

0 00

2

2

A

(a)

(b)

(c) รปท 3.6 ความหนาแนนสเปกตรมก าลงงานของสญญาณไซนซอยด


61

ตวอยางท 3.3 จงพสจนวาส าหรบ 1 1 1 2 2 2( ) cos( ) cos( )g t A t A t จะได

2 2

1 21 2

2 2

1 1 1 2 2 2

( ) cos cos2 2

( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]2

g

g

A AR

S A A

และ

2 2

2 1 2( )2 2

g

A AP g t

วธท า ให

1 1 1

2 2 2

( ) cos( )

( ) cos( )

g t A t

g t A t

แลวจะได

1 2 1 2 2 1

/ 2

1 2 1 2/ 2

1( ) lim [ ( ) ( )][ ( ) ( )]

( ) ( ) ( ) ( )

T

gTT

g g g g g g


R R R R

เมอ

1 2

/ 2

1 2 1 1 2 2/ 2

/ 21 2

2 1 2 2 1/ 2

/ 2

2 1 2 1 2/ 2

1( ) lim cos( )cos[ ( ) ]

lim cos ( ) ( )2

cos ( ) ( )

T

g gTT

T

TT

T

T

R A A t t dtT

A At dt

T

t dt

แตละอนตกรลทางขวามอของสมการขางบนคอ พนทใตกราฟของสญญาณรปไซน (sinusoid ) ภายในชวง ( / 2, / 2)T T ซงจะไดเปนคาจ ากด และเมอหารดวย ( )T T จะไดผลลพธเปนศนย ดงนน

1 2( )g gR จงเปนศนย ในท านองเดยวกนจะได

2 1( ) 0g gR ดวย นนคอ ได

1 2

2 2

1 21 2

( ) ( ) ( )

cos cos2 2

g g gR R R

A A

1 2

2 2

1 1 1 2 2 2

( ) ( ) ( )

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]2

g g gS S S

A A

และ

1 2

2 2

1 2

2 2g g g

A AP P P


จากตวอยาง 3.3 สามารถขยายความไปสสญญาณทไดจากผลบวกของสญญาณรปไซนมากกวา 2 สญญาณ นนคอ ถา ( ) cos( )n n n

n

g t A t (3.25)

แลวจะได

2

( ) cos2n

g n

n

AR (3.26)

และ

2

2

( ) [ ( ) ( )]2

2

g n n n

n

ng

n

S A

AP

(3.27)

นอกจากนยงสามารถขยายความไปสสญญาณทมองคประกอบดซไดเชนกน นนคอ ถา

0

1

( ) cos( )n o n

n

g t C C n t

(3.28)

ได

2

2

0

1

( ) cos2

ng o

n

CR C n

(3.29)

2 2

0

1

( ) 2 ( ) [ ( ) ( )]2

g n o o

n

S C C n n

(3.30)

และ

2

2

0

1 2n

g

n

CP C

(3.31)

ตวอยาง 3.4 รปท 3.7(a) แสดงสญญาณรายคาบ ( )g t ถกสงผานตวกรองทมทรานส

เฟอรฟงกชน ( )H ดงแสดงในรป 3.7(b) (ก) จงค านวณหา PSD และคา rms ของ ( )g t (ข) จงค านวณหาเอาทพต ( )y t และคา rms ของ ( )y t


63

( )g t

4 22

1

t2

2 4

(a)

1

7 7

( )H

0

(b) รปท 3.7 สญญาณรายคาบ (a) ถกสงผานตวกรอทมทรานสเฟอรฟงกชนตามรป (b) วธท า จากรปจะเหนวา ( )g t มคาบเปน 2 ขนแรกจะตองแทน ( )g t ในรปของ

อนกรมฟเรยรกอนเพอทจะรองคประกอบทางความถของ ( )g t ซงจะน าเอาผลทเคยหามาแลวและสามารถเขยน ( )g t ในรปของอนกรมฟเรยร ไดคอ

( 1) / 2

1,3,5,

1 2 1 1 1( ) cos cos3 cos5 cos7

2 3 5 7

1 2 ( 1)cos

2

n

n

g t t t t t

ntn

หาออโตคอรรเลชนของ ( )g t ไดเปน

2 2

1,3,5,

1 2 1( ) cos

4g

n

R nn

หา PSD ได คอ

2

1,3,5,

2 1( ) ( ) [ ( ) ( )]

2g

n

S n nn

และหาคาก าลงงานเฉลยหรอคาก าลงสองเฉลยของ ( )g t ไดคอ

2

2

1 2 1 1 1( ) (0) 1

4 9 25 49

0.5

gg t R

หรออาจจะหา 2( )g t โดยตรงจากนยามของก าลงงานเฉลยกไดคอ

/ 2

2 2

/ 2

1( ) lim ( )

T

TTg t g t dt

T


เนองจากส าหรบสญญาณรายคาบใดๆ มรปรางของสญญาณซ าตวมนเองทกๆชวงคาบ การหาคาเฉลยจงหาแคภายใน 1 ชวงคาบเทานน นนคอ

/ 2 / 2

2 2

/ 2 / 2

1 1( ) ( )

2

0.5

o

o

T

To

g t g t dt dtT

ดงนนคา rms หรอคารากของก าลงสองเฉลยของ ( )g t จงมคาเปน

2

rms ( ) 0.5 0.707g g t ทนจะมาหาเอาทพต ( )y t และคา rms ของ ( )y t เรมตนดวยการพจารณา ( )H จะเหนวา

( )H มคาเปนศนยเมอ 7 นนคอ องคประกอบทางความถของ ( )g t ทจะผานระบบนได จะเหลอเพยงแคองคประกอบทมความถต ากวา 7 เรเดยน/วนาท เทานน

ขนตอมา จะตองเขยน ( )H จากรปท 3.7b ในรปของสมการเสยกอน คอ

( ) 1 07

H

องคประกอบทางความถของ ( )g t ทจะผานระบบนคอ องคประกอบทความถ 0,1, 3, 5 เรเดยนตอวนาท เทานน ซงแตละองคประกอบกจะถกคณดวยคาขนาดของ ( )H ทความถของตวมนเอง นนคอจะได

1 2 1 1( ) (0) (1)cos (3)( cos3 ) (5)( cos5 )

2 3 5y t H H t H t H t

แทนคา (0) 1, (1) 6 /7, (3) 4 /7, (5) 2 /7H H H H ลงไปจะได

1 12 8 4( ) cos cos3 cos5

2 7 21 35y t t t t

และหา 2( )y t ไดเปน

2 2 2

2 1 1 12 8 4( )

4 2 7 21 35

0.407

yy t P

และไดคา rms ของ ( )y t เปน

2

rms ( ) 0.407 0.638y y t ตอไปจะมาดวาสญญาณทมอดเลตแลวจะมความหนาแนนสเปกตรมก าลง เปลยนไปอยางไร จากความหนาแนนสเปกตรมก าลงของสญญาณเบสแบนด สมมตใหสญญาณ ( )g t เปนสญญาณก าลงงาน ซงมแบนดจ ากดท B Hz และใหสญญาณ ( )t คอสญญาณมอดเลตทมสมการเปน

( ) ( )cos ot g t t


65

เนองจาก PSD คอ คาเฉลยทางเวลาของ ESD เมอ T ดงนนสามารถทจะหา PSD ของ ( )t ในสมการท (3.12) นนคอ จะได

1( ) ( ) ( ) ; 2

4g o g o oS S S B (3.32)

คาก าลงงานเฉลยของสญญาณมอดเลต ( )t กสามารถหาไดจากพนทใตกราฟของ PSD ของ

( )t หรอจะหาคาก าลงสองเฉลยโดยตรงกได นนคอ

2 21( ( )cos ) ( ) 2

2o og t g t B (3.33)

จากสมการท (3.33) จะเหนวาก าลงงานเฉลยของสญญาณมอดเลตแลวเปนครงหนงของ

สญญาณเบสแบนด 1( )

2gP P และสามารถทจะหาออโตคอรรเลชนของ ( )t ไดโดยการหา

อนเวอรสฟเรยรทรานสฟอรมของสมการท (3.32) ซงจะได

1( ) ( )cos

2g oR R (3.34)

และส าหรบความหนาแนนสเปกตรมของอนพตและเอาทพต กสามารถหาไดในท านองเดยวกนกบกรณของสญญาณพลงงาน คอ สมมตให ( )g t และ ( )y t คอ อนพตและเอาทพต ของระบบทมทรานสเฟอรฟงกชน ( )H สามารถทจะหา PSD ของ ( )y t เมอร PSD ของ ( )g t ไดเชนเดยวกนกบกรณของ ESD นนคอ 2( ) | ( ) | ( )y gS H S (3.35) และเมอท าการหาอนเวอรสฟเรยรทรานสฟอรมในสมการท (4.35) จะไดออโตคอรรเลชน ( ) ( ) ( ) ( )y gR h h R (3.36) ทนมาดความหมายของ PSD คอวาคออะไร? การตความหมายของ PSD กจะคลายๆกบกรณของESD นนคอ ความหนาแนนสเปกตรมก าลงของสญญาณหนงๆหมายถงคาก าลงงานตอหนงหนวยของแบนดวท


(power per unit bandwidth) เชน สมมตให ( )gS คอ PSD ของสญญาณ ( )g t คา 2 ( )g oS f คอก าลงงานของ ( )g t ภายในชวงความถ f Hz ซงมศนยกลางท o ทตองคณดวย 2 เพราะวา พลอต ( )gS แบบ 2 ขาง (two-sided PSD) ซงมทงความถบวกและความถลบ

ตวอยาง 3.5 สญญาณก าลงงาน ( )g t ม PSD 2( ) /gS N A ดงแสดงในรปท

3.8a จงค านวณหา PSD และก าลงงานเฉลยของ /dg dt

วธท า ให

( )dg

y tdt

ซงสามารถแสดงความสมพนธไดตามรปท 3.8c และสามารถเขยนความสมพนธของ ( )yS และ ( )gS ได คอ

2

2

( ) | | ( )

( )

y g

g

S j S

S

รปท 3.8b แสดง PSD ( )yS และสามารถหา 2( )y t ไดจากการหาพนทใตกราฟของ ( )yS นนคอ

( )gS

( )yS

2/N A

2 B 2 B

( )g t ( )y td

d t

2 B 2 B(a)

(b)

(c) รปท 3.8 PSD ของอนพตและเอาทพตของดฟเฟอเรนชเอเตอร


67

2 2

2 2

20

2 3

2

( ) ( ) ( )

2 (4 )

8

3

y g

B

y t S df S df

Nf df

A

NB

A

ตวอยาง 3.6 จงแสดงวาถา PSD และก าลงงานเฉลยของ ( )g t คอ ( )gS และ

gP ตามล าดบ แลว PSD และก าลงงานเฉลยของสญญาณ ( )ag t คอ 2 ( )ga S และ 2

ga P ตามล าดบ

วธท า ให ( ) ( )y t ag t เมอท าฟเรยรทรานสฟอรมจะได ( ) ( )Y aG นนหมายถงวา ระบบมทรานสเฟอรฟงกชน ( )H a จากสมการท (3.35) จะได

2

2

( ) | ( ) | ( )

( )

y g

g

S H S

a S

และ

2

2 2

( )

( )

( )

y y

g

g g

P S df

a S df

a S df a P

ตวอยางท 3.7 รปท 3.9 แสดงสญญาณขบวนพลสแรนดม ( )g t ซงมความกวางของ

พลสเปน / 2oT และแตละพลสถกสงออกไปทกๆ oT วนาท จงค านวณหาออโตคอรรเลชนและ PSD ของ ( )g t

วธท า จากสมการของออโตคอรรเลชน

/ 2

/ 2

1( ) lim ( ) ( )

T

gTT

R g t g t dtT

วธการหาคาอนตกรลทางขวามอ ขนแรกคณ ( )g t ดวย ( )g t ซงไดจากการเลอน ( )g t ไปทางขวามอดวยขนาด หนวย ดงแสดงในรปท 3.9b จากนนหาพนทใตกราฟของ

( ) ( )g t g t ซงแยกพจารณาเปนกรณๆตามคาของ ไดดงตอไปน กรณท 1 / 2oT ในกรณนจะเหนวาแตละพลสของ ( )g t วางซอนกบตวมนเองเมอเลอนไปทางขวามอ หนวย ดงนนพนทของ ( ) ( )g t g t ส าหรบแตละพลสคอ ( / 2 )oT


ถาชวงของการเฉลย คอ oT NT เมอ N ดงนน T นนคอสมมตวามจ านวนพลสทงหมด N พลส จะไดพนททงหมดภายใต ( ) ( )g t g t คอ ( / 2 )oN T และ จาก

/ 2

/ 2

1( ) lim ( ) ( )

1[ ( / 2 )]

1[ ( / 2 )]

1 2(1 ) ( / 2)

2

T

gTT

o

o

o

o

o

R g t g t dtT

N TT

N TNT

TT

เนองจาก ( )gR เปนฟงกชนค ของ ดงนนจะได

1 2 | |( ) 1 (| | / 2)

2g o

o

R TT

ดงแสดงตามรปท 3.9(c) กรณท 2 เมอ / 2oT ในกรณนแตละพลสจะไมวางซอนทบกนเลยดงนนจะได พนทใตกราฟของ ( ) ( )g t g t เปนศนย กรณท 3 เมอ / 2oT ในกรณนแตละพลสจะไปซอนกบพลสทอยถดจากตวมน และเนองจากสญญาณขบวนพลสเปนแบบแรนดม นนคอ โอกาสของพลสทเปนบวกเทากบพลสทเปนลบโดยเฉลย นนคอ ผลคณของ ( ) ( )g t g t จะได 1 และ -1 เทากน ดงนน เมอท าการเฉลยภายในชวงเวลาT ของพนทภายใต ( ) ( )g t g t จะไดคาเปนศนยเชนกนนนคอ ( ) 0 (| | / 2)g oR T (3.37) ส าหรบ PSD ของ ( )g t กหาไดโดยการท าฟเรยรทรานสฟอรมของ ( )gR ซงจะได

2( ) sin4 4o o

g

T TS c

(3.38)

ตวอยาง 3.7 เปนตวอยางหนงทชใหเหนวธการหาสเปกตรมทางความถของสญญาณทเปนแรนดม โดยผานทางออโตคอรรเลชน ซงท าใหเหนประโยชนของการหาออโตคอรรเลชน เนองจากสญญาณทเปนแรนดม ไมสามารถทจะหาฟเรยรทรานสฟอรมไดโดยตรงเหมอนกบกรณของสญญาณดเทอรมนสตค (deterministic signal)


69

( )gS

0

8

T

0

4

T

0

8

T

0

4

T

0

2

T 0

2

T

( )g 0.5

0

2

T

t

0 / 2T( )g t

0Tt

(a)

(b)

(c)

(d)

รปท 3.9 ออโตคอรรเลชน และ PSD ของสญญาณขบวนพลสแรนดม


แบบฝกหดทายบทท 3

3.1 ก าหนดสญญาณ ( )g t ในรปท P3.1 เปนสญญาณความถต า สงผานตวยกก าลงสอง ไดสญญาณ 2( ) ( )g t A และก าหนดใหตวกรองผานความถต ามแบนดวทเปน f Hz จงแสดงวาถา f มคาต ามากๆ จะไดสญญาณเอาทพตเปนสญญาณดซซงมขนาดเปน 2 gE f เมอ gE คอพลงงานของสญญาณ ( )g t [สงเกตวา (0) gA E ]

ตวยกก ำลงสองตวกรองผำนควำมถต ำ

g(t) g2(t) 2Egf

รปท P3.1

3.2 จงหาคาก าลงงาน คา rms และคา PSD พรอมทงสเกตซคา PSD ของสญญาณตอไปน

(ก) cos100 sin80A t B t (ข) ( sin100 )cos200A t t (ค) cos100 cos80A t t

3.3 จงประมาณแบนดวทของสญญาณในรปท P3.3 โดยใชก าลงงานเปนเกณฑ โดย

ก าหนดใหแบนดวททค านวณได จะตองมก าลงงานเปน 99.9 เปอรเซนตของก าลงงานทงหมด

0

0

1T

f

A

A

t

รปท P3.3

3.4 ก าหนดสญญาณแบบสม ( )g t ดงแสดงในรปท P3.4 สมมตวาสญญาณไบนาร 1 ถกสงไปดวยพลส ( )p t ซงมขนาดเปน A และความกวางพลสเปน / 2oT และสญญาณไบนาร 0 ไมไดใชพลสในการสง สมมตวา 1’s และ 0’s เกดขนแบบสมและมความนาจะเปน


71

ของการปรากฏเทากน จงค านวณหาคา ( )gR และคา PSD ( )gS เมอก าหนดใหแตละบตถกสงไปทกๆ oT วนาท

0T 0 / 2Tt

1 0 0000 11111

รปท P3.4

3.5 สญญาณรายคาบ ( )g t ดงแสดงในรปท P3.5a ถกสงผานระบบทมทรานสเฟอรฟงกชน

เปน ( )H ดงแสดงในรปท P4.5b จงค านวณหา PSD และก าลงงานเฉลยของสญญาณทเอาทพตทคา 2 /3, / 3oT และ / 6

( )g t

0T

0 / 2T

t

( )H

0

1

12 12

(a)

(b) รปท P3.5

บทที่ 3...

Documents