การมอดูเลตเชิงมุม (angle...

การมอดเลต

117

พจารณารปท 4.30 ใหสญญาณ ( )t มสมการเปน

(t)

ct +

t

t

t1 t2

(t)

รปท 4.30 หลกการของความถชวขณะ ( ) cos ( )t A t (4.18) เมอ ( )t คอมมทวไปของสญญาณ ( )t ซงมคาเปลยนแปลงตามเวลา ถาสญญาณไซนซอยดมสมการเปน cos( )c oA t บอกวาสญญาณนมมมทวไปเปน c ot ซงเปนสมการเสนตรงมความชนเปน c จดตดแกนตงเปน o พจารณาภายในชวงเวลาแคบๆ 2 1t t t ในรปท 4.30 จดสมผสของกราฟ ( )t ภายในชวงเวลานกคอความถชวขณะ (instantaneous frequency) ของสญญาณ ( )t ดงนนถาให i คอความถชงขณะจะไดวา

( )i

dt

dt

(4.19a)

( ) ( )t

it d

(4.19b)

มาพจารณากรณของ PM กอน จากทวาสญญาณ PM คอสญญาณพาหทมเฟสหรอมมชวขณะเปลยนแปลงตามขนาดของสญญาณขาวสาร สามารถเขยนเปนสมการไดวา

( ) ( )c pt t k m t (4.20a) เมอ c คอความถของสญญาณพาห และ pk เปนคาคงท สามารถทจะเขยนสมการของคลน PM ไดดงน คอ

118 ระบบสอสาร

( ) cos[ ( )]PM c pt A t k m t (4.20b) สมการขางตนบอกวาเฟสชวขณะของสญญาณ PM เปลยนแปลงแบบเชงเสนกบสญญาณขาวสาร ( )m t และถาพจารณาความถชวขณะของสญญาณ PM จะได

( )( )i c p

d dm tt k

dt dt

(4.20c)

ซงจะเหนวาความถชวขณะของสญญาณ PM เปลยนแปลงแบบเชงเสนตามคา ( ) /dm t dt ในท านองเดยวกนถาควบคมใหความถชวขณะของสญญาณพาหเปลยนแปลงแบบเชงเสนกบสญญาณขาวสาร ( )m t ดงสมการ ( ) ( )i c ft k m t (4.21a) ซงเปนกรณในสญญาณ FM ถาตองการทราบวาเฟสชวขณะของสญญาณ FM เปนเทาไหร กสามารถท าไดโดยการอนตเกรตสมการขางตน ซงจะได

( ) [ ( )]

( )

t

c f

t

c f

t k m d

t k m d

(4.21b)

ดงนนไดสมการของสญญาณ FM เปน

( ) cos ( )t

FM c ft A t k m d

(4.21c)

จากสมการของคลน FM และ PM จะเหนวามสมพนธกนในลกษณะทเปนไปตามรปท 4.31 จากรปท 4.31 บอกใหทราบวา สามารถสรางสญญาณ FM จากตวมอดเลตแบบ PM (PM modulator) ไดโดยการน าเอาสญญาณขาสาร ( )m t ผานตวอนตเกรต (integrator) กอน

เพอใหไดสญญาณ ( )t

m d จากนนสงเขาตวมอดเลตแบบ PM กจะไดสญญาณ FM

ออกมา ในท านองเดยวกนสามารถสรางสญญาณ PM จากตวมอดเลตแบบ FM (FM modulator) ไดโดยการน าเอาสญญาณขาสาร ( )m t ผานตวดฟเฟอเรนชเอท (differentiator) กอนเพอใหไดสญญาณ ( ) /dm t dt จากนนสงเขาตวมอดเลตแบบ FM กจะไดสญญาณ PM ออกมา


119

m(t)

m(t)

m'(t)

(a)

(b)

Frequency modulator

Phase modulator

Phasemodulator

m()d

ddt

Frequencymodulator

FM

(t )

PM (t )

รปท 4.31 แสดงใหเหนความสมพนธของ FM และ PM modulators

ดงนนในรปทวไปสามารถทจะเขยนสมการของการมอดเลตเชงมมไดเปน

( ) cos ( ) ( )t

EM ct A t k m h t d

(4.22)

เมอ k คอคาคงทและ ( )h t คอผลตอบสนองของอมพลสหนงหนวย (unit impulse response) จากสมการขางตน ถา ( ) ( )h t t จะไดคลน PM และ ถา ( ) ( )h t u t จะไดคลน FM

ตวอยางท 4.6 จงสเกตซคลน FM และ PM เมอก าหนดสญญาณขาวสาร ( )m t ใหตามรปท 4.32(a) ก าหนดให 52 10fk 10pk และ 100cf MHz

วธท า ส าหรบคลน FM ( )i c fk m t เมอน าเอา 2 มาหารกจะได

8 5

8 5

min min

8 5

max max

( )2

10 10 ( )

( ) 10 10 | ( ) | 99.9 MHz

( ) 10 10 | ( ) | 100.1 MHz

f

i c

kf f m t

m t

f m t

f m t


เนองจากสญญาณ ( )m t มการเปลยนแปลงในลกษณะเปนเชงเสน ดงนนความถชวขณะของคลน FM กจะคอยๆเพมและลดแบบเปนเชงเสนในชวงความถ 99.9 MHz และ 100.1 MHz ส าหรบคลน PM

( )i c p

dm tk

dt เมอน าเอา 2 มาหารกจะได

8

8 8

min

min

8 8

max

max

( )

2

( )10 5

( )( ) 10 5 10 5(20,000) 99.9 MHz

( )( ) 10 5 10 5(20,000) 100.1 MHz

p

i c

k dm tf f

dt

dm t

dt

dm tf

dt

dm tf

dt

m(t)

1

-1

t

(a)

(b)

2 x 10-4

m' ( t)

20,000

-20,000t

(c)

(d)

t t

รปท 4.32 สญญาณ FM และ PM

เนองจากคา ( ) /dm t dt มคากลบไปกลบมาจากคา 20,000 และ 20,000 ดงนนความถของสญญาณ PM กจะมอยแค 2 ความถคอ 99.9 MHz และ 100.1 MHz ตามขนาดของสญญาณ

( ) /dm t dt ทคา 20,000 และ 20,000 ตามล าดบ กรณของตวอยางขางตน สเกตซคลน PM โดยการใชสญญาณ ( ) /dm t dt มอดเลตสญญาณพาหแบบ FM ซงสามารถท าไดในกรณทสญญาณขาวสาร ( )m t เปนสญญาณทมคา


121

ตอเนองทางเวลา เชนสญญาณอนาลอก ตวอยางตอไปจะแสดงใหเหนวาถา ( )m t เปนสญญาณทไมตอเนองทางเวลา เชนสญญาณดจตอล วธการหาคลน PM แบบดงกลาวจะใชไมได

ตวอยางท 4.7 จงสเกตซคลน FM และ PM เมอก าหนดสญญาณขาวสาร ( )m t ใหตามรปท 4.33(a) ก าหนดให 52 10fk / 2pk และ 100cf MHz

วธท า ส าหรบคลน FM

8 5( ) 10 10 ( )2

f

i c

kf f m t m t

เนองจาก ( )m t มขนาดแคเพยง 2 คา คอ 1 และ 1 ดงนนความถของคลน FM จงเปลยนไปมาแค 2 คา คอ 99.9 MHz และ 100.1 MHz ดงแสดงในรปท 4.33(b) คลน FM ลกษณะนในระบบสอสารเชงดจตอล เรยกวา สญญาณ FSK (Frequency-Shift-Keying) ส าหรบคลน PM

8( ) 1 ( )10

2 4

p

i c

k dm t dm tf f

dt dt

จากรปท 4.33(c) จะเหนวาประกอบไปดวยอมพลส ในกรณเชนนคลน PM จะเกดการกลบเฟสดวยขนาด เรเดยน ณ.จดทมอมพลสซงสามารถแสดงไดดวยสมการ คอ

( ) cos[ ( )]

cos[ ( )]2

sin

sin

PM c p

c

c

c

t A t k m t

A t m t

A t

A t

เรยกคลน PM ลกษณะนในระบบสอสารเชงดจตอล เรยกวา สญญาณ PSK (phase-shift-keying) ในกรณของ PSK คาของ pk จะตองอยภายในชวง ( , ) เพอทจะไมใหเกดการตรวจจบสญญาณทผดพลาดทเครองรบ เชน ถา 3 / 2pk จะได

3( ) cos[ ( )

2PM ct A t m t

ในกรณนสญญาณ PM มคาเปน sin cA t เมอ ( )m t เปน 1 หรอ 1/ 3 กได ซงจะท าใหเครองรบเกดความสบสนวา ( )m t เปน 1 หรอ 1/ 3 ดงนนขอจ ากดของ pk จงอยในชวง

( , )

เมอ ( ) 1m t เมอ ( ) 1m t


m(t)

1

-1t t

99.9MHz

101.1 MHz

(a)

(b)

m'(t)

(c)

(d)

100 MHz

รปท 4.33 สญญาณ FM และ PM

4.11.1 ก าลงงานของสญญาณ FM หรอ PM เนองจากขนาดของสญญาณ FM หรอ PM ไมเปลยนแปลงตามเวลา ดงนนถาขนาดของสญญาณมคาสงสดเปน A จะไดก าลงงานของคลน FM หรอ PM เปน 2 / 2A 4.12 แบนดวทของคลน FM หรอ PM ตอไปจะเปนการพจารณากรณของ FM กอน จากนนถงจะมาพจารณากรณของ PM ก าหนดให

( ) ( )t

a t m d

(4.23)

และ

[ ( )]( ) c fj t k a t

FM t Ae

(4.24a) ดงนน ( ) Re ( )FM FMt t (4.24b)


123

กระจายสมการท (4.24a) ในรปอนกรมก าลง ได

2

2( ) 1 ( ) ( ) ( )2! !

f f c

n

j tn n

fFM

k kt A jk a t a t j a t e

n

(4.25a)

และจะได 2 3

2 3( ) Re ( ) cos ( )sin ( )cos ( )sin2! 3!

f f

FM c f c c cFM

k kt t A t k a t t a t t a t t

(4.25b) จะเหนวาหลงจากกระจายคลน FM ในรปอนกรมก าลง คลน FM ประกอบไปดวยสญญาณพาหทยงไมไดถกมอดเลต (unmodulated carrier) และเทอมไซดแบนดตางๆ เชน ( )sin ca t t ,

2( )cos ca t t , 3( )sin ca t t ไปเรอยๆ สญญาณ ( )a t คออนตกรลของ ( )m t ซงถา ( )m t มสเปกตรมเปน ( )M มแบนดวทเปน B Hz สญญาณ ( ) ( )a t A กจะมแบนดวทเปน B Hz เชนเดยวกน เพราะวาการน าเอา ( )m t มาผานตวอนตเกรต (Integrator) ไมไดท าใหแบนดวทของสญญาณเปลยนไป สญญาณ 2( )a t จะมแบนดวทเปน 2 เทาของสญญาณ ( )a t จากทฤษฏของการคอนโวลตทางความถ (frequency convolution) ทวา 2( ) (1/ 2 ) ( ) ( )a t A A ดงนน 2( )a t จะมแบนดวทเปน 2B Hz ในท านองเดยวงกน สญญาณ ( )na t กจะมแบนดวทเปน nB Hz ถงตอนนจะเหนวาคลน FM เปนสญญาณแบบแบนดไมจ ากด (infinite bandwidth) อยางไรกตาม ถงแมวาสญญาณ FM จะเปนสญญาณทมแบนดวทไมจ ากด ก าลงงานขององคประกอบทางความถของคลน FM จะมก าลงงานนอยลง เมอความถสงขน หรอไซดแบนดทมความถสงๆจะมก าลงงานของสญญาณนอยกวาไซดแบนดทความถต าๆ ดงนนสามารถทจะตดเทอมทความถสงๆ ทงไป เพอใหสญญาณ FM เปนสญญาณทมแบนดจ ากดละสามารถสงผานชองสอสารได แตถามวา จะตดทความถใดเพอใหคณภาพของสญญาณไมเกดความเพยน จะไดกลาวในตอนหลง สามารถทจะพจารณาคลน FM ออกเปน 2 ลกษณะตามแบนดวทของสญญาณคอ สญญาณ FM แบบแบนดแคบ (narrowband FM, NBFM) และ สญญาณ FM แบบแบนดกวาง (wideband FM, WBFM) จากการกระจายคลน FM ใหอยในรปของอนกรมก าลง จะเหนวาคลน FM เปนการมอดเลตแบบไมเปนเชงเสน ดงนนทฤษฏของ superposition จงไมสามารถใชกบคลน FM ได นนคอ 1 2 1 2cos[ ( )] cos[ ( )] cos [ ( ) ( )]c f c f c fA t k a t A t k a t A t k a t a t


ถาคาของ | ( ) | 1fk a t บอกวาคลน FM เปนแบบ NBFM ซงในกรณน สามารถทจะประมาณสมการ (4.25) ไดเปน ( ) cos[ ( )sin ]NBFM c f ct A t k a t t (4.26) สมการขางตนมความคลายคลงกบคลน AM เพราะประกอบไปดวยสญญาณพาหและไซดแบนดทความถ c เชนกน และมแบนดวทเปน 2B Hz คลน NBPM (narrowband PM) กสามารถหาไดในท านองเดยวกน นนคอ ( ) cos[ ( )sin ]NBPM c p ct A t k m t t (4.27) ถงแมวาคลน NBFM และ AM จะมความคลายคลงกน แตกมสงทแตกตางทส าคญคอ สญญาณ AM เปนสญญาณทมขนาดเปลยนแปลงตามเวลา ความถคงท ในขณะทสญญาณ NBFM เปนสญญาณทมขนาดคงทแตความถเปลยนแปลงตามเวลา รปท 4.34 แสดงบลอกไดอะแกรมของการสราง NBFM และ NBPM

NBPM NBFMDSB-SC

modulator

/2

~

m(t)

-Asinct

Acosct

-Akpm(t)sin

ct

~

/2

DSB-SCmodulator

m(t)

Acosct

-Asinct

a(t)

-Akfa(t)sin

ct

รปท 4.34 การสรางสญญาณ narrowband FM และ PM ในกรณทเงอนไข | ( ) | 1fk a t ไมเปนจรง จะพจารณาคลน FM วาเปนแบบแบนดกวาง (WBFM) ตอนนจะมาพจารณาวาแบนดวทของ WBFM เปนเทาไหร ถงแมวาในทางทฤษฎ จะบอกวาคลน FM เปนแบบแบนดทไมจ ากด ซงในทางปฏบตคลนลกษณะน จะไมสามารถสงผานชองสอสารได เนองจากวาชองสอสารเปนแบบแบนดจ ากด จากสมการของความถชวขณะของคลน FM

( )i c fk m t สมการขางตนบอกวา ความถชวขณะของสญญาณ FM มคาเปลยนแปลงอยในชวงจาก

c f pk m ถง c f pk m บนสมมตฐานวา min max| ( ) | | ( ) | pm t m t m นนคอ สามารถทจะประมาณแบนดวทไดเปน


125

2 2FM f pB k m ก าหนดให f pk m (4.28) เรยก วา ความเบยงเบนสงสด (maximum deviation) ของความถ c เมอน า 2 มาหารกจะได

2

f

p

kf m

(4.29)

เรยก f วา ความเบยงเบนสงสด (maximum deviation) ของความถ cf ซงจะได 2FMB f (4.30) ซงเปนการประมาณแบนดวทของคลน WBFM และเปนกรณท f B ในกรณท f B (NBFM) บอกวา 2NBFMB B การประมาณคาแบนดวทขางตน ไมไดน าเอาผลของแบนดวทของสญญาณขาวสาร

( )m t มาคด ทนจะมาพจารณาการประมาณคาแบนดวทโดยละเอยด พจารณารปท 4.35(a) ใหสญญาณ ( )m t มแบนดวทเปน B Hz ทเวลา kt สญญาณ ( )m t มขนาดเปน ( )km t และสมมตวามคาคงทภายในชวงของไนควสซ (Nyquist interval) นนคอภายในชวงเวลา 1/ 2B รปท 4.35(b) แสดงสญญาณ FM ในอาณาจกรของเวลาทเวลา kt และรปท 4.35(c) เปน สเปกตรมของคลนทเวลาน การหาสเปกตรมในรปใชคณสมบตการเลอนทางความถและจาก ( / ) sinc ( / 2 )t ในกรณน 1/ 2B นนคอได

(2 ) (1/ 2 )sinc ( / 4 )Bt B B จากรปท 4.35c จะเหนวาคลน FM กนแบนดวทอยภายในชวงจาก 4i B ถง

4i B หรอจาก 4c f pk m B ถง 4c f pk m B ดงนน ไดสมการของแบนดวทของคลน FM เปน

2 ( 4 ) ( 4 )

2 8

FM c f p c f p

f p

B k m B k m B

k m B

(4.31) หรอ


24

2

2( 2 )

f

FM p

kB m B

f B

(4.32)

t

12B

tk

m(tk)

(a)

t

i = c + kfm(tk)

(b)

i

i

8B

(c)

รปท 4.35 การประมาณคาแบนดวดของสญญาณ FM ซงในกรณท f B สมการขางตนสามารถทจะประมาณไดเปน 2FMB f ซงสอดคลองกบการประมาณของในตอนแรกในกรณของ WBFM แตในกรณท f B (NBFM) สมการขางตนจะประมาณเปน 4B ซงขดแยงกบกรณทกลาวตอนตนวาใน NBFM แบนดวทของคลน FM จะประมาณ 2B ดงนนสมการขางตนอธบายกรณของ WBFM ไดเทานน อยางไรกตาม Carson ไดแสดงใหเหนและตงเปนกฎของเขาวา Carson’s rule ซงอธบายวาแบนดวทของสญญาณ FM เปนไปตามสมการ 2( )FMB f B (4.33)


127

และสมการของ Carson อธบายกรณของ NBFM ได ดงนนถาจะประมาณแบนดวทของคลน FM สามารถทจะสรปไดดงน คอ ในกรณของ WBFM ใชสมการ 2( 2 )FMB f B ในกรณของ WBFM ใชสมการ 2( )FMB f B ก าหนดให /f B (4.34) เรยก วา อตราสวนการเบยงเบน (deviation ratio) สารถทจะเขยนสรปสมการของแบนดวทของสญญาณ FM ไดคอ 2( )FMB f kB (4.35) เมอ 1 2k และมขอตกลงวา ถา 0.5 ใหใช 2k และเมอ 0.5 ใหใช 1k ในกรณทสญญาณขาวสารเปนสญญาณความถเดยว จะเรยกพารามเตอร วา ดชนของการมอดเลต (modulation index) จะมาพจารณาแบนดวทของสญญาณ FM ในกรณท ( )m t เปนสญญาณความถเดยว ให

( ) cos mm t t และกให ( ) ( ) ( / )sint

m ma t m d t

ซงจะได

[ ( / )sin ]( ) c f m mj t k t

FM t Ae

เนองจาก f p fk m k และไดคา เปน

f

m m m

kf f

B f

ดงนน

[ sin ]

sin

( )

[ ]

c m

c m

j t t

FM

j t j t

t Ae

Ae e

(4.36)

เทอมทอยในวงเลบเปนสญญาณรายคาบซงสามารถกระจายใหอยในรปอนกรมฟเรยร ได คอ

sin m mj t jn t

n

n

e C e

เมอ / 2

sin

/ 2

1m m

Tj t jn t

nT

C e e dtT

ในทน 2 / mT ดงนน


/sin

/2

mm m

m

j t jn tmnC e e dt

ให mt x ได ( sin )1

2

j x nx

nC e dx

(4.37)

คาอนตกรลทางขวามอไมสามารถทจะท าใหอยในรป closed form ได ซงตองอนตเกรตโดยการกระจายใหอยในรปอนกรมไมจ ากด (infinite series) และไดคา nC ออกมาเปน ( )nJ ซงเรยกวา Bessel function ชนดทหนง อนดบท n รปท 4.36(a) แสดงกราฟของคา ( )nJ ในรปฟงกชนของ n ทคา ตางๆ (ดตารางท ก.1 ในภาคผนวก ก)

1 1098765430 2-0.6

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

n

Jn()

(a)

c

m

(b)

34 5 6

รปท 4.36 (a) คาของ ( )nJ (b) สเปกตรมของคลน FM ส าหรบการมอดเลตโทน (Lathi, 1989) นนคอ

sin ( )m mj t jn t

n

n

e J e

(4.38)


129

จากนนได

( )( ) ( ) c mj n t

nFM

n

t A J e

และได

( ) ( )cos( )FM n c m

n

t A J n t

(4.39)

สมการขางตนเปนสมการของคลน FM เมอสญญาณขาวสาร ( )m t เปนสญญาณความถเดยว ซงประกอบไปดวยสญญาณพาห (carrier component) และเทอมไซดแบนดตางๆทความถ

c m , 2c m , , c mn , ดงแสดงสเปกตรมในรปท 4.36(b) โดยทขนาดของไซดแบนดท n คอ ( )nJ และ ( ) ( 1) ( )n

n nJ J จากรปท 4.36(a) จะเหนวาส าหรบคา หนงๆ คาของ ( )nJ มคาลดลงเรอยๆเมอ n มคามากขน และทคาของ n ประมาณ 2n คาของ ( )nJ จะมคานอยมากและสามารถตดทงได ดงนนจงสามารถประมาณแบนดวทของคลน FM ภายในแบนดทจ ากดคาหนงได นนคอในกรณน (กรณท ( )m t เปนสญญาณความถเดยว) ได

( ) 2 2( 2)

2( 2 )

FM m mB t nf f

f B

(4.40) ซงสอดคลองกบสมการท (4.32) ในกรณของ WBFM จากทไดศกษาการหาแบนดวทของสญญาณ FM โดยยกกรณของสญญาณขาสารความถเดยว ดงแสดงขางตน ซงเปนกรณทงายทสดและไมมจรงในทางปฏบต ดงนนผลทไดทงหมดขางตนอาจจะไมเปนจรงส าหรบสญญาณอนๆ วธการหาสเปกตรมของคลน FM ในกรณทสญญาณ ( )m t เปนสญญาณรายคาบใดๆ กสามารถทจะหาได เชนเดยวกบกรณชางตน นนคอ จาก

( )( ) [ ]fc

jk a tj t

FM t Ae e เมอ ( )m t เปนสญญาณรายคาบ สญญาณ ( )a t กเปนสญญาณรายคาบซงสามารถกระจายใหอยในรปของอนกรมฟเรยรได จากนนกสามารถหาสมการของคลน ( )FM t ไดเชนเดยวกน 4.13 การมอดเลตเชงเฟส


ผลทไดทงหมดจากกรณของ FM สามารถน ามาประยกตใชกบกรณของ PM ได นนคอ ในกรณของ PM ม

p pk m (4.41)

เมอ max

( )p

dm tm

dt

ดงนน

( ) 2( ) 1 2

22

PM

p p

B t f kB k

k mkB

(4.42)

แตสงทแตกตางอยางมากระหวาง 2 ระบบนคอ ในกรณของ FM คาของ f pk m นนคอคาของ pm ในขณะทในระบบ PM คาของ p pk m นนคอ pm และคาของ pm เปนขนาดสงสดของ ( ) /dm t dt ซงเปนสญญาณทขนอยกบความถของ ( )m t เชน สมมต

( ) cos mm t t ซงจะได ( ) / sinm mdm t dt t ดงนน

( )

( )

FM f p f

PM p p m p

k m k

k m k

(4.43)

สมการขางตนแสดงใหเหนวาสญญาณ FM มการเปลยนแปลงทางความถทไมเกยวของกบสเปกตรมของสญญาณขาสาร ในขณะทสญญาณ PM มการเปลยนแปลงทางความถทเกยวของกบ สเปกตรมของสญญาณขาสาร หมายความวา ถาสญญาณ ( )m t มก าลงงานสวนใหญทความถสงการเปลยนแปลงความถในสญญาณ PM กจะมการเปลยนแปลงอยางรวดเรว เปนตน

ตวอยางท 4.8 จงประมาณแบนดวทของสญญาณ FM และ PM เมอสญญาณขาวสารแสดงในรปท 4.33(a) และก าหนด 410 , / 4f pk k

วธท า กอนอนจะตองหาแบนดวทของสญญาณขาวสาร ( )m t กอน ซงตองอาศยความรของอนกรมฟเรยรและใชการประมาณโดยอาศยก าลงงานสวนใหญเปนเกณฑ เขยน ( )m t ในรปอนกรมฟเรยร ได

( ) cosn o

n

m t C n t 4

4

210

2 10o


131

เมอ 2 2

81, 3, 5,

0 0, 2, 4,n

nC n

n

จากสมการของ nC จะเหนวาขนาดของเทอมฮารโมนคสลดลงอยางรวดเรวเมอ n มคาเพมขน เชน ฮารโมนคสท 3 และ 5 มขนาดเปน 11 และ 4 เปอรเซนตของคาความถพนฐาน (fundamental frequency) หรอมก าลงงานเปน 1.21 และ 0.16 เปอรเซนตของคาความถพนฐานตามล าดบ ดงนนสารถทจะประมาณแบนดวทของ ( )m t ทความถฮารโมนคสท 3 นนคอ

4

4

2 3(10 )

1.5 10

B

B

กรณ FM

410.5 10

2f pf k m

ซงจะเหนวา f B เปนกรณของ NBFM ดงนน 4 42( ) 2(0.5 1.5)10 4 10FMB f B Hz กรณ PM

12500

2p pf k m B

ดงนน

42( ) 3.5 10PMB f B

ตวอยางท 4.9 จงประมาณแบนดวทของสญญาณ FM และ PM เมอสญญาณ ( )m t ดงแสดงในรปท 4.32a ส าหรบคา 52 10fk และ 10pk

วธท า

ส าหรบ FM

5110

2f pf k m

ในทน 41.5 10B Hz จะเหนวา f B (WBFM) ดงนน 52( 2 ) 2.6 10FMB f B ส าหรบ PM

5110

2p pf k m B

(WBFM)

ดงนน 52( 2 ) 2.6 10PMB f B


ตวอยางท 4.10 จากตวอยางท 4.9 ถา สญญาณ ( )m t ขยายออกทางเวลาเปน 2 เทา นนคอ คาบของ ( )m t เปลยนเปน 44 10

วธท า ในกรณนแบนดวทของสญญาณ ( )m t เปลยนเปน 7.5B kHz 1pm ไมเปลยนแปลง แต 410pm ส าหรบ FM

5110

2f pf k m

52( 2 ) 2.3 10FMB f B ส าหรบ PM

415 10

2p pf k m B

(WBFM)

ดงนน 52( 2 ) 1.3 10PMB f B จากตวอยางท 4.14 และ 4.15 จะเหนวาการเปลยนแปลงความถของสญญาณขาวสาร

( )m t มผลตอแบนดวทของสญญาณ PM ในขณะทแบนดวทของสญญาณ FM มผลนอยมากกบการเปลยนแปลงความถของสญญาณขาสาร ( )m t 4.14 การสรางสญญาณ FM สามารถแบงออกไดเปน 2 วธ คอ วธทางออม (indirect method) และวธทางตรง (direct method) 4.14.1 วธการสรางคลน FM ทางออมตามแบบของอารมสตรอง รปท 4.37 แสดงวธการสรางสญญาณ FM ตามแบบของอารมสตรอง (Armstrong) ในวธนจะสรางสญญาณ NBFM โดยวธการน าเอา ( )m t มาผานตวอนตเกรตแลวผานตวมอดเลตแบบ PM กอน จากนนสญญาณ NBFM ทไดจะถกแปลงใหเปนสญญาณ WBFM โดยใชวงจรคณความถ วงจรคณความถสามารถสรางจากอปกรณทไมเปนเชงเสนตางๆ เชน ไดโอดหรอทรานซสเตอร ซงมคณสมบตเปนไปตามสมการ 2

0 1 2( ) ( ) ( ) ( )i

n

o i n ie t a a e t a e t a e t (4.44)


133

เมอ ( )ie t และ ( )ie t คอสญญาณอนพตและเอาทพตของอปกรณไมเปนเชงเสนซงสเปกตรมของเอาทพตจะมตงแตเทอมดซ เทอมความถพนฐานและเทอมฮารโมนคสตางๆ ถาตองการทความถเทาไหรของสญญาณอนพต กสามารถท าไดโดยใชตวกรองความถกรองเอาความถทตองการออกมา

m(t)NBFM

(see Fig4.51)Frequencymultiplier

WBFM

รปท 4.37 บลอกไดอะแกรมของการสรางคลน FM ของ Armstrong ขอทจะตองค านงถงในกรณนกคอ สญญาณ NBFM ทสรางขนมความเพยนแฝงอย เนองจากสญญาณทไดเปนการประมาณคลน FM ใน 3 เทอมแรกของอนกรมก าลง สญญาณทไดจะมขนาดทไมคงท อยางไรกตาม สามารถทจะแกปญหาไดโดยการใชวงจรจ ากดขนาด (amplitude limiting circuit) รปท 4.38 แสดงบลอกไดอะแกรมของวงจรเครองสงตามแบบของอารมสตรอง ซงตองกางเอาทพตทความถ 91.2 MHz และ 75f kHz สญญาณ NBFM ทสรางขนใชความถของสญญาณพาห 1 200cf kHz โดยใชวงจรสรางความถแบบผลก (crystal oscillator) โดยเรมตนเลอกคา 25f Hz เพอทจะใหไดคา 1 ตามเงอนไขของ NBFM นนคอ ในทนสญญาณขาวสารทใชในระบบ FM มความถอยในชวง 50 Hz ถง 15 kHz ซงจะเหนวาคา / mf f มคามากกวา 0.5 เปนตนไป เพอใหได 75f kHz ตองการวงจรคณความถเปน 75,000/ 25 3,000 เทา ซงในกรณตามรปท 4.38 ใชวงจรคณความถเปน 2 ขนคอ ขนท 1 คณดวยขนาด 64 และขนท 2 คณดวยขนาด 48 รวมทงหมดเปน 3,072 และได 76.8f kHz วงจรคณความถในแตละขนสามารถท าไดโดยใชวงจรคณสองและคณสามคณตอๆกนไป นนคอ วงจรคณ 64 สรางจากวงจรคณสอง 6 วงจร สวนวงจรคณ 48 สรางจากวงจรคณสอง 4 วงจรและวงจรคณสามอก 1 วงจรเปนตน เมอใชตวคณรวมเปน 3,072 เทา แสดงวาความถทเอาทพตจะตองเปน 200 kHz 3,072 600 MHz ซงไมตองการ ดงนนตองใชวงจรการแปลงความถ (frequency converter) ดงแสดงในรปท 4.38 ซงวงจรการแปลงความถไมไดท าให f เปลยนไป


ตวอยางท 4.11 จงอธบายการเกดความเพยนขนในระบบของอารมสตรอง

วธท า ความเพยนทเกดขนในวธการแบบอารมสตรองม 2 แบบ คอ การเกดความเพยนเชงขนาด (amplitude distortion) และ การเกดความเพยนเชงความถ (frequency distortion) จากสมการของ NBFM

( ) [cos ( )sin ]

( )cos[ ( )]

FM c f c

c

t A t k a t t

AE t t t

เมอ 2 2( ) 1 ( )

( ) arctan ( )

f

f

E t k a t

t k a t

ความเพยนเชงขนาดเกดขนเนองจากคาของ ( )AE t มคาไมคงท ปญหานไมใชเรองใหญ เพราะสามารถทจะแกไดโดยการใชวงจรจ ากดขนาดแบบผานแถบความถ (bandpass limiter) ซงประกอบไปดวย วงจรจ ากดขนาด และ ตวกรองผานแถบความถ ซงจะอธบายในรายละเอยดในหวขอตอไป จากสมการของ ( )t

( ) arctan ( )ft k a t ในทางอดมคตซงไมมความเพยนคาของ ( )t ควรจะเปน ( )fk a t ซงเมอหาความถชวขณะ i จะได

2 2

2 2

2 2 4 4

[ ( ) / ]( )

1 ( )

( )

1 ( )

( )[1 ( ) ( ) ]

f

i

f

f

f

f f f

k da t dtd t

dt k a t

k m t

k a t

k m t k a t k a t

ส าหรบสญญาณขาวสารความถเดยว ( ) cos , ( ) sin /m m mm t t a t t และ /f mk ดงนน

2 2 4 4( ) cos [1 sin sin ]i m m m mt t t t จากสมการขางตนจะเหนชดเจนวา ระบบนมความเพยนเชงความถแบบฮารโมนคสค ซงมเทอมฮารโมนคสทสามเปนเทอมทส าคญทสด สวนเทอมตงแตฮารโมนคสทหาเปนตนไปมคานอยมากสามารถตดทงได ดงนน

2 2

2 3

3

( ) cos [1 sin ]

1 cos cos34 4

cos cos3 , 14

i m m m

mm m m

mm m m

t t t

t t

t t

เทอมทตองการ

เทอมทเปนความเพยน


135

อตราสวนของเทอมทเปนความเพยนตอเทอมทตองการมคาเปน 2 / 4 และในกรณทแยทสดคอในกรณท 0.5( 50 Hz)mf ความเพยนเชงฮารโมนคสกจะเปน 1/16 หรอ 6.25 เปอรเซนต 4.14.2 วธการสรางคลน FM ทางตรง วธการสรางคลน FM ทางตรงสามารถทจะท าไดโดยใชวงจรออสซลเลเตอรแบบควบคมดวยแรงดน (voltage-controlled oscillator, VCO) โดยทใน VCO ความถทออกทางดานเอาทพต จะเปลยนแปลงแบบเปนเชงเสนกบแรงดนอนพตทใสเขาไป ซงในกรณเชนน แรงดนของสญญาณขาวสาร ( )m t จะไปควบคมความถของ VCO ซงมสมการเปน

( )i c fk m t วงจรตามรปท 4.39 คอตวอยางหนงของการสรางคลน FM โดยวธตรงโดยการปรบคารแอคแตนซ (reactance) ในรปท 4.39 เรยกวาวงจรออสซลเลเตอรแบบฮารทเลย (Hartley oscillator) ซงความถของการออสซลเลตเปนไปตามสมการ

1 2

1o L L L

LC

ในกรณนสมมตวาจะปรบเปลยนคาคาปาซแตนซตามแรงดนของ ( )m t ดงนน

0 ( )C C km t

0

0

1/ 2

0

0

0 00

0

0

0

1

( )1

1

( )1

1 ( ) ( )1 , 1

2

( )1 , 1/

2

( ),2

o

c c

cc f f

km tLC

C

km tLC

C

km t km t

C CLC

km tLC

C

kk m t k

C

ขอดของการสรางคลน FM โดยวธตรงกคอไมตองใชวงจรคณความถแตมขอดอยคอมเสถยรภาพในการสรางความถต ากวาวธการของอารมสตรอง


D

SB-S

Cm

odula

tor

Fre

quency

multip

lier

x 6

4

Fre

quency

convert

er

Fre

quency

multip

lier

x 4

8

-/2

Cry

tal

osc

illato

r200 k

Hz

m(t

)a(t

) -Asi

n

ct

Aco

sct

f c1 =

200 k

Hz

f c2 =

12.8

MH

zf c

3 =

1.9

MH

zf c

4 =

91.2

MH

z

f 1

= 2

5 H

zf 4

= 7

6.8

kH

zf 3

= 1

.6 k

Hz

f 2

= 1

.6 k

Hz

Pow

er

am

plif

ier

Cry

tal

osc

illato

r10.9

MH

z

รปท 4.3

8 เครองสง F

M ของ A

rmstr

ong

[Lath

i, 19

89]


137

L1

L2

C

.

.

+

m(t)

-

รปท 4.39 การสรางสญญาณ FM โดยวธตรง 4.15 การดมอดเลตคลน FM

จากททราบวาสญญาณขาวสารทมอดเลตคลนพาหแบบ FM ขอมลจะแฝงมากบการเปลยนแปลงความถของคลน ซงมการเปลยนแปลงแบบเชงเสนกบการเปลยนแปลงขนาดของสญญาณขาวสาร ( )m t นนคอ ( )i c fk m t ดงนนหลกการของการดมอดเลตกจะเปนไปในท านองทหาวงจรทท าหนาทเปลยนความถมาเปนแรงดนแบบเปนเชงเสนภายในชวงความถของ FM (FM band) นนคอขนาดของทรานสเฟอรฟงกชนของวงจรหรอระบบจะตองเปนสมการในลกษณะ | ( ) |H a b ภายในชวง ของยานทตองการ (ดรปท 4.40(a) ประกอบ) ซงมวงจรทมคณสมบตลกษณะแบบนมากมาย หนงในวงจรเหลานนและงายทสดกคอ ตวดฟเฟอเรนชเอท (differentiator) ซงมทรานสเฟอรฟงกชนเปน j คลน FM เมอสงผานตวดฟเฟอเรนชเอท จะไดเอาทพตออกมาเปน

( )

cos ( )

[ ( )]sin ( )

tFM

c f

t

c f c f

d t dA t k m d

dt dt

A k m t t k m d

(4.45)

ซงจะเหนวาสญญาณ ( ) /FMd t dt เปนทงสญญาณทถกมอดเลตเชงขนาดและความถ (ดรปท 4.40(b) ประกอบ) โดยทม [ ( )]c fA k m t เปนขอบ (envelope) ของสญญาณ และเนองจาก

f p ck m ดงนนคาของ ( ) 0i c fk m t ทกๆเวลา t และสามารถทจะประยกตเอาวงจรตรวจจบขอบ (envelope detector) มาเปนตวดมอดเลตเพอเอาสญญาณขาสาร ( )m t ออกมาจากคลน FM ได (ดรปท 4.40(c) ประกอบ)


eo

FMband

c

(a)

A [c + kfm(t)]

ddt

Envelopedetector

FM

(t) 'FM

(t)

(c)

t

(b)

รปท 4.40 (a) ผลตอบสนองทางความถของคลน FM (b) เอาทพตของคลน FM หลงจากผาน differentiator (c) การดมอดเลตสญญาณ FM โดยการดฟเฟอเรนชเอทโดยตรง [Lathi, 1989]

ในทางปฏบตมสาเหตหลายประการทท าใหขนาดของสญญาณ FM มคาไมคงท เชน สญญาณรบกวนหรอสงกดขวางตางๆ ถาเกดกรณเชนนวธการแกไขเพอใหสญญาณ FM มขนาดคงท สามารถท าไดโดยใชวงจรจ ากดขนาดแบบผานแถบ ซงก าลงจะกลาวตอไป

4.15.1 วงจรจ ากดขนาดแบบผานแถบ

วงจรจ ากดขนาดแบบผานแถบ (bandpass limiter) ประกอบไปดวย ตวจ ากดขนาดแบบแขง (hard limiter) และตวกรองผานแถบความถ (bandpass filter) (ดรปท 4.41a) โดยมความสมพนธของอนพตและเอาทพตแสดงในรปท 4.41b สมมตใหสญญาณอนพทของวงจรเปน


139

( ) cos ( )iv t A t

เมอ ( ) ( )t

c ft t k m d

ไดเอาทพตของวงจร ซงสามารถเขยนในรปของ ดงน คอ

1 cos 0( )

1 cos 0ov

ซงเปนสญญาณรปพลสสเหลยนรายคาบดวยขนาดของคาบเปน 2 และสามารถแทนดวยอนกรมฟเรยรไดดงน คอ

4 1 1( ) cos cos3 cos5

3 5ov

สมมต ณ เวลา t หนงๆคาของ ( ) ( )c ft t k m d ดงนนจะได [ ( )]ov t เปน

[ ( )] [ ( ) ]

4 1 1cos[ ( ) ] cos3[ ( ) ] cos5[ ( ) ]

3 5

o o c f

c f c f c f

v t v t k m d

t k m d t k m d t k m d

ซงประกอบไปดวยคลน FM ทมขนาดคงทตามตองการกบเทอม FM อนๆทความถเปน 3,5,7, และเมอน าเอาสญญาณ ( )ov ทไดผานตวกรองแบบผานแถบความถกจะไดสญญาณ FM ทตองการออกมา นนคอจะได

4( ) cos[ ( ) ]o c fe t t k m d

วธการท าใหคลน FM มขนาดคงทกอนทจะสงตอไปยงดมอดเลเตอรทกลาวมาขางตน สามารถใชไดกบกรณของคลน PM เชนเดยวกน 4.15.2 ตวดมอดเลตคลน FM ในทางปฏบต รปท 4.42(a) แสดงวธการอยางงายของการดมอดเลตคลน FM ซงมคณลกษณะของความถและแรงดนเอาทพตเปนไปตามรปท 4.42(b) รปท 4.43(a) แสดงการดมอดเลตอกวธหนงซงเรยกวา ตวตรวจจบความชน (slope detector) ซงประกอบไปดวยวงจรจนตามดวยตวตรวจจบขอบ รปท 4.43(b) แสดงแรงดนเอาทพตซงเปนคาของ | ( ) |H และมคาประมาณเปนเสนตรงภายในชวงความถสงและต ากวาความถของสญญาณ FM นนคอภายในชวง 2 เปนชวงทเปนเสนตรงทสด ดงนนจะตองจนความถใหมคามากกวา c (ความถเรโซแนนทมากกวาความถของสญญาณพาห )


Hardlimiter

Bandpassfilter

(a)

vo

vi

1

-1

(b)

vo

1

-1

A(t)cos(t)

(c)

2

2

2

4

cos(t)

รปท 4.41 (a) Hard limiter และตวกรองผานแถบความถส าหรบก าจดการเปลยนแปลงขนาดของคลน FM (b) คณลกษณะของอนพต-เอาทพตของ Hard limiter (c) เอาทพตของ Hard limiter เทยบกบมมของสญญาณอนพต

eo

c

(a) (b)

vi e

o

รปท 4.42 คณลกษณะของการดมอดเลตคลน FM


141

2

c

eo

(a) (b)

eo

eo

e1

e2

c

(c) (d)

vi

vo

eo

vi

vo1

vo2

eo

e2

e1

รปท 4.43 การดมอดเลตคลน FM แบบแยกแยะความถ

เพอใหคณลกษณะมความเปนเสนตรงมากขน ประยกตเพมวงจรในรปท 4.43(a) ใหเปนสองวงจรทมความสมดลกนไดวงจร ตามรปท4.43(c) เรยกวา วงจรแยกแยะแบบสมดล (balanced discriminator) โดยทวงจรซกบนท าใหเกดเรโซแนนททความถมากกวา c ในขณะทวงจรซกลางท าใหเกดการเรโซแนนททความถต ากวา c และทจด c เองใหมคาขนาดของ | ( ) | oH e เปนศนย

นอกจากนนแลว รปท 4.44 เปนการดมอดเลตคลน FM ชนดดฟเฟอเรนชเอท (differentiator type) โดยใชวงจรหนวงเวลาดวยขนาด T โดยท 1/ cT f ซงท าใหสามารถทจะท าใหสามารถประมาณสมการไดดงน คอ

( ) ( ) ( ) ( )o FM FM FMt t t T T t

Envelopedetector

DelayT

km(t)FM

(t) 0(t)

-

+

รปท 4.44 ตวดมอดเลตสญญาณ FM แบบดฟเฟอเรนชเอท เมอน า ( )o t ผานตวตรวจจบขอบกจะไดสญญาณขาวสารทตองการออกมา


อกวธหนงทใชในการดมอดเลตสญญาณ FM คอการใชตวตรวจจบจดตดศนย (zero-crossing detector) ดงแสดงในรปท 4.45 ซงประกอบไปดวย ตวจ ากดขนาดแบบแขง ตามดวย ตวตรวจจบจดตดศนย ตามดวยมลตไวเบรเตอร (multivibrator) และวงจรเฉลย (averaging circuit) ซงมหลกการท างาน คอ ตวจ ากดขนาดแบบแขงท าหนาทแปลงสญญาณ FM ทเขามา (รปท 4.46 จด a) ใหเปนสญญาณรปคลนสเหลยม (รปท 4.46 จด b) จากนนตวตรวจจบจดตดศนยจะท าหนาทตรวจจบขอบขาขนของสญญาณรปคลนสเหลยม ณ จดตดศนย ใหสญญาณเอาทพตเปนพลส (รปท 4.46 จด c) เพอทจะน าไปทรกมลตไวเบรเตอรใหไดเอาทพตออกมาเปนสญญาณรปพลสสเหลยมทมความกวางของพลสคงท (รปท 4.46 จด d) ซงความถของการสรางพลสขนอยกบความถของการตดศนยของสญญาณรปคลนสเหลยมทจด b จากนนวงจรเฉลยกจะท าหนาทเฉยจ านวนของสญญาณพลสทได ท าใหไดเอาทพตออกมาเปนดงรปท 4.46d ซงเปนสญญาณทเปนปฏภาคโดยตรงกบความถของสญญาณอนพต (FM) และสญญาณสดทายหลงจากการเฉลยกคอสญญาณทดมอดเลตได นนเอง

Hardlimiter

Zero-crossingdetector

MultivibratorAveraging

circuit

FM input Output

a b c d e

รปท 4.45 ตวดมอดเลตสญญาณ FM แบบใชตวตรวจจบจดตดศนย 4.15.3 ตวดมอดเลตคลน FM แบบเฟสลอคลป

วงจรเฟสลอคลป (phase-lock loop, PLL) เรมตนทเดยวมไวส าหรบทจะวงหาความถและเฟสของสญญาณอนพตและเมอความถทสรางโดยวงจร PLL ตรงกนกบความถของสญญาณอนพต ความถนนกจะถกลอคไว และมกใชในดมอดเลเตอรแบบซงโครนส (synchronous demodulator) ในหวขอนจะแสดงใหเหนวาวงจร PLL สามารถทจะน ามาประยกตใชในการดมอดเลตสญญาณ FM ได และเปนวงจรทนยมใชมากทสดในทางปฏบต เนองจากใหประสทธภาพทดกวาแบบอนๆทกลาวมา

รปท 4.47 แสดงบลอกไดอะแกรมการท างานของวงจร PLL ซงเปนระบบควบคมแบบปอนกลบระบบหนง ในวงจรควบคมแบบปอนกลบ สญญาณเอาทพตจะถกปอนกลบเขามาเปรยบเทยบกบสญญาณอนพตและพยายามทจะปรบใหมคาเทากบอนพต ซงถาในระบบควบคมอนพตกมกจะเปนคาทตงไว (set point) ในกรณทก าลงกลาวถงน อนพตเปนสญญาณ FM ซงมความถทเปลยนแปลงตามเวลา


143

t

t

t

t

t

a

b

c

d

e

รปท 4.46 รปรางสญญาณทจดตางๆในตวตรวจจบจดตดศนย [Lathi, 1989]

หลกการท างานของ PLL สามารถอธบายไดดงน คอ PLL ประกอบไปดวย (1) ตวคณ (multiplier) ซงในทนท าหนาทเปนตวเปรยบเทยบเฟสระหวางสญญาณอนพตและสญญาณปอนกลบ (เอาทพต) (2) ตวกรองลป (loop filter) ซงเปนแบบตวกรองผานความถต า ใหมทรานสเฟอรฟงกชนเปน ( )H s และ (3) VCO สญญาณเอาทพตของตวกรองลปคอ ( )oe t ซงจะถกปอนกลบ


มาเปนอนพตใหกบ VCO (ดรปท 4.47(a)) ก าหนดใหทสภาวะหยดนง ( ( )oe t ) เอาทพตของ VCO เปน c ดงนนสามารถทจะเขยนสมการของความถชวขณะของ VCO ไดดงน คอ

LoopfilterH(s)

voltage-controlledoscillator

x

eo(t)Asin[

ct +

i(t)]

2Ccos[ct +

o(t)]

(a)

sin( ) AKH(s)

0

sine(t)

i(t)+

-

o(t)

e(t)

t

'o = eo(t)

(b) รปท 4.47 เฟสลอคลป และ วงจรสมมลย [Lathi, 1989]

( )i c oe t (4.46) และสญญาณเอาทพตของ VCO เปน 2 cos[ ( )]c oB t t เมอ ( ) ( )o ot e t (4.47) และ , B เปนคาคงทของ PLL สมมตใหสญญาณอนพตของ PLL เปน sin[ ( )]c iA t t ไดเอาทพตของตวคณเปน 2 sin[ ( )]cos[ ( )]c i c oAB t t t t ซงสามารถแตกออกเปนเทอมผลบวกและเทอมผลตาง โดยทมเฉพาะเทอมผลตางเทานนสามารถผานตวกรองลป ดงนนอนพตของลปฟลเตอรจรงๆเปน sin[ ( ) ( )]i oAB t t ให ( )h t คอผลตอบสนองของอมพลสหนงหนวยของตวกรองลป จะได

0

( ) ( ) sin[ ( ) ( )]

( )sin[ ( ) ( )]

o i o

t

i o

e t h t AB t t

AB h t x x x dx

ดงนนจากสมการท (4.47) ได


145

0

( ) ( )sin ( )t

o et AK h t x x dx

เมอ K B และ ( )e t ก าหนดดวยสมการ ( ) ( ) ( )e i ot t t (4.48) จากสมการขางตน ท าใหไดโมเดลของ PLL ดงแสดงในรปท 4.47b ซงเปนโมเดลทถกตองของการท างานของ PLLซงเปนระบบควบคมแบบปอนกลบแบบไมเปนเชงเสนระบบหนง เนองจากมตวคณแบบไมเปนเชงเสน sin( ) ในลปของระบบ มมเฟสของ VCO ( )o t พยายามทจะวงตามมมเฟสของสญญาณอนพตทเขามา ( )i t ซงเปนสญญาณ FM ในกรณน และเมอ VCO มความถตรงกนกบสญญาณอนพต มเฟสตางกน / 2 บอกวา PLL อยในสภาวะ เฟสตรงกน (phase coherent) หรอ เฟสลอค (phase-lock) ทนถามวา PLL ใชเปนตวดมอดเลตคลน FM ไดอยางไร? สามาถแสดงใหเหนดวยสมการ คอ ในขณะท PLL อยในสภาวะเฟสลอค คาของ ( ) 0e t นนคอ บอกวา

( ) ( )i ot t

แต ( ) ( )t

i ft k m d

ดงนน

( ) ( )t

o ft k m d

จากสมการท (4.47) ม

1( ) ( ) ( )

f

o o

ke t t m t

สมการขางตนบอกวาในสภาวะเฟสลอค เอาทพตทไดของ PLL เปนปฏภาคโดยตรงกบสญญาณขาวสาร ( )m t 4.16 สญญาณรบกวนและนอยสในระบบการมอดเลตเชงมม

พจารณากรณทงายทสดของสญญาณรบกวนกอน สมมตวาสญญาณพาหทยงไมไดถกมอดเลตเปน cos cA t มสญญาณรบกวนเปน cos( )c dI t ดงนนสญญาณทรบไดเปน

( ) cos cos( )

( cos )cos sin sin

( )cos[ ( )]

c c d

d c d c

r c d

r t A t I t

A I t t I t t

E t t t

(4.49) เมอ

2 2( ) ( cos ) ( sin )r d dE t A I t I t (4.50)


และ

1 sin( ) tan

cosd

d

d

I tt

A I t

(4.51)

ในกรณทสญญาณรบกวนมขนาดต ากวาสญญาณ FM มากๆ ( I A) ได

( ) sind d

It t

A (4.52)

นนหมายความวาเฟสของสญญาณเอาทพตมคาเปนไปตามสมการขางตน สามารถหาความถของเอาทพตไดโดยการดฟเฟอเรนชเอทสมการขางตน ดงนนสามารถสรปสมการเอาทพต ( )dy t ของสญญาณรบกวนในกรณของ PM และ FM ไดคอเปน

( ) sind d

Iy t t

A ส าหรบกรณ PM (4.53)

( ) cosdd d

Iy t t

A

ส าหรบกรณ FM (4.54)

จากสมการขางตน จะเหนวาขนาดของสญญาณรบกวนทเอาทพตของตวดมอดเลตเปนปฏภาคผกผนกบขนาดของสญญาณ FM (PM) ซงตางกบกรณของ AM นนหมายความวาในระบบการมอดเลตเชงมมจะมประสทธภาพในเชงของการก าจดสญญาณรบกวนไดดกวาการมอดเลตเชงขนาด เมอเปรยบเทยบระหวาง PM และ FM จะเหนวาใน FM ขนาดของสญญาณรบกวนยงขนอยกบความถทแตกตางระหวางสญญาณรบกวนและสญญาณ FM ซงในทนคอ d เมอน าขนาดของสญญาณรบกวนมาพลอตเทยบกบ d จะไดตามรปท 4.48 ในรปท 4.48 จะเหนวามการพลอตเพมเขามาอก 1 รปคอ FM ทม PDE (FM with pre-emphasis and de-emphasis) ดงจะไดกลาวในรายละเอยดตอไปในตอนหลง ผลจากสมการท (4.53) และ (4.54) สามารถทจะขยายความออกไปส าหรบสญญาณรบกวนทมากกวาหนงสญญาณ สมมตวามสญญาณรบกวนสองสญญาณ คอ 1 1cos( )c dI t และ

2 2cos( )c dI t ซงจะได ( )r t เปน

1 1 2 2( ) cos cos( ) cos( )

( )cos[ ( )]

c c d c d

r c d

r t A t I t I t

E t t t

เมอ

1 1 1 2 2

1 1 2 1

sin sin( ) tan

cos cosd d

d

d d

I t I tt

A I t I t


147

Inte

rfere

nce

FM

PM

FM with PDE

d

รปท 4.48 ผลของสญญาณรบกวนใน FM, PM และ FM ทใช PDE ส าหรบ 1 2,I I A

1 1 2 2

1( ) [ sin sin ]d d dt I t I t

A

และได

1 1 2 2

1( ) [ sin sin ]d d dy t I t I t

A ส าหรบกรณ PM (4.55)

1 1 1 2 2 2

1( ) [ cos cos ]d d d d dy t I t I t

A ส าหรบกรณ FM (4.56)

4.17 อตราสวนก าลงงานของสญญาณตอก าลงงานของสญญาณรบกวนทเอาทพต แยกพจารณาเปน 2 กรณ คอ

4.17.1 กรณของ PM

จากสมการท (4.53) .จะเหนวาถาสญญาณ PM ถกรบกวนดวยสญญาณ

cos[ ]c dI t ซงไดเอาทพตของสญญาณรบกวนทเครองรบออกมาเปน sin d

It

A นน

หมายความวาตวดมอดเลตท าการเลอนความถของสญญาณรบกวนจากความถ c d มาท

ความถ d และขนาดของสญญาณรบกวนลดลงเหลอเปน I

A พรอมกบมเฟสเลอนไปดวยขนาด

/ 2 เรเดยน การทขนาดของสญญาณรบกวนถกลดทอนลงดวยสเกล 1/ A นนหมายความวาก าลงงานลดทอนลงดวยสเกล 21/ A สมมตวาสญญาณรบกวนมความหนาแนนสเปกตรมก าลงแบบสองขาง (two-sided power spectral denstity) เปน / 2 ในทกความถซงเรยกสญญาณ


รบกวนแบบนวา white noise และได PSD ของสญญาณรบกวนทเอาทพตเปน 2/ 2A ในขณะเดยวกนสญญาณรบกวนทมความถต ากวาสญญาณ PM ดวยขนาด d ( cos[ ]c dI t ) กม PSD ทดานเอาทพตเทากน ดงนน ถาให ( )noS คอ PSD ทดานเอาทพตของตวดมอดเลตทงหมด ได

2

( )noSA

(4.57)

ภายในชวงแบนดวทของสญญาณเบสแบนด (ขาวสาร) B Hz ไดก าลงงานของสญญาณรบกวนทเอาทพตกจะเปน

2

(2 )oN BA

(4.58)

ในกรณนสญญาณอนพทของตวดมอดเลตคอ cos[ ( )]c pA t k m t ดงนนก าลงงานของสญญาณทดานอนพตมคาเปน

2

2i

AS (4.59)

และไดสญญาณทดมอดเลตไดทเอาทพตเปน ( )pk m t ดงนนก าลงงานของสญญาณทเอาทพต มคาตามสมการ

2 2( )o pS k m t (4.60) ดงนน

22 2

2 2

/ 2( )

( )

op

o

p

S Ak m t

N B

k m t

(4.61) เนองจาก '

p pk m สามารถทจะเขยนสมการขางตนใหมไดเปน


149

2

2

'2

( )( )o

o p

S m t

N m (4.62)

ส าหรบสญญาณขาวสารความถเดยว ( ) cos , ( ) sinm m mm t t m t t

ซงได 2 2 '2 2 2( ) / 2 p mm t m และ

2

1

2o

o m

S

N

(4.63)

4.17.2 กรณของ FM สามารถทจะหา /o oS N ในกรณของสญญาณ FM ไดเชนเดยวกบกรณของ PM ในกรณ

ของ FM สมมตสญญาณรบกวนทอนพตเปน cos( )cI t ซงเมอผานขบวนการดมอดเลตจะไดสญญาณรบกวนทเอาทพตออกมาเปนสญญาณ ( / )cosI A t และเนองจากขนาดของสญญาณรบกวนคณดวยสเกล ( / )A ดงนนได PSD ของสญญาณรบกวนทเอาทพตออกมาเปน

2

2( )noS

A

(4.64)

รปท 4.49 แสดง PSD ของสญญาณรบกวนทเอาทพตในกรณของ PM FM และกรณของ FM ทใช PDE เมอกราฟทไดพลอตเทยบกบความถทแตกตางกนระหวางความถของสญญาณมอดเลตและสญญาณรบกวน ( ) และสามารถหาก าลงงานของสญญาณรบกวนทเอาทพตไดเปน

2 2

0 0

2 3

2

( )

2 2(2 )

8

3

B

o noB

B B

N S df

df f dfA A

B

A

(4.65)

ในกรณนสญญาณอนพทของตวดมอดเลตคอ cos[ ( ) ]c fA t k m d ดงนนก าลงงานของ

สญญาณทดานอนพตมคาเปน


FM

PMSn0()

FM with PDE

รปท 4.49 PSD ของ noise ใน FM, PM และ FM ทใช PDE

2

2i

AS

และไดสญญาณทดมอดเลตไดทเอาทพตเปน ( )fk m t ดงนนก าลงงานของสญญาณทเอาทพต มคาตามสมการ

2 2( )o fS k m t ดงนน

2 2

2 3 2

2 2

2

2 2

2

( )

8 / 3

3 ( )

(2 )

( )3

(2 )

fo

o

f i

f

k m tS

N B A

k m t S

B B

k m t

B

(4.66)

เนองจาก f pk m สามารถทจะเขยนสมการขางตนใหมไดเปน

2 2

2

22

2

( )3

2

( )3

o

o p

p

S m t

N B m

m t

m

(4.67)

เมอ คออตราสวนเบยงเบน ( /f B ) ในกรณของ FM จะเหนชดเจนจากสมการขางตนวา


151

23o

o

S

N (4.68)

ส าหรบสญญาณขาวสารความถเดยว ( ) cos mm t t

ซงได 2 2 2 2( ) / 2 pm t m และ

2

3

2o

o m

S

N

(4.69)

จากการมาวเคราะหทงหมดสารถสรปในเบองตนไดดงน คอ จากสมการ /o oS N ของทง PM และ FM จะเหนวาคา /o oS N เปนปฏภาคโดยตรงกบคา 2( ) และจากสมการแบนดวทของระบบแบนดกวางจะเหนวาแบนดวทของสญญาณ WBFM(PM) มคาเปน 2 เทาของคา f นนหมายความวาถาเพม f ใหเปน 2 เทา (เพมแบนดวทของสญญาณ FM (PM)) ไดประสทธภาพในเชงของ /o oS N ในทงสองระบบเปน 4 เทาหรอ 6 dB จดทนาสนใจอกประการหนงระหวางระบบทงสอง คอ ในการมอดเลตดวยสญญาณโทน (tone modulation) สมการของ /o oS N ในระบบ FM มคามากกวาระบบ PM อย 3 เทา ซงดเหมอนวาระบบ FM จะดกวา แตในความเปนจรงแลวสญญาณโทนหรอสญญาณความถเดยวไมมจรงในทางปฏบตดงนน การพจารณาประสทธภาพของทงสองระบบโดยใชสญญาณโทนเปนเกณฑจงไมสามารถสรปไดวาระบบใดเหนอกวา ตวอยางตอไปนใหค าตอบกบวาระบบทงสองมขอทแตกตางกนอยางไร

ตวอยางท 4.12 ก าหนดใหสญญาณ ( ) 8cos cos5o om t t t จงแสดงวาส าหรบแบนดวทของสญญาณทเทากนคาหนง /o oS N ในระบบ PM ดกวาระบบ FM 4 เทา

วธท า จาก ( ) 8cos cos5o om t t t ดงนน 9pm ( ) (8 sin 5 sin5 )o o o om t t t และ ' 13p om แบนดวทของสญญาณขาวสาร ( )m t เปน 5 / 2oB จากสมการท (4.105) และ (4.106b) ได

2 2 2

'2 2

(2 )( / ) (5 ) 813.994

( / ) 3 (13 ) 3

po o PM o

o o FM p o

B mS N

S N m

ซงแสดงใหเหนวาส าหรบสญญาณ ( )m t ในขอน ระบบ PM ดกวา ระบบ FM อย 4 เทา


แลวอะไรดกวาระหวาง PM กบ FM? จากตวอยางท 4.12 จะเหนวา

2 2

'2

(2 )( / )

( / ) 3

po o PM

o o FM p

B mS N

S N m

(4.70)

สมการขางตนบอกวา ระบบไหนจะดกวา ขนอยกบคา pm และ '

pm โดยท '

pm ขนอยกบแบนดความถและขนาดของสญญาณ ( )m t รปท 4.50 ใหค าตอบวา ส าหรบสญญาณ ( )m t ทมก าลงงานสวนใหญอยทองคประกอบความถต า ระบบ PM จะดกวา ในขณะทระบบ FM จะดกวา ในระบบท ( )m t มก าลงงานสวนใหญอยทความถสง

Sm()

0 2B

PMsuperior

FMsuperior

รปท 4.50 แสดงการเปรยบเทยบ FM และ PM

สญญาณขาวสาร ( )m t สวนใหญในทางปฏบตมกเปนสญญาณทมก าลงงานสวนใหญอยทองคประกอบทางความถต า เชน สญญาณเสยง ซงในกรณเชนนจะเหนวาระบบ PM ดกวา จงท าใหเกดความสงสยวาท าไมใชระบบกระจายเสยงแบบ FM แทนทจะเปน PM? ค าตอบกคอ ระบบกระจายเสยงทใชไมไดเปนทง FM หรอ PM แตเปนการน าเอาระบบ FM มาดดแปลงโดยน าเอาขอดบางจดของ PM มาและเรยกระบบใหมวา ระบบ FM ทม PDE ซงเปนระบบทใชจรงในทางปฏบต ซงจะไดกลาวในรายละเอยดตอไป 4.18 พรเอมฟาซสและดเอมฟาซส

หวขอทก าลงจะกลาวน เปนการน าเอาพรเอมฟาซสและดเอมฟาซส (preemphasis and deemphasis, PDE) มาประยกตใชงาน เพอใหระบบการมอดเลตเชงมมมประสทธภาพมากขน จากสมการ

( ) cos[ ( ) ( ) ]t

EM c ft A t k m h t d


153

รปท 4.51 แสดงการน าเอา PDE มาใชในระบบการมอดเลตเชงเฟส ซงจะเหนวา PDE มทรานสเฟอรฟงกชนรวมเปน 1 ( ( ) [1/ ( )]H H ) โดยทการเลอกคณลกษณะของ ( )H เพอใหเกดประสทธภาพสงสดขนอยกบ PSD ของสญญาณ ( )m t และสญญาณรบกวนในชองสอสาร แตหลกการของการน าเอา PDE มาใชกคอ การทตองการเพมความแรงของสญญาณขาวสารในชวงความถทสญญาณมก าลงงานต าและกดก าลงงานของสญญาณรบกวนลงในชวงทก าลงงานของสญญาณมคาต า รปท 4.52 แสดงบลอกไดอะแกรมของ PDE ทใชในทางปฏบตในระบบ FM

H()Phase

modulator

m(t)

Preemphasis

1

H()

Phasedemodulator

Deemphasis

kpm(t)

รปท 4.51 PDE ในระบบการมอดเลตแบบ PM

Hp()

Frequencymodulator

m(t)

Hd()

Frequencydemodulator

km(t)

รปท 4.52 PDE ในระบบการมอดเลตแบบ FM เพอใหเกดความเขาใจมากยงขน พจารณาในระบบวทยกระจายเสยง สมมตใหสญญาณขาวสาร

( )m t มแบนดวทเปน 15 kHz ถงแมวาก าลงงานสวนใหญของสญญาณขาวสารจะอยภายในชวง 2 kHz (ดรป 4.20a ส าหรบ PSD ของสญญาณเสยง) ในขณะทสญญาณรบกวนในระบบ FM ม PSD เปนแบบพาราโบลา นนหมายความวายงความถสง สญญาณรบกวนยงมสญญาณแรง ในขณะทสญญาณขาสารมก าลงงานต าในชวงทความถสงขน ดงนนหลกการกคอ พรเอมฟาซสจะท าหนาทเพมก าลงของสญญาณใหมขนาดแรงขนกอนทจะน าไปมอดเลตสญญาณพาหและกอนสงผานชองสอสาร ทปลายทางขบวนการน าเอาสญญาณเดมออกมาเปนหนาทของดเอมฟาซส ส าหรบสญญาณรบกวนจะถกลดก าลงลงดวยสเกลเดยวกบกบการเพมขนาดของสญญาณโดยตวดเอมฟาซสทเครองรบ รปท 4.53 แสดงการพลอตขนาดของ ( )pH และ ( )dH ซงเปนทรานส


เฟอรฟงกชนของพรเอมฟาซสและดเอมฟาซสตามล าดบ โดยปกตแลว 1 2.1f kHz และ

1 30f kHz มกเปนคาทนยมใชในทางปฏบต ซงเปนคาทไดจากการทดลอง

1

2

1

(a) (b)

(d)(c)

m(t)

m'(t)

m'(t)

km(t)

20loglHp()l

20loglHd()l

รปท 4.53 (a) Pre-emphasis filter (b) ผลตอบสนองทางความถของ pre-emphasis filter (c) De-emphasis filter (d) ผลตอบสนองทางความถของ de-emphasis filter สามารถเขยนสมการของ ( )pH ไดคอ

1

2

( )p

jH K

j

เมอ K คอคาเกนและถกตงใหเปนคา 2 1/ ดงนน

2 1

1 2

( )p

jH

j

ส าหรบ 1 สามารถประมาณ

( ) 1pH ส าหรบชวงความถ 1 2

1

( )p

jH

ซงจะเหนวา พรเอมฟาซสท าหนาทคลายๆกบเปนตวดฟเฟอเรนชเอททชวงความถกลาง (2.1 ถง 15 kHz) นนหมายความวาระบบ FM ทม PDE คอระบบ FM อยางเดยวในชวงความถทต ากวา 2.1 kHz และเปนระบบ PM ทความถจาก 2.1 ถง 15 kHz ส าหรบทรานสเฟอรฟงกชนของดเอมฟาซส สามารถเขยนเปนสมการไดเปน


155

1

1

( )dHj

ส าหรบชวงความถ 2 ประมาณ 1 1( ) ( ) /pH j ซงจะได ( ) ( ) 1p dH H ภายในชวงความถ 0 ถง 15 kHz เพอทจะค านวณประสทธภาพของระบบในเชงของ SNR เมอใช PDE จะเหนวาสญญาณรบกวนเมอสงผานดเอมฟาซสท าใหก าลงงานของสญญาณรบกวนสามารถหาไดใหมเปน

' 2

0

2 2

1

2 2 201

2 2 2

1

2 2 2 201

211

1 1 12

1

2 ( ) | ( ) |

2

42

4

2 2 tan / 2

o

B

o n d

B

B

N S H df

dfA

fdf

A f

BB f f

A f

และจะได

2

'

111

1

1

3 1 tan

o

o

N B

N ff B

B f

เมอแทนคา 15B kHz และ 1 2.1f kHz ได

'

21.25 13.27o

o

N

N dB

ซงจะเหนวาระบบมประสทธภาพในเชงของ SNR ทเอาทพตของเครองรบเปน 13 dB หรอประมาณ 21 เทาในเชงของก าลงงาน รปท 4.48 แสดงผลของสญญาณรบกวนในระบบ FM ทใช PDE ซงเปนระบบทใชจรงในระบบวทยกระจายเสยง โดยการน าเอาขอดของทงระบบ FM และ PM มาใชเพอใหไดประสทธภาพของ SNR ทเอาทพตดทสด 4.19 การเกดเทรสโฮลในระบบ FM

การวเคราะหสญญาณรบกวนในระบบการมอดเลตเชงมมทไดอธบายมาทงหมด อยบนพนฐานของสมมตฐานในกรณทสญญาณรบกวนมขนาดต าๆ ดงนนคา SNR ทวเคราะหมาทงหมดสามารถใชไดเฉพาะในกรณสญญาณรบกวนขนาดต าๆเทานน ส าหรบกรณทสญญาณรบกวนมขนาดสงๆ จะเกดปญหาเทรสโฮล (threshold) ขนเหมอนกบกรณของ AM จดทเรมเกดปรากฏการณเทรสโฮลคอ จดทก าลงงานของสญญาณรบกวนมคาเปนหนงในสบของก าลงงานของสญญาณ ส าหรบก าลงงานของสญญาณ 2 / 2A และสญญาณรบกวนท


ม PSD เปน / 2 ในทกๆความถ (white noise) ซงจะไดก าลงงานของสญญาณรบกวนภายในชวงความถของสญญาณ FM เปน FMB เมอ FMB คอแบนดวททใชในการสงคลน FM ซงมสมการเปน

2 ( 2)FMB B ดงนน ปรากฏการณเทรสโฮลจะเกดขนเมอ

2

2

12 ( 2)

10 2

/ 220( 2)

AB

A

B

ให thresh คอคาของ ณ จดทเรมเกดปรากฏการณเทรสโฮล ดงนน ได 20( 2)thresh (4.71) ผลของการเกดเทรสโฮล ถกแสดงไวในรปท 4.54 ในกรณทสญญาณขาวสาร ( )m t เปนสญญาณ

ความถเดยว ซงม 2 2( ) / 0.5pm t m และได

23

2o

o

S

N (4.72)

รปท 4.54 แสดงคาของ SNR ทเอาทพตในหนวยเดซเบลเทยบกบคา ส าหรบคา 2 คา คอ

2 ซงได 20(2 2) 80thresh หรอ 19 dB และ 6 ซงได 20(6 2) 120thresh หรอ 22 dB สงเกตวาทจด thresh คาของ SNR ทเอาทพตลดลงอยาวรวดเรว เพอใหเกดความเขาใจปรากฏการณของเทรสโฮลมากขน พจารณากราฟทคา 2 ในระบบนม / 2( 2) 8FMB B ถาสมมตวาก าลงงานของเครองสงทใชท าใหไดคาของ ต ากวาคา thresh เชน สมมตได 18 dB ซงอยในบรเวณของการเกดเทรสโฮล ( 19thresh dB) ซงไดคา SNR ทเอาทพตเปน 20 dB ถาพยายามทจะเพมคา SNR ทเอาทพต โดยใชวธการเพมแบนดวททใชในการสง (จากทเคยรวา การเพมแบนดวทเปน 2 เทา จะไดคา SNR ทเอาทพต เพมขนมาเปน 4 เทา หรอ 6 dB) นนคอ เพมแบนดวทเปน 16FMB B โดยการเพมคา จาก 2 มาเปน 6 จะเหนวากลบท าใหคา SNR ทเอาทพตยงต าลงไปอก นนคอได SNR ทเอาทพตเปนประมาณ 10 dB เหตทเปนเชนนกเพราะวาพยายามทจะเพมคา SNR หลงจากทอยในบรเวณทเกดปรากฏการณเทรสโฮลแลว ซงท าไมได เพราะจะท าใหคา SNR ยงแยกวาเดม เพราะการเพม


157

คาแบนดวทขนเปน 2 เทาก าลงงานของสญญาณรบกวนกมคาเพมขนตามไปดวย (จากสมการ

o FMN B ) รปท 4.54 เปนการพลอตคา SNR ทเอาทพตในกรณทสญญาณขาวสาร ( )m t เปนสญญาณความถเดยว ตามสมการท (4.115) ส าหรบรปท 4.55 เปนการพลอตเพมเตมทคา ตางๆ และเสนประในรปท 4.55 แสดงถงจดทจะเรมเกดปรากฏการณเทรสโฮล

8

16

40

32

24

2 106 30262214 18

,dB

,d threshold

DSB-SC

= 2

= 6S0

N0

รปท 4.54 ปรากฎการณ threshold ในระบบ FM [Lathi, 1989]


,dB

S0

N0

,dB

14

24

3430262218

44

40

36

32

28

52

48

56

= 2

= 8

= 6

= 4 = 3

รปท 4.55 ประสทธภาพของระบบ FM [Lathi, 1989]

ถงแมวาการพลอตในรปท 4.55 จะเปนการแสดงประสทธภาพ เฉพาะกรณทสญญาณ ( )m t เปนสญญาณความถเดยว สามารถทจะใชกราฟนส าหรบ ( )m t ใดๆกได โดยการเลอนกราฟขน-ลง

ดวยคา 10log(2 ) dB เมอ 2 2( ) / pm t m เชน ถา 0.5 (ในกรณของสญญาณขาวสารความถเดยว) กไมจ าเปนตองเลอนกราฟ เนองจากวาคา 10log(2 ) มคาเปน 10log[2(0.5)] 0 dB เปนตน 4.20 เครองรบวทยระบบ FM

ระบบกระจายเสยงคลนวทยในระบบ FM มความถอยในชวง 88 ถง 108 MHz มระยะหางระหวางชองเปน 200 kHz และคา 75f kHz เครองรบวทยในระบบ FM ระบบเสยงแบบโมโน (monophonic FM receiver) จะเหมอนกบเครองรบวทยในระบบ AM แบบซปเปอรเฮเทอโรไดน (superheterodyne) แตมขอแตกตางกนคอ ในรบบ AM ใช IF เปน 455 kHz ในขณะทระบบ FM ใช IF เปน 10.7 MHz และแทนทตวตรวจจบขอบในระบบ AM ดวย ตวจ ากดขนาด (amplitude limiter) และวงจรแยกแยะความถ (frequency discriminator) ตามดวยตวดเอมฟาซส (deemphasizer) ระบบวทยกระจายเสยงคลนความถ FM ในสมยกอนจะเปนแบบโมโน แตปจจบนไดพฒนามาเปนระบบสเตอรโอ (Stereo FM) รปท 4.56 แสดงบลอกไดอะแกรมของเครองสง และเครองรบวทยระบบ FM แบบสเตอรโอ โดยมหลกการท างานดงน


159

ทเครองสงจะใชไมโครโฟน 2 ตว คอซายและขวา ( L และ R ) เพอใหผลลพทของระบบเสยงใหเปนธรรมชาตมากขน สญญาณจาก L และ R จะถกน ามารวมกนและหกลางกนเปน L R และ L R จากนนทงสองสญญาณนจะถกสงผานตวเอมฟาซสไดเอาทพตออกมาเปน ( ) 'L R และ ( ) 'L R สญญาณ ( ) 'L R จะน ามามอดเลตสญญาณพาหแบบ DSB-SC ทความถ 38 kHz ซงไดจากวงจรคณความถสองเทาทคณความถทมาจากวงจรออสซลเลเตอรซงสรางออกมาเปน 19 kHz ความถคาท 19 kHz ยงใชเปนสญญาณน ารอง (pilot signal) เพอทจะน าไปใชทเครองรบอกดวย รปท 4.56(b) แสดงสเปกตรมของสญญาณผลรวมทงหมด ซงประกอบ

ไปดวยสญญาณ ( ) 'L R สญญาณ ( ) 'cos cL R t และ cos2ct

นนคอ สามารถทจะ

เขยนสมการของสญญาณขาวสารรวม ( )m t เปน

( ) ( ) ' ( ) 'cos cos2c

c

tm t L R L R t

จากนนสญญาณ ( )m t กจะมอดเลตสญญาณพาหซงมความถอยในยาน FM สงออกอากาศ ทเครองรบดงแสดงในรปท 4.56(c) กจะประกอบไปดวยตวดเอมฟาซสเปนสวนแรก สญญาณน ารองจะถกน าเอาออกมาโดยใชวงจรกรองผานแถบความถชนดแบนดแคบ (ดรปภาพประกอบส าหรบค าอธบาย เพมเตม)


Preemphasizer

FM

modulator

Preemphasizer DSB-SCmodulator

~Frequencydoubler

pilot

++

+

+

+

+

-

L

R

L + R

L - R

(L + R)'

(L - R)'

(a)

(L+R)'

(L-R)'cosct

Compositebasebandspectrum

Pilot

15 533819 23

f (kHz)(b)

LPF0-15 kHz

NBF19 kHz

BPF23-53 kHz

Frequencydoubler

Synchronousdemodulator

Deemphasis

Deemphasis

Limiter-discriminator

1 (L + R)L

R

Pilot

+

-

+

+

(L - R)'

(L - R)

(L - R)'cosct

(c)

รปท 4.56 (a) เครองสง FM ในระบบสเตอรโอ (b) สเปกตรมของสญญาณเบสแบนดสเตอรโอ (c) เครองรบ FM ในระบบสเตอรโอ [Lathi, 1989]


161

แบบฝกหดทายบทท 4 4.1 ส าหรบสญญาณขาวสาร ( )m t ในแตละขอตอไปน

4.1.1 ( ) cos1000m t t 4.1.2 ( ) 2cos1000 cos2000m t t t 4.1.3 ( ) cos1000 cos3000m t t t 4.1.4 ( ) ( )m t t 4.1.5 | |( ) tm t e (ก) จงสเกตซสเปกตรมของ ( )m t (ข) จงสเกตซสเปกตรมของ ( )cos10,000m t t

4.2 รปท P4.2a แสดงมอดเลเตอรแบบ DSB-SC สมมตวาสญญาณพาหทน ามาคณทตวคณ

เปนแบบมความเพยนและมสมการเปน 2

1 2cos cosc ca t a t ก าหนดใหสเปกตรมของสญญาณ ( )m t ดงแสดงในรปท P4.2b

Filter

( )m t ( )cos ckm t t( )m t

Distortedcarrier

ba c

(a)

( )M

A

2 B 2 B0

(b)

รปท P4.2 4.2.1 จงค านวณและสเกตซสญญาณทจด b และ c


4.2.2 ชนดของตวกรองในรปท P4.2a ควรจะเปนชนดใด? 4.2.3 คาทต าทสดของ c ควรจะเปนเทาไหรเพอทจะใหระบบนท างานไดถกตอง?

4.3 สญญาณ DSB-SC ( )cos cm t t ถกดมอดเลตโดยใชสญญาณพาหทสรางขนโดย

เครองรบ ซงมสมการเปน cos( )cA t ดงแสดงในรปท P4.3 จงแสดงวาวธการดมอดเลตจะใชไดถาคาของ เปนคาคงทไมเปลยนแปลงตามเวลาและไมเปน / 2 และใหหาสญญาณเอาทพตเมอก าหนดคา / 4 และ / 2

Lowpassfilter

cos( )cA t

( )cos cm t t Output

รปท P4.3 4.4 จงแสดงวาสญญาณ DSB-SC สามารถทจะถกดมอดเลตโดยใชวธการตามรปท P4.4 ได

และจากรป ตวกรองควรจะเปนชนดใด?

Nonlinear

Nonlinear

Filter

( )cos cm t tcos ct

2

0 i ie ae be

0eie

+

-

-

+

รปท P4.4


163

4.5 จงสเกตซสญญาณ AM-Full carrier เมอก าหนดสญญาณ ( ) 1 2cos cm t t ส าหรบคา 0.5 และ 1

4.6 ก าหนดสญญาณ ( )m t ใหดงแสดงในรปท P4.6 ซงน ามามอดเลตสญญาณพาหแบบ

AM ดวยคา 0.1 และ 0.5 ส าหรบแตละกรณ จงค านวณหา 4.6.1 ก าลงงานเฉลยทงหมดของสญญาณ AM ( tP ) 4.6.2 ก าลงงานในแตละไซดแบนด ( sP ) 4.6.3 ก าลงงานในองคประกอบของสญญาณพาห ( cP )

( )m t10

310

t10

รปท P4.6

4.7 ส าหรบคลน AM ทไดจากสญญาณ ( )m t ในรปท P4.6 (ดวยคา 0.8 และ

100cf kHz) จงค านวณหาคาทมากทสดของคาคงทเวลา (Time constant) RC ในตวตรวจจบขอบ (Envelope detector) ทจะท าใหตวตรวจจบขอบสามารถทจะตามขอบของสญญาณ AM ได

4.8 ก าหนดสญญาณ ( )m t ในแตละขอตอไปน ซงน ามามอดเลตสญญาณพาหแบบ SSB

ก าหนดใหสญญาณพาหเปน cos1000A t 4.8.1 ( ) cos100m t t 4.8.2 ( ) cos100 2cos300m t t t 4.8.3 ( ) cos100 cos500m t t t ในแตละขอ จงค านวณหา (ก) สเกตซสเปกตรมของ ( )m t (ข) คลน DSB-SC พรอมทงสเกตซ (ค) จากสเปกตรมทไดในขอ (ข) จงหาเทอม USB (ง) จากเทอม USB ในขอ (ค) จงหาสมการในอาณาจกรของเวลาของสญญาณ USB (จ) ท าซ าขอ (ค) และ (ง) ส าหรบสญญาณ LSB


4.9 รปท P4.9 แสดงวธการสรางสญญาณ SSB-SC อกวธหนง เรยกวาวธการของ Weaver

(Weaver’s method) โดยทมเงอนไข c o 4.9.1 จงวเคาระหระบบนและแสดงวาสญญาณเอาทพตทไดคอสญญาณ SSB

(ใชคณสมบต ( ) ( ) ( )m t m t m t ) 4.9.2 จงแสดงวาวธการนยงสามารถใชไดในกรณท ( )M ไมมสวนทขาดหายไป

จากความถ 1 ถง 1 ถา ( )oH เปนแบบในอดมคต 4.9.3 จงแสดงวาถา ( )M เปนในลกษณะทมสวนขาดหายไปในชวงความถจาก

1 ถง 1 ดงรป P4.9 แลว ( )oH ไมจ าเปนตองเปนแบบอดมคต วธการนยงสามารถใชสรางสญญาณ SSB ได

4.9.4 คณคดวาอะไรคอขอดของระบบนเมอเทยบกบวธการสราง SSB แบบกรองเลอกความถ (Selective-filtering method)

( )SSB t

(a)

+

cos ct

( )m t

0cos t

0sin t sin ct

0( )H

0( )H

(b)

( )M

01 0 1 W

0 12

W

2

W

2

W

0 ( )H

1

(c)

รปท P4.9 4.10 สญญาณ DSB-SC สญญาณหนงถกน ามาดมอดเลตโดยวธการเอาสญญาณพาหมารวม

ใหมจากนนใชตวตรวจจบขอบ ส าหรบสญญาณขาวสารความถเดยว ( ( ) cos mm t t ) ก าหนดใหสญญาณ DSB-SC เปน cos cosm ct t และสญญาณพาหทน ามารวมใหมกบสญญาณ DSB-SC คอ cos( )cA t จงค านวณหา


165

อตราสวน / A ทท าใหคาความเพยนในฮารโมนคสทสองมขนาดต ากวา 5 เปอรเซนตของสญญาณทตองการ โดยสมมตวา / 1A และ / 2

4.11 ก าหนดสญญาณขาวสาร ( )m t ม PSD ดงแสดงในรปท P4.11a ถกสงผานชองสอสารท

มสญญาณรบกวนแบบรวม (Additive noise) และม PSD ( )nS ดงแสดงในรปท P4.11b และเครองรบ (รปท P4.11c) ประกอบไปดวยตวกรองผานความถต าแบบอดมคต

( )H ดงแสดงในรปท P4.11d จงค านวณหา SNR ทเอาทพตของเครองรบ

2( )nS k

12

2

3 10

128k

0

(b)

( )mS

8000 8000

310

0

(a)

( )m t

( )n t

( )H

Output

Receiver

. . .

(c)

(d)

1( )H

8000 8000

รปท P4.11

4.12 ก าหนดสญญาณรายคาบ ( )m t ในรปท P4.12 มอดเลตสญญาณพาหแบบ AM จากนน

สงผานชองสอสารทม PSD เปน 8( ) 10nS ถาตองการใหได SNR ทเอาทพตของ


เครองรบเปนอยางนอย 33 dB จงค านวณหาก าลงงานของเครองสง TS ก าหนดให 5B kHz 0.8 และการลดทอนของสญญาณเมอผานชองสอสารเปน 0.005

t

( )m tpm

pm รปท P4.12

4.13 ก าหนดให ( )m t เปนไปตามรปท P4.13

4.13.1 จงสเกตซคลน PM เมอก าหนดให 10pk และ 410cf Hz 4.13.2 จงสเกตซคลน FM เมอก าหนดให 10fk และ 410cf Hz

sin100t

2

100

100

2

100

100

t0

รปท P4.13

4.14 จงสเกตซคลน FM และ PM เมอก าหนดสญญาณ ( )m t ในรปท P4.14 และคา

610c / 4pk และ 1000fk

1

1

2

2

310

( )m t

t310

รปท P4.14 4.15 สญญาณมอดเลตเชงมมสญญาณหนงใชความถของสญญาณพาหเปน 62 10c

และอธบายดวยสมการ


167

( ) 10cos( 0.3cos200 )EM ct t t

4.15.1 จงหาก าลงงานของสญญาณน 4.15.2 จงหาคาความเบยงเบนความถ f 4.15.3 จงหาคาความเบยงเบนเฟส 4.15.4 จงประมาณแบนดวทของสญญาณน

4.16 ก าหนดสญญาณ 1( )m t และ 2( )m t ตามรปท P4.16 และก าหนดสญญาณพาหม

ความถ 100 MHz คา / 2pk

1( )m t

2a

3

1

t

2a

(a)

(b)

a aa2( )m t

3

1

t

รปท P4.16

4.16.1 จงสเกตซคลน PM ส าหรบสญญาณขาวสาร 1( )m t และ 2( )m t 4.16.2 จงแสดงวาคลน PM จาก 1( )m t ไมสามารถทจะถกดมอดเลตแบบมความ

แนนอนได นนคอมความไมแนนอนแฝงอย


4.16.3 จงแสดงวาคลน PM จาก 2( )m t สามารถทจะถกดมอดเลตแบบมความแนนอนไดโดยใชตวดมอดเลตแบบ FM แลวตามดวยตวอนตเกรต

4.17 ระบบสอสารแบบ FM ระบบหนงซงมสญญาณรบกวนเปนแบบ white noise และม PSD

เปน 9( ) 10nS ก าหนดใหสญญาณขาวสาร ( )m t มแบนดวทเปน 15 kHz หาคา

SNR ทเอาทพตของเครองรบไดเปน 31 dB ก าหนดให 2 2( ) / 2 / 9pm t m 2 และ คาคงทของตวดมอดเลต 410 4.17.1 จงค านวณหาก าลงงานของสญญาณรบกวนทเอาทพตของเครองรบ ( oN ) 4.17.2 จงค านวณหาก าลงงานของสญญาณทเอาทพตของเครองรบ ( oS ) 4.17.3 จงค านวณหาก าลงงานของสญญาณทรบไดทอนพตของเครองรบ ( iS ) 4.17.4 จงค านวณหาก าลงงานของเครองสงเมอก าหนดใหชองสอสารมขนาดของท

รานสเฟอรฟงกชนเปน 3| ( ) | 10cH

4.18 ก าหนดคาตางๆในระบบ FM หนงเปน 3( ) cos 10,000m t t 471,000fk สญญาณรบกวนในชองสอสารเปนแบบ white noise และม PSD เปน 8( ) / 2 10nS 4.18.1 จงหาคา f 4.18.2 จงหาแบนดวททใชในการสง FMB 4.18.3 จงหา SNR ทเอาทพตของเครองรบ

4.19 จงแสดงวาระบบ PM ดกวาระบบ FM ดวยขนาด 23 / 4 เมอก าหนดใหสญญาณ ( )m t

ดงแสดงในรปท P4.19 โดยใช SNR ทเอาทพตของเครองรบเปนตวเปรยบเทยบ สมมตใหแบนดวทของสญญาณ ( )m t คอความถทฮารโมนคสทสามของ ( )m t

0T

A

A

t

รปท P4.19

4.20 ระบบ FM หนงมคา 5 และ 2 2( ) / 0.05pm t m คา SNR ทเอาทพตเปน 20 dB


169

4.20.1 ระบบนอยในสภาวะเทรสโฮลหรอไม? 4.20.2 ถาคา เพมจาก 5 เปน 6 คา SNR ทเอาทพตเปลยนไปอยางไร? 4.20.3 ถาคา ลดจาก 5 เปน 4 คา SNR ทเอาทพตเปลยนไปอยางไร?

การมอดูเลตเชิงมุม (angle...

Documents