เฉลยตอนท 1 1. ตอบ ง.

แนวคด= AB (B C ) = AB= A – B

สรปวาโจทยให n[(AB)(BC)] = 4

ซงคอ n(A – B)= 4

และ n(B) = 5n(AB)= 2

จากสตร n(A – B) = n(A) – n(AB)

n(A)= n(A – B) + n(AB)= 4 + 2= 6

n(P(A)) – n(P(B)) = = = 32 ตอบ

จากกฎ ( ? ) = ดงนน B(BC) = Bและอยาลมวา A B = A – B

สตรทใช(1) ( ? ) = (2)n(A – B) = n(A) – n(AB)(3)n[P(A)] =

2. ตอบ 3ขอบอก เรองทฤษฎบทเศษเหลอ

ปจจบนออกสอบทกป (ปละ 1 ขอ) อยาลมอานไปนะครบ!

แนวคดx – p หาร P(x) = เศษคอ

x + q หาร P(x) = เศษคอ

โจทยบอกวา เศษเทากน== 0 สตรทใช

x – c หาร p(x) จะเหลอเศษ p(c)= 0

= 0แตโจทยวา p -q p – q +

7 = 0 p – q = –7 ตอบ

3. ตอบ ข

ขอนจดวายากสำาหรบคนทไมเคยเจอโจทยแบบนมากอน แตถานอง ๆ สงเกตขอสอบ Ent ในชวงหลง ๆ จะออกลกษณะแบบนมาหลายครงแลว จงควรทำาความคนเคยเอาไวครบแนวคดหรม. ของ x กบ 100 = 1และ 100 = สรปวา x คอจำานวนท 2 หารไมลงตว และ 5 หารไมลงตวใชแผนภาพชวย

บรเวณแรเงา = AB = U –

(AB)

A = xU2 หาร x ลงตว

B = xU5 หาร x ลงตว

หาร 5 ลง หาร 2 ลง

A B

ผลบวก สตร อนกรมเลขคณต = []หรอ =[พจนแรก+ทาย]

= 2, 4, 6, …, 100ผลบวกสมาชกเซต A = 2 + 4 + 6 + … + 100 = [2 + 100] = 2550

= 5, 10, 15, …, 100ผลบวกสมาชกเซต B = 5 + 10 + 15 + … + 100 = [5 + 100] = 1050

AB= xU2 และ 5 หาร x ลงตว = xU10 หาร x ลงตว

= 10, 20, 30, …, 100ผลบวกสมาชกเซต AB U = 1, 2, 3, …, 100

= [1 + 100] = 550ผลบวกใน U = 1 + 2 + … + 100

n(U) = [1 + 100] = 550n(AB) = n(U) – n(AB)

= n(U) – [n(A) + n(B) – n(AB)]

ผลบวกกเชนกน= 5050 – [2550 + 1050 –

550]= 2,000 ตอบ

สตรทใช (1) เรองเซต n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)

(2)ผลบวก = [ ]

4. ตอบ กขอนคลายกบขอสอบ En มนา 47 ทพง

ผานมา แบบการหาคาความจรงแนวใหม(p q) (p q)

F

T F (ทำาตอไมไดละส)

เนองจาก p q เปนเทจ สรปไดวา p, q มคาความจรงตรงขามกน

ซงอาจเปน แต p q เปนจรง (1) จงเปนไม

ไดp เปนเทจ, q เปนจรง เทานน

พจารณาตวเลอก 1] (F T) r F r T ตอบเลยเหอะ

2] T (Fr) T F F

3] F~T F4] F~T F

5. ตอบ 2ขอนเปนโจทยยอนกลบของเรองตวบง

ปรมาณการท จะเปนจรง x ทกตวใน

U จะตองแทนแลวจรง

นนกคอ U เซตคำาตอบอสมการ

เซตคำาตอบอสมการ

U ในตวเลอก 2 เปนสบเซตของเซตคำาตอบ6. ตอบ ค

f(x) = x + 1= จะหา ได =

แสดงวา g(x) = =หา จาก = y = จะไดวา y 0

หา จาก

= y = เนองจาก

0

-3 0

-2 -1 -1

01

= yy 0

1

y 1

– คอ [0, 1)

ตอบ

วธลด – แสดงวา คาทใชไดตองอยใน

แตไมอยใน ดชอย : y = สงเกตวา y

= 1 ใชได (x=0 ไง) ขอทถกตองม y = 1

(ตดตวเลอก 2, 4) และสงเกตวา y = -1 กเปนไปไมได ดงนน ตดขอ 1 ตอบขอ 3 ไปเลย จ

7. ตอบ ง

0

1

สงไปจบกบ {a, b} (สวนทเหลอ 1 ตว เลอก

เลอก 2 ตว จาก 3 ตวทเลอกไวใน * เพอจะไปจบกบ

* เลอก 3 ตวจาก

การหา จำานวนสมาชกเซต A กคจำานวน f ท = {a, b} นนเอง

มสมาชก 3 ตว สรางได

เมอคำานวณแลวจะได = 4(3)(2) = 24 วธ ตอบ

8. ตอบ 2แนวคด = f(2x – 1)= 4x –

a จะได g(x) = f(x) =

– a ........(ระบบ )= 2x + 2 – a

= f(g(a)) = (โจทยบอกมา)

==

= = 0 (a – 5) (a – 4) = 0 a = 5, – 4 แต

โจทยวา a > 0 a = 5f(x) = 2x + 2 – a f(x) = 2x – 3 f(a) = 2a – 3 = 2(5) – 3 =

7 ตอบ ความรทตองม 1. หา f(x) จาก f (ไมใช x ) 2. = f(g(x)) 3.การหา Inverse ของ f(x)

9. ตอบ 4 (ขอนเปนขอสอบ En 43 ม.ค. ซงคลาย ๆ En 47 ม.ค. เลยเอามาใหด)

วธจรง วาดรปA D C

B

จาก Law of sine=

AB = AB = AB =

จากสามเหลยมมมฉาก ABC จะได sin 45 =

หรอ h = AB sin 45 ….(แตก AB sin แบบ physics ) พ.ท.สามเหลยม ABC =

ฐาน สง=== ตอบ

วธลด

75

6045

มม 15 , 75 ควรจำาไดเพราะออกสอบบอย

15

75

6045

20

h

A Bh

x

สตร Genius

x = h[cotA + cotB]

20=h[cot 45 + cot 60]

พท. == ตอบ

10. ตอบ 2 ใหเสนตรง ผานจด (– 4, 1) และ (0, )

เสนตรง มสมการเปน 5x – 12y – 20 = 0

ถาเสนตรง และ สมผสวงกลม C ขอใดเปนสมการวงกลม C ผานจด (– 4, 1) และ (0, ) ความชน = =

สมการ คอ 5x – 12y + k = 0ผานจด (– 4, 1) : 5(-4) – 12(1) +

k = 0 k = 32สมการ : 5x – 12y + 32 = 0

: 5x – 15y – 20 = 0จะเหนไดวา ขนานกบ

(h,k)

1L

2L

ดจากชอย 1, 3, 4 จะม (h, k) วงกลม = (–6, 3) …. แตขอ 2 (h, k) = (6, 3)

ลอง (h, k) = (–6, 3)ระยะ (h, k) ถง = ระยะ (h, k)

ถง = ซงไม

จรง จงตอบ 2 เลย

11. ตอบ ก. เซต A 6x+6x + 2 = 2x

+ 22+1+2x+2

6x (1+6) = 2x(1+2+22) 6x . 7 = 2x . 7 6x = 2x

x = 0 A = { 0 } (จรง ๆ นาจะตอบขอ 1 เลย เพราะ 0 คณอะไรกได 0)

เซต B ควรร สตรลด logc logbloga = d

x = ab

ดงนน log7 log2 log3 (2x-1) = 0

2x – 1 = = 2x – 1 = 9x = 5 B =

{ 5 }ผลคณ สมาชกเซต A กบ B =

0 5 = 0 =0 , =0 ตอบ 12. ตอบ ค ไมอยากบอกเลยวา เรอง cofactor ของเมตรกซ นออกสอบทกป ขอนจงไมควรพลาดนะ

5 4 6-2 0 71 2 0

-2 0C13(A) = (-1)1+3

1 25 4

C13(A) = (-1)2+3 1 2

แนวคด

= == (1) [– 4 – 0] =

– 4 = (–1) [10 – 4] = –6จงไดวา B =ซง det B = 0 (เพราะโจทยบอกวา

B เปนเมตรกซเอกฐาน)คณลง – คณขน = 0

=0 = 0

= 0ผลบวกคำาตอบ = = 4

13. ตอบ 1 (เรองนออก En ปละ 1 ขอ มาตลอดนะครบ)

วาดรป จดมมม 4 จดจด A เปนจดตด 2x

+ 3y = 100 ----- y – x

= 5 ----- ซงแกสมการได x =

21 , y = 26 A (21, 26)

A

D

B

C y = 2

(0,1

(0,4 x–y = 5

จด B เปนจดตด x + y = 10 ………. จด C x + y = 10 แต y = 2

y – x = 5 ………. C(8, 2)

ซง B = ฝากคดเองนดนงนะจด D 2x + 3y = 120 แต y =

2 D = (57,

2)นำา 4 จดมม แทนลง P

P = 3x + y

(60,0)(10,0)

x+y = 10

2x+3y = 120

(21, 26)

P = 89

P = 15 min

(8, 2)

P = 26

(57, 2)

P = 173 max

14. ตอบ 3เรองขนาด vector ออกสอบทกปเชน

กน (อยาพลาดนะ)ถากำาหนด =

=จะได = ซง

= 5

a = max = 173b = min = 15a – b = 173 – 15 = 158

A B

CD

u

v

= ซง = 1

จาก = แทนสงทรลงไป

= --------- จาก =

= ---------- – 24=

6 =ดงนน = = 6

ตอบ

วธลด ใชสตรลด – = =

= 6 ตอบเลยออ…

15. ตอบ 1 = =

0z,z1z 1

= = =

= = ยกกำาลง 2

สองขาง = 0

= 0 = 0

== ตอบครบ

16. ตอบ 4ขอความ ก . ถก ให z= a + bi =

= a – bi =

= 2a = = 2bi =

ดงนน ===

zzz

22 )พสวนจนตภา()สวนจรง(z

วธลด อาจแทนคา z งาย ๆ เชน 3 + 4i ดวาใชไดจรงหรอไม (ทำาเองนะ)

ขอความ ข . ผด z = =

z= =

= =

หมายเหต - เรองสมบต z- เรองทฤษฎเดอมวร ออก EN

ประจำา (ไมควรพลาดเชนกน)17. ตอบ 4

= .....ตรงนคอ EN39

=ลด กำาลง เทา ตอบผลหาร ส.ป.ส.

= = 4วธจรง =

=

=

=

=

=

วธลด = ทนท (ใชสตร GNM.)

โจทยหา == = 5.5

หมายเหต ขอ 17 น ผออกเลยนแบบมาจาก EN 47 ม.ค. ทออก Concept น18. ตอบ 3

f(3)

แทนได DIFF 3 x = 3 6

=

= 9a – 6a= 3a

= = 9a – 6a= 3a

ฟงกชนตอเนอง “3 กรอบ ตอบตองเทากน”

f(x) 6 = 3a = 3aa = 2

แทนคา f(x) = , x 3

f(x) = 4x , x 3

f(a) = f(2) = 8ตอบ

19. ตอบ 2

เสนตรง x + 4y = 10 มความชน = เสนทตงฉากความชน = 4

เสนโคง y = y =

หา m ณ จดใดๆ = เสนสมผสความชน = 4 = 4 = 2 (3x + 2)(x – 1) = 0x = 1,

ดงนน จดสมผสในควอดรนตท 1 คอ (1, 1)

สมการเสนสมผส มความชน 4ได : 4x – y + c = 0 ผาน (1, 1) c = –3

สมการ 4x – y – 3 = 0 ระยะตดแกน y (x = 0)

–y – 3 = 0 Y = –3

ตอบ

20. ตอบ 1หมายเหต ขอสอบ Calculus ปจจบนจะ

นยมออกผสมกบฟงกชน ประจำาเลยนะแนวคด จาก f(x) =

=จะได g(x) = =

f(x) + g(x) =f(1) + g(1) = =

21. ตอบ 2 แนวคด

รปแบบการ Integrate พนทออกทกปนะครบ

y =พนท A =

=

= สมการ A = หาคานอยสด

A = = 0

2a = –6a = –3

พนทนอยสด คดจาก a = –3ซงคอ A = = 7

ตอบ22. ตอบ 3 (หามตอบขอ 4 นะ) เรองนถงยงไมไดเรยน แตนองกอยาลม

อานไปนะ (เพราะเรองนชอบไปเปนขาแจมกบเรองอน) และโจทย หยบของเนย ออกทกปเลย ! แนวคด P (ไดสเดยวกน) = P(ไดส

ขาว 2) + P(ไดสแดง 2) + P(ไดสนำาเงน 2)===

23. ตอบ 4แนวคด เลอกเลข 4 ตวจาก 8 ตว

ทำาได = 70 วธเหตการณทผลคณของเลข 4 ตว

คณกนนอยกวา 0

และเปนจำานวนค คอ หยบไดเลขคทงหมด 4 ตว ซงม 1 วธ

ความนาจะเปน = (งายเนอะ)

24. ตอบ 3แนวคด หลายคนชอบทงความนาจะเปน

ทง ๆ ทขอน คอเรองเซตแท ๆ ให A = เหตการณทหลอดไฟฟา

หองนำาเสยB= เหตการณทหลอดไฟฟาในครว

เสยจาก P(AB)= P(A) + P(B) –

P(AB)P(AB) = 0.1 + 0.2 – 0.25

= 0.0525. ตอบ 2

ปรบตารางใหคนเคยกอนนะชวง f ความ

ถ

ตรงกบตำาแหนงท

=

Med ตรงกบตำาแหนงท

=

สะสม46 – 5556 – 6566 – 7576 – 8586 – 9596 – 105

4x y

1073

44 + x

4 + x + y

14 + x + y21 + x + y24 + x + y

24 + x + y

Note ขอนนอง ๆ ควรรวา ถาตำาแหนง Q,D,P ทจะหาพอดตำาแหนงสดทายของชนแลว

(วธลด) คา Q, D, P ของตำาแหนงชน = ขอบบน ไดเลย

= 65.5 บงเอน บงเอญ ตรงกบขอบบนของชน 56 – 65

ความถสะสม 4 + x =…………..(ลดเลย)

16 + 4x =24 + x + y

3x – y = 8……………

Med = 75.5 บงเอญตรงขอบบนชน 66 – 75 (เหมอนเดมเลย)

ความถสะสม 4 + x + y =

8 + 2x + 2y =24 + x + y

x + y =16 ……………แก และ ได x = 6, y = 10

N = 40 จำานวนตอไปหา ซงตรงกบตำาแหนง

ซงอยในชนท 4 (ตำาแหนงสดทายของชนอกแลว) ตรงขอบบน คอ = 85.5โจทยถาม สวนเบยงเบนควอไทล

Q.D. ===10 ตอบ

26. ตอบ 2แนวคด สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย =

แทนคา 1.2 == 12

ตอไปหา S.D. === 3

สมประสทธการแปรผน== = =

0.25

27. ตอบ 1

ลด จาก z ตางกน 1.96 – (–0.44) = 2.5

ซงกคอคะแนนตางกน 2.5 (SD) = 2.5 (10) = 25 คะแนน

คะแนนตางกน = พสย = 25

0.17 0.4750.33

SD=10

z = 1.96

5.47Pz = 1.44

33P

สตร 1. Z = ออกทกป2. พสย =

28. ตอบ 1 = ดชนราคาอยางงายแบบใชคาเฉลยราคาสมพทธป 47 และ 46 โดยเทยบกบป 45 (ปฐาน)

===111

==

โจทยบอกวา = 1 111 – =

1 333 – (0.05a + 200 ) =

3

แกหา a = = 2,200 ตอบตอนท 2 ขอ 1 – 8 เปนขอสอบแบบอตนย ขอละ 2 คะแนน1. ตอบ 15

ขอนถอวางายมาก ๆ หวงวา นอง ๆ คงจะทำากนไดนะครบ

มาดเซต A กน 0 เซต B 2 – x < 5

(x – 8) (x + 2) 0 x – 2 < 5

–5 < x – 2 < 5

–2 8 –3 < x < 7

ดงนนเซต A = [-2, 8] ดงนนเซต B = (-3, 7)

+ – +

a – b = b – a

นะจะ

– 3

– 2

8 AB

A – B 87

7

A – B = [7, 8] = [a, b]ดงนน a + b = 7 + 8 =

152. ตอบ 0.5

= อย == = 0.5 หมายเหต ปจจบนเรอง arc เนย ออก

En เปนประจำาดงนนนอง ๆ ควรเตรยมตวอานไว

เยอะ ๆ นะครบวธลด นอง ๆ ควรมความรวา

arcsin x + arccos xarcsec x + arccosec x

= arctan x + arccot x

ให A = arcsec 5 นำามาวาดเปนสามเหลยม

1สงเกตไดวา B = arccosec 5 A + B = 90

นนคอ arcsec 5 + arccosec 5 =

A

B5 24

ดงนน arcsec 5 + arccosec 5 = ทนท กจะเรวขน3. ตอบ 2

ขอนงายอกแลว (แรก part 2 คะแนน ไมอยากใจรายอะ)

วธจรง = 0 วธลด

= 199 + 9 – 64จดศนยกลางคอ

= 144 ดงนน = 0

= 1 จดศนยกลางคอ = (1, 2)

เปนไฮเปอรโบลามจดศนยกลางท (1, 2) และ นำาไปหา d = 2 เชนกน

ระยะทางสนทสด (ตงฉาก) จากจด (1, 2) ไปเสนตรง

3x + 4y – 21 = 0คอ = 2

4. ตอบ 18ให = A จะไดวา = จากโจทย 3

3 0 0 เนองจาก

A 0 0 (A – 2) (A – 1) 0 1 A < 2 1 2 , x

0 1 4 2 x 16เซตคำาตอบ (2, 16)

a, b คอคาขอบเขตบนนอยทสด และขอบเขตลางมากทสด a + b = 16 + 2 = 18

Note ขอสอบ En ระบบใหม นยมออก อสมการ log เปนอตนย 2 คะแนนบอย ๆ

พจงนำามาเกงไว 1 ขอ นะครบ

5. ตอบ 5จาก (2 – ) ( + 2 )

= 52 + 4 – 2 – 2 = 52 2 + 3 – 2 2 = 5

แทนคา + 3 – = 5

=5

จากสตร + 2 = 2 + 2 + 2 u

+ 2 = 5 + 2(5) + 10 + = 5

6. ตอบ 8

A = จะได เมตรกซของไมเนอรคอ Mij = …..จากการปดแถว_ปดหลกจะได เมตรกซของโคแฟคเตอรคอ Cij =……..จากการ(-1)I+j Mij

จะได เมตรกซผกพนธ Adj(A) =……..จากการ Transpose Cij

det (AdjA) = = =

det ( ) = =

-8+ 0 -40

0+ 24 -8

คณลง-คณขน =16 - -48 = 64

วธลด det (AdjA)= (detA)มต-1

= (8) 3 – 1 .....ลองหา detA เอง = 64

det ( ) = = เทากน

7. ตอบ 1.33parabola which Directrix y =

Vertex (0, 1) para eQuation is =

= – y + 1 Y =

Find the area covered by parabola & x – axis

A ==== = 1.33 Ans

(แปลออกปะ?)8. ตอบ 9.8 (หนวยพนลาน)

ขอนจดวางายมากอกขอ เพราะคดตรง ๆ เลย (เพยงแตนอง ๆ หลายคนไมไดอานมาเพราะเปนสถต ม.6)

พ.ศ.

x (ทอน

มลคา (y)

xy

คา)25422543254425452546

–2–1012

13459

–2–305

18

41014

สมการหลก y = mx + C (เสนตรง)

หา m , C จาก = 22=m(0) + 5C

= 18=m(10) + C(0) C = = 4.4 และ

m = = 1.8 สมการความสมพนธ y = 1.8x

+ 4.4

ป 2547 (x = 3) y = 1.8(3) + 4.4 = 9.8 (หนวยพนลาน)