پژوهش عملیاتی 2

2پژوهش عملیاتی

به نام خداوند دانا

R. BehmaneshKhorasgan branch

Operation Research (2)

ارائه حاالت خاص در روش سیمپلکس

R.H.S R S3 S2 S1 X2 X1 Max-4M 0 M 0 0 -3 -4-M Z3 0 0 0 1 1 1 S13 0 0 1 0 -1 2 S24 1 -1 0 0 0 1 R

-5M/2+6 0 M M/2+2 0 -M/2-5 0 Z3/2 0 0 -1/2 1 3/2 0 S13/2 0 0 1/2 0 -1/2 1 X15/2 1 -1 -1/2 0 1/2 0 R

-2M+11 0 M (M+1)/3 (M+10)/3 0 0 Z1 0 0 -1/3 2/3 1 0 X22 0 0 1/3 1/3 0 1 X12 1 -1 -1/3 -1/3 0 0 R

Max Z = 4x1+3x2s.t.

x1+x2 <=32x1-x2<=3x1>=4x1,x2>=0

عدم جواب موجه و بهینه

حضور یک یا چند متغیر اساسی مصنوعی با مقداری غیرصفر در جدول بهینه

ارائه حاالت خاص در روش سیمپلکس

R.H.S S2 S1 X2 X1 Max0 0 0 -2 -6 Z2 0 1 -1 2 S14 1 0 0 1 S2

6 0 3 -5 0 Z1 0 1/2 -1/2 1 X13 1 -1/2 1/2 0 S2

36 10 -2 0 0 Z4 1 0 0 1 X16 2 -1 1 0 X2

Max Z = 6x1+2x2s.t.

2x1-x2<=2x1<=4x1,x2>=0

منطقه موجه نامحدود

جواب بهینه نامحدود

وجود ستون منفی یا صفر برای یک متغیر غیراساسی )وجود ورودی و عدم وجود متغیر خروجی(

ارائه حاالت خاص در روش سیمپلکس

R.H.S S2 S1 X2 X1 Max0 0 0 2 -6 Z2 0 1 -1 2 S14 1 0 0 1 S2

6 0 3 -1 0 Z1 0 1/2 -1/2 1 X13 1 -1/2 1/2 0 S2

12 2 2 0 0 Z4 1 0 0 1 X16 2 -1 1 0 X2

Max Z = 6x1-2x2s.t.

2x1-x2<=2x1<=4x1,x2>=0

منطقه موجه نامحدود

جواب بهینه محدود

وجود ستون منفی یا صفر برای یک متغیر غیراساسی )در جدول بهینه(

ارائه حاالت خاص در روش سیمپلکس

R.H.S S2 S1 X2 X1 Max0 0 0 -20 -10 Z12 0 1 4 2 S18 1 0 2 2 S2

60 0 5 0 0 Z3 0 1/4 1 1/2 X22 1 -1/2 0 1 S2

60 0 5 0 0 Z2 -1/2 1/2 1 0 X22 1 -1/2 0 1 X1

Max Z = 10x1+20x2s.t.

2x1+4x2<=122x1+2x2<=8x1,x2>=0

جواب بهینه چندگانه

وجود ضریب صفر برای متغیر غیراساسی در جدول بهینه

ارائه حاالت خاص در روش سیمپلکس

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

R.H.S S2 S1 X2 X1 Max0 0 0 -9 -3 Z8 0 1 4 1 S14 1 0 2 1 S2

18 0 9/4 0 -3/4 Z2 0 1/4 1 1/4 X20 1 -1/2 0 1/2 S2

18 3/2 3/2 0 0 Z2 -1/2 1/2 1 0 X20 2 -1 0 1 X1

Max Z = 3x1+9x2s.t.

x1+4x2<=8x1+2x2<=4x1,x2>=0

جواب تبهگن

دائم : وجود مقدار صفر برای متغیر اساسی در ستون اعداد سمت راست )درجدول بهینه(

موقت : وجود مقدار صفر برای متغیر اساسی در ستون اعداد سمت راست )درجدول غیربهینه(

عامل تباهیدگی :وجود بیش از یک

یا وابستگی خروجی بردار سمت راست به یکی از ستونهای

ضرایب فنی

S2=0S1=0

S2>0S1=0

(0 , 0 , 8 , 4)`(0 , 2 ,0 , 0)`(0 , 2 , 0 , 0)`

مساله حمل و نقل

فصل چهارم

روشهای محاسبه جواب موجه ابتدایی

شMMمال 1 گوشMMه روش -غربی

سMMطر 2 حMMداقل روش -)ستون(

- روش حداقل هزینه3

- روش تخمین فوگل4

- روش راسل5

گامهای گوشه شمال غربی

- انتخاب خانه شمال غربی در جدول )ردیف اول – ستون اول(1

- تخصMیص کمMترین مقMدار عرضMه یMا تقاضMای مربوطMه بMه آن خانMه 2وکم کردن مقدار تخصیصی از عرضه و تقاضای مربوطه

- در صMورت صMفر شMدن تقاضMا در سMتون، بقیMه خانMه هMای آن 3سMتون بMرای محاسMبات مرحلMه بعMدی حMذف شMده و بMه سMمت راسMت حMرکت می کMنیم. و در صMورت صMفر شMدن عرضMه در سMطر، بقیMه خانMه هMای آن سMطر بMرای محاسMبات مرحلMه بعMدی حMذف شMده و بMه

اجMرای 4سمت پایین حرکت می کنیم. و قبMل مرحلMه در شMده تعMیین مقصMد خانMه انتخMاب -تقاضMا و عرضMه مقMادیر کلیMه زمانیکMه تMا سMوم و دوم گامهMای

تخصیص گردد.

مثالی از گوشه شمال غربی

عرضه C B A

400 1

300 2

100 3

800 140 300 360 تقاضا

15 12 24

7 8 15

27 18 21

360

0

4040 0

260

260

0

4040 0

100

100 0

0

گامهای حداقل سطر )ستون(

- انتخاب خانه با کمترین هزینه در سطر )ستون( اول1

- تخصMیص کمMترین مقMدار عرضMه یMا تقاضMای مربوطMه بMه آن خانMه 2وکم کردن مقدار تخصیصی از عرضه و تقاضای مربوطه

- در صMورت صMفر شMدن تقاضMا در سMتون، بقیMه خانMه هMای آن 3سMتون بMرای محاسMبات مرحلMه بعMدی حMذف می شMود. و در صMورت بMرای سMطر آن هMای خانMه بقیMه سMطر، در عرضMه شMدن صMفر

محاسبات مرحله بعدی حذف می گردد.- حMرکت بMه سMطر )سMتون( بعMدی و انتخMاب خانMه بMا کمMترین هزینMه 4

در آن سMطر )سMتون( و تکMرار گامهMای دوم و سMوم تMا رسMیدن بMه سطر )ستون( آخر

- اجMرای گامهMای اول تMا چهMارم تMا زمانیکMه کلیMه مقMادیر عرضMه و 5تقاضا تخصیص گردد.

مثالی از حداقل سطر

عرضه C B A

400 1

300 2

100 3

800 140 300 360 تقاضا

15 12 24

7 8 15

27 18 21

300

60

100300 40

0

40

0

060

0

40

100 0

0

گامهای حداقل هزینه

- انتخاب خانه با کمترین هزینه در کل جدول1

- تخصMیص کمMترین مقMدار عرضMه یMا تقاضMای مربوطMه بMه آن خانMه 2وکم کردن مقدار تخصیصی از عرضه و تقاضای مربوطه

- در صMورت صMفر شMدن تقاضMا در سMتون، بقیMه خانMه هMای آن 3سMتون بMرای محاسMبات مرحلMه بعMدی حMذف می شMود. و در صMورت بMرای سMطر آن هMای خانMه بقیMه سMطر، در عرضMه شMدن صMفر

محاسبات مرحله بعدی حذف می گردد.- اجMرای گامهMای اول تMا سMوم تMا زمانیکMه کلیMه مقMادیر عرضMه و 4

تقاضا تخصیص گردد.

مثالی از حداقل هزینه

عرضه C B A

400 1

300 2

100 3

800 140 300 360 تقاضا

15 12 24

7 8 15

27 18 21

300

60

100300 40

0

40

0

060

0

40

100 0

0

گامهای تخمین فوگل

آنهMا 1 اختالف محاسMبه و هزینMه کمMترین بMا خانMه دو انتخMاب -بعنوان جریمه برای سطر و ستون جدول

- تخصMیص کمMترین مقMدار عرضMه یMا تقاضMای مربوطMه بMه آن خانMه 4وکم کردن مقدار تخصیصی از عرضه و تقاضای مربوطه

- در صMورت صMفر شMدن تقاضMا در سMتون، بقیMه خانMه هMای آن 5سMتون بMرای محاسMبات مرحلMه بعMدی حMذف می شMود. و در صMورت بMرای سMطر آن هMای خانMه بقیMه سMطر، در عرضMه شMدن صMفر

محاسبات مرحله بعدی حذف می گردد.- اجMرای گامهMای اول تMا پنجم تMا زمانیکMه کلیMه مقMادیر عرضMه و 6

تقاضا تخصیص گردد.

- انتخMاب بیشMترین جریمMه و انتخMاب خانMه مربMوط بMه آن جریمMه بMا 3هزینه کمتر جهت تخصیص مقدار

- تکMرار گMام اول بMرای کلیMه سMطرها و سMتونهای جMدول حمMل و 2نقل

مثالی از تخمین فوگل

عرضه C B A

1

2

3

تقاضا

15 12 24

7 8 15

27 18 21

300

12

3300 3

6

40

6

0

60

1

4

100

3

8

6 3

12

3 3 3

360 300

300

400

140 800

100

600

340

0

40

40

0

0

0

گامهای بهبود جواب )روش پله سنگ(

- یMک خانMه خMالی )متغMیر غیراساسMی( را بMرای ارزیMابی انتخMاب 1کنید.

B وسMه رئMه بقیMه و بMیص یافتMالی عالمت +تخصMه خMه راس خانMب -به ترتیب +,-تخصیص می یابد.

- ارزش خانMه خMالی بMا جمMع جMبری هزینMه هMای هMر خانMه )رئوسMی 3یافتMه تخصMیص بMه عالمت توجMه بMا اسMت( پMر هMای خانMه در کMه

محاسبه میگردد.

A وس درMه رئMیرد و بقیMرار گMه منتخب قMیر در خانMک راس مسMی -خانه های پر )متغیر اساسی( قرار گیرد.

- برای خانه منتخب ، یک مسیر پله سنگ رسم کنید.2

گامهای بهبود جواب )روش پله سنگ(

- ارزش سMایر خانMه هMای خMالی طبMق گامهMای قبلی محاسMبه می 4اگMر همگی غMیرمنفی هسMتند بهینMه اسMتگMردد. در غMیر جMواب ،

اینصورت به گام بعدی بروید.

- مقMدار عMدد خMروجی از مقMادیر خانMه هMای رئMوس منفی کم شMده 7و بMه مقMادیر مثبت اضMافه می گMردد ولی خانMه هMایی کMه در راس

نیستند تغییر نمی کنند سپس جدول جدید تشکیل می شود.

- کلیه گامها مجددا در جدول جدید اجرا می گردد.8

- انتخMاب متغMیر خMروجی : در رئMوس منفی مسMیر، آن خانMه ای 6که کمترین مقدار تخصیص یافته را دارد انتخاب شود.

- انتخMاب متغMیر ورودی : آن خانMه خMالی را کMه دارای منفی تMرین 5ارزش محاسبه شده است انتخاب شود

مثالی از پله سنگ

عرضه C B A

250 1

300 2

200 3

750 320 240 190 تقاضا

22 21 24

18 19 21

30 32 36

190

40 210

200

110

2-B+19 -21

+24-21

1

3-C

-32 +36

-24+21

1

1-A-18 +21

-24+22

1

3-A

-24

+30

-18+21

+21

-32

-2

Z1=18010

Z2=18010+(-2)*(190)=17630

20

10

300

230

1

1

3

2

مثالی از مسیریابی پله سنگ

عرضه

G F E D C B A

100 1

80 2

70 3

50 4

110 5

90 6

500 55 65 30 130 20 140 60تقاض

ا

60 20

5

105

10

20 80

65

50

5

50 30

ارائه حاالت خاص در روش حمل و نقل

هنگامیکMه در مسMیر پلMه سMنگ در مرحلMه بهینMه سMازی : بیش از یMک خMروجی وجMود داشMته باشMد )تعMداد حMداقل عMدد یMک از بیش مسMیر، منفی رئMوس در تخصیصMی

باشد(.

تبهگن

: ابتMدایی جMواب موجMه در حین در مرحلMه هنگامیکMه تخصMیص عرضMه یMا تقاضMا بMه خانMه ای در جMدول، عرضMه )برابMر بMه صMفر برسMند و تقاضMای مربوطMه همزمMان

شوند(.

غMیر )متغMیر خMالی خانMه یMک حMداقل ارزش هنگامیکMه اساسی( صفر باشد.

بهینه چندگان

ه

ارائه حاالت خاص در روش حمل و نقل

: جواب موجه تبهگنابتدایی

عرضه C B A

150 1

200 2

70 3

420 100 170 150 تقاضا

15 12 24

7 8 15

27 18 21

150

0

00

170

170

0

3030 0

70

70 0

0

ارائه حاالت خاص در روش حمل و نقل

: بهینه سازی تبهگنجواب

عرضه C B A

50 1

150 2

125 3

325 50 125 150 تقاضا

6 8 2

1 4 9

10 2 3

100

50

75

50

50

+2-6

+1 -4

+2 -3

50

0

0

125

150

ارائه حاالت خاص در روش حمل و نقل

بهینه چندگانه

عرضه C B A

250 1

100 2

70 3

420 100 170 150 تقاضا

5 7 4

2 3 8

2 4 9

100150

70

100

0

1

0

8

8