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立命館大学理工学部機械工学科 流体力学II
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第1章 粘性流体
1.1 はじめに
流体力学Iではおもに粘性のない流体を扱った.流体力学IIでは粘性のある流体について学習し,運動方程式の導出,その近似解や厳密解について学習する.流体力学I,IIでは流体の圧縮性は考慮しないが,圧縮性流体については流体工学で学習する.
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物質温度t ℃
密度ρ g/cm3
粘性係数μ g/(cm・s)
空気01020
1.293 ×10-3
1.2471.205
1.710×10-4
1.7601.809
水01020
0.99980.99970.9982
1.792×10-2
1.3071.002
表1-1 空気と水の密度と粘性係数
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粘性係数の単位がg/(cm・s)となることを式
(1.1)から確かめよ。なお、g/(cm・s)はPで表さ
れポアズとよばれる。
また、粘性係数の単位はSI単位ではPa・sとな
ることも確かめよ。
考察2
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問題 1 流体を2枚の平行平板に挟み,上の平板を一定速度Uで動かすと流体の速度分布は図のように直線状になる(クェット流れとよばれる).このとき,平板の面積をSとすればいくらの力が平板にかかるか求めよ.
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1.2.1 オイラーの運動方程式
非粘性流体の運動方程式
(1 )1 .2xu u u Fu vt x y
pxρ
∂−
∂ ∂ ∂+
∂=+
∂+
∂ ∂
(1 )1 .3yv v v Fu vt x y
pyρ
∂−
∂ ∂ ∂+
∂=+
∂+
∂ ∂
圧力による加速度
外力による加速度
流体の加速度
1.2 ナビア・ストークス方程式
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1.2.2 せん断応力
τ τ µ
τ
τ
∂ ∂ = = + ∂ ∂ 軸に垂直な面に作用する応力の 成分
軸に垂直な面に作用する応力の 成分
(1.4)
::
xy yx
xy
yx
u vy x
x yy x
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1.2.4 ナビア・ストークス方程式の導出
図1-3 粘性力が作用する
x方向の力の成分を取り出すと,
ττ ∂∂∆ = +
∂ ∂ (1.6)
xyxxF dxdy dxdyx y
∆F
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ττ ∂∂∆ = +
∂ ∂ (1.6)xyxxF dxdy dxdyx y
µ∂ ∂
∆ = + ∂ ∂
2 2
2 2 (1.7)u uF dxdyx y
に以下の2式を代入すると
質量 の微小流体部分を加速させることに寄与dxdyρ
τ τ µ∂ ∂
= = + ∂ ∂ (1.4)xy yx
u vy x
τ µ τ µ∂ ∂
= =∂ ∂
2 , 2 (1.5)xx yyu vx y
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結局,粘性流体の運動方程式は
となる.同様にy方向の運動方程式は
νρ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2
2 21
(1.8)x
u u u p u uu v Ft x y x x y
νρ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2
2 21
(1.9)y
v v v p v vu v Ft x y y x y
粘性項
粘性項
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1.2.5 レイノルズ数
ナビア・ストークス方程式を三次元で表示すると以下のようになる. ν
ρ
νρ
νρ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = − + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = − + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = − + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
1
1
(1.
x
y
z
u u u u p u u uu v w Ft x y z x x y zv v v v p v v vu v w Ft x y z y x y z
w w w w p w w wu v w Ft x y z y x y z10)
これをベクトルで表すと以下のようになる.
21( grad) grad (1.11)ptv v v F vνρ
∂ + ⋅ = − + ∇∂
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この式の無次元化を行うことでレイノルズ数を導く.次元とは長さ,質量,時間の3つである.
代表長さを ,代表速度を とする.
このとき とおくと は次元を持たない.' 'L U
x Lx x=
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とおけば は無次元となる.
2
2
', ', ',',
( / ) ',',
/ '', ', ', ', ', ', '
x Lx y Ly z LzU
t L U tp U p
U Lx y z t p
v v
F Fv F
ρ
= = =====
これらを式(1.19)に代入すると
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2' 1( ' grad) ' ' grad ' ' (1.12)' pt Rev v v F v∂ + ⋅ = − + ∇∂
ここで
であり,レイノルズ数とよばれる重要な無次元パラメータである.
(1.13)ULRe ν=
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無次元化の利点
1.円柱周りの流れをコンピュータでシミュレートする場合,直径,流速,動粘性係数の3つがパラメータとなるが,運動方程式を無次元化することによりレイノルズ数のみをパラメータとすることができる.
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2.直径が1mの円柱を流速1m/sの水に置いたときにできる流れと,直径が2mの円柱を流速0.5m/sの水に置いたときにできる流れは相似である.
コンピュータを用いてシミュレートすればそれらの違いは全くない. 現実には多少の違いが生まれる(例えば流体の運動が重力の影響を受ける場合など).
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3.長さが20mのスペースシャトルの性能実験を行うときに,わざわざ実物大の模型を実験室に持ち込まなくても,長さが1mの小型模型で用が足りるのは,流体の運動に相似性があるためである.
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をレイノルズ数( )と言い,遷移を与える値を臨界レイノルズ数という.
Re/ud ν
レイノルズは が一定の値より大きくなると乱流への遷移が起きることを発見.
/ud ν
↑約2000
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レイノルズ数は流体の慣性力(運動量(流量))
と粘性力
との比を表す.
レイノルズ数の物理的意味
2 2
(1.14)U L ULRe ULρµ ν= =
2 2 2( )QU UL U U Lρ ρ ρ= =2U L ULLµ µ=
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問題2 速度30m/sで飛行する航空機の模型実験を流速10m/sの水槽で行う.このとき模型の大きさは実物の何倍にすればよいか.また,実験を流速100m/sの空気中で行う場合はどうか.ただし,空気,水の動粘性係数をそれぞれ
とする.
5 2
6 2
1.56 10 cm /s1.01 10 cm /s
νν
−
−
= ×= ×
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問題3 自動車事故の検証を行うために模型実験が行われることがある。自動車の運動の相似性を保証するために考慮すべきパラメータにはどのようなものがあるか考えてみよ。例えば車の大きさな
ど。
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恐竜がどのくらいの速度で走っていたのかを推測するために,運動の相似性が考慮された.このとき無次元パラメータとして
フルード数( )が用いられた.2 /( )U gl
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流体に作用する慣性力と重力の比で表される.
自由表面をもつ流れの模型実験の相似パラメーターとして用いられる.
フルード数
2 2 2
3Fr U L UgL gL
ρρ= =
テキストによっては もある.Fr UgL=