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衝突流体計算の計算手順玄田英典（東工大・ELSI）

完全流体の数値計算方法オイラー的解法・ラグランジュ的解法 iSALEではどう解いているのか？

弾性体、弾塑性流体 iSALEではどういう方程式系を解いているのか？

iSALE勉強会(2014年2月5日)

iSALEの歴史 SALE code 1980年 Amsden et al.

ニュートン流体（圧縮性粘性流体）衝撃波も扱える１種類の物質（ideal or stiffened gas) オイラーモードとラグランジュモード

SALE code 1992年 Melosh et al. 弾性・塑性モデル、破壊モデルの導入 Tillotson状態方程式の導入（一度に複数種類の物質を扱える）ラグランジュモードのみ

SALEB code 1997年 Ivanov et al. オイラーモード実装（自由表面・物質境界の扱い） ANEOSの導入弾性・塑性モデル、破壊モデルの改良

コードの並列化、空隙モデル、破壊モデルの改良などなどその後 iSALE code Collins, Wunnemann, Ivanov

ROCK Pressure-‐ and damage-‐dependent strength model for rock-‐like materials. DRPR Drucker-‐Prager Linear pressure-‐dependent strength model for granular material.

LUNDI Ludborg intact: Non-‐linear pressure-‐dependent strength model for intact rock.

LUNDD Lundborg damaged: Non-‐linear pressure-‐dependent strength model for intact rock.

VNMS Von Mises: Constant yield-‐strength model for ducFle materials.

JNCK Johnson and Cook: Strain and strain-‐rate dependent strength model for metals.

LIQU Liquid: Newtonian fluid model

HYDRO Hydrodynamic: Inviscid fluid model

iSALE manual p34

完全流体

iSALEの物質強度モデル

粘性流体

弾性・塑性体

破壊モデル（ダメージパラメータ）

Stop

Start

Read input parametersand echo to output file

Restore variables from dump fileif simulation is being restarted

Output data for processing and restart

Compute timestep size

Increment time and cycle number

Artificial viscous stress andAlternate node coupler

Deviatoric stresses

Body forces and pressure gradiants

Update energy and distension

Time to stop?

NoYes

Compute derived quantites

Update pressure, etc.

La

gra

ng

ian

ste

pC

ycle

ad

van

ceP

rob

lem

se

t-u

p

Cyc

le c

om

ple

tion

Generate mesh and setup cell and tracer variables

Allocate memory and decompose domain

Move tracer particles

Ve

loci

ty u

pd

ate

s

Lagrangian/ALE EulerianWhat type of calculation?

Compute new grid coordinates

Compute new cell volumes

Store lagrangian velocities

Compute grid velocities

Advect cell-centered quantities

Construct interfaces in cellswith multiple materials

Compute flux volumes

Compute cell-centered momenta

Update cell density and vertex masses

Update vertex velocities

Compute material velocityrelative to grid

Lagrangian

ALEWhat type of calculation?

iSALE manual p45

iSALE code 計算の流れ

基礎方程式（完全流体）１次元の場合 ∂Q

∂t+∂E∂x

= 0

Q =

ρ

ρue

!

"

####

$

%

&&&&

連続の式（質量保存則）運動方程式

（運動量保存則）エネルギー方程式（エネルギー保存則）

未知変数４つ（u,ρ,p,e)　方程式４つ必要

状態方程式 P = f ρ,e( )

E =ρu

ρu2 + peu+ pu

!

"

####

$

%

&&&&

数値解法（オイラー的解法）

∂Q∂t

+∂E∂x

= 0

∂Q∂t

=Qi

n+1 −Qin

Δt∂E∂x

=Ei+1n −Ei−1

n

2Δx

時間微分に対して前進差分

空間微分に対して中央差分

Qin+1 =Qi

n −Ei+1n −Ei−1

n

2Δx"

#$

%

&'Δt FTCS Scheme

(Forward in Time and Central difference in Space)

x

i i+1 i-1

Qi Ei

Qi+1 Ei+1

Qi-1 Ei-1

数値解法

∂u∂t+u∂u

∂x= −

1ρ∂p∂x

∂e∂t+u ∂e

∂x= −

Pρ∂u∂x

運動方程式（運動量保存則）

エネルギー方程式（エネルギー保存則）

∂ρ∂t+u∂ρ

∂x= −ρ

∂u∂x

基本方程式（別の形式）

連続の式（質量保存則）

DDt

≡∂∂t+u ∂

∂xラグランジュ微分

数値解法

DuDt

= −1ρ∂p∂x

DeDt

= −Pρ∂u∂x

運動方程式（運動量保存則）

エネルギー方程式（エネルギー保存則）

DρDt

= −ρ∂u∂x

基本方程式（ラグランジュ形式）

連続の式（質量保存則）

DDt

≡∂∂t+u ∂

∂xラグランジュ微分

数値解法（ラグランジュ的解法）

DuDt

= −1ρ∂p∂x

エネルギー方程式（運動量保存則）

格子点の移動 uin+1 −ui

n

Δt= −

1ρin

pi+1/2n − pi−1/2

n

Δx#

$%

&

'( xi

n+1 = xin +ui

nΔt

uin+1 = ui

n −2

ρi−1/2n + ρi+1/2

n

pi+1/2n − pi−1/2

n

Δx"

#$

%

&'Δt

x

i i+1 i-1

xi ui

i+1/2 i-1/2

ρi+1/2 pi+1/2

数値解法（iSALE-2D）ラグランジュモード

格子点の移動 xin+1 = xi

n +ui, jn Δt

i,j

x

i i+1 i-1

xi ui

i+1/2 i-1/2

ρi+1/2 pi+1/2

pi+1/2,j+1/2

yjn+1 = yj

n + vi, jn Δt

数値解法オイラー的解法（セミ・ラグランジュ）

iSALEのオイラーモードは実はセミ・ラグランジュ的な解法

cf. 入力パラメータファイル(asteroid.inp)のALE_MODEを選択する

x i i+1 i-1 step n step n+1 x

x remesh

人工粘性衝撃波（超音速の波）を捕捉するのに必要

∂u∂t+u∂u

∂x= −

1ρ∂(p+ q)∂x

運動方程式 q

q = −aρCs∂u∂xΔx + bρ ∂u

∂x$

%&

'

()Δx2

0

if ∂u∂x

< 0

if ∂u∂x

≥ 0

+

,--

.--

von Neumann-Richtmyer型の人工粘性

人工粘性 3.1 The iSALE hydrocode 48

0 2 4 6 8 10 12x (mm)

0

10

20

30

40

50

60

Pre

ssure

,P

(GPa)

a1 = 0.0; a2 = 0.0

a1 = 1.0; a2 = 0.0

a1 = 1.0; a2 = 0.1

a1 = 1.0; a2 = 0.2

a1 = 1.0; a2 = 0.5

Figure 3.4: The effect of artificial viscosity on the shock pressure field. Asimple planar impact simulation from iSALE shows that by increasing theconstants a1 and a2, the oscillations are dampened. However, in doing so,the shock is smeared over a number of cells. For example, for a1 = 1.0 anda2 = 0.5, no oscillations exist, but the shock front is smoothed out over > 10computational cells. A balance must be struck between removing oscillationsand how far the shock is smoothed out.

region over which the shock is smoothed and the number and size of theoscillations after the shock. The effect of changing these constants is shownin Figure 3.4. It is usually prudent to experiment with a1 and a2 whenrunning a simulation of a specific impact event to find a suitable balance forthe needs of the calculation. Ideally, the shock front should be smoothedover as few cells as possible (i.e. it should be as sharp as possible), whilststill suppressing any oscillations.

3.1.6 Initial and boundary conditions

For iSALE simulations of collisions between planetesimals, all material inthe planetesimals is assigned an initial velocity according to the desired rel-ative collision velocity. All other cells are vacuum, and hence no velocity is

From Davison (PhD thesis)








iSALE manual p34

完全流体


粘性流体

弾性・塑性体


弾性体モデル

DuDt

= −1ρ∂p∂x

運動方程式（完全流体）

DuiDt

=1ρ

∂σ ij

∂xi 応力テンソル

σ ij = Kεkkδij + 2G εij −13εkkδij

"

#$

%

&'

構成方程式 εij : ひずみ

G = 3K 1− 2ν2 1+ν( )

体積弾性率せん断弾性率 iSALEではポアソン比を入力パラメータとして与える

運動方程式（弾性体）

σ ij = −pδij + sij圧力は状態方程式から計算

εij =12

∂si∂x j

+∂sj∂xi

"

#$$

%

&''

弾性体モデル

σ ij = −pδij + sijDuiDt

=1ρ

∂σ ij

∂xi

sij = 2G εij −13εkkδij

"

#$

%

&'

dsijdt

= 2G εij −13εkkδij

"

#$

%

&'

εij =12∂vi∂x j

+∂vj∂xi

"

#$$

%

&''

εij =12

∂si∂x j

+∂sj∂xi

"

#$$

%

&''

sijn+1 = sij

n +dsij

n

dtΔt

運動方程式（弾性体）構成方程式

sijの時間微分を使う

偏差応力テンソル

塑性体モデル応力不変量(J2)がある値（降伏応力Yの２乗）以上になったら塑性的に振る舞う

s

n+1

ij

= s

n

ij

+ 2G ✏̇ij

�t

G �t

G K

G (p) = 3K (p)

1� 2⌫

2(1 + ⌫)

K (p) ⌫

⌫ =

3K � 2G

2(3K + G )

,

0.1 < ⌫ < 0.4

Y

pJ

2

J

2

J

2

= � (s

xx

s

yy

+ s

yy

s

zz

+ s

zz

s

xx

) + s

2

xy

+ s

2

yz

+ s

2

zx

J

2

=

1

2

�s

2

xx

+ s

2

yy

+ s

2

zz

�+ s

2

xy

+ s

2

yz

+ s

2

zx

J

2

=

1

6

�(s

xx

� s

yy

)

2

+ (s

yy

� s

zz

)

2

+ (s

zz

� s

xx

)

2

�+ s

2

xy

+ s

2

yz

+ s

2

zx

J

2

=

1

6

�(s

1

� s

2

)

2

+ (s

2

� s

3

)

2

+ (s

3

� s

1

)

2

�

J

2

=

1

2

�s

2

1

+ s

2

2

+ s

2

3

�

J

2

=

1

6

�(�

1

� �2

)

2

+ (�2

� �3

)

2

+ (�3

� �1

)

2

�

J

2

=

1

6

�(�

xx

� �yy

)

2

+ (�yy

� �zz

)

2

+ (�zz

� �xx

)

2

�+ �2

xy

+ �2

yz

+ �2

zx

�ij

�k

s

ij

s

k

J

2

=

1

6

�(s

xx

� s

yy

)

2

+ (s

yy

� s✓)2

+ (s✓ � s

xx

)

2

�+ s

2

xy

pJ

2

YpJ

2

= Y Y /p

J

2

Y

Y = Y

d

D + Y

i

(1.� D)

D

Y

d

Y

d

= min(Y

d0

+ µd

p,Y

dm

)

p Y

i

Y

i

= Y

i0

+

µi

p

1 +

µi

p

Y

im

�Y

i0

Y

i0

µi

Y

im

Y

d0

µd

Y

dm

Y

Y = min(Y

0

+ µp,Y

m

)

p

Y

0

µY

m

σ ij = −pδij + sij ×YJ2

J2 >Y の時、








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完全流体


粘性流体

弾性・塑性体


ROCK Pressure-‐ and damage-‐dependent strength model for rock-‐like materials. DRPR Drucker-‐Prager Linear pressure-‐dependent strength model for granular material. LUNDI Ludborg intact: Non-‐linear pressure-‐dependent strength model for intact rock. LUNDD Lundborg damaged: Non-‐linear pressure-‐dependent strength model for intact rock. VNMS Von Mises: Constant yield-‐strength model for ducFle materials.


iSALE manual p34

降伏応力モデル

降伏応力(Y)一定モデル

降伏応力(Y)の圧力依存性（線形）

降伏応力(Y)の圧力依存性（非線形）

降伏応力(Y)の圧力依存性（非線形）

降伏応力(Y)のひずみ・ひずみ速度依存性

降伏応力(Y)のダメージパラメータ依存性 Y = YdD + Yi(1-D)

Stop

Start

Read input parametersand echo to output file

Restore variables from dump fileif simulation is being restarted

Output data for processing and restart

Compute timestep size

Increment time and cycle number

Artificial viscous stress andAlternate node coupler

Deviatoric stresses

Body forces and pressure gradiants

Update energy and distension

Time to stop?

NoYes

Compute derived quantites

Update pressure, etc.

La

gra

ng

ian

ste

pC

ycle

ad

van

ceP

rob

lem

se

t-u

p

Cyc

le c

om

ple

tion

Generate mesh and setup cell and tracer variables

Allocate memory and decompose domain

Move tracer particles

Ve

loci

ty u

pd

ate

s

Lagrangian/ALE EulerianWhat type of calculation?

Compute new grid coordinates

Compute new cell volumes

Store lagrangian velocities

Compute grid velocities

Advect cell-centered quantities

Construct interfaces in cellswith multiple materials

Compute flux volumes

Compute cell-centered momenta

Update cell density and vertex masses

Update vertex velocities

Compute material velocityrelative to grid

Lagrangian

ALEWhat type of calculation?

iSALE manual p45

iSALE code 計算の流れ

衝突流体計算の計算手順 - 日本惑星科学会impact/wiki/isale/?c=plugin;...1980年 sale...

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