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中部ＣＡＥ流体力学基礎講座 (第 5回)

速度・圧力を用いた二次元粘性流れの数値計算法

牛島　達夫

[email protected]

名古屋工業大学大学院工学研究科機能工学専攻

中部ＣＡＥ流体力学講座　 2009年 9 月 26 日 – p.1/39

本日の内容

1. 基礎方程式

2. ＭＡＣ法

3. スタッガード格子

4. 方程式の離散化

5. キャビティ流れ

6. プログラム演習１（午前の部終わり）

7. 角柱周りの流れ

8. プログラム演習２（午後の部終わり）


基礎方程式

∂u∂x+∂v

∂y= 0 (1)

∂u∂t+ u∂u∂x+ v∂u∂y= −∂p∂x+

1Re

(

∂2u∂x2+∂2u∂y2

)

(2)

∂v

∂t+ u∂v

∂x+ v∂v

∂y= −∂p∂y+

1Re

(

∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)

(3)

Re =U0L0

ν(4)

ここで，速度 (u, v)，圧力 pは代表長さ L0および代表速度U0

で既に無次元化してある．


勾配型と発散型

∂u∂t+∂u2

∂x+∂uv∂y= −∂p∂x+

1Re

(

∂2u∂x2+∂2u∂y2

)

(5)

∂v

∂t+∂uv∂x+∂v2

∂y= −∂p∂y+

1Re

(

∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)

(6)

移流項について，前ページの表現は勾配型，本ページの表現

は発散型と呼ばれる．ここでは，後者の表現を用いて，式の

展開を進めていく．


勾配型と発散型

∂u2

∂x+∂uv∂y= u∂u∂x+∂u∂x

u + u∂v

∂y+∂u∂yv = u

∂u∂y+ v∂u∂y

(7)

なぜならば，連続の式より

∂u∂x+∂v

∂y= 0 (8)

演習

∂uv∂x+∂v2

∂y= u∂v

∂x+ v∂v

∂y(9)

となることを確かめよ．


圧力のPoisson方程式の導出

∂

∂x

(

∂u∂t

)

+∂

∂x

(

∂u2

∂x

)

+∂

∂x

(

∂uv∂y

)

= −∂

∂x

(

∂p∂x

)

+∂

∂x

(

1Re

(

∂2u∂x2+∂2u∂y2

))

(10)

∂

∂y

(

∂v

∂t

)

+∂

∂y

(

∂uv∂x

)

+∂

∂y

(

∂v2

∂y

)

= −∂

∂y

(

∂p∂y

)

+∂

∂y

(

1Re

(

∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

))

(11)


圧力のPoisson方程式の導出

∂D∂t+∂

∂x

(

∂u2

∂x+∂uv∂y

)

+∂

∂y

(

∂uv∂x+∂v2

∂y

)

= −

(

∂2p∂x2+∂2p∂y2

)

+1

Re

(

∂2D∂x2+∂2D∂y2

)

(12)

ここで，

D =∂u∂x+∂v

∂y(13)

連続の式からこれは0になるはずだが，数値計算では必ず誤

差が生じるのでこの項を修正項として残しておく．


基礎方程式 (Mark and Cell(ＭＡＣ)法)

∂u∂t+∂u2

∂x+∂uv∂y= −∂p∂x+

1Re

(

∂2u∂x2+∂2u∂y2

)

(14)

∂v

∂t+∂uv∂x+∂v2

∂y= −∂p∂y+

1Re

(

∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)

(15)

∂D∂t+∂

∂x

(

∂u2

∂x+∂uv∂y

)

+∂

∂y

(

∂uv∂x+∂v2

∂y

)

= −

(

∂2p∂x2+∂2p∂y2

)

+1

Re

(

∂2D∂x2+∂2D∂y2

)

(16)


ＭＡＣ法 (つづき)

MAC法の要点は式 (14)，(15)，(16)を連立して，u，v，pを求めることと，式 (16)の時間微分を工夫して，時間積分した結果が常に近似的に 0になるようにすることところである．具体的には nステップから n + 1ステップへの差分近似を次のように表す．

Dn+1− Dn

∆t+∂

∂x

(

∂(u2)n

∂x+∂(uv)n

∂y

)

+∂

∂y

(

∂(uv)n

∂x+∂(v2)

n

∂y

)

= −

(

∂2pn+1

∂x2+∂2pn+1

∂y2

)

+1

Re

(

∂2Dn

∂x2+∂2Dn

∂y2

)

(17)

ここで，上付添字 nは n番目の時間ステップを意味する．



(

∂2

∂x2+∂2

∂y2

)

pn+1

=Dn

∆t−

∂

∂x

(

∂(u2)n

∂x+∂(uv)n

∂y

)

−

∂

∂y

(

∂(uv)n

∂x+∂(v2)

n

∂y

)

+1

Re

(

∂2Dn

∂x2+∂2Dn

∂y2

)

(18)

ここでは pの添字に n + 1番目のDを 0にするといった意味

で n + 1とした．



速度についても同様に時間微分を前進差分で近似すると，

un+1 = un + ∆t

{

−

∂(u2)n

∂x−

∂(uv)n

∂y−

∂pn+1

∂x+

1Re

(

∂2

∂x2+∂2

∂y2

)

un

}

(19)

vn+1 = vn + ∆t

{

−

∂(uv)n

∂x−

∂(v2)n

∂y−

∂pn+1

∂y+

1Re

(

∂2

∂x2+∂2

∂y2

)

vn}

(20)

となり，(un, vn, pn+1)から (un+1, vn+1)が求められる．


Ｓ (implified)ＭＡＣ法

圧力のPoisson方程式を解くにはSOR法のような反復法を用いる．Poisson方程式の右辺が非常に複雑なので，この複雑さを取り除くために次のように，速度の予測を多段化する．すなわち，予測段として，

uP = un + ∆t

{

−

∂(u2)n

∂x−

∂(uv)n

∂y−

∂pn

∂x+

1Re

(

∂2

∂x2+∂2

∂y2

)

un

}

(21)

vP = vn + ∆t

{

−

∂(uv)n

∂x−

∂(v2)n

∂y−

∂pn

∂y+

1Re

(

∂2

∂x2+∂2

∂y2

)

vn}

(22)

を考える．


ＳＭＡＣ法 (つづき)

また修正段として，

un+1 = uP− ∆t∂φ

∂x(23)

vn+1 = vP − ∆t∂φ

∂y(24)

pn+1 = pn + φ (25)

ここでは φは補正圧力．


ＳＭＡＣ法 (つづき)

∂un+1

∂x=∂uP

∂x− ∆t

∂

∂x

(

∂φ

∂x

)

(26)

∂vn+1

∂y=∂vP

∂y− ∆t

∂

∂y

(

∂φ

∂y

)

(27)

pn+1 = pn + φ (28)

Dn+1 = 0より，pn+1の替わりに φのPoisson方程式，(

∂2

∂x2+∂2

∂y2

)

φ =1∆t

DP (29)

この講義ではSMAC法を採用して，プログラムを作っていく．


ＳＭＡＣ法 (終わり)

演習：SMAC法とMAC法が等価であることを確認せよ


スタッガード格子

pi, j

vi, j+ 12

vi, j− 12

ui− 12 , j

ui+ 12 , j

i − 32 i − 1 i − 1

2 i i + 12 i + 1 i + 3

2

j − 32

j − 1

j − 12

j

j + 12

j + 1

j + 32

利点

� 圧力差がその方向の速度を決めることになり，NS方程式の構造を自然に表現できている．

� 解の振動を防ぐことができる．


方程式の離散化

式 (21)に対して，ui+ 12 , jを中心に移流項と拡散項を離散化す

る．移流項については，多くの教科書では一次精度の上流差

分を手始めに紹介し，サンプルプログラムを載せているが，

この方法はいくら精度を上げても離散化の方法の上で数値粘

性と無縁ではない．そこで，以下では二次精度の中心差分を

用いる．この離散化では数値粘性の問題は発生しない．拡散

項については，従来通り，二次の中心差分を施す．


方程式の離散化 (ui+ 12 , j

)

[

∂u2

∂x+∂uv∂y

]

i+ 12 , j

=(u2)i+1, j − (u2)i, j

∆x+

(uv)i+ 12 , j+

12− (uv)i+ 1

2 , j−12

∆y

=1∆x

(ui+ 32 , j+ ui+ 1

2 , j

2

)2

−

(ui+ 12 , j+ ui− 1

2 , j

2

)2

+1∆y

{ui+ 12 , j+1 + ui+ 1

2 , j

2

vi+1, j+ 12+ vi, j+ 1

2

2

−

ui+ 12 , j−1 + ui+ 1

2 , j

2

vi+1, j− 12+ vi, j− 1

2

2

}

(30)


方程式の離散化 (ui+ 12 , j

)

[(

∂2

∂x2+∂2

∂y2

)

u

]

i+ 12 , j

=ui− 1

2 , j− 2ui+ 1

2 , j+ ui+ 3

2 , j

∆x2+

ui+ 12 , j−1 − 2ui+ 1

2 , j+ ui+ 1

2 , j+1

∆y2(31)

よって，

uPi+ 1

2 , j= un

i+ 12 , j+ ∆t

{

−

pni+1, j − pn

i, j

∆x

−

[

∂(u2)n

∂x+∂(uv)n

∂y

]

i+ 12 , j

+1

Re

[(

∂2

∂x2+∂2

∂y2

)

un

]

i+ 12 , j

(32)


方程式の離散化 (vi, j+ 12)

[

∂uv∂x+∂v2

∂y

]

i, j+ 12

=(uv)i+ 1

2 , j+12− (uv)i− 1

2 , j+12

∆x+

(v2)i, j+1 − (v2)i, j

∆y

=1∆x

{ui+ 12 , j+ ui+ 1

2 , j+1

2

vi, j+ 12+ vi+1, j+ 1

2

2

−

ui− 12 , j+ ui− 1

2 , j+1

2

vi−1, j+ 12+ vi, j+ 1

2

2

}

+1∆y

(

vi, j+ 12+ vi, j+ 3

2

2

)2

−

(

vi, j− 12+ vi, j+ 1

2

2

)2

(33)


方程式の離散化 (vi, j+ 12)

[(

∂2

∂x2+∂2

∂y2

)

v

]

i, j+ 12

=vi−1, j+ 1

2− 2vi, j+ 1

2+ vi+1, j+ 1

2

∆x2+vi, j− 1

2− 2vi, j+ 1

2+ vi, j+ 3

2

∆y2(34)

よって，

vPi, j+ 1

2= vn

i, j+ 12+ ∆t

{

−

pni, j+1 − pn

i, j

∆y

−

[

∂(uv)n

∂x+∂(v2)

n

∂y

]

i, j+ 12

+1

Re

[(

∂2

∂x2+∂2

∂y2

)

vn]

i, j+ 12

(35)


Poisson方程式の離散化 (φi, j)

φn+1i−1, j − 2φn+1

i, j + φn+1ii+1, j

∆x2+φn+1

i, j−1 − 2φn+1i, j + φ

n+1i, j+1

∆y2=

1∆t

DPi, j

(36)

DPi, j =

uPi+ 1

2 , j− uP

i− 12 , j

∆x+

vPi, j+ 1

2

− vPi, j− 1

2

∆y(37)


速度および圧力の修正段

un+1i+ 1

2 , j= uP

i+ 12 , j− ∆tφi+1, j − φi, j

∆x(38)

(

un+1i− 1

2 , j= uP

i− 12 , j− ∆tφi, j − φi−1, j

∆x

)

(39)

vn+1i, j+ 1

2= vP

i, j+ 12− ∆tφi, j+1 − φi, j

∆y(40)

(

vn+1i, j− 1

2= vP

i, j− 12− ∆tφi, j − φi, j−1

∆y

)

(41)

pn+1i, j = pn

i, j + φi, j (42)


連続の式

Dn+1i, j =

un+1i+ 1

2 , j− un+1

i− 12 , j

∆x+

vn+1i, j+ 1

2

− vn+1i, j− 1

2

∆y= 0 (43)

と表される．

演習：式 (43)に式 (38)-(41)を代入すると φの離散化された

Poisson方程式 (式 (36))になる (受講者はこれを各自で確認

すること)．


計算手順のまとめ

計算手順まとめ1.予測速度の計算 (式 (32)，(36))2.予測速度をもとに補正圧力 φの計算 (式 (36))3.速度および圧力の修正 (式 (38)，(40)，(42))4.1へ戻る．

プログラムでは，配列に分数をとることができないので，上記の分数に 1/2を減算した場所に値を記憶させる．


キャビティ流れ

前回の講義でも取り扱った正方キャビティ流れについてSMAC法で計算して見よう．計算領域は図に示した通りである．無次元化は上側移動壁の速度Uと正方キャビティの一辺の長さ Lで行った．

U

L

L

正方キャビティ内の流れの計算領域


初期条件と境界条件

u，vの境界条件

u = 1, v = 0 移動壁上 (44)

u = 0, v = 0 左側壁，右側壁，下壁 (45)

pの境界条件

∂p∂x= 0 垂直 (左右)壁 (46)

∂p∂y= 0 水平 (上下)壁 (47)

u, vの初期条件

u = 0, v = 0 領域内 (48)中部ＣＡＥ流体力学講座　 2009年 9 月 26 日 – p.27/39

離散点での境界条件 (Nx × Ny)

上移動壁；

ui+ 12 ,Ny+1 = 2− ui+ 1

2 ,Ny(49)

vi,Ny+ 12= 0 (50)

φi,Ny+1 = φi,Ny (51)

下固定壁；

ui+ 12 ,0= −ui,1 (52)

vi, 12= 0 (53)

φi,0 = φi,1 (54)

左固定壁；

u 12 , j= 0 (55)

v0, j+ 12= −v1, j+ 1

2(56)

φ0, j = φ1, j (57)

右固定壁；

uNx+12 , j= 0 (58)

vNx+1, j+ 12= −vNx, j+ 1

2(59)

φNx+1, j = φNx, j (60)

左下角

φ1,1 = 0 (61)中部ＣＡＥ流体力学講座　 2009年 9 月 26 日 – p.28/39

計算結果 (Re = 1)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1


計算結果

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1


プログラミング演習１

演習：前回と今回の計算結果を比較せよ．境界条件やReを変更し，計算してみよ．


２次元角柱周りの流れ

2L

10L

2L

2L

L5L

U

Figure 2: 角柱周りの流れの計算領域


初期条件と境界条件

上側境界；

u = 1, v = 0,∂p∂y= 0 (62)

下側境界；

u = 1, v = 0,∂p∂y= 0 (63)

右側 (下流側)境界；

∂u∂x= 0,∂v

∂x= 0, p = 0 (64)

左側 (上流側)境界；

u = 1, v = 0,∂p∂x= 0 (65)

初期条件

u = 1, v = 0, p = 0 上，下，左側境界上 (66)

u = 0, v = 0, P = 0 残りの計算領域 (67)


境界の近似的な取り扱い方

障害物境界での境界条件，ここでは，着目したセル内の障害物が占める割合をαi, jとす

ると，修正された速度を更に

un+1i, j = uP

i, j(1− αi, j) (68)

と補正して，数値計算を継続する．障害物の中では，u = 0，流体中では，数値計算で得られた速度がそのまま用いられ，境界を含むセルでは境界の割合で一次補間とし，セル内での境界面の正確な位置は問わないことにする．こうして，格子を境界に合わせなくても直交格子内で近似的に色々な形状の障害物の周りの流れに対応できる．


角柱障害物境界近傍での速度定義点での固体占有率αi, j

0

0 0 0 0

0

0

0

0

0000

0

0

0 1

1 1

1

11

1

0.5

0.5 0.5

0.5

0.5

0.50.5

0.5 1

Mx − 1 MxM′x M′x + 1

My − 1

My

M′y

M′y + 1αi+ 1

2 , j= 0.5 角柱上流面，下流面上

(69)

αi, j+ 12= 0.5 角柱上面，下面上

(70)

α∗,∗ = 1.0 角柱内部

(71)

α∗,∗ = 0.0 角柱外部

(72)


計算結果（Re = 1）

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

Figure 3: 角柱周りの流れ (Re = 1)．左，渦度分布 (等値線間

隔は 0.005))；右，流線図 (等値線間隔は 0.25)．



0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

Figure 4: 角柱周りの流れ (Re = 200)．下段は上段の t = 0.25

後の計算結果．左，渦度分布 (等値線間隔は0.005))；右，流

線図 (等値線間隔は 0.25)．中部ＣＡＥ流体力学講座　 2009年 9 月 26 日 – p.37/39


0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

Figure 5: 角柱周りの流れ (Re = 200)．下段は上段の t = 0.25

後の計算結果．左，渦度分布 (等値線間隔は0.005))；右，流

線図 (等値線間隔は 0.25)．中部ＣＡＥ流体力学講座　 2009年 9 月 26 日 – p.38/39

プログラミング演習２

演習，任意の形の形状 (例えば３角柱)を考え，αを推算してみよう．ただし，流れに垂直な方向の幅 (高さ)は１のままに保つ．次にそれを使って，その周りの流れを計算してみよう．同じレイノルズ数の角柱の場合とどのように流れが異なるか (カルマン渦の放出の様子など)を比較してみよう．

さらに内部障害物の形状を変更して，同様の計算を行ってみよ

う．計算結果を比較して，カルマン渦放出の変化を調べよう．


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