Con mucho cariño parami hija Fabiola y

mi esposa Jacqueline

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CONTENIDO

CONTENIDO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 5

PRÓLOGO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 9

CAPÍTULO 1Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Espacio de los vectores enR

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Componente de un vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Representación de un vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Multiplicación por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.5 Vectores unitarios y base cartesiana . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Producto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Delta de Kronecker y símbolo de Levi-Civita . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.1 Algunas identidades geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.2 Derivada de una función vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6.3 Vector tangente y longitud de una curva . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.4 Vectores rotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

CAPÍTULO 2Leyes de Newton. Dinámica elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Vectores posición, velocidad y aceleración de una partícula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1 Principio de relatividad de Galileo. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Principio de conservación del momento lineal. Concepto de masa. . . . . . . . . . 29

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CONTENIDO

2.2.3 Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 302.2.4 Principio de sumación de fuerzas. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.5 Ley de acción y reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Fuerza neta sobre un sistema de partículas . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Integración de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1 Fuerza constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 Fuerza que depende explícitamente del tiempo . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.3 Fuerza que depende de la velocidad (una dimensión) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.4 Fuerza que depende de la posición (una dimensión) . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.5 Resortes ideales. El oscilador armónico simple. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.6 Oscilaciones armónicas amortiguadas . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.7 Oscilador armónico forzado (fuerza excitadora sinusoidal). . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 Fuerzas reactivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.1 Fuerza de roce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 402.5.2 Cuerdas y poleas ideales. Tensión en la cuerda . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

CAPÍTULO 3Sistemas no inerciales. Coordenadas curvilíneas . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1 Derivada temporal de un vector. El vector velocidad angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Coordenadas cilíndricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 Velocidad en coordenadas cilíndricas y esféricas . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5 Movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.6 Transformación de velocidades y aceleraciones . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.7 Vectores intrínsecos a una curva. Triedro de Frenet . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.8 Coordenadas curvilíneas generalizadas . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.9 Elementos infinitesimales de longitud, área y volumen . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

CAPÍTULO 4Trabajo y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1 Trabajo y energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2 Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3 Fuerzas conservativas y energía potencial . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4 Problemas unidimensionales conservativos. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

CAPÍTULO 5Dinámica de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

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CONTENIDO

5.1 Centro de masa y momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2 Sistemas con masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3 Momento angular y torque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1015.4 Equilibrio estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1035.5 Energía cinética de un sistema de partículas . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1055.6 Energía y energía potencial de un sistema de partículas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1065.7 Problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1095.8 Choque entre dos partículas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1115.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

CAPÍTULO 6Fuerzas centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.1 Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1196.1.1 Momento angular con respecto al centro de masa . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .1206.1.2 Movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .1216.1.3 Potencial efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

6.2 Ecuación diferencial para la trayectoria . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1226.3 Ecuación integral para la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1246.4 Estudio de las órbitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

6.4.1 Diagramas de potencial efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .1266.4.2 Órbitas circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1276.4.3 Simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .1296.4.4 Teorema virial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .130

6.5 Leyes de Kepler del movimiento planetario . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1316.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

CAPÍTULO 7Movimiento plano de un cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.1 Velocidad angular y grados de libertad de un cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1377.2 Momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

7.2.1 Teorema de la figura plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .1407.2.2 Teorema de Steiner (o de los ejes paralelos) . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .140

7.3 Energía de un cuerpo rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1427.4 Eje instantáneo de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1447.5 Ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1477.6 Aceleración de los puntos en el eje instantáneo de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1507.7 Poleas con masa y roce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1537.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

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CONTENIDO

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

ÍNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 167

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PRÓLOGO

Este libro fue diseñado como un libro de texto para un curso demecánica clásica, a nivelintermedio. Está dirigido a estudiantes universitarios que estén finalizando su segundo año deestudios. El estudiante que utilice el libro debe tener conocimientos de cálculo íntegro-diferencialy poseer al menos conocimientos rudimentarios de cómo resolver las ecuaciones diferencialesmás sencillas. A pesar de que es preferible que el lector hayatomado previamente los cursoselementales de física, el libro es autocontenido en cuanto alas ideas físicas que maneja y no hacereferencia a los conocimientos previos de física del estudiante.

Aunque el libro se preparó teniendo en mente que fuese útil para estudiantes de la licenciaturaen Física, también puede ser provechoso para estudiantes deingeniería y otras carreras afines.

El texto contiene material suficiente para un curso de 12 semanas de 5 a 6 horas semanales. Unaadecuada distribución del tiempo en una semana podría ser de4 horas de teoría y 2 de problemas.El libro contiene numerosos problemas propuestos, la mayoría de los cuales están guiados y po-drían servir para tareas semanales. En el texto también se encontrarán algunos ejemplos resueltospara ilustrar determinados puntos.

Existen varios aspectos a resaltar en este texto. Se utilizauna notación precisa para dar claridada la exposición y evitar las ambigüedades, notación que seráde utilidad al estudiante en sus cursosavanzados de mecánica clásica. A pesar de ser un libro para uncurso introductorio a la mecánica,se ha cuidado la rigurosidad en la presentación de las ideas físicas. Desde el principio y a lo largode todo el libro, se hace hincapié en el carácter inercial o general del marco de referencia en elcual se encuentra escrita cada ecuación y, de ser necesario,se muestra cómo se altera la ecuaciónal cambiar de marco de referencia. En el libro se hace un uso intensivo del lenguaje vectorial, quees fundamental en física.

El primer capítulo es una introducción al álgebra vectorial. Al final de ese capítulo se trata concurvas orientadas y vectores rotantes.

En el capítulo dos se introducen las leyes de Newton, no en su forma original sino de unamanera más moderna. Luego se estudian los problemas elementales de física de una partícula, quesuelen tratarse en un primer curso de física básica.

El capítulo tres trata con sistemas no inerciales y coordenadas curvilíneas, y se introduce prontoel concepto de velocidad angular relativa entre dos marcos de referencia. Se estudian con deteni-miento los vectores intrínsecos de una curva (triedro de Frenet) y se introducen los conceptos deelementos infinitesimales de longitud, área y volumen.

El capítulo cuatro está dedicado al trabajo y a la energía para el caso de una partícula. Seintroducen en ese capítulo los operadores diferenciales: gradiente, rotor y divergencia. Al final se

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PRÓLOGO

estudian los gráficos de energía potencial para el caso unidimensional.El capítulo cinco está dedicado a los sistemas de partículas. Se hace un tratamiento completo

y no usual de los sistemas de masa variable. Se introduce el momento angular y el torque. Sehace un estudio detallado de la energía de un sistema de partículas y se define el problema de doscuerpos.

En el capítulo seis se estudia con detalle el movimiento de dos partículas que interactúan pormedio de fuerzas centrales. Se obtienen las ecuaciones de movimiento y de la trayectoria. Seanalizan características de las órbitas y al final se obtienen las leyes de Kepler del movimientoplanetario.

El capítulo siete, último capítulo del libro, trata del movimiento plano de un cuerpo rígido.Se estudia la energía y las ecuaciones dinámicas. Hay que resaltar que se hace un tratamientoprofundo y poco usual del eje instantáneo de rotación y de la ecuación dinámica de rotación.

Es un placer dar las gracias por las numerosas sugerencias que me hicieron mis estudiantesy los colegas del Departamento de Física de la Universidad Simón Bolívar. Mucho agradezco alos profesores Rita Gianvittorio, Fortunato Bentolila y Jorge Ovalle, por utilizar en sus cursos elborrador de este libro de texto.

Agradezco muy especialmente a mi esposa Jacqueline Geille por pasar a Latex mis manuscri-tos, hacer los dibujos y cuidar su consistencia, revisar el uso del lenguaje, hacer la diagramacióndel libro y por tenerme una paciencia infinita.

El presente libro fue merecedor del «Premio bienal al mejor libro de texto, edición 2010»,otorgado por la Universidad Simón Bolívar.

Cayetano Di Bartolo

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CAPÍTULO 1Vectores

1.1 Introducción

En mecánica clásica es importante describir las trayectorias que siguen las partículas en un espacioeuclídeo y tridimensional. Una forma típica de describirlas es introducir un sistema de coordenadascartesianas. En este caso, la trayectoria viene dada por lasecuaciones

x = x(t), y = y(t), z= z(t),

donde(x,y,z) son las coordenadas del punto que ocupa la partícula al tiempo t. Otra forma dedescribir la trayectoria es usar el vector posiciónr(t) de la partícula con respecto al origen delsistema de coordenadas. Los vectores también resultan útiles para representar muchas otras canti-dades físicas. En este primer capítulo los definiremos e introduciremos algunas operaciones entreellos.

1.2 Espacio de los vectores enR3

Al hacer física es importante decir «qué miden» o «cómo ven las cosas» distintos observadores, ypor ello es conveniente hacer las descripciones de los fenómenos naturales en términos de objetosgeométricos, i.e., objetos de los cuales se dice cómo transforman al cambiar el sistema de refe-rencia (o el observador). Existen muchos tipos de objetos geométricos: escalares (aquellos queno varían al cambiar el observador, por ejemplo la carga de una partícula), vectores, tensores,etc. Por ser éste un curso de introducción a la mecánica, no definiremos un vector por su ley detransformación al rotar un sistema de referencia. Definiremos un vector de una manera gráfica,como un segmento orientado enR

3 (espacio euclídeo de tres dimensiones).

A A′ B

B′

(A′ = A) (B′ 6= B)

Figura 1.1

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1 VECTORES

Dos segmentos orientados se consideran el mismo vector si, ysólo si, uno de ellos se obtiene apartir del otro por medio de una traslación (no rotación). Dos vectores con orientaciones o tamañosdiferentes son vectores distintos.

En la figura 1.1 el vectorA′ se obtiene deA por una traslación y por lo tanto son iguales. EncambioB′ se obtiene deB por una rotación (de ángulo distinto a 2π) y por ende son diferentes.

1.2.1 Componente de un vector

Para representar los vectores resulta conveniente introducir la idea de componente. SeaA el vectorde tamaño|A| y que forma un ánguloθ con un semieje. Llamaremos componente del vector en ladirección indicada por el semieje a

Comp(A) = |A|cos(θ) (componente en una dirección). (1.1)

Se trata de la proyección del vector sobre el semieje, tomadacomo positiva siθ ∈ [0,π/2] ynegativa siθ ∈ (π/2,π].

A

A θ

θ

cos(θ) ≥ 0

semiejesemieje

l

cos(θ) ≤ 0

l

Figura 1.2

Para los dos casos mostrados en la figura 1.2 la componente delvector es|A|cos(θ) y l es lalongitud de la proyección. En el dibujo de la izquierda es positiva (|A|cos(θ) = l ) y en el dibujode la derecha es negativa (|A|cos(θ) = −l ).

1.2.2 Representación de un vector

Hemos representado un vectorA por un dibujo (flecha orientada), pero existen muchas otras for-mas de hacerlo. Mostraremos dos de ellas a continuación.

x

y

z

Ax

Ay

Az

θxθy

θz

A

Figura 1.3

Podemos representar el vectorA, la flecha orientada enla figura 1.3, indicando su módulo o tamaño|A| y su direc-ción. La dirección puede especificarse dando los ángulosθx,θy y θz que forma el vector con los ejes cartesianos. Tam-bién se puede representar el vector por sus componentes enlas direcciones indicadas por los semiejes positivosx, y y z:A = (Ax,Ay,Az). Estas componentes se denominan compo-nentes cartesianas.

Existe, por supuesto, una relación entre estas dos formasde representar el vectorA. Dados los ángulos y el módulodel vector podemos determinar sus componentes:

Ax = |A|cos(θx), Ay = |A|cos(θy), Az = |A|cos(θz). (1.2)

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CAPÍTULO 2Leyes de Newton. Dinámica elemental

En este capítulo introduciremos las leyes de Newton que rigen el movimiento de las partículas.Integraremos las ecuaciones de movimiento de sistemas dinámicos elementales, como los corres-pondientes a una fuerza constante o una fuerza amortiguadora en una dimensión. Estudiaremos losresortes ideales y las oscilaciones amortiguadas en una dimensión. Trataremos la fuerza de roce, ylas cuerdas y poleas ideales.

2.1 Vectores posición, velocidad y aceleración de una partícula

Entre los objetivos de la mecánica clásica newtoniana está el describir y explicar el movimiento delos objetos reales o macroscópicos, y para ello se supone quelos objetos macroscópicos puedendescribirse como agregados de partículas. Una partícula esun objeto puntual (o con un volumenmuy pequeño) que sigue una determinada trayectoria en el espacio. El espacio se supone que eseuclídeo y tridimensional.

x

y

z

t

t1

t2

t3

r(t)

v(t)

Figura 2.1

En la descripción del movimiento de una partícula se usasu vector posiciónr(t) con respecto a algún punto de re-ferencia u origen; este vector es función del parámetrot quecuantifica de alguna manera nuestra idea intuitiva del tiempo,esto es,t crece monótonamente a medida que la partícula (opartículas) ocupan «sucesivas» posiciones. En la siguientesección el tiempo será cuantificado de una manera más pre-cisa. Esto significa quer = r(t) es la ecuación paramétricade la curva orientada o trayectoria que sigue la partícula, yque se usa el tiempo como parámetro.

La velocidad de la partícula se define por

v ≡ dr

dt=

dr

dℓ

dℓ

dt,

donde se usó el hecho de que la trayectoria puede parametrizarse con la longitudℓ de la misma.Por otro lado, de acuerdo a (1.27) se cumple que

v(t) ≡ dr

dt=

dℓ

dtuT , (2.1)

donde ˆuT es la tangente a la curva. Esto es, el vector velocidad es tangente a la trayectoria y tiene lamisma orientación que ésta en el punto ocupado por la partícula (ver figura 2.1). La rapidezv de la

27

2 LEYES DENEWTON. DINÁMICA ELEMENTAL

Si lo deseamos, podemos tomar el resorte como parte de una de las partículas o como un tipode fuerza de interacción entre ellas, y escribimos simplemente

F1,2 = −F2,1 = −k(r − l)ur . (2.32)

Observe el lector que esta fuerza siempre es paralela a la línea de unión entre las dos partículas.

m2

m1

r

kr2

r1

ur

Figura 2.6

k, l m

x

ux

Figura 2.7

A continuación estudiaremos el movimiento de una partículade masam moviéndose sobre eleje x, sometida únicamente a la fuerza de un resorte de constante elásticak y longitud naturall ,ver figura 2.7. La fuerza esF(x) =−k(x− l) =−mω2(x− l) conω ≡

√

k/m. En consecuencia laecuación de movimiento de la partícula es

x+ω2(x− l) = 0. (2.33)

Esta ecuación se conoce como ecuación diferencial de un oscilador armónico, y hallaremos susolución general. Usando la identidad (2.28) y la ecuación (2.29), la ecuación del oscilador ar-mónico se integra una vez:

x2 = x20−

∫ x

x0

2ω2(x− l)dx= A2−ω2(x− l)2 ,

dondeA2 = x20 +ω2(x0− l)2. De esta ecuación despejamosdt, y volviendo a integrar obtenemos

la funciónt(x):

dt = σ dx[

A2−ω2(x− l)2]−1/2 ⇒ t =

∫ x

x0

dxσ[

A2−ω2(x− l)2]−1/2

conσ = signo(x). Haciendo el cambio de variablesx = l +Acos(θ)/ω, se obtiene

t = −∫

dθσ/ω ⇒ θ = −σω t +constante,

luego la solución general de la ecuación del oscilador armónico es

x = l +Acos(ωt +δ0) (2.34)

conA y δ0 constantes llamadas, respectivamente, amplitud y fase inicial. A la cantidad

ω =

√

km

(2.35)

se le denomina frecuencia angular del sistema masa-resorte. La componentex de la velocidad dela partícula es

x = −Aωsen(ωt +δ0) . (2.36)

36

CAPÍTULO 3Sistemas no inerciales. Coordenadas curvilíneas

Un sistema o marco de referencia u observadorSpuede especificarse señalando una base de vec-tores y un punto del espacio que sean fijos en el tiempo paraS, por ejemplo, diciendo que elobservadorSve en reposo cierta partícula y cierto triedro que viaja con ella.

En este capítulo estudiaremos cómo se comparan las observaciones que hacen diferentes obser-vadores sobre la posición, velocidad y aceleración de una partícula. Introduciremos los sistemasde coordenadas curvilíneas y veremos cómo se escriben en ellos los elementos de longitud, área yvolumen, así como los operadores gradiente, rotor y divergencia. Definiremos curvatura y torsiónde una curva e introduciremos el triedro de Frenet para describir el movimiento de una partícula.

3.1 Derivada temporal de un vector. El vector velocidad angular

En esta sección se comparan las derivadas temporales de un vector calculadas por dos observadoresarbitrarios. Luego se define el vector velocidad angular quecodifica la rotación de un observadorcon respecto a otro y se estudian sus propiedades.

S S′

u1u2

u3

O

e1

e2e3

O′

Figura 3.1

Consideremos dos sistemas de referencia:S con origenenO y S′ con origen enO′. En cada uno de ellos existe unabase ortonormal fija:u1, u2, u3 en S y e1, e2, e3 en S′.Entonces

ui · u j = δi j y ei · ej = δi j . (3.1)

Los nombres de los vectores se asignarán de manera quesean sistemas de mano derecha (ver la figura 3.1), i.e.,

ui × u j = ∑k

εi jk uk y ei × ej = ∑k

εi jk ek (3.2)

o, si se quiere,ui × u j = uk y ei × ej = ek ,

donde(i, j,k) es una permutación cíclica de(1,2,3).Los sistemasS y S′ pueden trasladarse y rotar en el tiempo, uno con respecto al otro; esto

conduce a que un vector cualquiera tenga derivadas temporales distintas en los dos sistemas. Porejemplo, los vectores de las dos bases satisfacen

ddt

ui

∣

∣

∣

∣

S= 0

ddt

ei

∣

∣

∣

∣

S′= 0, (3.3)

49

3.10 PROBLEMAS

b. Encuentre tres vectoresAi que satisfagan:

ddt

e1

∣

∣

∣

∣

S= A1×e1,

ddt

e2

∣

∣

∣

∣

S= A2×e2,

ddt

(e1×e2)

∣

∣

∣

∣

S= A3× (e1×e2) .

Expréselos en la baseB.

c. Encuentre la velocidad angular que la baseB tiene segúnS. Exprésela en ambas bases.

r

m

O

z4. Una partícula de masam, en presencia de un campo gra-vitacional constante, se mueve por el interior de una esferade radioR, con centro en el origen, sin roce y fija en unreferencial inercial (ver figura). El ejezapunta verticalmentehacia arriba.

a. Escriba las ecuaciones de movimiento en coordenadas es-féricas. Muestre que una de las ecuaciones se puede integrary conduce aϕ sen2(θ) = constante.

b. Muestre que una de las soluciones del sistema de ecua-ciones diferenciales tieneθ = θ0 = constante (conθ0 6= 0 yθ0 6= π), y encuentre qué restricciones tieneθ0. Esta solucióncorresponde al péndulo cónico.

ac. Para el caso señalado en la parteb encuentre, en términos deθ0 y ϕ0: ϕ, la rapidez de lapartícula y el módulo de la fuerza que le aplica la esfera.

5. La figura muestra un cono recto de radio R, altura H, vérticeO sobre el ejez (vertical), ejeen dirección horizontal ˆuρ y que apoya el borde de su base sobre el piso (horizontal). Sean tresobservadores con origen enO: Ssolidario con el ejezy al piso,SB solidario con la base ortonormalB = (uz, uρ , uϕ) y SC solidario con el cono. SegúnSB el cono gira alrededor de su propio eje conrapidez angularΩ2 y segúnS el eje gira con rapidez angularΩ1 alrededor dez (en los sentidosmostrados en la figura). Al responder las preguntas que siguen exprese los vectores en la baseB.

z

Ω1

Ouρ

uϕ = uz× uρ

Ω2

a. Determine las velocidades angulares relativas de los tresobservadores:ωSC|SB

, ωSB|S y ωSC|S.

b. Calculeddt

uϕ |SC.

c. Considere un punto arbitrariop de la base del cono convector posiciónrp. Muestre que su velocidad segúnSpuedeescribirse comovp = A× rp, dondeA debe ser determi-nado. Hallerp para el caso en quep sea el punto en contactocon el piso.

d. Usando el resultado anterior encuentre qué relación debe existir entreΩ1 y Ω2 para que el conoruede sin deslizar.

6. Una partícula se mueve a lo largo de una cardioide dada en polares porr = k(1+cosθ), dondek es una constante. La partícula se mueve con rapidez constante v y con θ creciente. Escriba lavelocidad de la partícula en polares y determineθ como una función deθ .

71

CAPÍTULO 4Trabajo y energía

En este capítulo definiremos el trabajo realizado por una fuerza y clasificaremos las fuerzas enconservativas y no conservativas. Definiremos los operadores diferenciales gradiente, rotor y di-vergencia, y daremos sus expresiones en coordenadas curvilíneas. Para el caso de una partícula,introduciremos los conceptos de energía cinética, energíapotencial y energía. Al final estudiare-mos la información que proporcionan los gráficos de energía potencial en los problemas unidimen-sionales.

4.1 Trabajo y energía cinética

r(τ)

rγ·

r·γ

γ

dr

F

·γ

γ·

Figura 4.1

Consideremos una curva orientadaγ dada paramétricamentepor r = r(τ), y una fuerzaF definida sobre todos los pun-tos de la curva. Los puntos inicial y final de la curvaγ losdenotaremos por·γ y γ· respectivamente. En la figura 4.1se muestra la curva y la fuerza. El elemento de línea de lacurva,dr, en un puntoτ arbitrario es

dr =dr

dτdτ = dℓuT = dxi+dyj +dzk . (4.1)

Definimos el trabajo realizado por la fuerzaF a lo largode la curva como la integral de línea

WF (γ) =∫

γF ·dr =

∫ τγ·

τ·γ

F · dr

dτdτ . (4.2)

Nótese que en cada punto de la curva se hace el producto escalar F ·dr y luego se suma (seintegra) sobre todos los puntos de la curva. El trabajo es un número real y su unidad en el S.I. esel Joule (J): J= N ·m = kg ·m2 ·s−2.

Veamos algunas propiedades inmediatas de la definición de trabajo de una fuerza.

• Denotaremos porγ la curva orientada que se obtiene si se invierte la orientación de la curvaγ. Como en cada punto de las curvas los vectoresdr de ambas son opuestos, es inmediatoel resultado:

WF (γ) = −WF (γ) . (4.3)

75

4.5 PROBLEMAS

Dé sus respuestas en términos deθ , ϕ, sus derivadas temporales y los vectores de las bases men-cionadas.

b. Escriba la segunda ley de Newton para la partícula en el referencialS′′, y escriba las fuerzasficticias en ese referencial.

c. A partir de las ecuaciones de movimiento anteriores encuentre una ecuación diferencial paraθde la formaθ + f (θ) = 0. Halle f (θ).

d. Halle los puntos de equilibrio estable paraθ y la frecuencia de las pequeñas oscilaciones entorno a dichos puntos de equilibrio.

Mθ

z

R

g

18.La figura muestra una cuenta de masaM ensartada en unalambre circular fijo de radioR. El sistema está inmerso enun fluido que produce sobre la partícula una fuerza viscosadada porF = −kMv. El ejez apunta verticalmente haciaarriba.

a. A partir de la relación entre la derivada temporal de laenergía y la potencia de las fuerzas no conservativas, encuen-tre la ecuación diferencial de segundo orden que es satisfe-cha porθ(t).

b. Argumente, a partir de la ecuación diferencial paraθ , enqué puntos puede estar la partícula cuando cese completa-mente el movimiento.

aaa

x

y

mg

19.Un abalorio de masam desliza sin fricción a lo largo deun alambre con forma de cicloide (invertida), ver figura. Lacurva del alambre está dada paramétricamente por:

x = b(ψ −senψ) y = b(1+cosψ)

conb una constante positiva yψ ∈ [0,2π].

a. Halle la energía de la partícula en función deψ y ψ.

b. Haga el cambio de variableQ = cos(ψ/2) en la ecuación de la energía; muestre que en lanueva variable adquiere la forma de un oscilador armónico. Diga cuáles son: la masa, la constanteelástica y la frecuencia del oscilador.

c. Obtengaψ(t) a partir del resultado anterior.

93

CAPÍTULO 5Dinámica de un sistema de partículas

En este capítulo se introducirán definiciones y herramientas útiles para tratar con sistemas departículas. Se definirán «cantidades extensivas» que permitirán describir el movimiento globaldel sistema. Se definirán los momentos lineal y angular del sistema y sus energías cinética y po-tencial. También se estudiarán los sistemas con masa variable, las colisiones entre dos partículas yel problema de dos cuerpos.

5.1 Centro de masa y momento lineal

m1

mα mN

Orα

Figura 5.1

Consideremos un sistema formado porN partículas. Lla-maremosmα a la masa de la partículaα-ésima yrα a suvector posición en algún referencialS, figura 5.1. Definimosel centro de masa del sistema como un punto cuyo vectorposición es

rcm≡ 1M ∑

αmαrα (5.1)

conM ≡ ∑

αmα (5.2)

la masa total del sistema. Nótese que si todas las masas son iguales el centro de masa coincide conel centro geométrico del sistema.

Si en lugar de un sistema discreto de partículas se trata de una distribución continua, la posicióndel centro de masa es

rcm =1M

∫

rdm con M =

∫

dm. (5.3)

Para una distribución con densidad longitudinal de masaλ escribimosdm= λdℓ, condℓ el ele-mento de longitud. Si se tiene densidad superficial de masaσ entoncesdm= σdS, con dS elelemento de superficie. Y si es una densidad volumétrica de masaρ se usadm= ρdV, condV elelemento de volumen.

Ejemplo 5.1 (Centro de masa de una porción de una corteza esférica homogénea).

Imaginemos un cono con vértice en el origen y abertura de ángulo α. Imaginemos también unasuperficie esférica de radioR y centro en el origen. Llamaremos porción esférica de radioR,

95

5 DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

aberturaα y centro en el origen, a la porción de superficie esférica que queda en el interior delcono. En este ejercicio encontraremos la posición del centro de masa de una porción esférica dedensidad constante.

xy

z

O

Rα

Σ

Figura 5.2

SeaΣ la porción esférica que se muestra sombreada enla figura 5.2. Supondremos que su densidad superficialσ esconstante y que el ejez es su eje de simetría. Los puntosdeSson aquellos cuyas coordenadas esféricas cumplen conr = R, θ ∈ [0,α] y ϕ ∈ [0,2π). De acuerdo con (3.97) y(3.110) su elemento de superficie es

dS= hθ hϕ dθ dϕ = R2senθ dθ dϕ.

Luego la masa deΣ es

M =

∫

ΣσdS= σR2

∫ 2π

0dϕ∫ α

0senθ dθ

= 2πσR2(1−cosα) .

A continuación determinaremos la posición del centro de masa.

rcm =1M

∫

Σrdm=

σM

∫

Σ(Rsenθcosϕi+Rsenθsenϕj +Rcosθk)dS

=σR3

M

∫ 2π

0dϕ∫ α

0dθ(sen2θcosϕi+sen2θsenϕj +cosθsenθk) .

Pero∫ 2π

0dϕ cosϕ =

∫ 2π

0dϕ senϕ = 0 y

∫ α

0cosθsenθ dθ =

12

∫ α

0

dsen2θdθ

dθ =12

sen2α .

Por lo cual

rcm =2πσR3

M

(

12

sen2α k

)

=R2

sen2α1−cosα

k =R2

1−cos2α1−cosα

k

y finalmente obtenemos

rcm =R2(1+cosα)k . (5.4)

Comentario 5.1. Conjunto de sistemas.Consideremos un conjunto de sistemas de partículas cuyas masas y centros de masasestén dados por(M1,rcm 1),(M2,rcm 2), . . .. Al calcular la posición del centro demasa del conjunto,rcm, usando (5.1) podemos agrupar los sumandos correspon-dientes a las partículas de cada sistema y obtener

rcm =1

M1+M2+ · · ·(rcm 1+rcm 2+ · · ·) .

96

CAPÍTULO 6Fuerzas centrales

Una fuerza es llamada central si, en coordenadas esféricas,es de la forma:

F (r) = F(r)ur con r = rur (6.1)

o, dicho de otra forma, una fuerza es central si en cada puntor del espacio, su dirección es radialy su módulo depende sólo de la distancia al origenr = |r|.

Todas las fuerzas centrales son conservativas: en efecto, si definimos

V(r) = −∫ r

F(r)dr +cte (6.2)

se cumple que∂V/∂ r = −F(r) y por lo tanto

F = −∂V∂ r

ur = −∇V. (6.3)

En este capítulo nos enfocaremos en la dinámica de un sistemaaislado de dos partículas, cuyafuerza de interacción es central. Estudiaremos las consecuencias de la conservación del momentoangular y de la energía del sistema, así como algunas propiedades de la órbita relativa entre laspartículas. También consideraremos el caso particular de la fuerza gravitatoria y obtendremos lasleyes de Kepler para el movimiento planetario.

6.1 Ecuaciones de movimiento

Consideremos un sistema aislado de dos partículas. Para la partículaα-ésima llamaremosmα asu masa yrα a su posición. Supondremos que la fuerza de interacción entre ambas partículas escentral:

F1,2 = F(r)ur = −∂V(r)∂ r

ur , (6.4)

donder = rur ≡ r1−r2 (6.5)

es la posición relativa entre las partículas, yV(r) es el potencial asociado a la fuerza. Nótese quela fuerza es paralela a la línea de unión entre las dos partículas, y su módulo depende solamente dela distancia entre ellas.

119

6 FUERZAS CENTRALES

En un referencial inercial las ecuaciones de movimiento delsistema son:

m1r1 = F(r)ur y m2r2 = −F(r)ur . (6.6)

Se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas. Su estudio será más sencillo si cam-biamos de variables:(r1,r2) → (rcm,r). En las nuevas variables las ecuaciones de movimientovienen dadas por las ecuaciones (5.64) con las fuerzas externas nulas:

vcm = cte, (6.7)

µr = F(r)ur ; µ ≡ m1m2

m1 +m2. (6.8)

La ecuación (6.8) es la ecuación de movimiento para el vectorr = r1−r2 en un referencialinercialSpero, como ya vimos en el capítulo anterior, también admite otra lectura: es la ecuaciónde movimiento de la partícula #1, en un referencial no inercial que tiene origen sobre la #2 yvelocidad angular nula con respecto a los referenciales inerciales.

Comentario 6.1. Movimiento alrededor de un centro de fuerzas.Si una de las dos partículas, digamosm2, es mucho mayor que la otra, se cumple:

µ ≡ m1m2

m1+m2= m1 +Orden

(

m1

m2

)

y se puede confundir el centro de masa del sistema con la partícula masivam2. Elproblema se convierte en el de una partícula,m1, sometida a una fuerza centralcon origen en un «centro de fuerza», sobrem2, que se puede tomar en reposo conrespecto a algún referencial inercial.

6.1.1 Momento angular con respecto al centro de masa

m2

m1

Lcm

r(t)

Figura 6.1

En este apartado veremos que el momento angular del sis-tema se conserva, y estudiaremos las consecuencias de estehecho.

LlamaremosLcm al momento angular del sistema conrespecto al centro de masa, en un referencial inercialS. Deacuerdo con la ecuación (5.70) se cumple:

Lcm = µ r× r. (6.9)

Por otro lado, el que no haya fuerzas externas implica queel torque neto es nulo y, de acuerdo con la ecuación (5.72),Lcm es constante. Siendo la dirección deLcm constante, la ecuación (6.9) implica que el planoque contiene los vectoresr y r tiene siempre la misma orientación. Comor pertenece, para todotiempo, al mismo plano constante, entonces la órbita descrita porr está en un plano que contiene aambas partículas; esto lo parafraseamos diciendo que la órbita dem1 en torno am2 es plana. En lafigura 6.1 se muestra un ejemplo de una trayectoria plana seguida porm1, vista por un observadorcon origen sobrem2 y que no gira con respecto a los observadores inerciales.

120

CAPÍTULO 7Movimiento plano de un cuerpo rígido

Un cuerpo rígido es un sistema de partículas tal que la distancia entre ellas no cambia en el tiempo.Los sistemas reales, compuestos de átomos vibrantes, no pueden satisfacer esta condición. Sin em-bargo, desde un punto de vista macroscópico, la mayoría de los cuerpos que llamamos sólidos lasatisfacen de manera aproximada. En este capítulo nos limitaremos al estudio de un tipo particularde movimiento de los rígidos, denominado movimiento plano.Este movimiento se define comoaquel durante el cual todos los puntos del rígido, vistos desde algún referencial inercial, tienen ve-locidades paralelas a un plano fijo, denominado plano del movimiento. La descripción de este tipode movimiento suele ser sencilla porque requiere menos variables dinámicas que el movimientogeneral de un cuerpo rígido arbitrario. A pesar de la limitación, el lector encontrará una amplia einteresante variedad de situaciones que corresponden al movimiento plano.

7.1 Velocidad angular y grados de libertad de un cuerpo rígido

Diremos que un marco de referencia es solidario con el rígido, si todas las partículas que componenel rígido están fijas en dicho marco. Si el sólido tiene al menos tres partículas no colineales, existeun único marco de referencia solidario. Si el rígido es un sistema de partículas colineales, se lellama rotor, y existe una infinidad de marcos de referencia solidarios, siendo la velocidad angularrelativa entre ellos paralela al rotor.

Definimos la velocidad angular del rígido con respecto a un observador arbitrarioS como lavelocidad angular del marco de referenciaS′ solidario con el rígido, con respecto al observador:

ω = ωrígido|S = ωS′|S. (7.1)

En el estudio del movimiento de un sólido rígido suelen utilizarse simultáneamente varios re-ferenciales; entre ellos destacan: algún referencial inercial (que usualmente denotaremos porS), elreferencial centro de masaScm, definido como aquel con origen en el centro de masa y velocidadangular nula con respecto a los referenciales inerciales, yel referencial solidario con el rígido (quemuchas veces denotaremos porS′). Algunas personas, para abreviar, llaman «fijo» al referencialinercial que están usando y «móvil» aS′, pero aquí preferimos no hacerlo.

En el marco centro de masa, el rígido y todos los puntos fijos enS′ están girando con velocidadangularω, la misma que mide el observadorS.

Definimos el número de grados de libertad de un sistema de partículas como el número devariables reales, dependientes del tiempo pero independientes entre sí, que un observador inercialnecesita para determinar las posiciones de todas las partículas del sistema. Si en un sistema deN

137

7 MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO

7.3 Energía de un cuerpo rígido

En esta sección usaremos el momento de inercia para obtener una expresión sencilla para la energíade un cuerpo rígido que tiene un movimiento plano.

Consideremos un cuerpo rígido de masaM y velocidad angular de dirección constante

ω = θ uz

con respecto a algún referencial inercialS. LlamaremosT y T|Scm a la energía cinética del cuerporígido en los sistemas de referencia inercial y del centro demasa respectivamente. La expresión(5.42) para la energía cinética de un sistema de partículas relaciona ambas energías:

T ≡ ∑α

12

mα∣

∣rα |S∣

∣

2=

12

M|vcm|2+T|Scm , (7.12)

donde

T|Scm ≡ ∑α

12

mα

∣

∣

∣

∣

ddt

rα,cm

∣

∣

∣

Scm

∣

∣

∣

∣

2

. (7.13)

Ahora bien:∣

∣

∣

∣

ddt

rα,cm

∣

∣

∣

Scm

∣

∣

∣

∣

2

= |ω×rα,cm|2 = θ2|uz×rα,cm|2,

luego

T|Scm =θ2

2 ∑α

mα |uz×rα,cm|2 =θ2

2I(cm,uz).

La última igualdad se obtiene de utilizar la ecuación (7.6),e I(cm,uz) es el momento de inercia conrespecto al eje que pasa por el centro de masa y tiene dirección z. Entonces la energía cinética delcuerpo rígido es:

T =12

M|vcm|2+12

I(cm,uz)ω2 . (7.14)

Si Q es un punto fijo con respecto al rígido, se deja al lector demostrar que la energía cinéticapuede escribirse también como

T =12

Mv2Q +

12

I(Q,uz)ω2−MvQ · (ω×rQ,cm) . (7.15)

Esta expresión es particularmente útil si hay un puntoQ del rígido que está, también, en reposo enel referencial inercialS: en este casovQ = 0 y

T =12

I(Q,uz)ω2 . (7.16)

Supondremos que los cuerpos rígidos satisfacen la versión restringida de la tercera ley de New-ton: la fuerza entre las partículas de un rígido es paralela ala línea de unión entre ellas,

Fα,β = −Fβ ,α = (rα −rβ ) fα,β , (7.17)

142