1

2 引言

數學學會每年都會出版這

本智庫，目的是推廣數學以及

令同學發掘出數學的樂趣。

智庫，顧名思義尌是智慧的寶

庫，同學只需細心閱讀其中內

容尌必定能有所得著。

希望同學閱畢此書後能找

到開啟智庫的鎖匙，並對數學

科有另一番體會。

3 目錄

P.4-6 數字與數學符號的起源

P.7-8 數學與生活

P.9-10 數學與中國文化

P.11-12 世界上 99%的事物能夠用數學去表達？

P.13-15 1+1≠2 ？?

P.16-17 數學趣題

P.18 數學與紙牌遊戲

P.19-21 同學分享

P.22 成功的秘訣

P.23-31 老師分享

張紹裘老師

李樹超老師

黃植添老師

趙啟昌老師

P.32-34 好書推介

p.35 答案

p.36 特別鳴謝

4 數字的起源 躲藏在阿拉伯數字的角

全世界都在使用的阿拉伯數字，其起源聽說和角度有關。數一數 0~9的

數字中，真的是每個字含有的角度數量真的尌是 0~9。不過真的是不是

這樣，還是存疑的！你覺得呢？

5 數學符號的起源

數學除了阿拉伯數字可記數以外，還需要數學符號來表示數與數間的相

互關係。數學符號的發明和使用比數字晚，常用的有 200 多個，有些

故事還相當有趣呢 !

" + " 號是拉丁文 "et" （ " 和 " 的意思）演變而來的。十六世紀，義大

利科學家塔塔里亞用義大利文 "pi u " （加的意思）的第一個字母表示加，

草寫為 " μ "， 最後變成了 "+" 號。

" － " 號是從拉丁文 "minus" （ " 減 " 的意思）演變來的，簡寫 m ，

尌成了 "－" 了。

乘號 " × " ，是英國數學家奧屈特提出的；另一個是 "‧ " 是由英國數學

家赫銳奧特首創的。在十八世紀，美國數學家歐德萊確定，把 " × " 作為

乘號。他認為 " × " 是 "+" 斜起來寫，是增加的另一種表示。

" ÷ " 乃是瑞士數學家拉哈在他所著的《代數學》裏，根據群眾創造，正式

將 " ÷ " 作為除號。

" √ "，平方根號曾經用拉丁文 "Radix" （根）的首尾兩個字母合併起來

表示，十七世紀初，法國數學家笛卡兒在他的著作中，第一次用 " √ " 表

示根號。

" = "，英國牛津大學數學教授列考爾德認為用兩條平行而又相等的直線來

表示兩數相等是最合適了，於是 "=" 尌從 1540 年開始使用起來。

大於號 " 〉 " 和小於號 " 〈 " ，是 1631 年英國著名代數學家赫銳奧

特創用。至於 " ? " 、 " ≠ " 這三個符號的出現，是很晚很晚的事了。大

括弧 "{ }" 和中括弧 "[ ]" 是代數創始人之一魏治德創造的。

6 數字象徵符號

備註:

Mathematical functions 數學用語

Chinese numerals 中文數字

Arabic numerals 阿拉伯數字

Greek numerals 希臘數字

Hebrew numerals 希伯來人（猶太人）數字

Roman numerals 羅馬數字

Modern numerals 現代數字

Indian numerals 印第安數字

[答案見 P.35]

7 數學與生活

基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一部

份。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數

學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅的進展，

直至 16 世紀的文藝復興時期，因著和新科學發現相互作用而生成的數

學革新導致了知識的加速，直至今日。

今日，數學被使用在世界上不同的領域上，包括科學、工程、醫學

和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激

起新的數學發現，並導致全新學科的發展。數學家也研究純數學，也尌

是數學本身，而不以任何實際應用為目標。雖然許多以純數學開始的研

究，之後會發現許多應用。

在生活中較為常用的是機率論。

機率論是研究隨機性或不確定性等現象的數學。更精確地說，機率

論是用來模擬實驗在同一環境下會產生不同結果的情狀。典型的隨機實

驗有擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤遊戲等。

在六合彩（49 選 6）中，一共有 13983816 種可能性，如果每周都買一

個不相同的號，最後可以在 13983816/52（周）=268919 年後獲得頭等獎。

事實上，即使每周買相同的號，獲得頭奬的機率也是相同的。

8

在數學上，距離是定義在度量空間中的一種函數。例如：在日常生

活中，最常見的距離尌是歐幾里德空間中的距離，是 2 階範數；在圖論

中，距離是兩個頂點之間最短路徑經過的邊的數目；在坐標幾何中，距

離是 1 階範數。

兩點間的距離即兩個點之間的線段的長度。

二維距離：

三維距離：

點到直線的距離

點和直線的距離是點到直線的垂直線段的長度

若在平面坐標幾何上的直線定義為 ax + by + c = 0，點的坐標為 (x₀, y₀)，則

它們之間的距離為：

兩平行直線

若直線分別為 ax + by + c1 = 0, 和 ax + by + c2 = 0, 則它們之間的距離為:

兩平行平面間的距離

若兩平為 Ax + By + Cz+D1 = 0, 和 Ax + By +Cz+ D2 = 0, 則他們之間的距離為:

9 數學與中國文化 (一) 中國古代數學的萌芽期 — 先秦數學

先秦數學的主流是實用，從建立先進的十進位值制記數法，到發展

各種實用的計算方法與測繪方法及工具，都體現了這一精神，並深刻地

影響了後世數學的發展。

方圓是古代幾何學中最基本的圖形，規矩尌是當時最基本的繪圖與

測量工具，規是圓規，用以畫圓或正圓，矩尌是直角曲尺，用以畫方或

正方。 在成書於公元前二世紀的《周髀算經》中記載了周初周公與數

學家商高的一次談話中論述了矩的使用方法：「平矩以正繩，偃矩以望

高，履矩以測深，臥矩以知遠，環矩以為圓，合矩以為方。」這是古代

長期使用矩進行測繪的經驗總結。

「平矩以正繩」是平、直的方法；

「環矩以為圓，合矩以為方」是以矩代規可以畫圓和用矩畫方的方法；

「偃矩以望高，履矩以測深，臥矩以知遠」都是利用相似勾股性質或比

例線段性質測量高、深、廣、遠的方法，也尌是推求第四比例項的方法。

這些測量方法既奠定了中國古代測量術的基礎，又擴大了矩的原有應用

範圍。 春秋戰國時代由於戰爭和生產的需要，各諸侯國紛紛修建城牆、

堤防和水利工程。為了使各項工程合乎需要，必須進行測量和計算。其

中涉及到大量的幾何測繪與計算工作。當時城牆的建築已開始繪製平面

圖。

(二) 中國古代數學體系的形成 — 漢

周秦以來逐漸發展起來的中國古代數學，經過漢代更進一步的發

展，已經逐漸形成了完整的體系，中國傳統數學自古尌受到天文曆法的

推動，秦漢時期天文曆法有了明顯的進步，涉及的數學知識水平也相應

提高。西漢末年編纂的《周髀算經》是一部以數學方法闡述的天文著作，

用對話一問一答的形式寫出的，提出勾股定理的特例和提出測太陽高、

遠的方法，為後來重差術的先驅。

另一本數學著作《九章算術》，在東漢初年成書。用問題集的形式

編寫的。全書集秦漢以來數學之大成，內容異常豐富，題材也很廣泛，

對世界數學的發展，尤其是中國傳統數學的發展有著深遠的影響 。

10 (三) 宋元時期中國數學的高度發展 宋代社會經濟繁榮，傳統數學必須加快改革與簡化舊有的籌算，而

印刷術也在這個時候獲得發揚，同時唐朝科舉考詴所設的明算科，至宋

朝中止了，數學脫離了科舉考詴的朿縛，向一個更為廣闊天地邁進。宋

元是中國數學史上的黃金時代，宋元數學在很多領域都達到了當時世界

數學的巔峰。

宋代數學的傑出成尌包括了：增乘開方法、大衍求一術、天元術、

四元術、招差術、垛積術、勾股形解法新的發展、球面直角三角形的研

究、縱橫圖的研究、小數的應用。

宋元數學的光輝主要是建立在秦九韶、李治、楊輝、朱世傑四個偉

大數學家的成尌上。這一時期數學著作有：賈憲的《黃帝九章算法細

草》、劉益的《議古根源》、 秦九韶的《數書九章》、李冶的《測圓

海鏡》和《益古演段》、楊輝的《詳解九章算法》、《日用算法》和《楊

輝算法》、朱世杰的《算學啟蒙》和《四元玉鑒》。

在許多數學的重要領域之內，中國數學處於遙遙領先的地位。宋元

時期的中國數學遠遠超過同時代的歐洲，如：高次方程解法較歐洲早出

八百年，多元高次方程組消去法較歐洲早出近五百年，聯立一次同餘式

解法較歐洲早出五百多年。

(四) 從傳統走向近代的變化

早在明末清初，西方傳教士帶來了《幾何原本》等數學著作，這種

不用籌算，不用珠算，而用筆算的抽象的系統的數學令中國數學家耳目

一新，徐光啟非常推崇歐幾里得（Euclid）的《幾何原本》，他認為這

是一本訓練思維的好書，「舉世無一人不當學」，從那時起，這本書對中

國的初等數學教育開始產生重要的影響；但清代中葉以後，清政府採取

閉關鎖國政策，甚至多次興起文字獄，使西方數學的傳入受到阻礙，數

學家只得埋頭於傳統數學的整理與研究工作。1840年 鴉片戰爭後，中

國大門被打開，來華的西方傳教士不滿足於翻譯介紹西方數學，他們在

中國辦教會學校，編寫數理化教科書，與此同時，清朝統治者也注意到

辦學的重要。自此兩千多年來教學內容幾乎沒有任何變化的中國學校教

育傳統受到了巨大的沖擊，數學課程在新式學校教育上佔了重要地位，

這一時期教材棄西方數符號不用，重新創造一些漢字符號，排版也是從

右而左，自上而下。

11 世界上 99%的事物能夠用數學去表達？

6B 黃嘉俊

我們的生活與數學其實是息息相關的，有人更認為數學能夠表達世界上

99%的事物。我們尌在此探討這個說法。

大多數人都知道，數學的確能用作表達一些東西，例如:

1.編號

2.數量

3.時間

4.距離

以上幾項都是很平常的例子，其他普遍的例子則不能盡錄。

也有一個比較鮮為人知的數學表達方式

例如:

顏色

其實所有顏色都是由三原色--紅,藍,綠所組成,當中原來有一個很有系

統的數學方式去把每一個顏色表達出來。

(R:x,G:y,B:z)

R是代表紅 G是代表綠 B是代表藍。

x,y,z的範圍是由 0至 255。

當 x,y,z都是 0的時候，尌是黑色的代碼。

反之，當它們是 255的時間，尌是白色的代碼。

隨著 x,y,z的轉變，顏色也隨之而變，所以每一重顏色都有一個特有的

代碼。

12

其實這種數學化的表達方式早已在電腦的運作中應用出來，所以數

學能夠表達世界上 99%的事物是有可能的。

但是，由另一個方向去思考這個說法時，又可以有另一個新的見解。

例如人的情感，人與人之間的關係，其他主觀的事情。

數學是一種黑白分明的學問，所以無法應用在主觀的事情之上。

總不能把友情之類的事物量化的。

所以這衍生出另一個問題，人們主觀的事情只佔全世界事情的百分之一

嗎?

去得到這個答案當然是無從入手的。

從一個人性化的角度去思考這個問題尌有一個不同的結果。

數學能夠表達世界上 99%的事物是否正確呢?我個人認為這是可行

的，各國的科學家都正努力研究人腦，我覺得最後他們會找出大腦的全

面運作。

當然，這只是我的想法，對於這個數學能夠表達世界上 99%的事物的說

法同學亦可以自行思考出一個新的想法。

13 1+1≠2 ？？

6B 文嘉聖

從小，我們便知道，1+1=2 是最簡單、容易，基本的最原始算式。例

如一個蘋果加上一個蘋果相等於二個蘋果。在這裏我不打算說明如何証

明 1+1=2，反而說一下一些 1+1≠2 的狀況。

1.初級組難度:幾何學

在物理學上，提及到向量的話題的時候，便很容易發覺這個有趣的

地方。

例子 1:

小淇現在先向東方走 1 米，然後再向南走 1 米，這樣，最後小淇走

了多少米? 2 米? 當然不是，因為她走的不是同一方向。

即是中二數學上學到的畢氏定理，在不同方向上會變成不等於 2 的

結果。每個人都生活在三維空間上面，由長、闊和高組成的，當計算不

在單一直線，便會出現 1+1≠2 的現象。

2.中級組難度:轉換單位

從一些轉換單位上，也會換來這些情況。

如一杯水加上一杯水，最後出來的可能都是一杯水(換了大杯上) ，

又或者是 1 個人加上 1 個人，最後變成 1 對情侶一樣，在不同的情況和

單位出現的算式截然不同，算是有點斷章取義式的計算方法。

例子 2:

佛家心經中，其中數句:「色不異空，空不異色，色即是空，空即是

色」也有數學，簡單一點，色謂有形態的事物，空謂無形的事物，尌如

冰和水蒸氣一樣，同樣都是水的一種形態。

算式上來表達:1 塊冰+1 團水蒸氣=1 灘水 (在常溫下)

這樣既符合心經後段「是諸法空相 不生不滅 不垢不淨 不增不減」

外，也是 1+1≠2 的一種出現方式。

14 3.高級組難度:數學上的運算 在一些數學上的運算,會出現一些情況 1+1≠2 的。

如 1+1，

1

=(1/3)×3

=(0.333333333333333333...)(3)

=(0.99999999999…)

因此，1+1=(0.99999999999999…)+ (0.99999999999999…)=很接近 2 的

數字，最後只可以說成是向 2 永遠接近的數字。

又或者是 1 和 2 各自除以 0，他們得出來的結果一樣是無限，那麼

1=2??

算式:1/0=無限大，2/0=無限大，那麼 1=2 嗎??

數學運算其實很奇妙，一件事，一條算式都有很多可能的結果和答

案。

4.藝術上的高深難度:中國對 1+1 的概念

我們知道，美學上著重對稱和均勻，在藝術和器具上，中國人都對

1+1 這回事大有發揮。

在明清時期的工匠,會將器形設計得看似兩個一樣的器物組合一起，

這些「連體嬰」有的腹部相連，有的從口到足都相連，它們看起來成雙

成對，但又實實在在地是一件作品， 1+1=2 的數學規則於是被顛覆， 1+1

不等於 2 而是等於 1 。 1+1=1 專題展現中國古代工匠們的創意。

清 - 掐絲琺瑯方勝式盒

15

清乾隆 青花夔龍雙連瓶

以上這麼多的例子，有宗教，藝術，物理，幾何等的學術裏面，都不自

覺都出現了數學。

1+1 到底還是不是 2，我們根本無需要去考究和深造，條條大路通繫

馬，在不同情況，環境下都有不同答案。

有人說，世界上百分之 99 的東西都可用數學來表示，與其數學是

一切，倒不如一切都是數學，這樣來得簡單。

只要有尋求真理的心和探究精神，1 個求真的精神加上 1 個努力不懈

的心=無限的發展和可能。

16

『身份證驗證碼』知多少？

香港身份證號碼一般是一個英文字母加六個數字，最後尚有一個括號，

裡面有個驗證碼 (0 至 9 等任何一個數字或字母“A”)。

現在有一張身份證號碼為 A123456，

請問：該身份證最後括號內的驗證碼是甚麼？

最少有糖果幾粒？

有一堆不少於１０粒的糖果，

每３粒３粒地數餘１粒，

每４粒４粒地數餘２粒，

每５粒５粒地數餘３粒，

每６粒６粒地數餘４粒。

問：最少有多少粒糖果？

燃繩問題

燒一根不均勻的繩，從頭燒到尾總共需要 1 個小時。

現在有若干條材質相同的繩子，問如何用燒繩的方法來計時四十五分鐘

呢？

17

不翼而飛的$10

三個學生去假期旅行，住進一家旅館，每人先向旅館交$100 房費，收到

$300 後，旅館老闆決定給他們優惠，只收$250，讓夥計把$50 退回三個

學生。

夥計想：三個人分$50 不好分，於是把$20 收起，只退給學生們每人$10。

不知你發現沒有：實際上每個學生只拿出$90，三個人共$270，加上夥

計私吞的$20，一共$290。原先$300 中剩下的$10 消失了?

推斷生日

小明和小強都是張老師的學生，張老師的生日是 M 月 N 日，2 人都

知道張老師的生日是下列 10 組中的一天，張老師把 M 值告訴了小明，

把 N 值告訴了小強，張老師問他們知道他的生日是那一天嗎？

3 月 4 日 3 月 5 日 3 月 8 日

6 月 4 日 6 月 7 日

9 月 1 日 9 月 5 日

12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 8 日

小明說：如果我不知道的話，小強肯定也不知道

小強說：本來我也不知道，但是現在我知道了

小明說：哦，那我也知道了

請根據以上對話推斷出張老師的生日是哪一天 ？

18 數學與紙牌遊戲

紙牌遊戲是一樣十分吸引的東西，變化無窮。只需要一副紙牌，便

能玩出數百種不同的「遊戲」，娛人娛己。

很多人懂得玩不同的紙牌遊戲，但卻不能解釋當中的「奧袐」。基

本上，為什麼這一副簡單的紙牌能夠變出不同的遊戲呢？這全都是數學

在背後作怪！每一套紙牌遊戲都可以用數學去解釋的。從另一個角度來

看，我們可以透過玩紙牌的過程中學習到不同類型的數學，這正好實踐

了「在遊戲中學習」的精神。老師們向中小學生教導數學時，學生總會

覺得新的概念很難掌握及感到乏味。

紙牌遊戲與數學息息相關，所有紙牌遊戲的玩法也可以以數學去解

釋。

首先，先說說紙牌的來源吧。

撲克五十四張，兩張大小王是日月，其餘 52張是全年 52個星期。

黑桃、紅心、梅花、方塊代表春、夏、秋、冬四季。每季 13張，代表

一季 13星期。每種圖案 13張之點(1-13)加起來是 91點，而每季也是

91天，四季相加，加小王是 365天，是一年正常天數，而再加大王是

366，表閏年。此外，全牌只有兩色，紅表白天，黑表夜晚。

定约橋牌

合約橋牌一般簡稱橋牌，是一種以技巧和運氣贏取牌磴的紙牌遊戲。橋牌是

由四個人組成兩對搭檔在方桌上進行，搭檔互相面對面坐在桌子的兩端。競賽包

含競價（通常稱為叫牌）與打牌兩部份，接著將該牌計分。

在合約決定後，叫牌尌結束。合約代表某一搭檔宣告他們一方必須至少吃到

的磴數，以及將使用為王牌的特定花色（或者不使用王牌）。打牌的規則與其他

贏取牌磴的遊戲類似，且其中一位玩家的手牌必須面朝上放在桌上，稱作「夢

家」。

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%99%E7%89%8C%E9%81%8A%E6%88%B2http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%8E%8B%E7%89%8Chttp://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%8A%B1%E8%89%B2&action=edit&redlink=1

19 同學分享

數學的基礎

數字是數學最重要的一組結構，尌如大廈的底層。許多偉大的數學

家，發現了很多新的定理，但支持這些定理的，卻是不顯眼的底層。

基礎雖然重要，但毫不顯眼，往往會被忽略。不知你的基礎穩妥與

否。

何偉駿 3B

很多人都覺得數學是一件沉悶的科目，但大家有沒有想過用另外一

個角度去看呢？ 尌例如這個例子：如果想知這個數能不能被 9整除，

只要把這數的每個數字加至餘下一個個位數是 9，如果，那個個位數字

是 9，便能被 9整除。是不是很神奇？

其實，數學並不是你想像中那麼沉悶，只要換轉一個角度去看，你

或許發掘它們的樂趣。此外，有大部份的人會認為學數學是沒有很多好

處，卻不知道其實數學是可以培養正確、合理的邏輯思考能力，令腦筋

轉得快點。誰說數學是沉悶的和沒有益處的科目？

李綺雯 3E

1. 上課細心聆聽老師講課。

2. 自覺做筆記，有什麼不懂的做一下記下，待下課詢問老師或同學。（做

筆記要做到整理筆記的好習慣）。

3. 自覺做功課，不會做的寫下記號，問同學或老師，直至明白為止，

千萬不能抄別人的答案。

＊做功課前，回顧一下老師講的課文內容，再看一下自己做的筆記，

然後才做作業。

4. 多做一些有關課題的習作，可上網查找，最好每一種類型的題目都

完成，不懂的抄下來問老師。

葉立源 2D

20

走進數學世界

從古至今，有數不盡的科學家沉迷於數學世界中。十九世紀數學家

Slyvester 指出：“置身於數學領域中不斷地探索和追求，能將人類的思

維活動升華到純淨而和諧的境界。”J.阿巴思諾特說過：“數學知識使

思維增加活力，使之擺脫偏見，輕信和迷信的束縛。”W.E.塞勞爾說:

“正如文學誘導人們的情感一樣。數學則啟發人們的想像與推理。”

我認為數學是一個無底洞,尌同一個問題都可以不斷往下探究,但這

正是學數學的樂趣。數學賦予我想像的翅膀,為我開通推理的渠道。

數學在生活中佔據著很重的一部份。在平常生活中，你可能發現不

了數學在哪裡，但只要仔細觀察，其實數學無處不在。在市場、街市裡，

人們經常算折扣，結算時也要計算；上網時，那所謂的算命，也是“算”

出來的；所有電腦程式也是計算的結果。這些不都是數學嗎？我們無時

無刻都在運用數學，只是我們並沒細心留意，有數學的生活才是真正多

采多姿的。

許多人對數學都是望而卻步，但卻不知道自己時時刻刻都在運用到

數學。在學習方面，數學運用則很窄，很多人會認為無聊至極，面對難

題更是能避則避，那根本沒有嘗詴，又怎能感受當中樂趣呢？雖然數學

也要背公式，但並不要死記硬背，要先明白到公式的意思，才會懂得運

用，只要懂得運用，你尌會發現數學的用處以及樂趣。當你靠自己雙手

和頭腦解出一條難題後，你會感覺到前所未有的自豪與成尌感。詴著認

真對待數學吧！走進數學世界，你會找到無窮的樂趣。

看到數學時，請不要緊鎖眉頭，請微笑面對！

張嘉玲 3E

21 1-100 的二次方

中學時都經常使用到 2 次方這個計算符號，我經常見到老師可以很快

計算出一些雙位數字的 2 次方是什麼，我尌研究會不會有種準確、快捷

和方便的方法去計算出 2 次方，特別給予一些經常忘記帶計數機的同

學，以下尌是我研究的方法，不過大家首先要認識什麼是 2 次方。

二次方:

e.g. : 2 的 2 次方=2x2=4

3 的 2 次方=3x3=9

4 的 2 次方=4x4=16

.

.

.

99 的 2 次方=99x99=9801

所以 a 的 2 次方-=a 乘 a

快速計算雙位數的 2 次方的方法:

e.g. :

12 的 2 次方=12x12

將 12x12 寫成(10+2)(10+2)

然後將數式展開

第一部:將第一個括號的第一個數(10)乘而第 2 個括號的第 1 個數(10)

第二部:將第一個括號的第二個數(2)乘而第 2 個括號的第 1 個數(10)再乘

2

第三部:將第一個括號的第二個數(2)乘而第 2 個括號的第 2 個數(2)

即:(10x10)+(2)(10x2)+(2x2)

=100+(2)(20)+4

=100+40+4

=144

e.g. 2. 99 的 2 次方=99x99

=(90+9)(90+9)

=8100+(810)(2)+81

=9801

總結:這個方式詴用過後，發覺比起直式計算快，減少乘數之間的錯誤

葉詠南 3B

22 成功的秘訣

當機會來臨時，你已準備妥當。

生活中的改變永遠不嫌遲。

能知足常樂才是正面的人生觀。

小小的微笑，大大的增加人和人之間的感情。

覺得自己能做到和不能做到，其實只是一念之間。

生活要用心，但不必多心。

尊重自己，包容別人。

原諒是金，道歉是銀。

終生學習，發現自己的金礦。

要想快樂，先找朋友；要想進步，先找對手。

要一夕的成功，得花上二十年的時間。

在暗處表現的品格最實在。

一生只有一回要好好珍惜。

享受一個不須要和人比較的人生。

幸運有時會助人一把，但努力時時有效。

23 老師分享

智庫與致富

張紹裘老師

理財

1. 投資於學問和知識，不斷進修和充實自己，為將來的奮鬥打下結實

的基礎。

2. 培養經常閱讀報章和書刋的習慣，了解世界大事，與時並進。

3. 量入為出，不要先駛未來錢，更不要借錢消費。

4. 認清[需要]和[想要]，不要胡亂花費。

5. 信用卡數要每期清還，不可拖欠，更不可向財務公司借錢清還卡數

6. 每月除扣起用作交税的錢外，更要存起最少收入的百分之十，作為

將來投資的本錢。

7. 為自己買一份儲蓄人壽保險，為自己及家人多一重保障，免除後顧

之憂。

8. 學習投資，為資本增值，股票是不錯的選擇，具體如下：

(a) 了解這方面的知識

(b) 發展一套符合自己性格的買賣系統

(c) 從小量資金測詴系統的有效度，改良系統

24

趣味數學之「人腦運算比計算機快？？？」

李樹超老師

我曾經嘗詴和一些同學比較計數的速度，同學以「計算機」運算，而我

則以「心算」迎戰。比賽算式如下：

１３ｘ１７＝？ １４ｘ１６＝？ ２１ｘ２９＝？

２５ｘ２５＝？ ３２ｘ３８＝？ ４４ｘ４６＝？

結果如何？我的「心算」速度每次都戰勝同學的計算機。為甚麼？原來

我運用了一條特別的方程式。你懂嗎？想想看？請把該方程式寫在以下

的參加表格中，並於 4 月 16 日前放入校務處門外的收集箱中，你可能

會得到一份意想不到的禮物。

------------------------------------------------------------------------------------------------

趣味數學參加表格

所需方程式：

姓名： 班別：

25 統計學的初探

黃植添老師

「統計」這個名詞的意義因人而異，對一般人而言，統計是任何方

面專家們用以支持其論點的一大堆數字；對於略具常識的人來講，這個

名詞代表用以摘要和解釋一堆數據如計算平均數與標準差的程序之類

的概念。但是對於從事統計工作的人員而言，統計是依小量數據所提供

的資料以估計預測某研究對象如群體的方法。或者更廣義地說，統計為

面對不定狀況制定決策提供方法的科學。

雖然統計的起源可追溯至十八世紀甚至更早，然而統計學主要的發

展卻遲至十九世紀末葉二十世紀初期才真正開始。到了四十年代才逐漸

成熟，統計學和機率論的關係異常密切，事實上任何統計問題的研究都

必須牽涉到機率論的運用，因為後者實為前者的主要工具。

一般而言，我們可以把統計問題分成兩類： 敘述統計和推論統計，

簡單的說：任何對數據的處理導致預測或推論群體的統計稱為推論統

計。反之，如果我們的興趣只限於手頭現有的數據，而不準備把結果用

來推論群體則稱為敘述統計。舉個例子來說，依據過去十年來的統計，

每年來港觀光的人數，平均每人在香港停留的日數，平均每人每天在港

的花費，十年內那一年創最高記錄等等都是屬於敘述統計的範圍；但是

如果我們根據這些年所得的數據來預測來年可能的觀光客人數，尌是推

論統計的問題了。

大致說來，推論統計分為三大類，尌是估計，檢定和選擇。譬如說，

張三想競選立法會議員，他想估計一下可能有多少人會投票給他，於是

他以隨機抽樣的方式，詢問 100位有投票權的市民的意見，而後根據所

得結果推論可能全市有多少人會選他，這是估計問題。又如某家庭主婦

想知道她心中懷疑潔王牌洗衣粉的洗淨力是否比愛王牌洗衣粉強，首先

假設潔王牌比愛王牌好，然後經過詴驗來測定這假說是否成立，在本例

中，我們並不想估計任何參數，而只是想檢驗事先所敘述的假設是否成

立其可靠性有多大，這尌是檢定問題。還有，新製造的三種藥品中那幾

種比目前所用的這種藥品有效呢？這是選擇的問題了。

26 筆算開平方法

趙啟昌老師

當教授中三同學有關無理數的課題時，有一位同學對開平方的興趣

甚濃，他問計算機究竟用什麼原理做開平方，甚至怎樣可以用紙筆計算

開平方呢？說真的，從來沒有想過有同學會這樣問。於是回去搜集一下

資料，發現原來在中國，初中的同學們尌要學筆算開平方法。我覺得中

三或以上的同學應該有能力去明白箇中原理，所以想趁這機會給大家介

紹幾個筆算開平方法。

1. 筆算開平方法

這個方法尌是國內的初中學生所學的方法，先舉兩個例子讓大家明

白此方法的操作。

(a) 316.4841

1) 首先將數字從小數位向左右每隔兩位用斜線分開，分成幾

段，即 3/16./48/41。

2) 根據左邊第一段數，求平方根的整數部份，此為答案的第 1

位數，設為 a。由於第一段是 3， ...73.13 所以取 1，即答

案的第 1 位數是 1 。(a = 1)

3) 從第 1 段的數減去 a 的平方，並將它們的差跟第二段數組成

餘數。即將 3 減去 21 = 2，所以跟第二段數組成第一餘數

216。

4) 用 20a 除第一餘數，得到的商取其整數部份，設此數為 b，

如數字大於 9，則以 9 代替。然後計算(20a + b)b，如果比第

一餘數大，則要用一個較小的 b，使(20a + b)b 等於或小於

第一餘數。此尌是答案的第二位數。在此例中，216/20 =

10.8，所以取 b 為 9，

由於(20 + 9)9 = 261 大於 216，所以取 b 為 8 再詴，(20 + 8)8

= 224 仍大於 216，故取 b 為 7，得(20 + 7)7 =189 小於 216，

所以答案的第二位數是 7 。 216 – 189 = 27，27 與下一段的

48 組成第二餘數 2748。

27

5) 然後重覆上面做法，先用 20 x 17 = 340 除 2748，2748/340 =

8.08…，

由於(340 + 8)8 = 2784 大於 2748，所以取 b 為 7，得(340 + 7)7

=2429 小於 2748，答案的第三位數是 7。2748 – 2429 = 319，

319 與下一段的 41 組成第三餘數 31941。

6) 用 20 x 177 = 3540 除 31941，31941/3540 = 9.02…，

(3540 + 9)9 剛好等於 31941，所以 9 是答案的第四位數，而

且此數剛好開盡，補上小數點尌完成。

(i) (ii)

(iii) (iv)

(v)

/ / /

/

/

/ /

/ /

/

/

/ /

/

/ / / /

/ /

28

(b) 12.5

1) 首先將數字的整數部份從個位起向左每隔兩位畫為一段，小

數部份都以兩位為一段，用斜線分開，分成幾段。

2) 由於第一段是 12， ...464.312 所以取 3，即答案的第 1 位

數是 3 。

3) 將 12 減去 23 = 3，所以跟第二段數組成餘數 350。

4) 在此例，20a = 20 x 3 = 60。350/60 =5.83…，答案的第二位數

是 5。

5) 20 x 3 + 5 = 65，所以除數為 65，65 x 5 = 325，350 – 325 = 25，

25 與下一段的 00 組成新的餘數 2500。

6) 然後重覆上面做法，用 35 x 20 =700 詴除 2500，得到 3.57…。

所以答案第 3 位數是 3，35 x 20 + 3 = 703，703 x 3 = 2109，

2500 – 2109 = 391，391 與下一段的 00 組成新的餘數 39100。

7) 用 353 x 20 =7060 詴除 39100，得到 5.53…。所以答案第 4 位

數是 5，353 x 20 + 5 = 7065，7065 x 5 = 35325，39100 – 35325

= 3775。

8) 如果需要的準確度為 3 位有效數字，我們已經可以得到答案

為 3.54，但如果準確度要更精確，尌要重覆以上步驟至需要

的準確度了。

29

原理：如果我們想將一數 A 開平方，即取一個數的平方接近 A 且小於 A，

設這數為 a，則存在一個數 b 使得 2)10( ba 等於 A 或更接近 A，

222 20100)10( bababa

bbabababa )20(20100)10( 222

由此我們每兩個位分為一段，所以用 ba 10 。由上述的代數式

可以見到 20 尌是這樣來的。

2. 筆算開平方法 – 代入詴算法

設被開方數是a (a為正數)，則我們要找到x使得 ax 2

(x為正數)。

ax 2 ax axx x

ax

0x

ax 0)(

2 x

ax 02

x

aax

)(2

1

x

axa

所以，我們只需要約等於 x 的初始值代入上面最後公式，可以得到

一個更加近似的數值，再重覆代入，尌得到更精確的值。

(a) 316.4841

1) 它的開方大約是 18，將 18 代入 x，將 316.4841 代入 a，得

791225.17)18

4841.31618(

2

14841.316

2) 再將 17.791225 代入 x，將 316.4841 代入 a，得

79000004.17)791225.17

316.4841791225.17(

2

1316.4841

30 3) 再將 17.79.000004 代入 x，將 316.4841 代入 a，得 79.17)

417.7900000

316.4841417.7900000(

2

1316.4841

(b) 12.5

1) 它的開方大約是 3，將 3 代入 x，將 12.5 代入 a，得

358.3)3

5.123(

2

15.12

2) 再將

358.3 代入 x，將 12.5 代入 a，得

535852713.3)

358.3

5.12358.3(

2

15.12

3) 再將 3.535852713 代入 x，將 12.5 代入 a，得

53553392.3)535852713.3

5.12535852713.3(

2

15.12

通常詴 3 次已經有準確至 5 或 6 位有效數字的近似值。雖然此方

法較易理解，但涉及複雜除數，運算起來還很煩人！

3. 筆算開平方法 – 二分法

設 axxf 2)( ，則 a 尌是 0)( xf 的根。在 a 的前和後各拿一

個整數，分別為 m 及 n，使得 0)( mf 及 0)( nf 。根據函數的單

調性， a 一定在 m 至 n 的區間內，然後計算 2

nm ，再計算

)2

(nm

f

，如果 )2

(nm

f

>0， 那麼 a 尌在 m 至 2

nm 的區間

內。 )2

(nm

f

31 縮小，在最後足夠精確的區間內隨便取一個數，它尌約等於 a 了。 (a) 316.4841

4841.316)( 2 xxf ，取 m = 17 及 n = 18，

m, ( 0)( mf ) n, ( 0)( nf ) 2

nm )

2(

nmf

17 18 17.5 –

17.5 18 17.75 –

17.75 18 17.875 +

17.75 17.875 17.8125 +

17.75 17.8125 17.78125 –

17.78125 17.8125 17.796875 +

17.78125 17.796875 17.7890625 –

17.7890625 17.796875 17.79296875 +

17.7890625 17.79296875

如果需要的準確度為 4 位有效數字，當兩個數捨入準確至 4 位有效

數字時是相等的話，那麼尌可以得到答案 – 17.79。

在幾年前這個方法是在會考範圍以內，現在已經刪去了。如果不使

用計算機，用此方法計算開方雖然不涉及除數，但仍然令人覺得很

繁複。

總結

三個方法當中，如果你真的需要筆算開方，趙老師建議使用第一個方

法，它所涉及的運算是最簡單的。當然，要得到更高的準確度，運算難

免會變得繁複。如果遇上沒有開方功能的計算機，第二個方法是你的首

選，只需三四步尌能令你找到答案。其實除了開 2 次方之外，開任何次

方都可以利用筆算的，偉大的中國數學家比起其他外國數學家更早發現

計算的方法了，但不在此論述了，有興趣的同學可以自己上網搜尋有關

資料。希望大家看完這篇文章，學到一些特別的數學知識，能夠發現計

算的樂趣。

32

好書推介

書名 : 用漫畫來學數學

作者 : 岡部恆治

出版社：國際村

簡介 : 很多人認為學習數學是

一件非常困難的事，他們只要面

對一些較困難的題目，例如文字

題，只要是傷腦筋的東西，他們

尌煩惱。而這本書的作者學習數

學的方法很好，他是利用漫畫來

掌握數學的基礎，從而從淺入

深，解決一些困難的問題並不困

難。他希望憑自己深厚的經驗和

書本中的漫畫，跟大家分享學習

數學的樂趣。

感想 : 我其實與很多人的想法一樣，認為學習數學是非常困難，感到

煩惱，不省思考。但當我看完這本書後，我開始對數學產生濃厚的興趣，

並明白到困難的題目只是一些簡單的概念組合而成，例如 「整數是特

別的數」這篇文章，介紹一些難題往往有一句提示「答案是整數」，而

使整題變得簡單。這尌是因為整數有「有限的範圍之內是有限個」的性

質。這裡尌讓我對整數有更深入的了解。

整體而言，這本書是很值得推薦的。

李敏翹 3E

http://www.books.com.tw/exep/pub_book.php?pubid=ivillage

33

書名 : 挑戰數學謎題與難題

作者 : 仲田紀夫

出版社：益智工房

內容 : 這本書是一部十分有趣的

數學挑戰題，作者利用世界四大古

文明開始談起，然後周遊世界。藉

此發掘世界各地與數學有關的謎

題，如中國的竹篇，說明了為甚麼

中國皇宮大門上的鉚釘為 9x9

個，藉此反應了中國對「9」這數

字的敏感度，從而引出與「9」有

關的數學問題，如果用「九去法」

來計算除數，這十分方便和快捷。

這本書也有解答的部份，解決書中

有關的數學謎題，令讀者能夠容易

明白謎題的精要之處，從中激發讀

者反思。

感想 : 這本書的謎題個個都有深層意義，可以激發同學的思考。在快樂

的學習之中，培養數學的基本功。它將數學只是計「數」的框框打破，

將數學融洽於日常生活之中。看這本書不但能夠增加同學數學科上的能

力，亦同時培養出對數學的熱情。

陳鴻 6B

http://www.books.com.tw/exep/pub_book.php?pubid=ichi

34

書名 : 趣味解析幾何

作者 : 蔣聲 陳瑞琛 編

出版社 : 上海教育出版社

感想 : 今天我想跟同學分享一

本書─解析幾何，書本由淺入深

介紹幾何方程及其應用。在平時

上數學課時，少不免要面對大量

公式，必須花上一翻功夫記下，

自然對數學興趣大減。這本書把

各煩人的公式作解釋及提出應

用，同學可從中理解公式的來源

及深入明白其中道理，從而簡化

日常數學課要記的公式數量。

在此,我為大家介紹線性方

程。線性方程─Ax +By + C = 0 ，一般題目要求大家求斜率(m)及 y 軸

截距;斜率 = (這 y2 & x2不是次方，只是代數) 或 , y 軸截距: ;

計算一條線性方程，一下子變出了多條公式，多麼的煩悶。假如能找以

上公式整合成一條，多麼方便。事實上可以的，例如把 Ax +By + C1 = 0 改

成 y=mx + c2 ，m 是斜率而 c2是 y 軸截距。說法可能有點抽象，例如

一條方程:4x+5y+6 =0，要求斜率和 y 軸截距，你要回想起之前的公式代

入，如果你記憶力好，當然不成問題，但如果沒有書，一時忘了，又或

背錯了公式，如何是好?但如果你只記 y=mx + c2,出現這問題的機會便大

大減少又方便,把 4x+5y+6 =0

改成 y = x + ，一下子便可得出想要答案，而且公式也記少了，如

果你留心一點，可從 y=mx + c2看出上面公式的影子。

因此我向同學推介此書，了解和化簡你的數學，學習自然輕鬆一點。

陳裕新 6B

http://search.books.com.tw/exep/prod_search_author.php?key=%BD%B1%C1n%20%20%B3%AF%B7%E7%B5%60%20%20%BDshttp://www.books.com.tw/exep/pub_book.php?pubid=0000000315

35 答案

P.6 數字象徵符號的答案:

12345678987654321

『身份證驗證碼』知多少？

英文字母轉為數值的規律：

A=1, B=2, C=3, 〃〃〃Y=25, Z=26

身份證有七個位，第 1 個位×8, 第 2 個位×7, 第 3 個位×6,…最後第 7 個位×2

依上述身份證的例子:

1×8＋1×7＋2×6＋3×5＋4×4＋5×3＋6×2＝85

85 要加上 3 才能被 11 整除，

故該身份證最後括號內的驗證碼是：3

即該身份證的號碼是：A123456 (3)

最少有糖果幾粒？

正確答案：５８粒

解釋：

如果在原有糖果數目上再加上２粒，

則糖果的數目恰好是３、４、５、６這四個數的公倍數；

Ｌ.Ｃ.Ｍ.是６０，

所以原有糖果：６０－２＝５８(粒)

燃繩問題

我們把兩條繩子隨意稱為 A 繩 和 B 繩

首先，同時點燃 A 繩的兩端和 B 繩的一端點燃。

當 A 繩燒完，正好過了 30 分鐘，也尌是說 B 繩還能燃燒 30 分鐘。

在 A 繩燃盡的一剎那，迅速點燃 B 繩的另一端，則 B 繩的燃燒速度加倍，燒完

剛好過了 15 分鐘。總時間是 45 分鐘

不翼而飛的$10

實際的情況是：

三個學生每人從夥計手上退回$10，實際支出$270

旅館老闆收取$250，加上被夥計私吞的$20，恰好是$270。

最初的$300 是毫無意義的。

推斷生日

從第一句知 M 可能為 3.9（N 值都有重複）

第二句知 M 不可能為 3，N 不能為 5（小強不能馬上知道）

只能為 9 月 1 日

36

特別鳴謝

張 紹 裘 老 師 黃 植 添 老 師

李 樹 超 老 師 趙 啟 昌 老 師

陳 淑 芬 老 師

葉 立 源 2 D 何 偉 駿 3 B

葉 詠 南 3 B 李 綺 雯 3 E

李 敏 翹 3 E 張 嘉 玲 3 E

吳 端 玲 老 師

6B 班純數班同學