固体電子工学

第5回 結晶構造と対称性

5-1

名古屋大学工学部電気電子・情報工学科 中里 和郎、新津 葵一

5-2

面心立方格子

(fcc : face centered cubic)

六方最密構造

（hcp : hexagonal closed-packed)

体心立方格子

(bcc : body centered cubic)

ダイヤモンド構造

主な結晶構造

5-3

ZnS 構造

NaCl 構造

CsCl 構造

ダイヤモンド構造で

陽イオンと陰イオンが

交互に配置

面心立方格子で

構成ブロックが

陽イオンと陰イオン

体心立方格子で

陽イオンと陰イオンが

交互に配置

主な結晶構造（イオン結合）

ウルツ鉱型

閉亜鉛鉱型

六方最密構造で

構成ブロックが

陽イオンと陰イオン

塩化ナトリウム型

塩化セシウム型

ZnO 構造

結晶構造と対称性

ここを垂直に通る軸で回転してみる

60°の回転で元の結晶と重なる

このような対称性は結晶の性質を整理・理解するのに役立つ

5-4

対称性

ある図形に一定の操作を施して得られる新しい図形が元の図形に合わさるとき、図形は対称性を持つといい、その操作を対称操作という。

11 12 13

21 22 23

31 32 33

x a a a x u

y a a a y v

z a a a z w

r Ar u

回転・反転・鏡映操作

並進操作

u ua vb wc

u, v , w : 整数 点対称性

5-5

（原点が不変）

点対称性

鏡映 m

z 面での鏡映

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A

x

y

z

反転 1 1 0 0

0 1 0

0 0 1

A

x

y

z

回転 n

z 軸での回転

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

A

x

y

z

n : 次数 n 回操作すると元に戻る = 2p/n

結晶では n =2, 3, 4, 6 のみ可能

回反 n

回転＋反転 x

y

z

鏡映面

反転中心

回転軸

5-6

結晶において回転軸の次数 n は 2, 3, 4, 6 のみが可能

証明 １）回転軸に垂直な並進ベクトルが存在する

回転軸

t

At

回転操作 A

ある格子点ベクトルを t

回転操作後の点 も格子点 At

At t も格子点で回転軸に垂直

２） を回転軸に垂直な最小長さの並進ベクトルとする。 t

2 m

n

p

tt

mA t

mA t tmA t t2 sin or 0m m

A t t t tn

p

2 cos or 0m mA t t t t

n

p

1 1 1 2 5 , , , 1

6 3 2 3 6

m m m m

n n n n

が m = 1, …, n のすべてで成り立たなければならない

n = 2, 3, 4, 6 の時にこの条件は満たされる

n = 5 の時には m = 2, 3 がこの条件を満たさない

n > 7 の時には m = 1 がこの条件を満たさない

5-7

回反の例

上から見た図

六方晶

1 1 1

反転

6

この対称性は？

2

60° =360° /6 回転

5-8

結晶の対称操作

鏡映・反転・回転・回反を最大３つの軸に対し行う

必ずしも直交する必要は無い

結晶の対称性に対する国際記法

① n1 n2 n3

主軸に対する回転の次数

（最も対称性の高い軸）

２番目の軸 ３番目の軸

例） 4 2 2 主軸：４回軸

２番目の軸：２回軸

３番目の軸：２回軸

② 軸に垂直な鏡映面がある

場合には と記す n

m

例） 4 2 2

m m m

③ を m と記す 例） 4 3 m 12

m

5-9

a＝b≠c

a＝b＝g＝90 °

a b

c

正方晶 例

主軸の周りに４回軸

主軸に垂直な鏡映面

２番目の軸の周りに２回軸

２番目の軸に垂直な鏡映面

2

m

３番目の軸の周りに２回軸

３番目の軸に垂直な鏡映面

2

m

対称性

4 2 2

m m m

4

m

5-10

３次元格子

a

b

ca

b

g ７つの基底ベクトル系と１４のブラベー(Bravais) 格子

単純(P) 底心(C) 体心(I) 面心(F) 対称性＊

三斜

triclinic

a≠b≠c ≠a

a, b, g≠90 °

単斜

monoclinic

a≠b ≠c ≠a

a＝g＝90°, b≠90 °

斜方（直方）

orthorhombic

a≠b ≠c ≠a

a＝b＝g＝90 °

正方

tetragonal

a＝b≠c

a＝b＝g＝90 °

六方

hexagonal

a＝b≠c

a＝b＝90°, g ＝120 °

菱面体（三方）

rhombohedral

a＝b ＝c

a＝b＝g≠90 °

立方（等軸）

cubic

a＝b＝c

a＝b＝g＝90 °

1

2

m

2 2 2

m m m

4 2 2

m m m

23

m

6 2 2

m m m

4 23

m m

＊それぞれの結晶系で最も対称性の高いもの

5-11

３２点群 (point group)

結晶の回転対称性

群

集合であって

(1) 集合の要素 a, b に対し、積 a・b が集合に属する

(2) 結合則が成り立つ (a・b) ・c = a・(b・c)

(3) 単位元が存在する a・e = e・a = a

(4) 逆元が一意に定まる a-1・a = a・a-1 = e

並進対称性も入れると230個の要素を持つ空間群を形成する

5-12

点群の表記法

国際記法

ステレオグラム

シェンフリース（Schoenflies）の記法

5-13

ステレオグラム（立体投影図）

N

S

北半球の点：南極(S)と平面との交点 ●

南半球の点：北極(N)と平面との交点 ○

主回転軸：可能であればN-Sにとる

記号

(1) 2, 3, 4, 6 回転軸を で表す

(2) 鏡面は直線で、鏡面以外は点線で表す

(3) １つの基準点（一般点）をとり、それに対称な点すべてを●○で記す

六方最密晶 (hcp)

6 2m

5-14

Cj ( j = 2, 3, 4, 6) j 次の回転軸 Cyclic

Sj j 次の回転軸＋回転軸に垂直な鏡映 Spiegel (mirror)

Dj j 次の回転軸＋回転軸に垂直な j 本の２回軸 Dihedral

T 正四面体における４本の３回軸＋３本の４回軸 Tetrahedron

O 正八面体における４本の３回軸＋３本の４回軸 Octahedron

s 鏡映面

鏡映面に対する付加的な記号

h 水平 主回転軸に垂直

v 垂直 主回転軸に平行

d 対角的 ２回軸の２等分面内、主回転軸に平行

シェンフリース（Schoenflies）の記法 5-15

n

n

n

m

nm

nm

2n

n

mm

1 2 3 4 6 23

1 2 m 3 4 6

223 3

( 3)

m

m

2

m

4

m

6

m

2mm 3m 4mm 6mm

23

3

m

m

42m 6 2m 43m

222 32 422 622 432

2 2 2

( )

m m m

mmm

4 2 2

4

m m m

mmm

6 2 2

6

m m m

mmm

4 23

( 3 )

m m

m m

1C 2C 3C 4C 6C T

2S hs 6S 4S 3hChT

2hC 4hC 6hC

2vC 3vC 4vC 6vC

3dD 2dD 3hD dT

2D 3D 4D 6D O

2hD 4hD 6hD hO

三斜 単斜 菱面体 正方 六方 立方

斜方 a b c

90a b g

a b c a b c a b c a b c

a b c 90a g

90b

a b c 90a b g 90a b g 90a b g 90a b g 90a b 120g

７基底系と３２点群

回転軸

回反軸

回転軸 水平鏡映面

回転軸 垂直鏡映面

回反軸 垂直鏡映面

回転軸 ２回軸

回転軸 水平鏡映面

垂直鏡映面

5-16

4

m

3

2

m

4 23

m mOh

面心立方晶 (fcc)

a

b

c(1 0 0)

(1 0 0)(0 1 0)(0 0 1)

{1 0 0} =

(1 1 0)

2

a

(1 1 1)

a

a

2

a

2

a

2

a

(1 1 1) (1 1 1)(1 1 1) (1 1 1)

{1 1 1} =

5-17

6

m

2

6 2m D3h

六方最密晶 (hcp)

a

b

d

c

(0 0 0 1)

(1 1 2 0)(1 1 2 0)

3

2a

a

a

(1 0 1 0)(1 0 1 0)

a

2

a

2

a

2

a

2

a

5-18

4

m

3

43m Td

ダイヤモンド構造

a

b

c

(1 0 0)

(1 1 0)

(1 1 1)

a

a

2

a

2

a

5-19