アルゴリズムとデータ構造

2012年7月19日

酒居敬一(sakai.keiichi@kochi-tech.ac.jp)

http://www.info.kochi-tech.ac.jp/k1sakai/Lecture/ALG/2012/index.html 1

文字集合と符号化

•  2011年度までのA-WS ‒ 日本語EUC(EUC-JP)符号化 ‒ JIS X 0208およびASCII文字集合

•  2012年度からのA-WS ‒ UTF-8符号化(例外: Macのjavacはsjis) ‒ Unicode文字集合

•  Javaの内部 ‒ UTF-16符号化(16bitのcharで保持) ‒ Unicode文字集合

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javac に -J-Dfile.encoding=UTF8 というオプションを与える理由

文字列の照合 （２９８ページ）

3 ]1[]1[

]1[]1[][]0[

−+=−

+==

mpostextmpattern

postextpatternpostextpattern

ｃｈａｒ［］　ｔｅｘｔ ＝ ｎｅｗ ｃｈａｒ［ｎ］； ｃｈａｒ［］　ｐａｔｔｅｒｎ ＝ ｎｅｗ ｃｈａｒ［ｍ］；

テキストとパターンの長さをそれぞれｎ，ｍとしたとき、 それぞれ次のように配列で与えられているとする。 (Javaの場合、charはUnicodeなので、漢字も含まれる。)

文字列照合あるいは文字列探索とは、テキストとパターンに関して 次のような関係の成り立つｐｏｓを求めることである。

public class SimpleMatch { public static int match(char[] text, char[] pattern){ shift: for(int i = 0; i <= (text.length - pattern.length); i++){ for(int j = 0; j < pattern.length; j++){ if(text[i+j] != pattern[j]){ continue shift; } } return i; } return -1; } }

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最後まで一致したら終了

素朴なアルゴリズム （２９９ページ）

素朴なアルゴリズムでは、テキストの最初から順に パターンと一致する部分があるかどうかを調べていく。

一致しなければ、１文字 ずらしてやりなおし

ａ ｂ ａ ｃ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂ

ｃ ａ ｃ ｃ ｂ

public static void main(String[] args) { String a, b; int c; a = "テキスト内でパターンが見付かったか"; b = "パターン"; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println("「" + a + "」「" + b + "」 " + c); a = "計算量を気にしなければ、この問題の解法はいとも簡単である。"; b = "テキスト"; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println("「" + a + "」「" + b + "」 " + c); a = "KMPアルゴリズムの比較の回数は、最大2n回である。つまり計算量は…"; b = "、最大"; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println("「" + a + "」「" + b + "」 " + c); a = "Dijkstraって読むの難しいよね。ダイクストラって発音するんだよ。"; b = "偉い人なんだよ。"; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println("「" + a + "」「" + b + "」 " + c); a = "アルゴリズムとデータ構造"; b = "オペレーティングシステム"; c = match(a.toCharArray(), b.toCharArray()); System.out.println("「" + a + "」「" + b + "」 " + c); }

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「テキスト内でパターンが見付かったか」「パターン」 6 「計算量を気にしなければ、この問題の解法はいとも簡単である。」「テキスト」 -1 「KMPアルゴリズムの比較の回数は、最大2n回である。つまり計算量は…」「、最大」 16 「Dijkstraって読むの難しいよね。ダイクストラって発音するんだよ。」「偉い人なんだよ。」 -1 「アルゴリズムとデータ構造」「オペレーティングシステム」 -1

6

ａ ａ ａ ｂ

ａ ａ ａ ａ ａ ａ

＝

≠

＝

≠

＝

＝

≠

＝

ａ ａ ａ ｂ ａ ａ ａ ｂ

素朴なアルゴリズムは時間計算量はＯ（ｍｎ）。 実装が簡単なので実行したときの性能はそう悪くない。

一致したという情報を再利用すれば、比較回数が減る。 そこで、ｔ文字一致した後に不一致が検出されたとき、 パターンをテキストに対してどれだけ進めればいいか、 パターンのどこから比較を開始すればいいかを求めておく。

ａ ａ ａ ｂ

ａ ａ ａ ａ ａ ａ

＝

≠

＝

≠

＝

＝

≠

＝

ａ ａ ａ ｂ ａ ａ ａ ｂ

テキストとパターンの 比較は不一致のあった ところからになる。 テキストストリームの 逆戻りがない。

Knuth-Morris-Prattのアルゴリズム

（３０１ページ）

•  あらかじめパターンを調べておいて 不一致が起きたときに、比較回数を減らすべく、 次の比較位置を決定する。

•  比較中のテキストの文字位置に戻りがない。 •  後述のＢＭアルゴリズムほどではないが、 素朴なアルゴリズムより実行性能は良い。

7

8

ａ ｂ ａ ｃ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂ パターン ３文字目で不一致

テキスト

ａ ｂ ａ ｂ

ｃ ａ

ａ ｂ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂ

ｃ ｃ ｂ

０ １ ０ １

ａ ｂ ａ ｂ

-1 ０ -1 ０

Pascal的添え字 (教科書の例)

Java的添え字

ｎｅｘｔ配列の内容

２文字目で不一致

４文字目で不一致

１文字目で不一致

１文字目で不一致

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パターン

先頭

先頭厭只咆文字一致

先頭厭只咆文字一致

先頭厭只咇文字一致

先頭厭只全厱一致友厹

先頭厭只全厱一致友厹

先頭厭只全厱一致友厹

先頭厭只全厱一致友厹

先頭厭只咆文字一致

先頭厭只咇文字一致

先頭厭只咈文字一致

ａ ｂ ａ ｄ ｅ ａ ｃ ｂ ａ ｂ ｄ ｆ

先頭厭只全厱一致友厹

-1 0 0 0 -1 1 0 2 -1 0 0 3 ｎｅｘｔ配列 （Ｊａｖａ）

• パターンの中で、パターン先頭から始まる部分文字列が 　パターン中に現れるかどうかを調べる。 • これまで一致していた部分文字列の有無、不一致文字が部分文字列 　のどこ含まれているかどうかで操作を決定する。

先頭厭只咆文字一致

先頭厭只咇文字一致

ａ ｂ

-1 0

先頭厭只咆文字一致

先頭厭只咇文字一致

ａ ｂ

2 0

変数ｔ -1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 2 2 3

public class KnuthMorrisPratt { private static void kmpinit(char[] pattern, int[] next){ int t = -1; next[0] = -1; for(int j = 1; j < pattern.length; j++){ while((t >= 0) && (pattern[j-1] != pattern[t])) t = next[t]; t++; if(pattern[j] != pattern[t]) next[j] = t; else next[j] = next[t]; } } private static int kmpmatch(char[] text, char[] pattern, int[] next){ int i = 0; int j = 0; while((i < text.length) && (j < pattern.length)){ while((j >= 0) && (text[i] != pattern[j])){ j = next[j]; } i++; j++; } if(j < pattern.length) return -1; return i - j; } public static int match(char[] text, char[] pattern){ int[] next = new int[pattern.length]; kmpinit(pattern, next); return kmpmatch(text, pattern, next); } }

パターンは先頭から、 テキストは未比較の文字位置から それぞれ比較するというフラグ。

テキストの中で、パターンと 現在比較しているところを指す。 ｉ＝０から単調増加である。

（ｊ-２）文字の一致が見られたときに、 パターンを少しずらせて比較を続ける

Boyer-Mooreのアルゴリズム（３０４ページ）

•  あらかじめパターンを調べておいて 不一致が起きたときに、比較回数を減らすべく、 次の比較位置を決定する。 –  ２つの作戦により、比較回数を減らす。 – ＫＭＰアルゴリズムでは少なくとも１回は、テキスト の文字を調べないといけないが、この方法では １回も調べない文字が存在する。その分速い。

•  パターンは後ろから比較する。

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作戦１

ａ

ａ ｂ ｃ

ａ ｂ ｃ

ａ ｂ ｃ

ａ ｂ ｃ

ａ ｂ ｃ

ａ ｂ ｃ

ａ ｂ ｃ

ｘ

図５.１.５　作戦１（その１）

図５.１.５　作戦１（その２）

テキスト

パターン

テキスト

パターン

最初の比較で不一致

最初の比較で不一致

比べるだけ無駄

比べるだけ無駄

比べるだけ無駄

新たなるテキストからならば、 比べる意味はある

１文字目が一致するので、 ２文字目以降は比べる意味はある

public class BoyerMooreMap { private static void bminit(char[] pattern, Map<Character, Integer> skip){ for(int j = 0; j < pattern.length - 1; j++){ skip.put(pattern[j], pattern.length - j - 1); } } public static int bmmatch(char[] text, char[] pattern, Map<Character, Integer> skip){ shift: for(int i = pattern.length - 1; i < text.length;){ for(int j = pattern.length - 1; j >= 0; i--, j--){ if(text[i] != pattern[j]){ // 教科書のプログラム5.1.8そのまま Integer s = skip.get(text[i]); if(s == null) i += pattern.length; else i += Math.max(s, pattern.length - j); continue shift; } } return ++i; } return -1; } public static int match(char[] text, char[] pattern){ Map<Character, Integer> skip = new HashMap<Character, Integer>(pattern.length*2); bminit(pattern, skip); return bmmatch(text, pattern, skip); } }

ハッシュテーブルを使うと簡単なので 教科書の擬似プログラムを書き換えた。 パターンに含まれる文字をキー、 スキップ量を値としている。

public class BoyerMooreMap { private static void bminit(char[] pattern, Map<Character, Integer> skip){ for(int j = 0; j < pattern.length - 1; j++){ skip.put(pattern[j], pattern.length - j - 1); } } public static int bmmatch(char[] text, char[] pattern, Map<Character, Integer> skip){ shift: for(int i = pattern.length - 1; i < text.length;){ for(int j = pattern.length - 1; j >= 0; i--, j--){ if(text[i] != pattern[j]){ // 教科書の３０９ページにあるようにiを元に戻した場合。 i += pattern.length - 1 - j; Integer s = skip.get(text[i]); i += (s == null)? pattern.length: s; continue shift; } } return ++i; } return -1; } public static int match(char[] text, char[] pattern){ Map<Character, Integer> skip = new HashMap<Character, Integer>(pattern.length*2); bminit(pattern, skip); return bmmatch(text, pattern, skip); } }

計算の手間はともかく、 動作の理解にはいったん元に 戻す方法も悪くない。

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作戦２

図５.１.１０　作戦２（その１）

図５.１.１１　作戦２（その２）

テキスト

３文字目 で不一致

無駄

無駄

ａ ｂ ｃ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ

ａ ｂ ｃ ａ ｂ

ａ ｂ ｃ ａ ｂ

ａ ｂ ｃ ａ ｂ

ｂ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂ

ａ ｂ ａ ｂ

ｘ ｂ

無駄

２文字目 で不一致

無駄

無駄

パターンの比較を末尾から行うということを除けば、 ＫＭＰアルゴリズムと考え方は同じ。

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○

×

△

○

○

×

×

図５.１.１２　場合1

図５.１.１３　場合２

図５.１.１４　場合３

文字の並びが同じ 部分がある

（ただし、○≠△）

少しずらせる。

文字の並びが同じ 部分が少しある

かなりずらせる。

文字の並びが同じ 部分がない

public class BoyerMoore { private static void bminit(char[] pattern, Map<Character, Integer> skip, int[] next){ int[] g = new int[pattern.length]; int j; for(j = 0; j < pattern.length; j++){ next[j] = 2*pattern.length - j - 1; // length + (length - j - 1) } j = pattern.length; for(int k = pattern.length - 1; k >= 0; k--, j--){ g[k] = j; while((j < pattern.length) && (pattern[j] != pattern[k])){ next[j] = Math.min(next[j], pattern.length - k - 1); j = g[j]; } } int s = j; for(j = 0; j < pattern.length; j++){ next[j] = Math.min(next[j], s + pattern.length - j - 1); if(j >= s){ s = g[s]; } } for(j = 0; j < pattern.length - 1; j++){ skip.put(pattern[j], pattern.length - j - 1); } } } ｂｍｍａｔｃｈメソッドなどは次のページで…

ｓｋｉｐを求める

ｎｅｘｔを求める

教科書のｍ‐ｊに 相当するＪａｖａ表現

public static int bmmatch(char[] text, char[] pattern, Map<Character, Integer> skip, int[] next){ shift: for(int i = pattern.length - 1; i < text.length;){ for(int j = pattern.length - 1; j >= 0; i--, j--){ if(text[i] != pattern[j]){ Integer s = skip.get(text[i]); if(s == null){ i += Math.max(pattern.length, next[j]); } else { i += Math.max(s, next[j]); } continue shift; } } return ++i; } return -1; } public static int match(char[] text, char[] pattern){ Map<Character, Integer> skip = new HashMap<Character, Integer>(pattern.length*2); int[] next = new int[pattern.length]; bminit(pattern, skip, next); return bmmatch(text, pattern, skip, next); }