idő-frekvencia...
TRANSCRIPT
Idő-frekvencia analízis
Pokol Gergő
BME NTI
Műszaki rendszerek diagnosztikája2008. április 21.
2
Vázlat• Történelmi bevezető az idő-frekvencia analízishez• Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon• A hagyományos módszer: rövid idejű Fourier-tr.• Az újabb módszer: Folytonos wavelet tr.• Matematikai kitekintés – Wigner-Ville eloszlás• Cohen-osztály• Folytonos vagy diszkrét?• Példa: Wavelet koherencia frekvencia-invariáns simítással
ALPS jeleken• Példa: STFT koherencia és wavelet koherencia
skálainvariáns simítással + módusszámok Mirnov-szondajeleken
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
3
Vázlat• Történelmi bevezető az idő-frekvencia analízishez• Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon• A hagyományos módszer: rövid idejű Fourier-tr.• Az újabb módszer: Folytonos wavelet tr.• Matematikai kitekintés – Wigner-Ville eloszlás• Cohen-osztály• Folytonos vagy diszkrét?• Példa: Wavelet koherencia frekvencia-invariáns simítással
ALPS jeleken• Példa: STFT koherencia és wavelet koherencia
skálainvariáns simítással + módusszámok Mirnov-szondajeleken
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
4
Történelmi bevezető,avagy
Mi volt az idő-frekvencia analízis előtt?
• Analízis időben és frekvenciában – Fourier-transzformáció
• Euler-formula:
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
∫+∞
∞−
−− >==< dtetfeff titi ωωω )(,)()
)sin()cos( tite ti ωωω −=−
5
Történelmi bevezető,avagy
Hol van az időbeli lokalizáció?: Példa
• ALPS, Paks NPP
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
6
Vázlat• Történelmi bevezető az idő-frekvencia analízishez• Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon• A hagyományos módszer: rövid idejű Fourier-tr.• Az újabb módszer: Folytonos wavelet tr.• Matematikai kitekintés – Wigner-Ville eloszlás• Cohen-osztály• Folytonos vagy diszkrét?• Példa: Wavelet koherencia frekvencia-invariáns simítással
ALPS jeleken• Példa: STFT koherencia és wavelet koherencia
skálainvariáns simítással + módusszámok Mirnov-szondajeleken
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
7
Hol van az időbeli lokalizáció?
• Gyakorlatban mindig véges hosszúságú jelek
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
∫+
−
−− >==<T
T
titi dtetgtfetgtff ωωω )()()(),()()
],[)supp TT(g −=Ablakozás:
∫+∞
∞−
−− >==< dtetfeff titi ωωω )(,)()
8
Alapfogalmak:Idő-frekvencia sík
Idő-frekvencia atom
• Energiasűrűség az idő-frekvencia síkon - peremeloszlások• Idő-frekvencia atom:
Olyan függvény, aminek energiája időben és frekvenciában is lokalizált
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
( )
( )∫
∫
∫
∫
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
+∞
∞−
−=
−=
=
=
ωωξωπ
σ
σ
ωωωπ
ξ
ω dff
dttfutf
dff
dttftf
u
t
222
2
222
2
22
22
)(2
1
)(1
)(2
1
)(1
)
)
9
Határozatlansági reláció
• Alsó korlát az idő-frekvencia atom kiterjedésére
• Egyenlőség Gábor-atomra:
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
21
≥ωσσ t
2)()( utbti eaetf −−= ξ
10
Heisenberg-doboz
• Idő-frekvencia atom kiterjedése az idő-frekvencia síkon
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
11
Vázlat• Történelmi bevezető az idő-frekvencia analízishez• Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon• A hagyományos módszer: rövid idejű Fourier-tr.• Az újabb módszer: Folytonos wavelet tr.• Matematikai kitekintés – Wigner-Ville eloszlás• Cohen-osztály• Folytonos vagy diszkrét?• Példa: Wavelet koherencia frekvencia-invariáns simítással
ALPS jeleken• Példa: STFT koherencia és wavelet koherencia
skálainvariáns simítással + módusszámok Mirnov-szondajeleken
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
12
A hagyományos módszer:rövid idejű Fourier-transzformáció 1.
• STFT: short-time Fourier-transform• folytonos ablakozott Fourier-transzformáció• Az idő-frekvencia atom:
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
)(, utgeg tiu −= − ξξ 1|||| =g
13
A hagyományos módszer:rövid idejű Fourier-transzformáció 2.
• A transzformáció:
• Inverz transzformáció:
• Egyenletes lefedés:
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
∫+∞
∞−
−−>==< dtetugtfgfuSf tiu
ξξξ )()(,),( ,
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
−−= ξξπ
ξ dudetuguSftf ti)(),(21)(
14
A hagyományos módszer:Spektrogram
• A jel teljes energiája megmarad:
• Energiasűrűség-eloszlás az idő-frekvencia síkon (spektrogram):
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
∫ ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
= duduSfdttf ξξπ
22 |),(|21|)(|
2|),(|),( ξξ uSfufPS =
15
Példa spektrogram alkalmazására
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
16
Vázlat• Történelmi bevezető az idő-frekvencia analízishez• Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon• A hagyományos módszer: rövid-idejű Fourier-tr.• Az újabb módszer: Folytonos wavelet tr.• Matematikai kitekintés – Wigner-Ville eloszlás• Cohen-osztály• Folytonos vagy diszkrét?• Példa: Wavelet koherencia frekvencia-invariáns simítással
ALPS jeleken• Példa: STFT koherencia és wavelet koherencia
skálainvariáns simítással + módusszámok Mirnov-szondajeleken
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
17
Az újabb módszer:folytonos wavelet transzformáció 1.
• CWT: continuous wavelet transform• Komplex, analitikus• Az idő-frekvencia atom:
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Ψ=Ψs
utssu
1, 1|||| =Ψ
18
Az újabb módszer:folytonos wavelet transzformáció 2.
• A transzformáció:
• Feltétel: • Inverz transzformáció:
• Lefedés változóalakú atomokkal:
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
∫+∞
∞−
∗ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Ψ>=Ψ=< dts
uts
tffsuWf su1)(,),( ,
+∞<Ψ
= ∫+∞
Ψ0
2|)(ˆ| ωωω dC
∫ ∫+∞+∞
∞−Ψ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Ψ=0
2
1),(1)(sdsdu
sut
ssuWf
Ctf
19
Az újabb módszer:Skálagram
• A jel teljes energiája megmarad:
• Energiasűrűség-eloszlás az idő-frekvencia síkon (skálagram):
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
∫ ∫ ∫+∞
∞−
+∞+∞
∞−Ψ
=0
22 |),(|2|)(|s
dsdusuWfC
dttf
2|),(|),( suWfsufPW =
20
Példa skálagram alkalmazására
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
Frequency (Hz)7400
5300
4100
1800
830180
21
Példa skálagram alkalmazására
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
Frequency (Hz)
7400530041001800830
180
22
Példa skálagram alkalmazására
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
Frequency (Hz)
7500
1300 - 2550830 - 1260
14050
15 - 35
1
23
A két módszer összehasonlítása
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
24
Idő-frekvencia atomok kiválasztása
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
• Komplex, analitikus atomok (STFT esetén automatikusan)• Az atom típusa függ a jeltől, de általában a Gábor-atom jó• Az atom paramétereit a fizikai modell határozza meg:
– STFT esetén az ablakhosszt– CWT esetén a hullámok számát
• A „jó” paraméterezést a fizikai kép határozza meg(lásd: lebegés)
25
Vázlat• Történelmi bevezető az idő-frekvencia analízishez• Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon• A hagyományos módszer: rövid-idejű Fourier-tr.• Az újabb módszer: Folytonos wavelet tr.• Matematikai kitekintés – Wigner-Ville eloszlás• Cohen-osztály• Folytonos vagy diszkrét?• Példa: Wavelet koherencia frekvencia-invariáns simítással
ALPS jeleken• Példa: STFT koherencia és wavelet koherencia
skálainvariáns simítással + módusszámok Mirnov-szondajeleken
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
26
Wigner-Ville eloszlás 1.
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
• Definíció:
• Interferencia:
( ) ( ) τξ τξττ deufufufP iV
−+∞
∞−
−+= ∫ 2*
2),(
27
Wigner-Ville eloszlás 2.
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
• Elemi idő-frekvencia atomokra pontos idő-frekvencia energiasűrűség-eloszlás
• Paraméterezést nem igényel• Összetett jelre negatív értéket is felvehet
Nem értelmezhető energiasűrűség-eloszlásként• Lényeges jelkomponensek is elveszhetnek az
interferenciában
28
Vázlat• Történelmi bevezető az idő-frekvencia analízishez• Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon• A hagyományos módszer: rövid-idejű Fourier-tr.• Az újabb módszer: Folytonos wavelet tr.• Matematikai kitekintés – Wigner-Ville eloszlás• Cohen-osztály• Folytonos vagy diszkrét?• Példa: Wavelet koherencia frekvencia-invariáns simítással
ALPS jeleken• Példa: STFT koherencia és wavelet koherencia
skálainvariáns simítással + módusszámok Mirnov-szondajeleken
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
29
Cohen-osztály
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
• Interferencia csökkentése simítással:
• Simító kernelt megfelelően kell megválasztani• Csökken az idő-frekvencia felbontás• Paraméterezést igényel• Speciális esete a lineáris transzformáció (STFT, CWT),
mikor az interferencia teljesen eltűnik.• Lin. tr. esetén simítás az atomok Wigner-Ville eloszlásával
ξξξξξ ′′′′Θ′′= ∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−Θ duduuufPufP V ),,,(),(),(
30
Vázlat• Történelmi bevezető az idő-frekvencia analízishez• Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon• A hagyományos módszer: rövid-idejű Fourier-tr.• Az újabb módszer: Folytonos wavelet tr.• Matematikai kitekintés – Wigner-Ville eloszlás• Cohen-osztály• Folytonos vagy diszkrét?• Példa: Wavelet koherencia frekvencia-invariáns simítással
ALPS jeleken• Példa: STFT koherencia és wavelet koherencia
skálainvariáns simítással + módusszámok Mirnov-szondajeleken
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
31
Folytonos vagy diszkrét?
Alapvető tulajdonságok
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
• A folytonos transzformáció:– idő-eltolás invariáns– frekvencia-eltolás invariáns (vagy skálainvariáns) – redundáns ábrázolás– a transzformált értékek összefüggnek
• A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal):– nem idő-eltolás invariáns– nem frekvencia-eltolás invariáns– nem redundáns ábrázolás– a transzformált értékek függetlenek
32
Folytonos vagy diszkrét?
Melyiket használjuk?
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
• A folytonos transzformáció:– tranziens jeleknél fontos az invariancia– vizualizálásnál hasznos a sima (összefüggő) kép– az atomok szabadon választhatók
• A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal):– sztochasztikus stacioner jeleknél nem fontos az invariancia– további statisztikus feldolgozás esetén hasznos a függetlenség– speciális ortogonális bázisok (atomok) kellenek (keret elmélet)
• Kevert tulajdonságú transzformációk– pl. csúszóablakos FFT
33
Irodalom
• Stéphane Mallat: A wavelet tour of signal processing(Academic Press)
• Alfred Mertins: Signal analysis(John Willey & Sons Ltd.)
• ...
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
34
Példa wavelet transzformáción alapulóadatfeldolgozási eljárásra
Wavelet koherencia frekvencia-invariáns simítással ALPS jeleken
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
35
Wavelet based coherence• 1. CWT for two signals: • 2. WAPSD (scalogram) and WCPSD calculation:
• 3. WAPSD and WCPSD smoothing:
• 4. Coherence calculation:
),( suWg),( suWf
),(),(),( *, suWsuWsuWCPSD gfgf =
),(),(),( * suWsuWsuWAPSD fff = ),(),(),( * suWsuWsuWAPSD ggg =
dusuWCPSDT
stWCPSDT
T
t
tgfgf ∫
+
−
=2
2
),(1),( ,,
dusuWAPSDT
stWAPSDT
T
t
tff ∫
+
−
=2
2
),(1),( dusuWAPSDT
stWAPSDT
T
t
tgg ∫
+
−
=2
2
),(1),(
),(),(
),(),( ,
,stWAPSDstWAPSD
stWCPSDstWCOH
gf
gfgf =
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízisPokol Gergő: Idő-frekvencia analízisPokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
36
Scalogram (WAPSD) of startup ofmain pump signal G3
Frequency (Hz)
7500
1300 - 2550830 - 1260
14050
15 - 35
1
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
37
Scalogram (WAPSD) of startup ofmain pump signal M3
Frequency (Hz)
7500
1300 - 2550830 - 1260
14050
15 - 35
1
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
38
Smoothed cross-scalogram(|<WCPSD>|)
Frequency (Hz)
7500
1300 - 2550830 - 1260
140
50
15 - 35
1
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
39
Coherence (WCOH)Frequency (Hz)
7500
1300 - 2550830 - 1260
140
50
15 - 35
1
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
40
Példa wavelet transzformáción alapulóadatfeldolgozási eljárásra
STFT koherencia + módusszámokMirnov-szonda jeleken
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
41
STFT coherence and phase
• Cross-spectrogram:
• Averaging, smoothing:
• Coherence:
*, ),(),(),( ξξξ uSguSfuCS gf ⋅=
duuCST
tCST
T
t
tgfgf ∫
+
−
=2
2
),(1),( ,, ξξ
duuPST
tPST
T
t
tff ∫
+
−
=2
2
),(1),( ξξ
duuPST
tPST
T
t
tgg ∫
+
−
=2
2
),(1),( ξξ
),(),(
),(),(
,,
ξξ
ξξ
tPStPS
tCStCOHS
gf
gfgf =
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
42
ELMy H
H*
HDH
Freq
uenc
y (k
Hz)
150
100
50
Time (s)0.2 0.5
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
43
ELMy H
H*
HDH
Freq
uenc
y (k
Hz)
150
100
50
Time (s)0.2 0.5
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
44
ELM
Freq
uenc
y (k
Hz)
150
100
50
Time (s)0.202 0.206
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
45
ELM
Freq
uenc
y (k
Hz)
150
100
50
Time (s)0.202 0.206
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
46
ELM
Freq
uenc
y (k
Hz)
150
100
50
Time (s)0.202 0.206
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
47
- relative phases as function ofprobe position translated tothe origin
- N(N-1)/2 „independent”measurements
- accepted if all probes see the same mode number
3
21
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
48
Freq
uenc
y (k
Hz)
150
100
50
Time (s)0.202 0.206
1
2
30
4
-4
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
49
Példa wavelet transzformáción alapulóadatfeldolgozási eljárásra
Wavelet koherencia skálainvariáns simítással + módusszámok Mirnov-
szonda jeleken
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
50
Continuous wavelet coherence with scaled smoothing
• Conventional smoothing: constant length smoothing kernel + changing time resolution changing number of averaged measurements :
• Scaled smoothing constant number of averaged measurements :
)()(),(1),( ,,,
2
2
tAuCSduuCST
tCS Tgf
t
tgfgf
T
T
∗== ∫+
−
ξξ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ <<=
otherwise 02
T2
T- if ,1)( ttAT
)()(),( ,, tBuCStCS sgfgf ∗=ξ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <<
= otherwise 0
NsNs- if ,1)( avr.avr. ππ t
tBs
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
51
Freq
uenc
y (k
Hz)
1000
100
1
Time (s)2.45 2.46
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
10
52
Freq
uenc
y (k
Hz)
1000
100
Time (s)2.45 2.46
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
10
53
Freq
uenc
y (k
Hz)
1000
100
Time (s)2.45 2.46
Pokol Gergő: Idő-frekvencia analízis
Műszaki rendszerek diagnosztikája, 2008. április 21.
10
10
-10
0