ﺔﻴﻁﺨﻟﺍ ﺕﺩﺎﻌﻤﻟﺍ ﺔﻤﻅﻨﺃ لﻭﻠﺤ :ﺙﻟﺎﺜﻟﺍ … ·...
TRANSCRIPT
حلول أنظمة المعادالت الخطية: لفصل الثالثالشكلاة لحل أنظمة المعادالت الخطية من ل سوف ندرس بعض الطرائق العدديفي هذا الفص
(3.1)
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
......
......
2211
22222221
11212111
ix ،niبالنسبة للمجاهيل njiمن أجل ibو ija، حيث أن =2,1,..., ,...,2,1, أعداد =. يقيةقح
. العلمية، الهندسية و الطبيعيةعالقة بالكثير من التطبيقات (3.1)ألنظمة المعادالت الخطية أثناء حل المعادالت التفاضلية ببعض المسائل في التحليل العددي حيث أنها تنشأ كذلك لها عالقة .العادية و الجزئية
إذا . (3.1)تؤثر على حل النظام الخطي ناك بعض العمليات الحسابية المسموح بها والتي ال هت فإنه يمكن تلخيص هذه العمليا(3.1)من النظام الخطي iللمعادلة iEالرمزبرمزنا :بالتالي
jiتبديل معادلتين كل مكان األخرى، نرمز لهذه العملية بالرمز - ١ EE «.، iEووضع المعادلة الناتجة محل العادلة 0¹gبالعدد iEضرب المعادلة - ٢
iiبالرمز لهذه العمليةنرمز EE ®g.ووضع الناتج jEوإضافة ذلك للمعادلة 0¹gبالعدد iEضرب المعادلة - ٣
jijة بالرمز رمز لهذه العمليبالjEمحل المعادلة EEE ®+g.
١-٣نظرية نظام خطي من نظام خطي أخر باستخدام العمليات السابقة فإن هذين إذا تم الحصول على
.النظامين يكونان متساويان
١-٣مثالاألنظمة الخطية التالية متساوية
(3.2)11
21
21
=-=+
xxxx
و
(3.3)1
222
21
21
=-=+
xxxx
و
(3.4)02
1
2
21
=-=+
xxx
11هو (3.4)الخطي أن الحل الوحيد للنظام من الواضح =x 02و =xلذي هو حلواوحيث أن النظام الخطي األخير يتم الحصول عليه من . (3.3)و (3.2)للنظامين الخطيين
لمذكورة سابقا على النظام أن إجراء العمليات الحسابية االنظاميين االخرين فإن هذا يدل على.لم يغير من قيمة الحل(3.2)الخطي
وهي ،هذا الفصل ترتكز على هذه الحقيقة في الواقع، بعض الطرائق التي سوف ندرسها في يطلق على هذه . إلى أشكال مساوية يسهل حلها(3.1)الخطي من شكله العام ويل النظامحت
للنظام الخطي ) فعلي(والتي يمكن استخدامها إليجاد حل " المباشرة الطرائق" الطرائق اسم ناقشها وهي الطرائق التكرارية والتي هناك طرائق أخرى سوف ن. متأثرا فقط بأخطاء التدوير
.(3.1)ب قيم تقريبية لحل النظام الخطي تحس
ذلك فإنه وعليه .مة المعادالت الخطيةالة لتمثيل أنظيمكن استخدام المصفوفات كأداة فعالتالية بعضكبداية مناسبة لدراسة األنظمة الخطية فإننا سوف نستعرض في الفقرة
.الساسية في علم المصفوفاتلتعاريف والنظريات اا
الجبرية المصفوفة١-٣١- ٣تعريف
عداد تكون مرتبة على شكل مصفوفة مستطيل من األهي عبارة عن ترتيبAالمصفوفة .أعمدة
٢- ٣تعريفمن Aعمود فإنه يقال أن المصفوفة nصف و mتحتوي على Aإذا كانت المصفوفة
nmإذا كانت . nm´Aيرمز لها بالرمزو ´nmلنوع ا .فإن المصفوفة تكون مربعة=
),(أو )(ija ،ijAة تستخدم الرموز مصفوفة فإنه عادAإذا كانت jiA لإلشارة إلىمن النوع Aعادة تُكتب المصفوفة.jمع العمود iعناصر المصفوفة عند تقاطع الصف
nm´بالشكل
(3.5)
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
=
mnnm
n
n
aaa
aaaaaa
21
22221
11211
LLL
OM
OM
LLL
LLL
A
٣- ٣تعريفتكتب بالشكلعمود وصف و عمود واحد فتسمى متجه nإذا كانت المصفوفة مكونة من
(3.6)
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
=
nx
xx
M
M
2
1
x
عمود فتسمى متجه صف و تكتب nنت المصفوفة مكونة من صف واحد و أما إذا كاالشكل
(3.7)[ ]nyyy ,,, 21 LL=y
٤- ٣تعريفهو مصفوفة tAو يرمز له بالرمز مدور المصفوفة،´nmمصفوفة من النوعAلتكن
jiijمعرفة بـ t a=)(Aو تكتب بالشكل
(3.8)
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
=
mnnn
m
m
T
aaa
aaaaaa
21
22212
12111
LLL
OM
OM
LLL
LLL
A
AAوأن´nnمن النوع Aالمصفوفة الحظ أنه إذا كانت =t فإن المصفوفة تسمى.مصفوفة متناظرة أو متماثلة
تكون أيضاً مصفوفة، وهي Agفإن عدد حقيقي gو مصفوفة Aإذا كانت نذكر هنا أنه ijijمعرفة بـ aA gg و معرفة بـ ´nmمصفوفتان من النوع Bو Aا كانت ، وإذ)(=
ijij aA ijijو )(= bB BAفإن )(= تكون مصفوفة من نفس النوع و معرفة بـ +
ijijij baBA +=+ BAيقال أن كما أنه. )( ijijإذا كانت = ba miلكل = و ££1nj فإن ´npمصفوفة من النوع Bو´pmمصفوفة من النوع Aإذا كانت و. ££1
و معرفة بالتالي´nmالنوع نيكون مصفوفة مABحاصل الضرب
(3.9)å=
=p
kkjikij ba
1)(AB
٢- ٣مثال
úإذا كانت ) ١û
ùêë
é-
=512031
A 2و=gفإن:
úû
ùêë
é-
=úû
ùêë
é-
=1024032
512031
2Ag
úلتكن ) ٢û
ùêë
é=
512031
Aوúû
ùêë
é -=
1024162
Bفإن:
úû
ùêë
é -=ú
û
ùêë
é+ú
û
ùêë
é -=+
1536193
512031
1024162
BA
:عين المصفوفات المتساوية فيما يلي) ٣
úû
ùêë
é=
512031
A ،úû
ùêë
é=
512031
B وúû
ùêë
é=
412031
C
ijijبما أن ba ,3,2,1لكل = =jiفإنBA CAولكن . = 2323وذلك ألن ¹ ca ¹.
úإذا كان)٤û
ùêë
é=
512031
A وúúú
û
ù
êêê
ë
é
-=
023112
Bإن حاصل الضرب فABC =
يكون
úû
ùêë
é-
=úúú
û
ù
êêê
ë
é
-úû
ùêë
é=
1585
023112
512031
AB
٢-٣نظريةفإن . أعداد حقيقيةgو aولتكن ´nmثالث مصفوفات من النوع Cو A ،Bلتكن
:لتالية صحيحةاالخواص ١-ABBA +=+.٢-)()( CBACBA ++=++.٣-AA00A . ´nmوع المصفوفة الصفرية من الن0، حيث أن +=+=
.بالمصفوفة الصفرية هي تلك التي تكون جميع عناصرها أصفاراًالمقصود٤-0AAAA =+-=-+ )(.٥-BABA aaa +=+ )(.٦-AAA gaga +=+ )(.٧-AA )()( agga =.
ق المباشرة والتكرارية لحل ف نحتاج لها أثناء دراستنا للطرائسووفات خاصةهناك مصف:ما يلياص الخاصة كما هو موضح فيبعض الخولهذه المصفوفات .(3.1)النظام الخطي
٥- ٣تعريفلكل iju=0كان مصفوفة مثلثية عليا إذا´nnمن النوع Uيقال أن المصفوفة-١ji .عناصر المصفوفة التي تقع تحت القطر تكون أصفاراًأي أن. <
عندما ijl=0ثية دنيا إذا كان لمصفوفة مث´nnمن النوع Lتسمى المصفوفة - ٢ji .هذا يعني أن كل عناصر المصفوفة والتي تقع فوق القطر مساوية للصفر. >
)(المصفوفة القطرية - ٣ ijd=D من النوعnn´ هي المصفوفة التي عناصرها تحقق0=ijd لكلji niمن أجل iid=1إذا كانت . ¹ فإن المصفوفة القطرية =2,1,...,
لمصفوفة األحادية . nIفي هذه الحالة تسمى مصفوفة أحادية ويرمز لها بالرمز :الخاصية التالية
(3.10)nn AIAI =
.´nnمصفوفة مربعة من النوع Aحيث
٣-٣نظرية mn´ ،km´ ،pkمصفوفات ذات من األنواع Fو A،B ،Cلتكن ، ´kmو ´
:عدد حقيقي فإن الخواص التالية محققةaبالترتيب، وليكن ١-CABBCA )()( =.٢-AFABFBA +=+ )(.٣-BBI =nوBBI =n.٤-BAAB )()( aa =.
٤-٣نظرية .يكون للمصفوفة المربعة معكوس واحد على األكثر
٥-٣نظرية IABتان بحيث أن مصفوفBو Aإذا كانت IBAفإن = =.
تكون Bفإن Bمعكوس أيمن Aأنه إذا كان للمصفوفة المربعة ٥-٣نستنتج من نظرية IBAABوحيدة وأن ونقول Aمعكوس المصفوفة Bوبناء على ذلك فإننا نسمي . ==
:كما هو موضح في التعريف التالي) غير شاذة(غير منفردةقابلة للعكس أوAأن
)معكوس المصفوفة(٦-٣تعريف كان هناك غير منفردة إذا ´nnمن النوع Aيقال أن المصفوفة المربعة -١
1Aمصفوفة IAAAAقمن النوع نفسه وتحق- == -- 1Aالمصفوفة . 11 تسمى -. Aمعكوس المصفوفة
.د لها معكوسإذا لم يوج)شاذة(منفردةAيقال أن المصفوفة - ٢
٣-٣مثال
úمعكوس المصفوفة û
ùêë
é=
4321
A هوúû
ùêë
é-
-=-
43121Aحيث أن:
IAAAA =úû
ùêë
éúú
û
ù
êê
ë
é
-
-=
úú
û
ù
êê
ë
é
-
-
úû
ùêë
é== --
4321
21
23
12
21
23
12
432111
bAxله حل وحيديكون (3.1)معكوس فإن النظام الخطيAإذا كان للمصفوفة 1-= .بهذه الطريقة أما إذا كانت غير متوفرة فإن xفال بأس من حساب متوفرة A-1ت إذا كان
حسابها لهدف إيجاد الحل مكلف مقارنة بالطرائق التي سوف ندرسها في هذا الكتاب وهي 0Axقابلة للعكس فإن Aالحظ أنه إذا كانت . عادة تستخدم لحساب هذا الحل تعني أن =
0x .هو الحل الوحيد) المتجه الصفري(=
)محدد المصفوفة(٧-٣تعريف :التاليب´nnمن النوع Aرف محدد المصفوفة يع
(3.11)å=
=n
jijij Aa
1
det Aأليni ,,2,1 K= ،
أو
(3.12)å=
=n
iijij Aa
1det Aأليnj ,,2,1 K=،
ijحيث ji
ij WA +-= هو عبارة عن محدد ijW، حيث ijWهو المتعامل المتعلق بـ )1()1()1(وهي من النوع Aالجزئية من المصفوفة للمصفوفة -´- nn.
٤-٣مثال احسب محدد المصفوفة
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-=
632024311
A
:نجد أن(3.11)في المعادلةi=3و n=3بوضع
124)6(212)3(6)2(2411
)1(60431
det)1(30231
det)1(2
det
332313
3
133
=++-+--=
úû
ùêë
é --+ú
û
ùêë
é--ú
û
ùêë
é---=
=
+++
=åj
jj AaA
في الواقع هناك عالقة بين قيمة المحدد و قابلية المصفوفة للعكس، حيث أنه إذا كان محدد .تكون منفردة، أي ليس لها معكوسالمصفوفة يساوي الصفر فإن المصفوفة
٦-٣نظرية :، العمليات التالية تكون محققة إذا أمكن إنجازهاBو Aوفات عشوائية ألي مصف١ -AA =TT )(٢ -TTT BABA +=+ )(.٣ -TTT ABAB =)(.11فإنموجودة A-1إذا كانت - ٤ )()( -- = TT AA.٥ -TAA detdet =.
)حزمةمالمصفوفة ال(٨-٣تعريف qوpمصفوفة محزمة إذا وجِد عددين صحيحين ´nnمن النوع Aتسمى المصفوفة
nqpحيث << jpiإذا كان ija=0بحيث أن 1, iqjأو +£ السعة لحزام .+£=+-1المصفوفة هو qpw.
)المصفوفة ثالثية األقطار(٩-٣تعريف .w=3حزام سعته المصفوفة ثالثية األقطار هي عبارة عن مصفوفة محزمة ذات
٥-٣مثال المصفوفة - ١
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
--
-
=
4100124001120031
A
.عبارة عن مصفوفة ثالثية األقطارالمصفوفة - ٢
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
--
-
=
1410021240236320111200131
A
5133مها هي مصفوفة محزمة و سعة حزا =-+=wوهي مصفوفة خماسية األقطار ،.
٩-٣تعريف )(يقال أن المصفوفة ija=A من النوعnn´ة إذا كانمصفوفة قطعية السيطر
(3.13)å¹=
=n
ijj
ijii aa1
||||
niمن أجل ,...,2,1=.
٦-٣مثال المصفوفة
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-=
632032114
A
|4||1||1|مصفوفة قطعية السيطرة حيث أن +-> ،|0||2||3| و <+|3||2||6| -+->.
٧-٣نظرية .مصفوفة غير منفردةAفإن ´nnالنوع مصفوفة قطعية السيطرة من Aإذا كانت
)مصفوفة موجبة بالتحديد(١٠-٣تعريف لكل متجه AxxT<0مصفوفة متناظرة و تحقق ´nnمن النوع Aإذا كانت المصفوفة
.تسمى مصفوفة موجبة بالتحديدAفإن nذو البعد 0¹xعمود
٨-٣نظرية تكونAمصفوفة موجبة بالتحديد فإن ´nnمن النوع Aإذا كانت المصفوفة المربعة
.منفردةمصفوفة غير
بالشكل (3.1)كتابة النظام الخطي لمصفوفات يمكنارموز أنه باستخدام مما سبق يتضح :المصفوفي
(3.14)bAx =حيث
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
21
22221
11211
LLL
OM
OM
LLL
LLL
A ،
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
=
nx
xx
M
M2
1
x و
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
=
nb
bb
M
M2
1
b.
نشير هنا إلى.كما سوف نرى في البنود الالحقةxوالذي يساعدنا على إيجاد الحل .تسمى مصفوفة المعامالتAالمصفوفة
مصفوفة Aا كانتنستنتج أنه إذ٨-٣و ٧-٣في الختام نشير إلى أنه من النظريتين حل وحيد، وذلك ألن (3.14)يكون للنظام الخطيموجبة بالتحديد فإنهالسيطرة أو قطعية
Aتكون مصفوفة غير منفردة.
١- ٣تمارين :أوجد مدور المصفوفات التالية ثم حدد المصفوفات المتناظرة-١
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-=
117320531
A ،úúú
û
ù
êêê
ë
é
-=
760431
B وúúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
0213
x.
:اعتبر المصفوفات التالية- ٢
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-=
031711142
A ،úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-=
632032114
B ،úúú
û
ù
êêê
ë
é
-=
062314
C و
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
103
xاحسب مايلي ، :BA + ،AB ،AC وAx.
:لتنفيذ العمليات التالية) بأي لغة تُفضل(أكتب برامج -٣BAحاصل الجمع)أ +.
ABحاصل الضرب )ب.Axحاصل الضرب)جـ
احسب محدد المصفوفة - ٤
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-=
221321532
A
.باسلوبين مختلفين
:حدد المصفوفة قطعية السيطرة و المصفوفة موجبة بالتحديد فيما يلي- ٥
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-=
117320531
A ،úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-=
632032114
B ،
úúú
û
ù
êêê
ë
é
-=
062314
C وúúú
û
ù
êêê
ë
é
---
-=
210121012
D.
حدد المصفوفة التي يمكن إعادة ترتيب بعض صفوفها لجعلها مصفوفة قطعية - ٦:السيطرة فيما يلي
úúú
û
ù
êêê
ë
é
---
--=
421102131
A ،úúú
û
ù
êêê
ë
é
---=
273214
604B و
úúú
û
ù
êêê
ë
é
---
=513112143
C.
طريقة الحذف الجاوسي ٢-٣هي استخدام بعض (3.1)سية لطريقة الحذف الجاوسي لحل النظام الخطي الفكرة الرئي
العمليات المسموح بها لكتابته بالشكل المثلثي المساوي(3.15)bxA
))=
حيث
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
=
nn
n
n
a
aaaaa
)LLLL
OOM
OOM
)LLL
)
)LLL
))
)
00
0 222
11211
A
هي العمود مصفوفة مثلثية عليا ومتج
úúúúúúú
û
ù
êêêêêêê
ë
é
=
nb
b
b
)M
M
)
)
) 2
1
b و
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
=
nx
xx
M
M2
1
x.
والذي يمكن حله بسهولة باستخدام التعويض الخلفي
(3.16)å
+=
-=
=
n
ijjiji
iii
nn
nn
xaba
x
abx
1
][1 )))
)
)
2,1,,1,2من أجل K--= nni 0¹وذلك إذا كانiia) لكلni ,,2,1 K=.نستعرضها من خالل قبل الشروع بمناقشة طريقة الحذف الجاوسي بالشكل العام، سوف
:المثال التالي٧-٣مثال
هنا سنستخدم طريقة الحذف الجاوسي لحل النظام الخطي
(3.17)
15122:2103:
982:22:
43214
43213
43212
43211
=+++-=+---
=+-+
=+-+
xxxxExxxxE
xxxxExxxxE
معامالت العناصر التي تحت القطر حتى نحصل على نظام خطي يسهل الهدف هو حذف وذلك بإجراء j=4,3,2، من أجل jEمن المعادالت 1xكبداية، لنحذف المتغير . حله
212العمليات التالية )2( EEE ®- ،313 )3( EEE 414و +® )2( EEE ، على -®:الترتيب، حيث نحصل على
1138:4444:
54:22:
4324
4323
4322
43211
=-+=+--
=-+
=+-+
xxxExxxE
xxxExxxxE
، وذلك j=4,3، من أجل jEمن المعادلتين 2xوبشكل مشابه يمكن حذف المتغير 323ية باستخدام العمليات الحساب )( EEE 424و +® )2( EEE :للحصول على-®
1:933:
54:22:
434
433
4322
43211
=+=+-=-+
=+-+
xxExxE
xxxExxxxE
434وباستخدام العملية )31( EEE من المعادلة الرابعة 3xيمكن حذف المتغير +®
:للحصول على
42:933:
54:22:
44
433
4322
43211
==+-=-+=+-+
xExxE
xxxExxxxE
وهذا نطاماً خطياً مصفوفة معامالته عبارة عن مصفوفة مثلثية عليا وبالتالي يمكن استخدام :إليجاد الحل كما يلي(3.16)التعويض الخلفي
224
4 ==x
1)]2(39[31]39[
31
43 -=--=--= xx
2]215[41]5[
41
432 =++=+-= xxx
52142]22[ 4321 -=---=-+-= xxxx51: هو(3.17)وبالتالي فإن حل النظام الخطي -=x ،22 =x ،23 =x 24و =x.
لعمل . (3.1)الجاوسي بشكلها العام لحل النظام الخطي نستأنف اآلن مناقشة طريقة الحذفbAxذلك نكتب هذا النظام بالشكل المصفوفي و نستخدم ما تسمى بالمصفوفة الموسعة =
والتي يمكن كتابتها بالشكل (3.1)للنظام الخطي
(3.18)
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
=
nnnnn
n
n
baaa
baaabaaa
MLLL
MMOM
MMOM
MLLL
MLLL
]:[
21
222221
111211
bA
)1(عن مصفوفة من النوع والتي هي عبارة +´ nn 1(حيث أن العمود( +n هو عبارة.bعن متجه العمود
كما سبق أن ذكرنا فإن هدف طريقة الحذف الجاوسي هو حذف العناصر التي تعق تحت من المعادالت 1xحذف المتغير قطر المصفوفة، بالتالي فإن المرحلة األولى للطريقة هي
jE من أجل ،nj ,,3,2 K=وذلك بتنفيذ العمليات التالية:(3.19)jjj EEmE ®- )( 11
حيث 11
11 a
am j
j nj، من أجل = ,,3,2 K= 011بفرض أن ، وذلك ¹a ،علىلنحصل
(3.20)
úúúúúúú
û
ù
êêêêêêê
ë
é
=
)2()2()2(2
)2(2
)2(2
)2(22
)1(1
)1(1
)1(12
)1(11
)2()2(
0
0]:[
nnnn
n
n
baa
baabaaa
MLLL
MMOM
MMOM
MLLL
MLLL
bA
ja1 ،njالرمز الموجود أعلى العناصر للداللة على أن هذه العناصر لم تتأثر 1bو ££1jj، أي أن(3.19)بالعمليات الحسابية aa 1
)1(1 = ،nj 1و ££1
)1(1 bb نشير هنا إلى أنه . =
المعادلة (و معادلة االرتكاز) 11aهنا (إذا لم يكن هناك تغيير للصفوف فإن عنصر االرتكاز الموجود على باقي (2)ز من ناحية أخرى، فأن الرم. ال تتأثر بالعمليات الحسابية) األولى
في الواقع، . (3.19)العناصر لالشارة إلى هذه العناصر قد تأثرت بالعمليات الحسابية )1(سنرمز بالرمز +k
ija للعناصر التي قد تأثرت بالعمليات الحسابية المرافقة للمرحلةk لكل1,,2,1 -= nk K.
)2(0ذا كان عنصر االرتكاز اآلن إ22 ¹a 2، فإنه يمكن حذف المتغيرx من المعادالتjE ،
njمن أجل ,,4,3 K=وذلك بتنفيذ العملياتjjj EEmE ®- )( 22
حيث 22
22 a
am j
j nj، من أجل = ,,4,3 K=للحصول على:
(3.21)
úúúúúúú
û
ù
êêêêêêê
ë
é
=
)3()3()3(3
)3(3
)3(3
)3(33
)2(2
)2(2
)2(22
)1(1
)1(1
)1(12
)1(11
)3()3(
00
0
0
]:[
nnnn
n
n
n
baa
baa
baa
baaa
MLL
MMMOMM
MM
MLLL
MLLL
bA
)1(وهكذا، فإنه بعد إنجاز المرحلة -kنكون حصلنا على
(3.22)
úúúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêêê
ë
é
=
)()()(
)()()(
)2(2
)2(2
)2(22
)1(1
)1(1
)1(12
)1(11
)()(
00
0
00
]:[
kn
knn
knk
kk
kkn
kkk
n
n
kk
baa
baa
baabaaa
MLLL
MMMMM
MM
MLLOM
MMOM
MLLL
MLLL
bA
k)(إذا كان عنصر االرتكاز kkaال يساوي الصفر فإنه يمكن إنجاز العمليات الحسابية
(3.23)jkjkj EEmE ®- )(
حيث kk
jkjk a
am nkkj، من أجل = ,,2,1 K++= لحذفkx من المعادالتjEل ، من أج
nkkj ,,2,1 K++= . 0أما إذا كان)( =kkka فإنه ال يمكن إجراء العمليات الحسابية
(3.23)واالسلوب المتبع في هذه الحالة هو البحث عن عنصر. jkmذلك لعدم التمكن من حساب
)(0إذا كان . يقع تحت القطر وال يساوي الصفرkفي العمود ¹kpka حيث ،
npk pk، فإننا ننجز تغيير مواقع الصفيين 1+££ EE ، ومن ثم نتابع الحذف كما »)(0أما إذا كان . سبق =k
pka لكلnkkp ,,1, K+=أنه ال يوجد وحيد لهذا ، فإن هذا يعني).١١- ٣و ١٠-٣راجع المثالين . (للنظام الخطي وتتوقف العمليات الحسابية
:إذا تمت جميع العمليات بنجاح فإن المصفوفة الموسعة تأخذ الشكل
(3.24)
úúúúúúú
û
ù
êêêêêêê
ë
é
=
)()(
)2(2
)2(2
)2(22
)1(1
)1(1
)1(12
)1(11
)()(
00
00
]:[
nn
nnn
n
n
nn
ba
baabaaa
MLLLL
MMOOM
MMOM
MLLL
MLLL
bA
والتي تمثل نظام المعادالت الخطية
(3.25)
nnnn
nn
nn
bxa
bxaxabxaxaxa
=
=++=+++
22222
11212111
MMO
MMO
MMO
LLL
LLL
إليجاد (3.16)يمكن استخدام التعويض الخلفي . (3.1)المساوي للنظام الخطي األصلي Tالحل
nxxx ],,,[ 21 K=x . الرموز الدالة على تغيير العناصر نشير هنا إلى أننا لم نكتب
ija (3.25)لعدم الحاجة لها في المعادلة .)(0خيراً، نذكر أنه إذا كان أ =n
nna فإن هذا يعني أن طريقة الحذف قد تمت ولكن اليوجد ،.للنظام الخطي حل وحيد
٨-٣مثال تأخذ الشكل٧-٣المصفوفة الممتدة للنظام الخطي الموجود في المثال
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
------
=
15:111222:111039:11822:1121
]:[ bA
jjjات الحسابية وباستخدام العملي EEmE ®- )( 221، حيث j=4,3,2، من أجل 11 =m ،331 -=m 241و =m نحصل على
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
---
--
=
11:13804:44405:11402:1121
]:[ )2()2( bA
نستخدم العليات الحسابية j=4,3، من أجل jEمن المعادلتين 2xولحذف
jjj EEmE ®- )( 132، حيث j=4,3، من أجل22 -=m 242و =m لنحصل على
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
--
-
=
1:11009:33005:11402:1121
]:[ )3()3( bA
43434لية الحسابية وباستخدام العم )( EEmE ، حيث -®31
43 -=mينا المصفوفة يكون لد
الموسعة
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
--
-
=
4:20009:33005:11402:1121
]:[ )4()4( bA
والتي تمثل النظام الخطي المثلثي
42933
5422
4
43
432
4321
==+-=-+=+-+
xxx
xxxxxxx
]T]2,1,1,3خلفي للحصول على الحل والذي يمكن حله بالتعويض ال --=x كما في المثال ،٧- ٣.
لقد ذكرنا أثناء مناقشتنا طريقة الحذف الجاوسي أنه قد يواجهنا عنصر ارتكاز يكون مساوياً .المثال التالي يستعرض مثل هذه الحالة. للصفر
٩-٣مثال استخدم طريقة الحذف الجاوسي لحل النظام الخطي
5242273
13313
4321
4321
4321
4321
=++-=++-
=-++-
=---
xxxxxxxx
xxxxxxxx
:المصفوفة الموسعة لهذا النظام هي
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
--
-----
5:12114:22731:13311:1131
jjjوبإنجاز العمليات الحسابية EEmE ®- )( 121، حيث j=4,3,2، من أجل 11 -=m ،331 =m 141و =m نحصل على
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é----
4:23201:55202:22001:1131
022(وبما أن عنصر االرتكاز مساوياً للصفر =a( فإنه ال يمكن متابعة العمليات الحسابية02ولكننا نبحث عن العنصر . لطريقة الحذف الجاوسي ¹pa ،43 ££ p حيث أننا نالحظ
0232أن ¹=a . 32بناء على ذلك فإننا نجري عملية االستبدال EE للحصول على»
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-
---
4:23202:22001:55201:1131
وبمتابعة طريقة الحذف الجاوسي حصلنا على
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
---
---
3:32002:22001:55201:1131
و
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
--
---
5:50002:22001:55201:1131
]T]1,0,3,9وبالتالي فإن حل النظام الخطي هو -=x.
ویض الخلفي عالحذف الجاوسي والت: ١-٣خوارزمیة الخطيمف الجاوسي والتعويض الخلفي لحل النظاذمية طريقة الحهذه الخوارزتستخدم
bAx فإن الخوارزميةbو المتجه A، عناصر المصفوفة nعدد المجاهيل إذا أعطينا =.لنظام الخطيلxتحسب الحل
2,1,,1من أجل : ١الخطوة -= nk K ٤إلى ٢أعمل الخطواتnlkو 0¹lkaبحيث أن lموجب ابحث عن أصغر عدد صحيح : ٢الخطوة ££.
.، قف"يوجد حل وحيدال" لم يوجد عدد صحيح يحقق ذلك فاطبعإذاklإذا كان : ٣الخطوة لعمل ذلك . (كل مكان اآلخرkو lفبدل مواضع الصفين ¹
).٢- ٣يمكنك االستعانة بالخوارزمية nkkiمن أجل : ٤الخطوة ,,2,1 K++=٩إلى ٥عمل الخطوات أ
احسب :٥الخطوة kk
ikik a
am =
ika=0ضع : ٦الخطوة kikiiاحسب : ٧الخطوة bmbb -=nkkjمن أجل : ٨الخطوة ,,2,1 K++=احسب
kjikijij amaa -=
.، قف"ال يوجد حل وحيد" فاطبعnna=0إذا كان : ٩الخطوة
احسب : ١٠الخطوة nn
nn a
bx =
2,1,,1,2من أجل : ١١الخطوة K--= nniاحسب
å+=
-=n
ijjiji
iii xab
ax
1
][1
.xاطبع الحل : ١٣الخطوة .قف
يكون هناك احتماليين، ١-٣يوضح المثالين التاليين خطي أنه في حالة فشل الخوارزمية ل الثاني أما االحتما. األول منهما هو وجود عدد النهائي من الحلول للنظام الخطي المراد حله
وفي كلتا الحالتين تكون مصفوفة المعامالت للنظام الخطي . قطالفهو عدم وجود حل على اإل.شاذة، أي أنه ال يوجد حل وحيد كما أسلفنا
١٠-٣مثال اعتبر النظام الخطي
43322
1
21
321
321
=-=+-=-+
xxxxx
xxx
:والذي مصفوفته الموسعة هي
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-
4:0133:1221:111
وباستخدام طريقة الحذف الجاوسي حصلنا على
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-
1:3401:3401:111
و úúú
û
ù
êêê
ë
é-
-
0:0001:3401:111
.
:المصفوفة األخيرة تمثل النظام الخطي المثلثي
00134
1
32
321
=
=+-=-+
xxxxx
:نحصل علىوهذا يعني أنه لدينا معادلتين بثالثة مجاهيل، من المعادلة الثانية
]31[41
32 xx --=
، +¥و -¥وأنها يمكن أن تأخذ أي قيمة بين 3xوبما أنه ال يمكن حساب قيمة معينة لـ . فإنه يوجد عدد ال نائي من الحلول للنظام الخطي
١١-٣مثال لنعتبر النظام الخطي
53322
1
21
321
321
=-=+-=-+
xxxxx
xxx
العمليات الحسابية المتعلقة بالحذف الجاوسي حصلنا على النظام الخطي المثلثيوبإنجاز
10134
1
32
321
=
=+-=-+
xxxxx
والذي منه يتضح أن المعادلة الثالثة غير منطقية، في مثل هذه الحاالت ال يوجد لدينا أي حل .للنظام الخطي
باستخدام (3.1)بمناقشة عدد العمليات الحسابية الالزمة لحل النظام الخطي نختتم هذه الفقرة من (3.20)بداية نالحظ أنه للحصول على المصفوفة . الحذف الجاوسي والتعويض الخلفي
)1(نحتاج إلى (3.18)المصفوفة -n ،1(عملية قسمة( -nn 1(عملية ضرب و( -nn)2(بالمثل فإنه نحتاج إلى . طرح/عملية جمع -n ،1)(2(عملية قسمة( -- nn عملية ضرب
)1)(2(و -- nnباالستمرار في هذا . (3.21)طرح للحصول على المصفوفة /علية جمعنكون قد أنجزنا عمليات قسمة عددها (3.24)االسلوب، فإنه عندما حصلنا على المصفوفة
)1(21 -+++ nL عمليات ضرب عددها ،nn ´-++´ )1(21 Lطرح /جمعو علياتnnعددها ´-++´ )1(21 L . وهذا يعني أن عدد عمليات الضرب التي نحتاجها تكون
:مساوية لعدد عمليات الجمع والطرح، ويمكن إعادة كتابتها كما يلي
)]1)(1([31)312(
6)1(
2)1(
6)12)(1(
)1()1(3221
1
n
1
2
1
+-=-++
=
+-
++=
-=
-=´-++´+´
åå
å
==
=
nnnnnn
nnnnn
ii
iinn
n
ii
n
iL
:الحظ أن عدد عمليات القسمة يمكن كتابتها بالشكل التالي
)1(21)1(21
1
1-==-+++ å
-
=
nninn
iL
نحتاج (3.24)إلى الشكل الموضح في (3.18)إذاً، لتقليص المصفوفة من شكلها المعطى
)1)(1(إلى 31
+- nnn ،1(عملية ضرب(21
-nn 1)(1(عملية قسمة و(31
+- nnn عمليات
.طرح/جمعنالحظ أنه إلنجاز أول . إلنجاز التعويض الخلفيبقي علينا أن نحسب عدد العمليات الالزمة . نحتاج إلى عملية قسمة واحدة فقط(3.16)خطوة في التعويض الخلفي والمعرفة في
)1(فإننا نحتاج إلى (3.16)وبالنسبة إلنجاز باقي العمليات الموجودة في المعادلة -n21)1(عملية قسمة، -+++ nL21)1(ة ضرب و عملي -+++ nLطرح/عمليات جمع .
عملية n: بناء عليه فإن عدد العمليات الحسابية الالزمة إلنجاز التعويض الخلفي هي
)1(قسمة، 21
-nn 1(عملية ضرب و(21
-nnطرح/عمليات جمع.
ات الحسابية الالزمة لتنفيذ طريقة الحذف الجاوسي مما سبق يتضح أن عدد العملي
)1)(52(: والتعويض الخلفي هي61
+- nnn ،1(عملية ضرب(21
+nn عملية قسمة و
)52)(1(61
+- nnnطرح/عمليات جمع.
ع الكلي العمليات الحسابية هو عدد كبير فإن المجموnيجدر اإلشارة هنا إلى أنه إذا كانت
3) تقريباً(
31 n3قسمة و /عمليات ضرب
31 nطرح/عمليات جمع.
٢-٣تمارين ة التاليةالخطيجاوسي والتعويض الخلفي لحل األنظمة استخدم طريقة الحذف ال- ١
(i)13
0212
321
21
321
-=++-=+=-+
xxxxx
xxx(ii)
1533353
321
321
321
-=-+=-+=++
xxxxxxxxx
الحذف الجاوسي والتعویض الخلفي إلثبات أنھ ال یوجد حل وحید للنظام استخدم طريقة- ٢الخطي
28823963
12
321
321
321
=+--=-+-
=++
xxxxxx
xxx
.ال یوجد حًال على اإلطالق، ولماذا؟أم ھل یوجد عدد النھائي من الحلول
اعتبر النظام الخطي-٣
122464
4
321
321
31
=+-=-+-
=+
xxxxxx
xx db
التي تجعل dو bاستخدم طریقة الحذف الجاوسي إلیجاد قیم . عددین ثابتینdو bحیث ثم استخدم التعویض الخلفي إلیجاد حًال یكون أحد . للنظام الخطي عدد النھائي من الحلول
.عناصره مساویًا للصفر
طريقة الحذف الجاوسي مع اإلرتكاز٣-٣k)(عنصر االرتكاز ذكرنا في البند السبق أنه إذا كانلقد
kkaاً للصفر فإنه البد من مساويlkتغيير مواقع الصفين EE )(0وذلك إذا كان » ¹k
lka حيث ،nlk مناقشتنا . 1+££قد نُفذت (3.1)السابقة كانت ترتكز على الحقيقة أن العمليات الحسابية لحل النظام الخطي
ولكن، من الناحية التطبيقية، عادة تستخدم . غير منتهيةباستخدام أعداد ذات أرقام عشريةوفي مثل هذه الحاالت ليس من الصعب إيجاد بعض . أعداد ذات أرقام عشرية منتهية
وذلك بسبب سيطرة أخطاء التدوير على ١-٣األمثلة التي توضح فشل الخوارزمية .المثال التالي يوضح أحد هذه الحاالت. الحسابات
١٢-٣مثال هو الحل الوحيد للنظام الخطيT]1,10[=xمتجه ال
úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é- 018.1
569.1436.20.3454
1.5660003.0
2
1
xx
اآلن إذا استخدمنا أعداد ذات أربعة أرقام عشرية معنوية لتنفيذ طريقة الحذف الجاوسي والتعويض الخلفي لحل هذا النظام فإنه يكون لدينا
11510003.03454.0
11
2121 ===
aam
21212وبإنجاز العملية )( EEmE نحصل على-®
úû
ùêë
é-
=úû
ùêë
éúû
ùêë
é- 1805
569.1180401.5660003.0
2
1
xx
ومنه نجد أن
001.118041805
2 =--
=x
و
333.3)]001.1)(566.1(569.1[0003.01
1 =-=x
~]T]001.1,333.3هناك فرق كبير بين الحل الفعلي والحل العددي وبالتالي =x ويتضح ذلك ،.2Âالذي يتضمن مواقع الحلين في الفضاء ١-٣في الشكل
.١٢-٣للمثال ~xوالعددي xمقارنة الحلين الفعلي : ١-٣شكل نالحظ أن : الذي حصل في هذا المثال كمل يلي) نسبياً(يمكن تفسير سبب الخطأ الكبير
0003.011عنصر االرتكاز =a صغير جدا، وبما أنه، كما نعلم، أن الحسابات ستقف إذاا كان عنصر كان عنصر االرتكاز مساوياً للصفر فإنه من الطبيعي أن تكون النتائج سيئة إذ
االرتكاز قريب من الصفر واستخدام أعداد ذات أرقام عشرية منتهية والتي تترافق معها ||في الواقع، بشكل عام، إذا كانت القيمة المطلقة لعنصر االرتكاز . أخطاء التدوير kka
||صغيرة مقارنة بالقيمة lkaضروب فإن القيمة المطلقة الم|| lkmتكون أكبر من الواحد .||||وإذا كان kklk aa ||1فإن << >>lkm وبناء على ذلك فإن أي أخطاء تدوير مرافقة
||سوف يتضاعف kEلحساب عناصر الصف lkmتكبر وعليه فإن اخطاء التدوير . مرة||1وتتراكم إذا كانت >lkm 1، بينما إذا كانت|| <lkm فإن أخطاء تصغر مع استمرار
||11151فمثالً بالنسبة للمثال السابق نالجظ أن . الحسابات 21 >>=m وبالتالي فإن أخطاءألف مرة مما يؤدي إلى التدوير الموجودة في عناصر الصف األول تتضاعف أكثر من
يمكن التغلب على هذه المشكلة بإعادة ترتيب الصفوف بحيث تبقي . حساب حل غير مقبولالطريقة الكفيلة بعالج هذه المشكلة هي طريقة . القيمة المطلقة للمضروب أقل من واحد
:االرتكاز الجزئي و يمكن طرحها كما يلي
أسلوب االرتكاز الجزئيوتحت القطر يكون ذا أكبر kمن طريقة الحذف نختار عنصر في العمود kعند المرحلة
nlk، حيث lقيمة مطلقة، أي نبحث عن العدد الصحيح بحيث أن££(3.26)||max|| )()( k
iknik
klk aa
££=
klإذا كان klنجري عملية التغيير ¹ EE «.
١٣-٣مثال
هنا نستخدم الحذف الجاوسي مع االرتكاز الجزئي لحل النظام الخطي الموجود في المثال .السابق وذلك استناداً على أعداد ذات أربعة أرقام عشرية معنوية في حساباتنا
|||}max,||{|3454.0نالحظ أوالً أن 211121 == aaa 21، وبالتالي نجري العملية EE «للحصول على
úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é -1569.1018.1
1.5660003.0436.23454.0
2
1
xx
من المعادلة الثانية نجد أن1xولحذف
0009.03454.00003.0
11
2121 ===
aam
21212وبإجراء العملية )( EEmE نحصل على-®
úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é -570.1018.1
1.5680436.23454.0
2
1
xx
ومنه يكون لدينا
001.1568.1570.1
2 ==x
و
01.10)]001.1)(436.2(569.1[3454.01
1 =+=x
~]T]001.1,01.10أي أن الحل العددي الجديد هو =xكثير من الحل العددي وهو أفضل بل الفعلي هندسياً كما طبعاً، ال يمكن مقارنته مع الح. قالذي حصلنا عليه في المثال الساب
يتطابق مع الحل الفعلي في ) حسب مقياس الرسم(فعلنا مع الحل العددي السابق حيث أنه .نفس المكان
زئي، أما بالنسبة للحذف تتضمن الخوارزمية التالية الخطوات الالزمة إلنجاز االرتكاز الج.١- ٣الجاوسي والتعويض الخلفي فيمكن الرجوع إلى الخوارزمية
االرتكاز الجزئي : ٢-٣خوارزمیة ة تستخدمفإن الخوارزمیbو المتجھ A، عناصر المصفوفة nإذا أعطینا عدد المجاھیل
.االرتكاز الجزئي اثناء الحذف الجاوسي.في طریقة الحذف الجاوسيkھو العمود kcol: مالحظة||: ١الخطوة ,kcolkcolaApivot =Ipivot=kcol: ٢الخطوة 11: ٣الخطوة += kcolknkkIrowن أجل م: ٤الخطوة ,,21,1 K+= ٦إلى ٥أعمل الخطوات
max||: ٥الخطوة ,IrowIrowaA =ApivotA(إذا كان : ٦الخطوة >max ( فضعIrowIpivot maxAApivotو= =
kcolIpivot(ذا كان ’: ٧الخطوة .ة لتغییر الصفوف، قففأكتب، الحاج) =nkcolkcoliمن أجل : ٨الخطوة ,,1, K+= ١١إلى ٩أعمل الخطوات
ikcolasave: ٩الخطوة ,=
iIpivotikcol: ١٠الخطوة aa ,, =
savea: ١١الخطوة iIpivot =,
kcolbsave: ١٢الخطوة =Ipivotkcol: ١٣طوة الخ bb =
savebIpivot: ١٤الخطوة =.١-٣نفذ الحذف الجاوسي مع التعویض الخافي باستخدام خوارزمیة : ١٥الخطوة
١٤-٣مثال لحل النظام الخطي الجزئيلنستخدم طريقة الحذف الجاوسي مع االرتكاز
úúú
û
ù
êêê
ë
é
---
--=
1:3522:1431111
]:[ bA
||max||تالحظ هنا أن 13121 jjaa
££21وبذلك نجري تغيير الصفوف = EE لنحصل على»
úúú
û
ù
êêê
ë
é
----
-
1:3521:1111:143
212وبإجراء العمليتين )31( EEE ®- ،313 )
21( EEE نحصل على-®
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
--
-
-
37:
37
370
31:
34
310
1:143
||||وبما أن 2232 aa 23نجري العملية < EE لنحصل على »
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-
--
-
31:
34
310
37:
37
370
1:143
323وبإنجاز العملية )71( EEE يكون لدينا+®
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-
--
-
0:10037:
37
370
1:143
.T]0,1,2[=xوباستخدام التعويض الخلفي حصلنا على الحل تحديد كيف يمكن أن تؤثر استراتجيات االرتكاز ) إن لم يكن من المستحيل(إنه من الصعب
االستراتيجية المقبولة حالياً قد تكون . (3.1)المختلفة على دقة الحل المحسوب للنظام الخطي
من طريقة الحذف kاالستراتيجية، عند المرحلة في هذه. استراتيجية االرتكاز السلميالجاوسي نحسب
(3.27)||max )(kkjnjkk as
££=
k)(ثم نختار العنصر lka ،nlk الذي يحقق££
(3.28)j
kjk
njkl
klk
sa
sa ||
max|| )()(
££=
klوإذا كان lkنعمل التغيير ¹ EE فإن kلبعض is=0نشير هنا إلى أنه إذا كان . »تساوي kالصف هذا يعني أنه ال يوجد حل وحيد للنظام الخطي، وذلك ألن كل عناصر
.٢رتكاز الجزئي السلمي في تمرين سنترك للقارئ كتابة خوارزمية اال.الصفر
١٥-٣مثال نستعرض استراتيجية االرتكاز الجزئي السلمي فبحل النظام الخطي الذي مصفوفته الموسعة
úúú
û
ù
êêê
ë
é
-
-
2:4021:1231:121
max||2نالحظ أن 1311 ==££ jj
as ،3||max 2312 ==££ jj
as 4و||max 3313 ==££ jj
as وبالتالي فإن
21||
1
11 =sa ،1||
2
21 =sa و
21||
3
31 =sa .
وبما أن j
j
j sa
sa ||
max|| 1
312
21
££21فنعمل تغيير الصفوف = EE :للحصول على»
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
2:4021:1211:123
212وبإنجاز العمليتين )31( EEE ®- ،313 )
32( EEE نحصل على-®
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
--
-
38:
310
340
32:
32
380
1:123
5.2وبما أن ||
max|| 2
323
32 ==££
j
j
j sa
sa 23ننجز العملية EE للحصول على »
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-
--
32:
32
380
38:
310
340
1:123
323وبإنجاز العملية الحسابية )2( EEE لنحصل على -®
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-
--
6:60038:
310
340
1:123
]T]1,5.0,1وأخيراً، باستخدام التعويض الخلفي نحصل على الحل --=x.
باإلشارة إلى أنه توجد استراتيجية ارتكازية أخرى، وهي عبارة عن البحث نختتم هذا البند nqpk، من أجل qو pعن العددين الصحيحين ££ بحيث أن القيمة المطلقة للعنصر ,
)(kpqaأو لألعمدة إذا لزم ذلك/تغيير للصفوف ووبعد ذلك نعمل . تكون أكبر ما يمكن .
تسمى هذه االستراتيجية باستراتيجية االرتكاز الكلي وهي في الواقع تتطلب جهد كبير للتطبيق وبناء على ذلك فإنها قليلة االستخدام رغم دقة النتائج التي يمكن الحصول عليها
.بواسطتها
٣-٣تمارين رتكاز الجزئي لحل النظام الخطياستخدم طريقة الحذف الجاوسي مع اال- ١
8653234
742
321
321
321
=++=-+=++
xxxxxx
xxx
الحذف الجاوسي والتعویض الخلفي إلثبات أنھ ال یوجد حل وحید للنظام استخدم طريقة-٢الخطي
28823963
12
321
321
321
=+--=-+-
=++
xxxxxx
xxx
.أم ال یوجد حًال على اإلطالق، ولماذا؟ھل یوجد عدد النھائي من الحلول اعتبر النظام الخطي-٣
122464
4
321
321
31
=+-=-+-
=+
xxxxxx
xx db
التي dو bاوسي إلیجاد قیم استخدم طریقة الحذف الج. عددین ثابتینdو bحیث ثم استخدم التعویض الخلفي إلیجاد حًال . تجعل للنظام الخطي عدد النھائي من الحلول
.یكون أحد عناصره مساویًا للصفر
. اكتب خوارزمية تتضمن الخطوات الالزمة إلنجاز االرتكاز السلمي- ٤طيحل النظام الخ- ٥
1323384
532
321
321
321
=-+-=-+=-+
xxxxxx
xxx
:باستخدام الطرائق التالية وحسابات تعتمد على أربعة أرقام عشرية.طريقة الحذف الجاوسي)أ
.طريقة الحذف الجاوسي مع االرتكاز الجزئي)ب.طريقة الحذف الجاوسي مع االرتكاز السلمي)ت
.والتعويض الخلفي.لنتائج التي تحصل عليها في الحاالت الثالثماذا تالحظ من ا
التحليل المثلثي للمصفوفات٤-٣إلى حاصل ضرب ´nnمن النوع Aفي هذا البند سوف نناقش تحليل المصفوفة
LUAالمصفوفتين مصفوفة مثليثة عليا من النوع Uلثية دنيا و مصفوفة مثL، حيث =nn´.
يمكن إثبات أن طريقة الحذف الجاوسي هي عبارة عن أسلوب معين إليجاد تحليل LUAللمصفوفة بالشكل ، وذلك إذا لم يكن هناك أي تغيير لصفوف المصفوفة أثناء =
.النظرية التالية تتضمن ذلك. الحذفعملية
٩-٣نظرية وانه قد تم تنفيذ طرقة الحذف الجاوسي على النظم ،´nnمصفوفة من النوع Aلتكن
bAxالخطي قد تم Aبدون تغيير لمواضع الصفوف، فإن هذا يعني أن المصفوفة =،Uو مصفوفة مثلثية عليا Lتحليلها إلى حاصل ضرب مصفوفة مثلثية دنيا
LUA =،حيث
úúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêê
ë
é
=
10
11
01001
1
21
nkn mm
m
LLLL
OOM
MOOM
MOOM
MOOOM
LLO
LL
L و
úúúúúúú
û
ù
êêêêêêê
ë
é
=
)(
)2(2
)2(22
)1(1
)1(12
)1(11
00
00
nnn
n
n
a
aaaaa
LLLL
MOOM
MOM
LLL
LLL
U
رهانالبمن 1jaنعلم أنه في المرحلة األولى من طريقة الحذف الجاوسي تتضمن تصفير العناصر
njأجل ,,3,2 K= 011وذلك بفرض أن (3.19)باستخدام العمليات الحسابية ¹a . في الواقعمن اليسار بمصفوفة المضروبAيمكن إنجاز هذه المرحلة بضرب المصفوفة
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-
-=
00
00001
1
21)1(
LLL
MOM
MOM
LLL
LLL
nm
mM
للحصول على
úúúúúúú
û
ù
êêêêêêê
ë
é
=
)2()2()2(2
)2(2
)2(2
)2(22
)1(1
)1(1
)1(12
)1(11
)1(
0
0
nnnn
n
n
baa
baabaaa
MLLL
MMOM
MMOM
MLLL
MLLL
AM
. ٢- ٣هنا استخدمنا نفس الرموز التي تم استخدامها في البند من طريقة الحذف الجاوسي نحصل على kبشكل عام، عند المرحلة
(3.29)
úúúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêêê
ë
é
=
)()()(
)()()(
)2(2
)2(2
)2(22
)1(1
)1(1
)1(12
)1(11
)(
00
0
00
kn
knn
knk
kk
kkn
kkk
n
n
k
baa
baa
baabaaa
MLLL
MMMMM
MM
MLLOM
MMOM
MLLL
MLLL
A
)(0وبفرض أن ¹kkka فإنه يمكن حذف العناصر ،)(k
jka من أجلnkkj ,,2,1 K++=
من اليسار بمصفوفة المضروب(3.29)بضرب
(3.30)
úúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêê
ë
é
-
-=
+
100000
101
010001
,1
)(
LL
OMMM
MOM
MOOM
MOOOM
LLLO
LL
nk
kk
k
m
mM
للحصول على
úúúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêêê
ë
é
==
+++
++
+++
+
)1()1(1,
)1(,1
)1(1,1
)2(2
)2(22
)1(1
)1(12
)1(11
)1()()(
00
0
00
knn
kkn
knk
kkk
n
n
kkk
aa
aa
aaaaa
LLL
MMMM
MM
LOM
MOM
LLL
LLL
AAM
وهكذا فإنه عند المرحلة األخيرة فإننا نحصل على المصفوفة المثلثية العليا
úúúúúúú
û
ù
êêêêêêê
ë
é
=
)(
)2(2
)2(22
)1(1
)1(12
)1(11
)(
00
00
nnn
n
n
n
a
aaaaa
LLLL
MOOM
MOM
LLL
LLL
A
حيث (3.31)AMMMA )1()2()1()( L--= nnn
k)(كاز وذلك بفرض أن عناصر االرتkka 2,1,,1، من أجل -= nk Kال تساوي الصفر.
LUAتعطينا جزء من التحليل (3.31)المعادلة nAU)(وهو المصفوفة المثلثية العليا = = .لنعرف المصفوفة Lالدنيا إليجاد المصفوفة المثلثية
(3.32)
úúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêê
ë
é
==
+
-
100000
101
010001
][
,1
1)()(
LL
OMMM
MOM
MOOM
MOOOM
LLLO
LL
nk
kk
kk
m
mML
2,1,,1من أجل -= nk K . وبالتالي فإن المصفوفة المثلثية الدنياL في تحليل المصفوفةAkL ،1,,2,1)(ات هي عبارة عن حاصل ضرب المصفوف -= nk K:
(3.33)
úúúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêêê
ë
é
== -
10
11
01001
1
21
)1()2()1(
nkn
n
mm
m
LLLL
OOM
MOOM
MOOM
MOOOM
LLO
LL
LLLLL
nAU)(وذلك ألن حاصل ضرب المصفوفة يعطينا =
AAMMIMLLL
AMMMLLLLU
===
=--
--
LL
LL
LL)1()2()2()2()2()1(
)1()2()1()1()2()1(
nn
nn
.وهذا يثبت المطلوب
:بشكل عام، أي أن´nnمن النوع Aلنناقش اآلن تحليل المصفوفة (3.34)
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
=
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
=
nn
n
n
nnnnnnnn
n
n
u
uuuuu
lll
lll
aaa
aaaaaa
00
0
0
00
222
11211
21
2221
11
21
22221
11211
KKK
MOOM
MOOM
KKK
KKK
LL
OMM
MOOMM
MO
LLL
LLL
MOM
MOM
LLL
LLL
A
niمن أجل iiuأو iilإلنجاز هذا التحليل ال بد أن يكون لدينا قيم ,,2,1 K= . هناك في:ب مشهورة وهي كالتاليالواقع ثالثة أسالي
niمن أجل iil=1ويتضمن وضع ) Doolittle(اسلوب دوليتيل -١ ,,2,1 K=.niمن أجل iiu=1وهنا يتم وضع ) Crout(أسلوب كروت-٢ ,,2,1 K=.iiiiوفي هذا األسلوب نضع ) Cholesk(أسلوب شولسكي-٣ ul يتم . iلجميع قيم =
.مصفوفة موجبة بالتحديدAهذا األسلوب عندما تكون المصفوفة تطبيق
ية استخدام أسلوب دوليتيل لتحليل مصفوفة رباعية األبعاد إلى المثال التالي يستعرض كيف.ذات أبعاد رباعيةUو Lحاصل ضرب المصفوفتين
١٦-٣مثال حلل المصفوفة
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-----
=
111221110311821121
A
LUAإلى حاصل الضرب .i=4,3,2,1، من أجل iil=1، وذلك بوضع =:ليل يأخذ الشكلمن الواضح أن التح
LUA =
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-----
=
44
3433
242322
14131211
434241
3231
21
00000
0
1010010001
111221110311821121
uuuuuuuuuu
lllll
l
111بما أن =l فإنه يمكن إيجاد قيم عناصر الصف األول فيU وذلك بضرب الصف األولالتي توافقه من اصر نوبمساواة كل حاصل ضرب بالعUفي الصف األول لـ Lمن
نحصل على Aالمصفوفة
11
111111 l
auula j
jjj =Þ=
111ومنه يكون لدينا . j=4,3,2,1من أجل =u ،212 =u ،113 -=u 114و =u وهي ،. Uعناصر الصف األول في
وذلك Lأصبحت معروفة فإنه يمكن إيجاد عناصر العمود األول للمصفوفة 11uاآلن بما أن وبمساواة حصل الضرب Uفي العمود األول من Lبضرب الصفوف الثالثة األخيرة من ليكون لديناAبالعناصر التي توافقها في المصفوفة
11
111111 u
alula iiii =Þ=
L :221، ومنه نحصل على العمود األول لـ i=4,3,2من أجل =l ،331 -=l 241و =l.Lوذلك بضرب الصف الثاني من Uوبعد ذلك يتم إيجاد عناصر الصف الثاني لـ
:والمساواة للحصول علىUباألعمدة الثالثة األخيرة من
][11212
2222221212 jjjjjj ula
luulula -=Þ+=
422: وهيU، ومنه يكون لدينا عناصر الصف الثاني لـ j=4,3,2من أجل =u ،123 =u 124و -=u . وبمعرفة الصف الثاني منU يمكننا إيجاد العمود الثاني فيL وذلك
ومساواتها بما يوافقها من Uفي العمود الثاني من Lبضرب الصفين الثالث والربع من حيث يكون لديناAالمصفوفة
][11212
2222221212 ula
ululula iiiiii -=Þ+=
132، وبالتالي نحصل على i=4,3من أجل -=l 242و =l . وبعد ذلك نوجد عناصربالعمودين الثالثLوذلك بضرب الصف الثالث للمصفوفة Uالصف الثالث للمصفوفة
للحصول على Aومن ثم مساواتها بما يوافقها من Uوالرابع للمصفوفة
][12321313
3333332321313 jjjjjjjj ulula
luululula --=Þ++=
333، ومنه يكون لدينا j=4,3من أجل -=u 334و =u .العمود اآلن نحسب عناصرفي العمود Lفقط، وذلك بضرب الصف الرابع من 43lوهنا هو العنصر Lالثالث لـ يناحيث يكون لدAومساواة حاصل الضرب بما يوافقه في المصفوفة Uالثالث من
31][1
234213414333
4333432342134143 -=--=Þ++= ululau
lululula
فقط، وذلك بضرب الصف 44uيتكون من العنصر Uوأخيراً، نحسب الصف الرابع لـ للحصول علىUفي العمود الرابع من Lالرابع من
2][134432442144144
4444444434432442144144 =+--=Þ+++= ululula
luulululula
يأخذ الشكلAإذاًً تحليل المصفوفة
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
--
-
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-
--=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-----
2000330011401121
13122
011300120001
111221110311821121
بالنسبة لحل LUإلى حاصل الضرب Aقد يتساءل القارئ ماذا نستفيد من تحليل المصفوفة bAxطي المسألة الرئيسية وهي حل النظام الخ :اإلجابة على التساؤل كالتالي. ؟=
LUAإذا كان لدينا التحليل bAxفإنه يمكن كتابة النظام الخطي = bLUxبالشكل = =Uxzوبوضع يكون لدينا النظميين الخطيين=(3.35)bLz =(3.36)zUx =
باستخدام التعويض األمامي(3.35)ومن ثم يمكن حل النظام الخطي
(3.37)å-
=
-=
=
1
1
11
11
[1 i
jjiji
iii zlb
lz
lbz
niمن أجل ,,3,2 K= . وبمعرفة المتجهz باستخدام (3.36)حل النظام الخطي يمكن. xللحصول على الحل التعويض الخلفي
١٧-٣مثال LUAهنا نستعرض استخدام التحليل bAxلحل النظام الخطي = هي Aحيث =
]15,2,9,2[و ١٦=٣صفوفة الموجودة في المثال مال -=b.بداية من المثال السابق يكون لدينا
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
--
-
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-
--
15292
2000330011401121
13122
011300120001
4
3
2
1
xxxx
zUxوبوضع يكون لدينا=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-
--Þ
15292
13122
011300120001
4
3
2
1
zzzz
bLz =
نجد أن(3.37)وباستخدام التعويض األمامي
431221515
3122
9322352992
2
32144321
213321
1221
1
=+--=Þ=+-+
=++-=Þ-=+--=-=Þ=+
=
zzzzzzzz
zzzzzzzzzz
z
zUxومن ثم يكون لدينا النظام الخطي = :
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
--
-
4952
2000330011401121
4
3
2
1
xxxx
]T]2,1,2,5حل نحصل على ال(3.16)وباستخدام التعويض الخلفي --=x.
LUAالخوارزمية التالية توضح األسلوب المتبع إليجاد التحليل ذات A، للمصفوفة =ا إذا كان يمكن تعديله(معطاة L، وذلك بحيث تكون قيم عناصر قطر المصفوفة ´nnالنوع
ومن ثم حل استخدام هذا التحليل لحل النظام الخطي ). هو معطاةUقطر المصفوفة bAx .باستخدام التعويض األمامي والخلفي=
LUAالتحلیل : ٤- ٣خوارزمیة =فإن الخوارزميةLو قطر المصفوفة A، عناصر المصفوفة nإذا أعطينا عدد المجاهيل
LUAتوجد التحليل فإن الخوارزمية تحل النظام الخطيbوإذا كان لدينا المتجه . =bAx =.
.هو عدد صغير موجبeps: مالحظة
niمن أجل : ١الخطوة ,,2,1 K= ن قيم لـعيiil.niمن أجل : ٢الخطوة ,,2,1 K= ٤و ٣أعمل الخطوات
niijمن أجل : ٣الخطوة ,,1, K+= أحسب
å-
=
-=1
1
][1 i
mmjimij
iiij ula
lu
epsuiiإذا كان .، قف" ال يمكن تحليل المصفوفة " ، فأكتب ||>niikمن أجل : ٤الخطوة ,,1, K+=أحسب
å-
=
-=1
1
][1 i
mmikmki
iiki ula
ul
أحسب : ٥الخطوة 11
11 l
bz =
niمن أجل : ٦الخطوة ,,3,2 K=أحسب
][1 1
1å-
=
-=i
jjiji
iii zlb
lz
zUxلحل النظام الخطي : مالحظة .١-٣راجع خطوات التعويض الخلفي في الخوارزمية =.xو الحل Uو Lأطبع المصفوفتين : ٧الخطوة