Measurement and Error!

Suriyah Thongmunee!

Contents!

•  การจำแนกการวัด (Measurement types)!

•  ความคลาดเคลื่อน (Errors)!

•  ความละเอียดและความถูกตอง (Accuracy and Precision)!

•  น้ำหนักของการวัด (Weight)!

•  คาปรับแก (Correction)!

•  ความนาจะเปนของคาความคลาดเคลื่อนสุม!

•  การแพรของความคลาดเคลื่อนสุม!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

2  

Measurement and Error!Eการทำงานรังวัด ไมมีการวัดใด ๆ ที่ไดคา

จริง เนื่องจากมีความไมสมบูรณของเครื่องมือ ความจำกัดของผูใชเครื่องมือ และมีความไม

แนนอนซอนอยูในวิธีวัด!Eดังนั้น จึงจำเปนตองเขาใจความคลาด

เคลื่อนที่แฝงอยูในคาการวัด สามารถคำนวณขนาดความคลาดเคลื่อนและจัดการไดอยางเหมาะสม!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

3  

การจำแนกการวัด!

E1. จำแนกตามวิธีวัด!

E2. จำแนกตามความสัมพันธของคาที่วัดได!

การจำแนกการวัดอาจพิจารณาไดดังนี้4

Eการรังวัด สวนใหญจะเปนการวัดมุม และระยะทาง แตสิ่งที่ตองการรูไมไดมีเพียงคามุมและระยะทาง เชน ตองการรูพิกัด พื้นที่ ปริมาตร หรือความสูง ดังนั้นวิธีการวัดจะแตกตางกันไปตามจุดประสงค และ

เครื่องมือที่ใช!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

4  

การจำแนกการวัด!

5  

การจำแนกการวัดตามวิธีวัด4

E1. การวัดทางตรง คือ การใชเครื่องมือวัด

ทำการวัดในสิ่งที่อยูรูโดยตรง เชนการวัดระยะ

ทางดวยเทป เปนตน เหมาะกับการวัดจุดควบคุม!

!

E2. การวัดทางออม คือ การใชเครื่องมือ

วัดทำการวัดสวนอื่น ๆ ที่เกี่ยวของแลวนำมาคำนวณหาสิ่งที่อยากทราบ เชน การหาคาตาง

ระดับโดยใชกลองวัดมุมเงย และระยะทาง เหมาะกับการวัดจุดรายละเอียด!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

5  

การจำแนกการวัด!

E1. การวัดเชิงเงื่อนไข คือ การวัดที่อยู

ภายใตเงื่อนไขทางคณิตศาสตร เชน การวัดมุม

ภายในของเหลี่ยมตาง ๆ เปนตน เหมาะกับการวัดจุดควบคุม!

!

E2. การวัดเชิงอิสระ คือ การคาตาง ๆ ที่

ไมอยูในเงื่อนไขบังคับ เชน มุมราบหรือระยะทาง

ระหวางจุด 2 จุด เปนตน เหมาะกับการวัดจุดรายละเอียด!

การจำแนกการวัดความสัมพันธของคาที่วัดได4

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

6  

ความคลาดเคลื่อน (Errors)!Eโดยทั่วไป เรามักไมรูคาจริงของสิ่งที่ทำการวัด ยกเวนการวัดเชิง

เงื่อนไขที่คาจริงคือเงื่อนไขที่ตองเปน ดังนั้นคาที่ตางออกไปคาจริงจึงเรียก

วา “ความคลาดเคลื่อน (Errors)”!

Errors = Measurement – Real!!

Eนอกจากนี้ ยังมีนิยายศัพทอื่นเพิ่มเติมคือ!

คาแยง (Discrepancy) คือ ผลตางระหวางคาที่วัดไดจากการวัดซ้ำหลายครั้ง!

เศษเหลือ (Residual) คือ ผลตางระหวางคาที่วัดไดจากการวัดกับคาเฉลี่ย!

!SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

7  

ชนิดของความคลาดเคลื่อน!Eเราไมสามารถขจัดความความเคลื่อนใหหมดไปได แตเราทำการลดคาคลาด

เคลื่อนไดโดยการดำเนินงาน และจัดการอยางเหมาะสม ฉะนั้นเราจึงตองเขาใจชนิด

และลักษณะของความคลาดเคลื่อนกอน!

ความคลาดเคลื่อน แบงออกได 3 ชนิดคือ!

Mistake or Blunder ความสะเพรา ไมรอบคอบ ของผูปฏิบัติงาน เชน การอาน

คาผิด การจดคาผิด!

Systematic Error Hเกิดขึ้นและเปนไปตามกฏเกณฑทางคณิตศาสตรและฟสิกส สามารถคำนวณหาขนาดได และมีเครื่องหมาย!

Random Error Hเปนคาคลาดเคลื่อนที่เกิดจากผลรวมของเหตุตางๆที่นอกเหนือความสามารถของผูวัดที่จะบังคับได !

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

8  

วิธีจัดการความคลาดเคลื่อน!Mistake or Blunder แกไขโดยการตรวจสอบ คนหา เมื่อพบจะตัดทิ้ง หรือถา

จำเปนก็ทำการวัดคาที่ตัดทิ้งไปใหม หากตรวจหาไมพบจะตองทำการรังวัด

ใหม ในการรังวัดเชิงเงื่อนไขจะ ตรวจสอบพบไดไมยากเพราะจะมีขนาดใหญจนผิดสังเกต แตการรังวัดเชิงอิสระ จะตรวจพบไดยาก!

Systematic Error แกไขโดยคำนวณหาขนาดของคาคลาดเคลื่อน แลว!

Eนำไปปรับแกคาการวัดเพื่อใหเปนคาที่ถูกตอง หรือใชวิธีการทำงานที่สามารถ!

Eกำจัดคาคลาดเคลื่อนได !

Random Error ไมสามารถกำจัดได แตสามารถลดขนาดไดโดยการทำงาน!Eท่ีประณีตและวัดซ้ำหลายคร้ัง ตองใชความรูทางสถิติและทฤษฎีความนาจะเปน!Eคำนวณขนาดคาคลาดเคลื่อนมาตรฐานและคาคลาดเคลื่อนสุมที่เปนไปได !

!

!!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

9  

สาเหตุของความคลาดเคลื่อน!Eในการรังวัด ความคลาดเคลื่อนอาจจะมีสาเหตุเดียวหรือหลายสาเหตแุฝง

รวมกัน เพื่อใหไดคาวัดที่ดีที่สุด จำเปนตองเขาใจตนเหตุของความคลาดเคลื่อน ซึ่ง

แบงไดดังนี!้!

Instrument Error Hเปนความคลาดเคลื่อนที่เกิดจากความไมสมบูรณหรือไมถูกตองของเครื่องมือที่ใชวัด !

Personal Error Hเปนความคลาดเคลื่อนที่เกิดจากความไมรอบคอบหรือขอจำกัดของผูวัดและผูรวมงาน !

Natural Error Hเปนความคลาดเคลื่อนที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงของปรากฏการณทางธรรมชาติ !

!

!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

10  

ความถูกตองและความละเอียด!Hความถูกตอง (Accuracy) คือระดับความ

ใกลเคียงของคาที่วัดหรือคำนวณไดกับคาจริงของสิ่งที่ทำการวัด ขนาดของความถูกตองแสดงดวยอัตราสวนระหวางคาคลาดเคลื่อนกับคาจริง!

4Hความละเอียด (Precision) คือระดับความ

ประณีตในการทำการวัดหนึ่ง แบงได 2 ลักษณะ คือ

1.) ความสามารถในการวัดไดหนวยที่เล็กมากเพียงใด และ 2.) สำหรับการวัดปริมาณซ้ำกันหลายครั้ง ความละเอียดจะหมายถึงระดับความใกลเคียงของที่วัดไดกับคาเฉลี่ย หรือพิจารณาจากคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

11  

น้ำหนักของการวัด!Eน้ำหนักของการวัด คือระดับความนาเชื่อถือของการวัดแตละครั้งหรือ

แตละชุดที่กระทำ ในสภาพเงื่อนไขตางกัน ซึ่งน้ำหนักการวัดจะมีผลตอการปรับแกคาการวัด!!

คาน้ำหนักการวัด พิจารณาได ดังนี้!

1. กรณีการวัดที่ทำภายใตเงื่อนไขและสภาพเดียวกัน จะมีคาน้ำหนักเทากัน !

2. กรณีการวัดที่ทำภายใตเงื่อนไขและสภาพเดียวกัน ยกเวนจำนวนครั้งที่วัดแตละ

ชุดไมเทากัน คาน้ำหนักจะแปรผันตามจำนวนครั้งที่วัด !

3. กรณีที่รูคาคลาดเคลื่อนสุมของการวัดแตละชุด น้ำหนักจะแปรผกผันกับกำลัง

สองของคาคลาดเคลื่อนสุมของแตละชุด !

!SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

12  

คาปรับแก (Correction)!Hคาปรับแก คือ คาที่นำมาบวกกับคาการวัดเพื่อใหไดคาที่ถูกตอง คาปรับ

แกมีขนาดเทากับคาคลาดเคลื่อนแตมีเครื่องหมายตรงขาม ซึ่งพิจารณาได 2 กรณี

ดังนี!้

1.  การปรับแกของการวัดเชิงอิสระที่มีความคลาดเคลื่อนมีระบบ คาคลาดเคลื่อนสามารถหาไดจากกฏเกณฑทางคณิตศาสตรและฟสิกส การปรับแกนี้

จะไมเกี่ยวของกับคาน้ำหนักการวัด !

2.  การปรับแกของการวัดเชิงเงื่อนไข คาการวัดที่มีระดับความนาเชื่อถือมากคาปรับแกจะเล็กและคาที่มีระดับความนาเชื่อถือนอยคาปรับแกจะมีคาใหญ่

สัดสวนของคาปรับแกหรือน้ำหนักการปรับแก (Weight of correction) จะแปรผกผันกับคาน้ำหนักการวัด !

!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

13  

ตัวอยาง!SU

RIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

14  

ตัวอยาง!SU

RIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

15  

A

B !C!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

16  

A

B !C!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

17  

ลักษณะคลายระฆังคว่ำสมมาตรทั้งสองดานของคาเฉลี่ย !

เปนการแจกแจงแบบปกติ (normal distribution)!

ความนาจะเปนของคาความคลาดเคลื่อนสุม!

สมมุติฐานเบื้องตนเกี่ยวกับคุณลักษณะของคาคลาดเคลื่อนสุมจะเปนดังนี้ !Eก) คาคลาดเคลื่อนมีโอกาสที่จะเปนทางบวกเทาๆกับทางลบ !

Eข) คาคลาดเคลื่อนขนาดเล็กจะมีจำนวนมากกวาคาคลาดเคลื่อนขนาดใหญ่ !Eค) คาคลาดเคลื่อนที่มีขนาดใหญมากๆจะไมเกิดขึ้น4

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

18  

ความนาจะเปนของคาความคลาดเคลื่อนสุม!

Eคาทางสถิติที่ใชเปนตัวแทนหรือใชอธิบาย

ลักษณะของขอมูล คือ คาเฉลี่ย (Mean) และ

คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation) โดยคาเฉลี่ยจะแสดงตำแหนงของขอมูล และคาเบี่ยงเบนมาตรฐานแสดงลักษณะ

การกระจายขอมูล!

4

Eเชนเดียวกับ คาการวัดที่ดีที่สุด และ ขนาด

ของคาคลาดเคลื่อนสุม จะแสดงลักษณะผลลัพธ และคุณภาพของการวัด!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

19  

ความนาจะเปนของคาความคลาดเคลื่อนสุม!

การวัดซ้ำ ๆ กัน ที่การกระจายเปนแบบโคงปกติ คาการวัดนาจะเปนหรือคาที่ดีที่สุด เทากับคาเฉลี่ยของการวัด ซี่งหาไดดังนี้!

41. ความนาเชื่อถือเทากัน 2. ความนาเชื่อถือตางกัน!

คาการวัดที่ดีที่สุด4

N

xx

N

ii∑

−

==

1

0 x =wixi

i=0

N−1

∑

wii=0

N−1

∑โดยที่!

Xi คือ คาที่วัดไดในแตละครั้ง !

N คือ จำนวนครั้งการวัด !

Wi คือ คาน้ำหนักของคาการวัด!SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

20  

ความนาจะเปนของคาความคลาดเคลื่อนสุม!

ขนาดของคาคลาดเคลื่อนสุมจะแสดงดวยคาที่บายเบนจากคาเฉลี่ย จะมีขนาดใหญหรือเล็กขึ้นอยูกับความนาจะเปนของการวัดที่กำหนด ซึ่งคาความคลาด

เคลื่อนสุมที่กำหนดใชในงานรังวัดมี 2 คา ไดแก่!

1.  คาคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (Standard Error) คือ คาที่บายเบนจากคา

เฉลี่ย โดยมีความนาเปนของการวัดหรือระดับความเชื่อมั่นเทากับ

0.6827 (E68)!

2.  คาคลาดเคลื่อนสุมเปนไปได (Probable Error) คือ คาที่บายเบนจาก

คาเฉลี่ย โดยมีความนาเปนของการวัดหรือระดับความเชื่อมั่นเทากับ 0.5 (E50)!

!

ขนาดของคาคลาดเคลื่อนสุม4

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

21  

ความนาจะเปนของคาความคลาดเคลื่อนสุม!

1. คาคลาดเคลื่อนมาตรฐาน4EStandard Error!

4

2. คาคลาดเคลื่อนสุมเปนไปได4EProbable Error!

σ s =v2∑

n−1

σ m =σ s

n

σ m =wv2( )∑

w∑( ) n−1( )

Ep = 0.6745σ m

เมื่อ !v = Eเคษเหลือ!n = Eจำนวนการวัด!σs =Eคาคลาดเคลื่อนมาตรฐานของคาการวัดหนึ่ง!σm =คาคลาดเคลื่อนมาตรฐานของคาการวัดเฉลี่ย!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

22  

ระดับความเชื่อมั่นและความนาจะเปนของของคลาดเคลื่อน!

ระดับความเชื่อมั่น4 ความนาจะเปนของความคลาดเคลื่อน4

E50! ±0.6745σs E68! ±1.0σs E90! ±1.6449σs E95! ±1.9599σs E99.5! ±3.0σs

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

23  

24  SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

24  

25  SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

25  

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

26  

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

27  

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

28  

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

29  

การแพรของความคลาดเคลื่อนสุม!การวัดเพื่อหาคาที่ตองการนั้น บางครั้งเราไมสามารถวัดคาไดโดยตรง แตอาศัยการวัดองคประกอบของคานั้น แลวนำมาคำนวณหาคาที่ตองการนั้นดวยสูตรแบบจำลองทางคณิตศาสตร

ดังนั้น คาคลาดเคลื่อนสุมของผลลัพธตองคำนวณจากคาคลาดเคลื่อนสุมของคาที่วัดได ตาม

หลัก “การแพรของความคลาดเคลื่อนสุม (Propagation of Random Errors)”4

สมการของความสัมพันธระหวางความคลาดเคลื่อนสุมของผลลัพธที่คำนวณได!

กับความคลาดเคลื่อนสุมของคาที่วัดไดดังนี้ !

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

30  

EU =∂U∂X1X1

!

"#

$

%&

2

+∂U∂X2X2

!

"#

$

%&

2

+......+ ∂U∂Xn

Xn

!

"#

$

%&

2

U = f X1,X2,...,Xn( )

กำหนดให !EU " "คือ คาการวัดทางออมหรือคาที่คำนวณได !

X1, X2, ....Xn "คือ คาปริมาณที่ทำการวัดทางตรง !lX1, lX2, …, lXn Eคือ ความคลาดเคลื่อนสุมของคาการวัดทางตรง ! "EU Eคือ ความคลาดเคลื่อนสุมของคาที่คำนวณได !

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

31  

D!

d1! d2! d3! d4! d5!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

32  

A!d1!

d2!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

33  

H

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

34  

แบบฝกหัด!•  จงยกตัวอยางความคลาดเคลื่อนขณะนักศึกษาปฏิบัติงานในสนามจริง พรอมแจกแจงวาเปน

สาเหตุประเภทใด!

•  การวัดซ้ำมีวัตถุประสงคอยางไร!•  จงอธิบายความแตกตางระหวาง mistake และ systematic error พรอมยกตัวอยาง!

•  จงอธิบายความแตกตางระหวาง Accuracy และ Precision พรอมยกตัวอยาง!

!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

35  

อางอิง!1.  การสำรวจรังวัด : ทฤษฎีและการประยุกตใช … วิชัย เยี่ยงวีรชน!2.  เอกสารคำสอนการสำรวจ 1 … วินิจ จึงเจริญธรรม!

3.  การรังวัดเบื้องตน ... ผศ.ดร.พุทธิพล ดำรงชัย!4.  รูปภาพทั้งหมดจากอินเตอรเนต!

SURIYA

H  TH

ONGM

UNEE…SU

RVEY  1  

36