metoda sila (2)

Metoda sila (2)

metoda sila:

(Crtezi bi u Acrobat Reader-u trebali biti”animirani”.)

metoda sila:

♦ zamisljenim raskidanjem veza zadani se sistem pretvara u staticki

odredeni, koji nazivamo osnovnim sistemom

♦ raskinute se veze nadomjestaju silama koje odgovaraju silama

koje su te veze prenosile

♦ vrijednosti nadomjesnih sila izracunavaju se iz uvjeta kompa-

tibilnosti pomaka na mjestima raskinutih veza:

te sile moraju povratiti narusenu neprekinutost ili glatkocu pro-

gibne linije ili osigurati podudaranje pomaka na mjestima uklo-

njenih lezajeva sa stvarnim lezajnim uvjetima

♦ vrijednosti pomaka koji se pojavljuju u uvjetima kompatibilnosti

izracunavamo metodom jedinicne sile

Na proslom smo predavanju na primjeru s varijacijama opisali proracun jedanput staticki neodredenoga

sistema metodom sila. Naveli smo i osnovne korake postupka . . .

Osnovni sistem mora biti geometrijski nepromjenjiv.

Sile, momente, parove uravnotezenih sila i parove uravnotezenih momenata, uvedene umjesto

raskinutih veza, nazivamo (staticki) neodredenim silama i momentima ili (staticki) neodredenim

velicinama.

(Usputna napomena, samo posredno vezana za metodu sila: u obje su”animacije” na prethodnoj

stranici duljine pomaka crtane u istom mjerilu — konzola je mnogo”meksa” od jednostavno

oslonjene grede.)

raskidanje veza:

XiXi

Nekoliko je mogucnosti raskidanja veza:

♠ Zamjena nepomicnoga lezaja pomicnim po odabranom pravcu, cime je omogucen pomak

po tom pravcu.

Pripadna je staticki neodredena velicina sila koja djeluje na tom pravcu, s hvatistem u

lezaju.

raskidanje veza:

Xi Xi


♠ Uklanjanje pomicnoga zglobnog lezaja.

Pripadna je staticki neodredena velicina sila koja djeluje na pravcu po kojemu je uklanja-

njem lezaja omogucen pomak;

raskidanje veza:

Xi Xi Xi


♠ Umetanje zgloba, cime je omoguceno zaokretanje.

Ako je upeti lezaj pretvoren u zglobni, omoguceno je zaokretanje u odnosu na podlogu.

Pripadna je staticki neodredena velicina moment.

Ako je zglob umetnut u neki presjek, omogucen je relativni zaokret dijelova lijevo i desno

od tog zgloba. Pripadna je staticki neodredena velicina par momenata, po intenzitetu

jednakih, a suprotna smisla vrtnje.

raskidanje veza:

Xi

Xi

Xi

Xi

Xi

Xi


♠ Umetanje veze koja omogucava relativni translacijski pomak jednoga dijela u odnosu na

drugi po odabranom pravcu. (Omogucen je samo translacijski pomak, ne i zaokret —

nakon pomaka tangente na progibnu liniju lijevo i desno od reza ostaju paralelnima.)

Pripadna je staticki neodredena velicina par sila koje djeluju na istom pravcu (iako ih

obicno crtamo na lagano razmaknutim usporednim pravcima), jednakih intenzitete, a

suprotnoga smisla djelovanja.

Najcesce primjenjivani slucajevi su:

♣ raskidanje veze koja sprecava pomak po osi grede, pri cemu je neodredena velicina

uzduzna sila;

♣ raskidanje veze koja sprecava pomak po okomici na os, pri cemu je neodredena

velicina poprecna sila.

jednadzbe metode sila:

P P

X1 X2

Kontinuirani nosac preko tri polja / cetiri lezaja je . . . puta staticki neodreden.

Jedan je moguci osnovni sistem jednostavno oslonjena greda koja nastaje uklanjanjem drugoga

i treceg lezaja uz uvodenje neodredenih sila#„

X1 i#„

X2.

(Osnovni sistem crta se samo sa staticki neodredenim velicinama, bez zadanoga opterecenja! )

(nastavlja se na sljedecoj stranici)


P P

P P

Pod djelovanjem sila#„

P osnovni se sistem progiba . . .



P P

|δ1,0||δ2,0|

P

P

Pod djelovanjem sila#„

P osnovni se sistem progiba kao na slici. Na mjestima”uklonjenih”

lezajeva uvjeti su kompatibilnosti naruseni: na zadanom sistemu te se tocke ne mogu pomicati

po vertikalnim pravcima.



P P

|δ1;0,2|

P P

X2

Sile#„

X1 i#„

X2 moraju stoga te tocke vratiti u pocetni polozaj. Pritom se naruseni uvjeti kompa-

tibilnosti ne mogu zadovoljiti neovisno jedan o drugom:

Prvo smo dodali samo silu#„

X2 odabravsi joj vrijednost X2 tako da se njezino hvatiste vrati u

pocetni polozaj.



P P

P P

X2X1

Potom smo dodali silu#„

X1 s vrijednoscu X1 takvom da se i njezino hvatiste vrati u pocetni

polozaj. No, pritom se pomaknulo i hvatiste sile#„

X2, pa je uvjet kompatibilnosti u toj tocki

ponovno narusen.



P P

P P

X2X1

Slijedi da oba uvjeta treba zadovoljiti istodobno.



P P

P P

Progibna linija osnovnoga sistema bit ce tada jednaka progibnoj liniji zadanoga sistema.



δ1 = δ1(#„

P,#„

P ) + δ1(#„

X1) + δ1(#„

X2)

δ2 = δ2(#„

P,#„

P ) + δ2(#„

X1) + δ2(#„

X2)

Pomak hvatista sile#„

X1 uzrokuje, osim sila#„

P i nje same, i sila#„

X2, pa je ukupna orijentirana

duljina projekcije pomaka te tocke na pravac djelovanja sile#„

X1 dana prvim izrazom.

Analogno, ukupna je orijentirana duljina projekcije pomaka hvatista sile#„

X2 na pravac njezina

djelovanja zbroj orijentiranih duljina projekcija pomaka zbog sila#„

P ,#„

X1 i#„

X2, a dana je drugim

izrazom.



δ1 = δ1(#„

P,#„

P ) + δ1(#„

X1) + δ1(#„

X2)

δ2 = δ2(#„

P,#„

P ) + δ2(#„

X1) + δ2(#„

X2)

δ1 = δ1,0 + δ1,1X1 + δ1,2X2

δ2 = δ2,0 + δ2,1X1 + δ2,2X2

U sustavnom nacinu oznacavanja orijentiranih duljina pomaka koju smo uveli na proslom pre-

davanju izrazi su . . .



δ1 = 0 & δ2 = 0

δ1,0 + δ1,1X1 + δ1,2X2 = 0

δ2,0 + δ2,1X1 + δ2,2X2 = 0

ili

δ1,1X1 + δ1,2X2 = −δ1,0

δ2,1X1 + δ2,2X2 = −δ2,0

Uvjeti kompatibilnosti daju sustav dviju jednadzbi s dvije nepoznanice . . .



P P

P P

X2X1

P P

Rjesenje sustava vrijednosti su X1 i X2 za koje ce se progibna linija osnovnoga”poklopiti” s

progibnom linijom zadanog sistema.



δi = δi,0 +n

ÿ

j=1

δi,jXj

(Udahnite duboko:)

Izraz daje

♣ orijentiranu duljinu projekcije pomaka hvatista neodredene sile#„

X i na pravac njezina dje-

lovanja ili

♣ kut zaokreta osi grede u hvatistu neodredenoga momenta#„

X i ili

♣ orijentiranu duljinu relativnoga pomaka hvatista para neodredenih sila ¯#„

X i ili

♣ kut relativnoga zaokreta osi u hvatistima para neodredenih momenata ¯#„

X i

zbog zajednickoga djelovanja svih neodredenih sila/momenata/parova sila/parova momenata#„

X j i(li) ¯#„

X j, j = 1, . . . , n, i svih zadanih vanjskih utjecaja.



δi,0 +n

ÿ

j=1

δi,jXj = 0, i = 1, . . . , n

ili

nÿ

j=1

δi,jXj = −δi,0, i = 1, . . . , n

Uvjeti kompatibilnosti pomaka traze istodobno iscezavanje svih n vrijednosti δi, osim ako je

upravo na mjestu i po pravcu neke raskinute veze zadan prisilni pomak, o cemu cemo pricati

na sljedecem predavanju.

To su osnovne jednadzbe metode sila. Nazivamo ih jednadzbama kompatibilnosti, jednadzbama

kontinuiteta ili jednadzbama neprekinutosti.



δ1,1 δ1,2 ¨ ¨ ¨ δ1,nδ2,1 δ2,2 ¨ ¨ ¨ δ2,n

... ... . . . ...

δn,1 δn,2 ¨ ¨ ¨ δn,n

X1X2...

Xn

= −

δ1,0δ2,0

...

δn,0

DX = −∆

Sustav jednadzbi kompatibilnosti mozemo napisati u matricnom obliku.

Matricu D nazivamo matricom popustljivosti ili matricom fleksibilnosti, a njezine komponente

koeficijentima popustljivosti ili koeficijentima fleksibilnosti.

Ovisno o raskinutoj vezi i pripadnoj staticki neodredenoj velicini, koeficijent popustljivosti δi,jje

♠ orijentirana duljina projekcije pomaka hvatista sile#„

X i na pravac njezina djelovanja ili

♠ orijentirana duljina relativnoga pomaka hvatista para sila ¯#„

X i ili

♠ kut zaokreta osi grede u hvatistu momenta#„

X i ili

♠ kut relativnoga zaokreta osi grede u hvatistima para momenata ¯#„

X i,

pri cemu je taj pomak ili taj zaokret izazvan djelovanjem

♣ jedinicne sile u hvatistu, na pravcu i u smislu djelovanja sile#„

Xj ili

♣ para jedinicnih sila u hvatistima, na pravcu i u smislu djelovanja para sila ¯#„

Xj ili

♣ jedinicnoga momenta u hvatistu momenta#„

Xj i istoga smisla vrtnje kao taj moment ili

♣ para jedinicnih momenata u hvatistima momenata para ¯#„

Xj i istoga smisla vrtnje.



δi,j =ÿ

(e)

∫ `e

0

[mi(ξe) κj(ξe) + ni(ξe) εj(ξe)

]dξe

=ÿ

(e)

∫ `e

0

[mi(ξe)mj(ξe)

E I(ξe)+ni(ξe)nj(ξe)

EA(ξe)

]dξe

Izrazi za izracunavanje koeficijenata popustljivosti u okviru Bernoulli–Eulerove teorije poznati

su iz price o metodi jedinicne sile.

Zbroj se proteze po svim stapnim elementima sistema, a ξe oznacava lokalne koordinatne osi

pojedinih elemenata.



δi,j =ÿ

(e)

∫ è

0

[mi(ξe) κj(ξe) + ni(ξe) εj(ξe)

]dξe

=ÿ

(e)

∫ è

0

[mi(ξe)mj(ξe)

E I(ξe)+ni(ξe)nj(ξe)

EA(ξe)

]dξe

i ‰ j δi,j ¡ 0

δi,i =ÿ

(e)

∫ è

0

[m2i (ξe)

E I(ξe)+

n2i (ξe)

EA(ξe)

]dξe ą 0

Za i ‰ j moze biti δi,j ¡ 0. Znamo da negativna vrijednost znaci da su pomak i sila suprotno

orijentirani.

δi,i ą 0 uvijek, jer su u izrazu za njegovo izracunavanje podintegralne funkcije pozitivne.



δi,j =ÿ

(e)

∫ `e

0

(mimj

E I+ninj

EA

)dx

=ÿ

(e)

∫ `e

0

(mjmi

E I+njni

EA

)dx = δj,i

Buduci da je δi,j = δj,i, matrica D je simetricna.

Matrica D je i pozitivno definitna: za bilo koji vektor X ‰ 0 je X ¨DX ą 0, a za x = 0 je

x ¨ Ax = 0.

(Pozitivnu definitnost matrice D necemo dokazivati, a radoznali mogu o mehanickoj interpre-

taciji nejednakosti X ¨DX ą 0 procitati u skriptama na stranici 245.)



δi,0 =ÿ

(e)

∫ `e

0

[mi(ξe) κ0(ξe) + ni(ξe) ε0(ξe)

]dξe + δi,0

κ0(ξe) =M0(ξe)

E I(ξe)+ αt

∆t(ξe)

h(ξe)

ε0(ξe) =N0(ξe)

EA(ξe)+ αt ts(ξe)

Slobodni clan δi,j (komponenta vektora ∆) je

♠ orijentirana duljina projekcije pomaka hvatista sile#„

X i na pravac njezina djelovanja ili

♠ orijentirana duljina relativnoga pomaka hvatista para sila ¯#„

X i ili

♠ kut zaokreta osi grede u hvatistu momenta#„

X i ili

♠ kut relativnog zaokreta osi grede u hvatistima para momenata ¯#„

X i,

pri cemu su uzroci tih pomaka i(li) zaokreta vanjska djelovanja: opterecenja, promjene tempe-

rature i prisilni pomaci.

Pribrojnici koji sadrze ∆t i ts izrazavaju utjecaj temperaturnih promjena na pomake i(li) za-

okrete. Pribrojnikom δi,0 u nekim cemo slucajevima ukljuciti utjecaj prisilnih pomaka i(li)

zaokreta (vise o tome, zapravo samo o tome na sljedecem predavanju).

primjer:

P P

2 2 2 2 3

X1 X2

o. s.

P P

254,6

309,1

363,6

218,2 M0

1

1,27

2,55

1,82

1,09

m1

1

0,55

1,09

1,64

2,18

m2

Izbor osnovnoga sistema moze bitno utjecati na slozenost i trajanje proracuna metodom sila.


primjer:

δ1,0 =

`∫0

M0(x)m1(x)

E I(x)dx

=1

EI

[$

’

%

1

2¨ 254,6 ¨ 2

,

/

-

$

’

%−2

3¨ 1,27

,

/

-

+

$

’

%

1

2¨ 254,6 ¨ 2

,

/

-

$

’

%−2

3¨ 1,27−

1

3¨ 2,55

,

/

-+

$

’

%

1

2¨ 309,1 ¨ 2

,

/

-

$

’

%−1

3¨ 1,27−

2

3¨ 2,55

,

/

-

+

$

’

%

1

2¨ 309,1 ¨ 2

,

/

-

$

’

%−2

3¨ 2,55−

1

3¨ 1,82

,

/

-+

$

’

%

1

2¨ 363,6 ¨ 2

,

/

-

$

’

%−1

3¨ 2,55−

2

3¨ 1,82

,

/

-

+

$

’

%

1

2¨ 363,6 ¨ 5

,

/

-

$

’

%−2

3¨ 1,82

,

/

-

]= −

3 870,0

EI

Izracunavanje orijentiranih duljina pomaka i kutova zaokreta gotovo je uvijek najdugotrajniji i

greskama najpodlozniji korak, pa osnovni sistem treba pokusati odabrati tako da integracijski

izrazi budu sto kraci i jednostavniji. Nazalost, nemoguce je sastaviti kuharicu i dati opce, uvijek

primjenjive recepte.

Svakako ce pomoci ako momenti savijanja barem na dijelu sistema iscezavaju; pogodno je

takoder i da se polozaji lomova i skokova u dijagramima M0 i mi podudaraju; treba, nadalje,

pokusati iskoristiti simetriju ili djelomicnu simetriju sistema . . .


primjer:

δ2,0 =

`∫0

M0(x)m2(x)

E I(x)dx

=1

EI

[$

’

%

1

2¨ 254,6 ¨ 2

,

/

-

$

’

%−2

3¨ 0,55

,

/

-

+

$

’

%

1

2¨ 254,6 ¨ 4

,

/

-

$

’

%−2

3¨ 0,55−

1

3¨ 1,64

,

/

-+

$

’

%

1

2¨ 363,6 ¨ 4

,

/

-

$

’

%−1

3¨ 0,55−

2

3¨ 1,64

,

/

-

+

$

’

%

1

2¨ 363,6 ¨ 2

,

/

-

$

’

%−2

3¨ 1,64−

1

3¨ 2,18

,

/

-+

$

’

%

1

2¨ 218,2 ¨ 2

,

/

-

$

’

%−1

3¨ 1,64−

2

3¨ 2,18

,

/

-

+

$

’

%

1

2¨ 218,2 ¨ 3

,

/

-

$

’

%−2

3¨ 2,18

,

/

-

]= −

3 060,6

EI

Prema broju pribrojniku u izrazima za izracunavanje slobodnih clanova δ1,0 (na prethodnoj

stranici) i δ2,0 te, u nesto manjoj mjeri, koeficijenata popustljivosti δ1,1, δ1,2 i δ2,2 (na sljedecoj

stranici), mozemo zakljuciti da uklanjanje lezajeva nije bio najpametniji nacin oblikovanja osnov-

noga sistema.


primjer:

δ1,1 =

`∫0

m21(x)

E I(x)dx

=1

EI

[$

’

%

1

2¨ 2,55 ¨ 4

,

/

-

$

’

%

2

3¨ 2,55

,

/

-+

$

’

%

1

2¨ 2,55 ¨ 7

,

/

-

$

’

%

2

3¨ 2,55

,

/

-

]=23,84

EI

δ1,2 = δ2,1 =

`∫0

m1(x)m2(x)

E I(x)dx

=1

EI

[$

’

%

1

2¨ 2,55 ¨ 4

,

/

-

$

’

%

2

3¨ 1,09

,

/

-

+

$

’

%

1

2¨ 2,55 ¨ 4

,

/

-

$

’

%

2

3¨ 1,09+

1

3¨ 2,18

,

/

-+

$

’

%

1

2¨ 1,09 ¨ 4

,

/

-

$

’

%

1

3¨ 1,09+

2

3¨ 2,18

,

/

-

+

$

’

%

1

2¨ 1,09 ¨ 3

,

/

-

$

’

%

2

3¨ 2,18

,

/

-

]=17,45

EI

δ2,2 =

`∫0

m22(x)

E I(x)dx

=1

EI

[$

’

%

1

2¨ 2,18 ¨ 8

,

/

-

$

’

%

2

3¨ 2,18

,

/

-+

$

’

%

1

2¨ 2,18 ¨ 3

,

/

-

$

’

%

2

3¨ 2,18

,

/

-

]=17,43

EI

primjer:

P P

X1 X1 X2 X2

o. s.

P P

100 100

M0

1 1

12

1 12

m1

1 1

12

1

m2

Osnovni sistem sa zglobovima”iznad” lezajeva i parovima momenata kao neodredenim velicinama

mnogo je povoljniji . . .


primjer:

δ1,0 =1

EI

[2

$

’

%

1

2¨ 100 ¨ 2

,

/

-

$

’

%−2

3¨1

2

,

/

-+ 2

$

’

%

1

2¨ 100 ¨ 2

,

/

-

$

’

%−2

3¨1

2−1

3¨ 1

,

/

-

]= −

200

EI

δ2,0 =1

EI

[$

’

%

1

2¨ 100 ¨ 2

,

/

-

$

’

%−2

3¨1

2

,

/

- +

$

’

%

1

2¨ 100 ¨ 2

,

/

-

$

’

%−2

3¨1

2−1

3¨ 1

,

/

-

]= −

100

EI

δ1,1 =2

EI

$

’

%

1

2¨ 1 ¨ 4

,

/

-

$

’

%

2

3¨ 1

,

/

- =8

3 EI

δ1,2 = δ2,1 =1

EI

$

’

%

1

2¨ 1 ¨ 4

,

/

-

$

’

%

1

3¨ 1

,

/

- =2

3 EI

δ2,2 =1

EI

[$

’

%

1

2¨ 1 ¨ 4

,

/

-

$

’

%

2

3¨ 1

,

/

-+

$

’

%

1

2¨ 1 ¨ 3

,

/

-

$

’

%

2

3¨ 1

,

/

-

]=

7

3 EI

Osnovni sistem sa zglobovima”iznad” lezajeva i parovima momenata kao neodredenim velicinama

mnogo je povoljniji, kao sto izrazi pokazuju, za izracunavanje potrebnih kutova zaokreta.


primjer:

8

3 EIX1 +

2

3 EIX2 =

200

EI

2

3 EIX1 +

7

3 EIX2 =

100

EI

Uvrstavanjem u jednadzbe kompatibilnosti dobivamo . . .


primjer:

8 X1 + 2 X2 = 600

2 X1 + 7 X2 = 300

. . . i nakon mnozenja s 3 EI . . .


primjer:

8 X1 + 2 X2 = 600

2 X1 + 7 X2 = 300

X1 =900

13= 69,23 X2 =

300

13= 23,08

Rjesenje je sustava . . .


sile u staticki neodredenim nosacima:

M(x) = M0(x) +n

ÿ

i=1

Ximi(x)

Rekli smo vec na proslom predavanju da se osnovni sistem, koji je uz zadane sile opterecen

i neodredenim silama i(li) momentima vrijednosti kojih su rjesenja jednadzbi kompatibilnosti,

nalazi u istom mehanickom stanju kao i izvorni neodredeni sistem pod zadanim silama. Vrijed-

nosti neodredenih velicina u osnovnom sistemu zapravo su vrijednosti reakcija i(li) unutarnjih

sila u neodredenom sistemu na mjestima zamisljenih prekida, pa iz uvjeta ravnoteze slijedi da

su jednake i vrijednosti ostalih statickih velicina.

Na temelju jednakosti mehanickih stanja izvornoga i osnovnoga sistema mozemo vrijednost

neke velicine u staticki neodredenu sistemu primjenom principa superpozicije izracunati kao

algebarski zbroj vrijednostı te velicine u osnovnom sistemu zbog zadanih djelovanja i zbog

staticki neodredenih velicina. Primjerice,

M(x) = M0(x) +n

ÿ

i=1

Mi(x),

gdje su Mi(x), i = 1, . . . , n, vrijednosti momenta savijanja u osnovnom sistemu uzrokovane

silama#„

X I. Primjena principa superpozicije takoder daje

Mi(x) = Ximi(x).

Ne smije iznenaditi da je konacni izraz za M(x) po obliku jednak izrazima za orijentirane duljine

pomaka i kutove zaokreta na mjestima raskinutih veza.



M(x) = M0(x) +n

ÿ

i=1

Ximi(x)

T(x) = T0(x) +n

ÿ

i=1

Xi ti(x)

N(x) = N0(x) +n

ÿ

i=1

Xini(x)

Buduci da smo za izracunavanje koeficijenata popustljivosti δi,j i slobodnih clanova δi,0 trebali

dijagrame M0 i mi, primjena je navedenoga izraza vjerojatno najlaksi i najbrzi nacin crtanja

konacnoga dijagrama M (vrijednosti momenata u karakteristicnim tockama izracunavaju se

prema navedenom izrazu).

Dijagrame T0 i ti nismo dosad trebali. Nema ih smisla, a ni potrebe, crtati za crtanje dija-

grama T . Taj se dijagram moze nacrtati tako da se vrijednosti u karakteristicnim tockama

izracunaju rjesavanjem jednadzbi ravnoteze; nemojte zaboraviti: kad su vrijednosti Xi poznate,

zadatak je staticki odreden. Dijagram T se, uz poznati dijagram M, moze nacrtati i na temelju

diferencijalnoga odnosa T =M 1.

U nekim slucajevima pri izracunavanju duljina pomaka i kutova zaokreta u obzir treba uzeti

i utjecaj uzduznih sila (barem u nekim elementima sistema; primjeri su zatege trozglobnih

sistema, stapovi ojacanja i potporni stapovi). Ako su dijagrami N0 i ni vec nacrtani, konacni

se dijagram N moze nacrtati primjenom navedenoga izrazu. Ako ne, pogodnije je izracunati

karakteristicne vrijednosti rjesavanjem jednadzbi ravnoteze.



P P

2 2 2 2 3

X1 X1 X2 X2

o. s.

100 100

M0

12

1 12

m1

12

1

m2

65,4 69,2

53,9 23,1

M

U nasemu cemo primjeru vrijednosti momenata savijanja u karakteristicnim tockama — u

hvatistima zadanih sila (x = 2 & 6) i iznad drugoga i treceg lezaja (x = 4 & 8) — izra-

cunati prema izrazu

M(x) = M0(x) + X1m1(x) + X2m2(x) :

M(2) = 100 + 69,23 ¨ (−0,5) + 23,08 ¨ 0 = −65,39,

M(4) = 0 + 69,23 ¨ (−1) + 23,08 ¨ 0 = 69,23,

M(6) = 100 + 69,23 ¨ (−0,5) + 23,08 ¨ (−0,5) = 53,85,

M(8) = 0 + 69,23 ¨ 0 + 23,08 ¨ (−1) = −23,08.

metoda sila (2)

Documents