nasionale senior sertifikaat graad 12...30% en 45% presteer in skeinat. 50% van die leerders het...

Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

PUNTE: 150

Hierdie memorandum bestaan uit 29 bladsye.

WISKUNDE V2

NOVEMBER 2012

MEMORANDUM

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT

GRAAD 12

Wiksunde/V2 2 DBE/November 2012 NSC – Memorandum


NOTA: • Indien `n kandidaat `n vraag TWEE keer beantwoord het, merk slegs die EERSTE poging. • Indien `n kandidaat `n poging van `n vraag gekanselleer het en nie die vraag weer gedoen

het nie, merk die gekanselleerde weergawe. • Volgehoue akkuraatheid is van toepassing in ALLE aspekte van die memorandum tensy

anders aangedui.

VRAAG 1

1.1 Ongeveer 121cm (Aanvaar 120 – 122) antwoord (1)

1.2 Soos die ouderdom toeneem sal die lengte toeneem OF Elke jaar die lengte sal toeneem met ongeveer 6,2 cm OF Reguit lyn (linieêr) met positiewe gradient OF Toename in lengte: toename in ouderdom is `n konstante OF Sterk positiewe korrelasie

beskrywing (1)

1.3

23621588169lengte gemiddeldein toenameGeskatte

,=−−

=

Interval vir noemer (87 – 89 ; 167 – 170) (Aanvaar enige antwoord tussen 6 – 6,4 cm)

lees van grafiek af noemer antwoord

(3)

1.4 Kinders hou op groei as hulle volwassenheid bereik. OF Indien die neiging voortduur sal die seuns onmoontlike lengtes bereik OF Die neiging sal ‘n konstante waarde nader. OF Mense kan nie onbeperk groei nie.

opmerking (1)

[6]



VRAAG 2

2.1 Gemiddelde aantal lopies

168

128=== ∑

nx

x

128 16

(2)

2.2 Standaard afwyking = 7,55

7,55 (2)

2.3 Standaard afwyking = 9,71 Standaard afwyking vermeerder. OF 2 en 35 is ver van die gemiddelde, naamlik 16. Die standaard afwyking hang af van hoe ver die data punte vanaf die gemiddelde is, en daarom word dit verwag dat die standaard afwyking sal toeneem

9,71 vermeerder

(2) 2 en 35 ver van gemiddelde vermeerder

(2) 2.4 Totale aantal lopies benodig is 20 x 16 = 320

Totale aantal lopies aangeteken tydens die laaste vyf wedstryde = 320 – 59 – 128 = 133 Gemiddelde aantal lopies vir die laaste wedstryd is

6,265

133=

OF

6,265

133133

320187

201659128

=∴

=∴=+

=++

xx

x

OF

6,261335

2016

559128

=∴=

=++

xx

x

320 133 26,6

(3)

320 133 26,6

(3) 320 133 26,6

(3) [9]

NOTA: Penalisering van 1 punt vir nie-korrekte afronding



VRAAG 3

3.1 Omvang (Variasiewydte) = 85 – 30 = 55

55 (1)

3.2

maks 85 Q3 = 70 Q1 = 40 Mediaan = 55

(4)

3.3 Vanuit die inligting oor Wiskunde, die waarde van die derde kwartiel is 70%. Dus sal 75% van die leerder se punte onder 70% wees. Verwagte aantal leerders minder as 70% is

45604360

10075

=×=× leerders

75% van leerders 45 leerders

(2)

3.4 Nee, Joe se stelling is nie geldig nie. 50% van die leerders het tussen 30% en 45% presteer in Skeinat. 50% van die leerders het tussen 30% en 55% presteer in Wiskunde. Daarom is die aantal leerders dieselfde OF Nee, Joe se stelling is nie geldig nie. Selfde aantal leerders (tussen min en mediaan)

nie geldig nie/no mediaan represents 50% of leerders

(2)

[9]

VRAAG 4

4.1 Modale interval(klas) is 50 ≤ x < 60 OF 50< x ≤ 60 OF 50 tot 60

korrekte interval

(1)

4.2 Mediaan posisie is 15 leerders (gegroepeerde data). Geskatte gewig is omtrent 53 kg. (Aanvaar 52 kg - 54 kg )

53 kg (1)

4.3 30 – 23 = 7 leerders het meer as 60 kg versamel.

7 leerders

(2) [4]

Wisk

Skei



VRAAG 5

5.1 Hoeklyne halveer mekaar by M:

22

)4(8;12

53=

−+==

+−= MM yx

M(1 ; 2)

1=Mx 2=My

(2)

5.2

55641

=−+

=

BC

BC

m

m

OF

56514

=−−−

=

BC

BC

m

m

vervanging in gradient formule 5

(2)

6514

−−−

=BCm

5 (2)

5.3

235)3(58

5)3(8)( 11

+=+=−

==+=−

−=−

xyxy

mmxmy

xxmyy

BCAD

vervanging (–3 ; 8) gradiente gelyk vergelyking

(3)

Ewewydige lyne

A(– 3 ; 8)

B

C(5 ; – 4)

D

M E(6 ; 1)

y

x

θ

P Q R S T



OF

5==

AD

BCAD

mmm

23523

)3(585

+==

+−=+=

xyc

ccxy

gradiente gelyk vervanging (–3 ; 8) vergelyking

(3)

5.4 ABCD is `n ruit, daarom AB = BC

TSBSRA

CSRSRAACBˆˆ

ˆˆˆ

−=

−==θ

°=

−°=

−=

−−+

==

69,123ˆ...3099,56180ˆ

23ˆtan

5348ˆtan

SRA

SRA

SRA

mSRA AC

°=

==

69,78ˆ5ˆtan

TSB

mTSB BC

°=

°−°=

+=

45ˆ69,7869,123ˆ

ˆˆˆ

ACB

ACB

TSBACBSRA

OF

°=

−=−−

+==

69,123ˆ23

5348ˆtan

SRA

mSRA AC

°=

==

69,78ˆ5ˆtan

RPA

mRPA AD

°==

°=°−°=

−=

45

ˆ45

69,7869,123

ˆˆˆ

RAP

RPASRARAP

θ

ACB ˆ=θ

23ˆtan −=SRA

123,69° 5ˆtan == BCmTSB 78,69° θ = 45°

(6)

23ˆtan −=SRA

123,69° 5ˆtan == ADmRPA 78,69° °= 45ˆP RA °= 45θ

(6)

Ewewydige lyne

NOTA: Indien `n leerder aanvaar dat E die middelpunt van BC is dan max 3/6 OF AB is loodreg op BC dan max 1/6

Buitehoek van `n driehoek

Hoeklyne van `n ruit halveer teenoorstaande hoeke



OF

°=

−=−−

+==

69,123ˆ23

5348ˆtan

SRA

mSRA AC

°=

=

69,78ˆ5ˆtan

RPA

RPA

°=°−°=

−=

=

4569,7869,123

ˆˆ

ˆ

θθθ

θ

RPASRA

RAP

OF

°=

−=−−

+==

69,123ˆ23

5348ˆtan

SRA

mSRA AC

°=

=

69,78ˆ5ˆtan

TSB

TSB

SCR ˆ=θ

SRA

CSRSCRTSBSCRˆ

ˆˆˆˆ

=

+=+

°=°−°=

−=

4569,7869,123

ˆˆ TSBSRAθ

OF ABCD is `n ruit, daarom AB = BC

CABBCA ˆˆ =∴

°==

+

−−

−

−=

+−

=

−=

=

451

15

8121

15

812

ˆtan.ˆtan1

ˆtanˆtan

)ˆˆtan(

ˆtantan

θ

θ

TSBSRATSBSRA

TSBSRA

BCA

23ˆtan −=SRA

123,69 5ˆtan == ADmRPA 78,69° RAP ˆ=θ °= 45θ

(6)

23ˆtan −=SRA

123,69 5ˆtan =TSB 78,69° SCR ˆ=θ °= 45θ

(6) CABBCA ˆˆ =

BCA ˆtantan =θ formule vervanging 1tan =θ °= 45θ

(6)

Buite hoek van driehoek

Hoeklyne van `n ruit halveer teenoorstaande hoeke

BA=BC



OF Uit 5.1, M se koordinate is (1 ; 2) Verbind ME

51

6112

−=−−

=MEm

Uit 5.2

°=∴

−=×∴=

90ˆ1.

5

CEM

mmm

BCME

BC

( ) ( )( ) ( ) 261465

26126122

22

=−−+−=

=−+−=

EC

ME

∴MEC is ‘n reghoekige driehoek. °= 45ˆMCE

ABCD is ‘n ruit, dus AB = BC

°==∴ 45ˆMCBθ OF

( ) ( ) 1322813 22 =−+−−=AM Berekeninge om die koordinate van B te bepaal

32

123

5348

=

−=×

−=−−

+=

BD

ACBD

AC

m

mm

m

34

32is vangVergelykin += xyBD

295is vangVergelykin −= xyBC

BD en BC ontmoet in B. Los gelyktydig op om B(7 ; 6) te kry.

( ) ( )

°==∴

=

°=

=∴

==−+−=∴

451tan

tan

90ˆOmdat

132522617 22

θθ

θAMBM

BMA

AMBMBM

gradient van ME gradient van BC °= 90ˆCEM 26=ME 26=EC °= 45ˆMCE

(6)

132=AM

34

32

+= xy

295 −= xy B(7 ; 6) 132=BM 45°

(6) [13]

Hoeklyne halveer reghoekig



VRAAG 6

x

y

6.1 Die radius (NL) van `n sirkel is loodreg op die raaklyn (OL) by die kontakpunt

radius ⊥ raaklyn

(1) 6.2 L(3 ; 0) (3 ; 0)

(1) 6.3 Middelpunt N (3 ; 2) en r = NL = 2

Vergelyking van die sirkel N:

4)2()3()()(

22

222

=−+−

=−+−

yxrbyax

r = 2 22 )2()3( −+− yx 4

(3)

6.4 koordinates van K. K is die x-afsnit van die raaklyn.

)0;1(14444034

340

34

34

−−=−=+=

+=

+=

Kxx

x

x

xy

KL = 3 – (–1) of KL = 3 + 1 KL = 4

vervanging y = 0 in

vergelyking van raaklyn

x = – 1 KL = 4

(3)

Q

A

K

P

B

L

N(3 ; 2)

O



OF

)0;1(14444034

340

34

34

−−=−=+=

+=

+=

Kxx

x

x

xy

416

)00()13(

)()(22

212

212

==

−++=

−+−=

KLKL

KL

yyxxKL

OF

Vir AK, m = 34 , c =

34

41

34ˆtan3

4

=∴=

==

KLOK

OKAOK

OF

)0;1(14444034

340

34

34

−−=−=+=

+=

+=

Kxx

x

x

xy

KN2 = NL2 + KL2 (– 1 – 3)2 + (0 – 2)2 = 4 + KL2 20 = 4 + KL2 16 = KL2 KL = 4

vervanging y = 0 in

vergelyking van raaklyn

x = – 1 KL = 4

(3)

343

4

=OK

OK = 1 KL = 4

(3)

x = – 1

KN2 = NL2 + KL2 KL = 4

(3)

Pythagoras se stelling



6.5

43

34

1

−=∴

=

−=×

AB

AK

AKAB

m

m

mm

417

43

48

49

43

)3(432

)( 11

+−=

++−=

−−=−

−=−

xy

xy

xy

xxmyy

OF

43

34

1

−=∴

=

−=×

AB

AK

AKAB

m

m

mm

( )

417

43

417

49

48

3432

43

+−=

=

+=

+

−=

+−=

xy

c

c

c

cxy

34

=AKm

43

−=ABm

vervanging van punt

(3;2) in vergelyking vergelyking

(4)

34

=AKm

43

−=ABm

vervanging van punt

(3;2) in vergelyking vergelyking

(4)

raaklyn ⊥ radius

raaklyn ⊥ radius



6.6 Punt A is op PQ en AB. Dus

573525

51916164

1743

34

34

=

=+−=+

+−=+

x

xxx

xx

516

417

57

43

=

+

−=

y

y

516;

57A

OF Punt A is op PQ en die sirkel. Dus

516

417

57

43

57

0)75(0497025

4)32

34()3(

4)234

34()3(

2

2

22

22

=

+

−=

=

=−

=+−

=−+−

=−++−

y

y

x

xxx

xx

xx

OF

vergelyking 25x = 35 vervanging van x (3) 0)75)(235( =−− xx

vervanging of x

(3)

vergelyking (5x – 7)2 = 0 substitusie van x



Punt A lê op die sirkel en op lyn AB

57

0)75)(235(016115025

4)49

43(96

4)24

1743(96 :(1)in (2) Subs

(2)--------- 4

1743

(1)--------- 4)2()3(

2

22

22

22

=

=−−=+−

=+−++−

=−+−++−

+−=

=−+−

x

xxxx

xxx

xxx

xy

yx

516

417

57

43

=

+

−=

y

y

OF Gebruik rotasie: Stel NKLNKA ˆˆ ==θ Skuif die diagram met 1 eenheid regs. Dan is L/ geroteer deur 2θ die punt A/.

53)

51()

52(sincos2cos

54)

52)(

51(2cossin22sin

21

42tan

2222 =−=−=

===∴

===

θθθ

θθθ

θKAAN

516)

53)(0()

54(42cos2sin

512)

54)(0()

53(42sin2cos

=−=+=

=−=−=∴

′′′′

′′′′

θθ

θθ

LLA

LLA

yxy

yxx

)5

16;5

12(A′

Om terug te keer na A, skuif 1 eenheid links.

)5

16;57(A∴

OF

vergelyking 0)75)(235( =−− xx vervanging van x (3)

waardes van sin 2θ en cos 2θ

vervanging in die rotasie-formules

)

516;

512(A′

(3)



x

y

Stel θ=LKN ˆ . Dan sal 21

42tan ===

KNNLθ .

Dus: 5

1sin =θ en 5

2cos =θ

Laat asxasxAM −−⊥ op Mmet

θ

θ

2ˆ

ˆˆ

=∴

==

∆≡∆

LKA

LKNNKA

NLKNAK

θθθ 2sin42sin2sin ==== KLAKAMy A

54

52

512cossin22sin =

== θθθ

516

544 =

=Ay

( )

57

583

2sin23

ˆ90sin23

ˆsin

=

−=

−=−°−=

−=

θKAM

NAMNAOLxA

tan 21

=θ

542sin =θ

los op vir x en y

(3)

K L

N

A

θ θ

M



6.7

4

05

16157

)()(22

212

212

=

−+

+=

−+−= yyxxKA

OF

416

420

2024222

22

==

−=−=

=+=

KA

ANKNKAKN

OF KA = KL Raaklyne van dieselfde punt af is gelyk KA = 4

afstandformule vervanging 4

(3)

20=KN 222 ANKNKA −=

4

(3) KA=KL rede 4

(3) 6.8 AN = NL Radii is gelyk

KA = KL ∴KLNA is a kite twee paar aangrensde sye is gelyk.

AN = NL KA = KL

(2) 6.9 AB = AN + NB = 2 + 2 = 4

AK = 4= AB

°=∴

°=

°=+

∆∴°=

45ˆ90ˆ2

90ˆˆdriehoek egelykbenig reghoekige`n s

90ˆ

KBA

KBA

KBABKA

iAKBBAK

OF

AB = 4 AK = AB °= 90ˆBAK

(3)

raaklyn ⊥ radius



N is die middelpunt van AB Veronderstel B is ( )BB yx ;

54

523

22

516

32

57

=∴=∴

=+

=+

BB

BB

yx

yx

∴

54;

523B

°=°−°=

−==

13,14387,36180

43tan

ββ

β ABm

°=

=+

−==

13,8

71

1523

054

tan

α

α KBm

°=°+°=

−°+=

4587,3613,8

)180(ˆ βαKBA

OF N is die middelpunt van AB Veronderstel B is ( )BB yx ;

54

523

22

516

32

57

=∴=∴

=+

=+

BB

BB

yx

yx

∴B( )54;

523

24)54()1

523( 22 =++=KB

°=∴

=

−+=

4522cos

cos)32)(4(2)32(44 222

θ

θ

θ

143,13° 8,13° )180(ˆ βα −°+=KBA

(3) 4 2 vervanging in cos- formule

22cos =θ

(3)

6.10 )2;3(/ −N )2;3(/ −N (1)

[24]

α β K

A

B

4 2

4 4

A

B K



VRAAG 7 NOTA: CA nie van toepassing in hierdie VRAAG

7.1 Rotasie om oorsprong deur 90° in `n kloksgewyse rigting. OF Rotasie om oorsprong deur 270° in `n anti-kloksgewyse rigting. OF Rotasie om oorsprong deur -90°.

rotasie van 90° kloksgewyse rigting

(2) rotasie of 270° anti-kloksgewyse rigting

(2) stelling

(2)

7.2 );();( xyyx −→

(beide) );();( xyyx −→

(2)

7.3

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

een punt korrek alle punte korrek en driehoek geteken

(2)

7.4 )2;2();( yxyx → )2;2( yx (1)

7.5.1 )2;5()2;5()2;5( −→−−→− DA 5 – 2 (2)

7.5.2 );();();( yxyxyx −−→−→

(x ; – y) (– x ; – y)

(2) 7.5.3 Rotasie deur 180° om die oorsprong in beide rigtings.

OF Refleksie in die oorsprong.

rotasie 180° (2) refleksie oorsprong

(2) [13]

0

A

B/ C

B

C/

A/ C//

A//

B//



VRAAG 8 Geen sakrekenaar toegelaat in hierdie VRAAG

8.1.1 OT = k, PT = 8 en OP = 17

150

15225

64289178

2

2

222

=>

±==

−=

=+

kk

kkk

k

OF

150

15225

925)817)(817(

8172

222

=>

±==

×=+−=

−=

kkk

kk

vervanging in Pythagoras

k = 15

(2) vervanging in Pythagoras k = 15

(2)

8.1.2 1715cos =α

1715

(1) 8.1.3

αββα

−°=°=+

180180

1715cos

)180cos(cos

−=

−=−°=∴

ααβ

OF

1715cos

)180cos(cos

−=

−=−°=∴

ααβ

)180cos( α−° or – cos α

1715

−

(2) )180cos( α−° or – cos α

1715

−

(2)

17 8 β α



8.1.4

289240

289120

289120

178

1715

1715

178

sincoscossin)sin(

=

+=

−−

=

−=−

αβαβαβ

OF

( )

289240

1715

1782

cos.2sin sin2

)2180sin()sin(2180

180

=

=

==

−°=−−°=

−−°=−

ααα

ααβα

αααβ

uitbreiding

178sin =β

178sin =α

289240

(4)

vervanging β 2sinαcosα

178sin =α

289240

(4)

8.2.1

RKxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxLK

==

=

−−

=

−−

=

−−−−

=

−−−

=

tancossin

)1sin2(cos)1sin2(sin

coscossin2sinsin2

coscossin2sin)sin21(1

cos2sinsin2cos1

2

2

OF

x2sin21− xx cossin2 of )1sin2(sin −xx of

)1sin2(cos −xx

xx

cossin

(4)



RKxxx

xxxx

xxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxx

xxxxLK

==

=

−−

=

−−

=

−−−

=

−−−

=

−−−−

=

−−−

=

tancossin


coscossin2sinsin2

coscossin2sin)cos1(2

coscossin2sincos22

coscossin2sin)1cos2(1

cos2sinsin2cos1

2

2

2

2

OF

RKxxx

xxxx

xxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxLK

==

=

−−

=

−−

=

−−+−

=

−−−−

=

−−−

=

tancossin


coscossin2sinsin2

coscossin2sinsincos1

coscossin2sin)sin(cos1

cos2sinsin2cos1

2

22

22

1cos2 2 −x xx cossin2 )1sin2(sin −xx of

)1sin2(cos −xx

xx

cossin

(4)

xx 22 sincos − xx cossin2 of )1sin2(sin −xx of

)1sin2(cos −xx

xx

cossin (4)



8.2.2

Zkkxkxx

xxxxx

xx

∈°+°=°+°==

=−=−

=−

360270 of 360900cos

0)1sin2(cos0coscossin2

0cos2sin

of

k xkx

x

°+°=°+°=

=

360150 of360 30 21sin

x = 90° of x = 270° of x = 30° of x = 150° OF

( )

kxkxkxxkx

kxxZkkxxxx

xx

°+°=°+°=°++°=°+°=

°+−°−°=∈°+−°=−°=

=

3609012030360902360903

360901802of;360902)90sin(2sin

cos2sin

x = 30° of x = 150° of x = 270° of x = 90°

xx cossin2 0cos =x en

21sin =x

vir twee korrekte antwoorde vir vier korrekte antwoorde

(4)

)90sin( x−°

kx .12030 °+°=

en kx .36090 °+°=

vir twee korrekte antwoorde vir vier korrekte antwoorde

(4) [17]



VRAAG 9

9.1

θθθ

θθ

θθθ

θθθ

2

2

2

2

2

2

2

tancossin

1sinsin

1)sin)((sinsin

45tan)90cos().180sin(sin

=

=

+−=

+−=

°++°−°

sinθ –sinθ 1 cos²θ θ2tan

(5) 9.2

( )

( )

338cos38sin

38cos38sin3

38cos38cos38sin

2338cos38sin2

52sin.38tan30cos.76sin412sin38tan

)115cos2(104sin

2

2

2

2

=°°

°°=

°

°°

°°

=

°°°°

=

°°−°°

OF

( )

( )

323.2

30cos2

52sin52sin52cos

30cos.52cos52sin2

52sin.38cos38sin

)115cos2).(52(2sin412sin38tan

)115cos2(104sin

2

2

2

2

2

=

=

°=

°

°°

°°°=

°°°

−°°=

°°−°°

sin 76° cos30°

°°

38cos38sin

sin52° 2sin38°cos38°

23

sin52°=cos38° 3

(8)

sin2(52°)

°°

38cos38sin

sin52° 2sin52°cos52° cos30° cos52°=sin38° en sin52°=cos38°

23

3 (8)

NOTA: • Indien cos 30° nie getoon word

nie: -1 • Slegs antwoord: 0/8



OF

( )

( )

314cos

14cos376sin

14cos338cos38sin2

14cos3

38cos38cos38sin

23

14cos

52sin38cos38sin

30cos.14cos412sin38tan

)115cos2(104sin

2

2

2

2

=°

°=

°

°=

°°

°=

°

°

°

=

°

°

°

°°=

°°

−°°

OF

( )

( )

( )

3

104sin21

23.104sin

52sin52cos23.104sin

52sin52sin52cos

23.104sin

52sin.38cos38sin

30cos.104sin412sin38tan

)115cos2(104sin

2

2

2

2

=

°

°=

°°

°=

°

°°

°=

°°°

°°=

°°−°°

cos30°

°°

38cos38sin

sin52° cos 38°

23

sin76° 3

(8)

cos30°

°°

38cos38sin

sin52°

23

cos52°=sin38° en sin52°=cos38°

cos520.sin520

°104sin21

3 (8)

[13]



VRAAG 10 10.1 5,2)2(5,0)0()0( =−−=− gf 2,5

(1) 10.2

35tan

cos5sin3

cos4cossin3

cos2cos21sin

23

cos230sin.cos30cos.sincos2)30sin(

−=

−=

−=+

−=

+

−=°+°−=°+

x

xx

xxx

xxx

xxxxx

kx .18011,109 °+°= ; k ∈Z °=°−= 11,10989,70 QP xenx

OF

35tan

cos5sin3

cos4sin3cos

cos2sin23cos

21

cos2sin60sincos60coscos2)60cos(

cos2)3090cos(cos2)30sin(

−=

−=

−=+

−=+

−=°+°−=−°

−=°−−°−=°+

x

xx

xxx

xxx

xxxxx

xxxx

kx .18011,109 °+°= ; k ∈Z °=°−= 11,10989,70 QP xandx

vergelyking uitbreiding

sin(x+30°) vervanging van

spesiale hoeke vereenvoudiging

3

5tan −=x

°−= 89,70Px °= 11,109Qx

(7) vergelyking uitbreiding van cos(60° – x) vervanging van

spesiale hoeke vereenvoudiging

3

5tan −=x

°−= 89,70Px °= 11,109Qx

(7) 10.3 °≤≤°− 11,10989,70 x

OF ]11,109;89,70[ °°−

OF QP xxx ≤≤

hoeke korrekte interval

(2)

10.4 xxxxh cos2)90sin(2)3060sin(2)( =°+=°+°+= h is die refleksie van g in die x-as. OF f word na links geskuif deur 60° en dan verdubbel. ∴ h is die refleksie van g in die x-as.

refleksie in die x-as of lyn y = 0

(2) refleksie iIn die x-as of lyn y = 0

(2) [12]



VRAAG 11 11.1

( )( )

θ

θ

sin6

sin23212

ΔABCArea2ABCDramparallelogArea

=

=

×=

OF

θθθ

θ

sin6sin2.3. Area sin2

sin2

===∴=

=

hbABCDh

h

OF Area van parallelogram ABCD = area of ΔABC + area of ΔADC

= ( )( ) θsin2321

+ ( )( ) θsin23

21

= 6 sin θ OF

Area = 21 (sum of // sides)× h

= 21 (3 + 3) × 2sin θ

= 6 sin θ

ABC area2 ∆ vervanging in

area reel

(3)

θsin2

=h

θsin2=h b.h

(3)

som van areas gelyke sye en gelyke hoeke

(3)

formule θsin2=h vervanging

(3) 11.2 Area van parallelogram ABCD = 33

33sin6 =θ

°=

=

6023sin

θ

θ

OF 6 sin 60° = 33

∴ θ = 60°

33sin6 =θ

23sin =θ

60°

(3)

33sin6 =θ 60°

(3) 11.3 Maksimum area van parallelogram verkry as sin θ = 1, dit is waar

°= 90θ

sin θ = 1 °= 90θ

(2) [8]

2

θ

h

3 NOTA: Geen bewerkings dan 0/3

NOTA: `n Penalisasie van 1 punt indien beide 60° en 120°



VRAAG 12

12.1

xkx

xxkx

xkCB

xk

x

sin2cos

cossin2.CB

)90sin(2sin.

)90sin(2sinCB

Bsin CD

Dsin CB

=

=

−°=

−°=

=

OF

kDBDCxxxBCD

==∴−°=+−°−°= 90)290(180ˆ

xkCBCFCB

xkCF

xCDCF

sin22

sin

sin

BCDFTrek

===

=

⊥

OF

kDBDCxxxBCD

==∴−°=+−°−°= 90)290(180ˆ

CB2 = CD2 +BD2 – 2.CD.BD.cos2x

xkCBxk

xkxk

xkxk

xkkkCB

sin2)sin2(

sin4)sin2(2

))sin21(1(2)2cos1(2

2cos2

2

22

22

22

2

2222

==

=

=

−−=

−=

−+=

Gebruik die sin reel in driehoek CBD

)90sin(2sin xk

xCB

−°=

)90sin(

2sin.x

xk−°

2sinx.cosx cos x

(5)

xCBDBCD −°== 90ˆˆ kDBDC == xFDC =ˆ xkCF sin= CB=2 CF

(5)

xCBDBCD −°== 90ˆˆ

kDBDC == gebruik cos reel in driehoek CDB faktore vereenvoudiging

(5)

D

B F C

k k

x x

x−°90 x−°90



12.2

xkxxk

x

x

tan2cos

sin2cosBCHC

HCBCcos

=

=

=

=

OF

)90sin(

)90sin(90sin

xBCHC

xBCHC

−°=

−°=

°

xkx

xk

tan2cos

sin2

=

=

HCBCx =cos

x

BCHCcos

=

vervanging van BC

(3)

)90sin( x

BCHC−°

=

vervanging van BC sin(90° – x) =cos x

(3)

12.3 HC = xk tan2 = 2(40).tan(23°) = 33,9579... In ∆HCD:

°=∴=

−+=

−+=

−+=

85,74...2613,0cos

)8,31...)(9579,33(2408,31...)9579,33(

.2cos

cos..2

222

222

222

θθ

θ

θ

HDHCCDHDHC

HDHCHDHCCD

waarde van HC vervanging in cos formule cos θ = 0,2613... 74,85°

(4) [12]



VRAAG 13

13.1 Hoek waardeur minuut wyser beweeg is:

°=

°×

222

3606037

P is geroteer deur 138° in `n anti-kloksgewyse rigting:

16,4138sin4138cos2

−=°−°=a

en 63,1

138sin2138cos4−=

°+°=b

OF Hoek waardeur minuut wyser beweeg is:

°=

°×

222

3606037

P is geroteer deur 222° in `n kloksgewyse rigting:

16,4222sin4222cos2

−=°+°=a

en 63,1

222sin2222cos4−=

°−°=b

OF

°==

43,632tan

αα

°=°−°+°=

°=−°+

43,2122218043,63

222180ββα

63,143,21sin20

16,443,21cos20

−=°−=

−=°−=∴

b

a

°× 3606037

222° vervanging van 1380 in formule vir x en y 16,4− 63,1−

(6)

°× 3606037

222° vervanging van 2220 in formule vir x en y 16,4− 63,1−

(6) 2tan =α °= 43,63α °=−°+ 222180 βα β = 21,43° 16,4−

63,1− (6)

4

β

2 α

180°- β

20

20

a

b


Kopiereg Voorbehou

13.2 Die minuut-wyser beweeg deur 360° in 60 minute.

Die uur-wyser beweeg deur 30° in 60 minute, dus `n 121 van die

minuut-wyser. Daarom as die minuut-wyser deur 222° beweeg,

beweeg die uur-wyser deur °=° 5,18

12222

OF

Uur-wyser beweeg deur °=° 30

12360 grade in 60 minute.

∴ 37 minute: °=°× 5,18306037

360° 30°

121

18,5° (4)

360° 30°

°× 306037

18,5° (4)

[10]

TOTAAL : 150

nasionale senior sertifikaat graad 12...30% en 45% presteer in skeinat. 50% van die leerders het...

Documents