平成１９年度物性物理学IA（講義８） 1

物性物理学物性物理学IAIA

平成１９年度前期東京大学大学院講義

東京大学物性研究所

高田康民

２００７年４月６日-７月２０日(１３回）

金曜日２時限（１０：１５－１１：４５）

理学部１号館２０７号室

◎ 講義は自己充足的

◎ 量子力学（第２量子化を含む）・統計力学・場の量子論のごく初歩を仮定

◎ 最後の約１０分間は関連する最先端の研究テーマを雑談風に紹介する。（フォーマルな導出は行わず、参考文献を挙げる程度。）

◎ レポートはポイント制（合計３点がミニマム）

◎ 講義資料はホームページ http://takada.issp.u-tokyo.ac.jp/ の「大学院講義」

のページにｐｄｆファイルの形で置いてある。（週１回の更新予定）

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講義プラン講義プラン

◎ 量子物性論の基礎第一原理のハミルトニアンに基づいた量子多体理論の立場から体系的に解説する。

１) ４月 ６日：第一原理からの量子物性 その出発点としての１サイト問題２) ４月１３日：凝集機構理解への出発点 ２サイト問題の波動関数によるアプローチ３) ４月２０日：断熱近似とその限界 電子運動と原子核運動の分離４) ４月２７日：巨視系理解への出発点 場の量子論的アプローチ５) ５月１１日：密度汎関数理論 波動関数的世界観から密度的世界観へ６) ５月１８日：グリーン関数法 自己エネルギー７) ５月２５日：固体電子論 周期ポテンシャル中の１電子問題８) ６月 １日：休講（海外出張のため）９） ６月 ８日：休講（科研費研究会のため）

１０） ６月１５日：NFE近似 自由電子描像のアプローチ１１) ６月２２日：Tight-Binding 近似 バンド描像からボンド描像へ１２) ６月２９日：結晶構造と凝集機構 電子構造の個別解説１３) ７月 ６日：輸送問題 準古典近似とフェルミオロジー１４) ７月１３日：多電子系の動的応答 誘電関数１５) ７月２０日：固体中の光学応答 素励起と準粒子

(以下の２講義は、もし必要なら、９月の補講期間に行う。）１６) ＊月＊日：格子系 断熱近似を越えて１７) ＊月＊日：電子フォノン複合系 ポーラロン

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NFE(NFE(NNearlyearly FFree ree EElectron)lectron)近似近似

◎固体電子論の自由電子描像アプローチ

◎ 結晶固体中の１電子グリーン関数

1) 実空間でのグリーン関数

2) 運動量空間でのグリーン関数

3) ２波近似とブラッグ反射: バンドギャップ

4) 結晶の安定性の問題

◎ バンドギャップへの相互作用の効果1) 準粒子のブラッグ反射: バンドギャップ の繰り込み

2) 朝永ラッティンジャー流体の場合

3) バンド絶縁体とモット絶縁体のクロスオーバー

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結晶固体形成の見方結晶固体形成の見方

◎原料：イオン（原子核＋内殻電子）＋価電子

(b) 中性原子（イオン＋価電子）集合体という考え方

(a) （イオン系）＋（価電子系）という考え方

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ハミルトニアンハミルトニアン

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実空間での１電子グリーン関数実空間での１電子グリーン関数

一般的定義とブロッホ電子系の場合の一般形

kは１ｓｔＢＺ内

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注意注意

Gのシンボリックな表現

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運動量空間での１電子グリーン関数運動量空間での１電子グリーン関数

Gの一般的定義において電子場演算子を平面波で展開

＿＿＿＿＿＿＿＿＿

結晶中では、この組

しか残らない

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運動量空間表示でのハミルトニアン運動量空間表示でのハミルトニアン

電子場演算子を平面波で展開してハミルトニアン演算子に代入

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１電子グリーン関数を解く１電子グリーン関数を解く

運動方程式の方法

(a) τ 空間での運動方程式を交換関係を使って得る

(b) フーリエ展開でiωp空間での方程式に変換する

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ダイソン方程式ダイソン方程式

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ダイソン方程式の形式解ダイソン方程式の形式解

ダイソン方程式のダイアグラム表現

擬ポテンシャルを使ったバンド計算というのは、これを数値的に解くこと

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２波近似２波近似

無限次元の行列の内、あるKについてだけ、VKが重要で

他は無視できるとする ２×２の行列を抜き出す

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注意注意

（１）非対角成分（バンド効果Vei)が小さいときは、最低回数の散乱を取ったので十分 ２波近似と同等

（２）対角成分のみを考えたもの 「空格子(Empty Lattice)近似」

（３）一般論との比較

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BZBZ境界での解境界での解

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ブラッグ反射ブラッグ反射

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定在波形成定在波形成

2|VK|

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エネルギーギャップを持つことの意味合いエネルギーギャップを持つことの意味合い

◎金属・半金属・半導体・絶縁体の区別「バンド構造・バンド絶縁体」の概念

◎不純物状態・表面状態の存在可能性ギャップ内の状態は結晶全体を伝搬できない

相互作用が強い極限でなくても、「局在状態」が存在しうる。（ アンダーソン局在に結びつく概念）

◎結晶構造安定化の１要因バンドギャップの形成で、ε-(k)バンドのエネルギーは

下がる。 「ジョーンズ帯」の概念

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バンド効果による結晶安定化バンド効果による結晶安定化

もしも、自由電子ガスの模型で考えて、フェルミ球の大きさと（必ずしも

1st BZとは限らないが） BZ境界が大体同じなら、エネルギーの安定化

が成されるはず。 結晶構造はそのような形で決まっているのか？

sc bccfcc hcp

この機構なら、scやhcpよりも、fccやbccの方が有利

宿題（１ポイント）

１価金属を自由電子系と考えた場合のフェルミ波数とsc, fcc, bcc, hcpにおけるΓ点から最短の1st BZ上の点との距離の比（これは対

応する電子密度を同じにすれば格子定数によらない）を求めよ。

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ジョーンズ帯ジョーンズ帯

◎１価金属では、この意味でのバンド効果によるエネル

ギー利得はない

◎３価金属のAl（fcc構造）では、W点でフェルミ面とエネル

ギーギャップ形成点が交わる。

◎４価のダイアモンド構造では１ｓｔBZを４倍に拡張したBZ（bccの時の１ｓｔBZと同じ形で、大きさが２倍のもの：こ

れをジョーンズ帯と呼ぶ）とフェルミ球がよく重なる。

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準粒子のブラッグ反射準粒子のブラッグ反射

この場合、電子は１つの平面波ではなく、

いくつかの平面波が重なった波束状態

（準粒子） ブラッグ反射のような波の

干渉がうまく起こるのか？cf. YT & M. Kido, J. Phys. Soc. Jpn. 70, 21 (2001)

バンドギャップは2|VK|から小さくなる：

小さくなる因子は準粒子繰り込み因子ｚと電荷繰り込み因子の積であるが、前者が支配的になる。

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朝永ラッティジャー流体の場合朝永ラッティジャー流体の場合

１次元の相互作用する金属

朝永Luttinger流体（z=0)低励起状態はフェルミオン的な励起ではなく、

長波長ボゾン的な励起

周期ポテンシャルが存在しても、バンドギャップがゼロになりうる。

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バンド絶縁体とモット絶縁体のクロスオーバーバンド絶縁体とモット絶縁体のクロスオーバー

交叉ハバード模型：

・ハーフフィルドの１次元ハバード模型(v=0)では、uがゼロでない限り、絶縁体（モット絶縁体）

・ハーフフィルドの交叉ハバード模型でu=0では、

バンド絶縁体

・uとvの競合で何が起こるか？