電 感 與 電 容

介紹兩個被動、 能量儲存元件: 電感器(inductor)與電容器(capacitor)

學習目標

1.電容器-電容器所儲存的能量 (利用電場)-電容的電路模型

2.電感器-電感器所儲存的能量(利用磁場)-電感的電路模型

3.電容器與電感器的組合-電容器與電感器做串聯與並聯的組合

電容器 使用電場之能量儲存元件

基本的平行板電容器

電路符號

注意： 運用被動符號的規則

典型的電容器

電容值的單位是法拉(farad, F) ，一般電容器的電容值很小， 使用的單位是微法拉(uF)。 積體電路常使用奈法拉(nF)或微微法拉(pF)單位的電容器。

dAC 0ε=

294

12

m10148.1A10016.1

A1085.8F100 ×=⇒×

×= −

−

A: 平行板面積

F/m108.85

constant) c(dielectri 12

0

×=

真空的介電常數ε

2.5 V

25 V

雙層電容 鋁電解電容

2VC0.5W(J) ××=

基本電容定律 )V(f)(Q C=儲存電荷量

線性電容器滿足庫倫定律 CCVQ =C 為元件的電容值， 其單位表示為 Farad

(V)(C)

=伏特

庫倫

元件的電容值法拉是表示電容每伏特儲存的庫倫電荷

伏特

庫倫法拉 =

範例 2 uF 電容儲存 10mC 的電荷， 則此電容的電壓是

500010*1010*211 3

6 ===−

−QCVC V

電容單位是法拉， 電荷單位是庫倫， 所計算的電壓單位是伏特

電容器可能是危險的!!!

線性電容器的電路表示

電容器是一個被動元件並且使用被動符號規則

電容器只能儲存或釋放電能， 並不會製造電能

線性電容器的電壓-電流表示式

)()( tdtdvCti =

藉由做來學習

假如電容電壓變化而使得電荷產生變化， 則電容會有漂移電流

CC CVQ = 電容定律

我們可以利用電容電流來表示電容電壓

QC

tVC1)( = ∫

∞−

=t

C dxxiC)(1

電容定律的積分型式

dtdVC

dtdQi CCC ==

我們可以利用電容電壓來表示電容電流

電容定律的微分型式

積分型式的數學含意是...

ttVtV CC ∀+=− );()(

電容電壓一定是連續的函數

微分型式的含意??

0=⇒= CC iConstV

直流或穩態行為

電容器在穩態的狀況下， 其行為就像是開路(open circuit)

試求電流

FC μ5=

範例6.2電容當作電路元件

−

+

Cv

Ci

)()( tdtdvCti cC =

∫∞−

=t

CC dxxiCtv )(1)(

∫∫∫ +=∞−∞−

t

t

tt

0

0

∫ ∫∞−

+=0

0

)(1)(1)(t t

tCCC dxxiC

dxxiC

tv

∫+=t

tCCC dxxiC

tvtv0

)(1)()( 0

經由對電流的積分計算可以求得電壓...

RR

RR

Riv

vR

i

=

=1

歐姆定律

)( Oc tv

)()( tdtdvCti =

mAsVFi 20

10624][105 3

6 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

×××= −

−

mA60−

電 容 當 作 儲 能 裝 置

C(t)Q

21)t(Cv

21)t(w

22CC ==

−

+

Cv

Ci儲存之能量(J)

範例6.3

求在6 ms 時，電容所儲存的能量

uJ 114024)10(521

)ms6(Cv21)6ms(w

26-

2

=×××=

=

FC μ5=

求電壓 .4 FC μ=

20 ≤≤ t

mst 42 ≤<][1082)( 3 Vttv −×+−=

0;)(1)0()(0

>+= ∫ tdxxiCvtvt

2;)(1)2()(2

>+= ∫ tdxxiCvtvt

範例6.4

=0

−

+v

i

求功率 .4 FC μ=

tti 3108)( −×=

ms2t0,(W)t8)t(p 3 ≤≤=

mst 42 ≤<在其它別處,0)( =tp

求能量

mstttp 20,8)( 3 ≤≤=

mst 42 ≤<

在其它別處,0)( =tp

一個時變磁通產生一個反向的電動勢並在元件兩端造成一個電壓

電感器注意： 運用被動符號的規則

電感器的電路符號

使用磁場之能量儲存元件

一個隨時間變化的磁通會感應一個電壓

dtdvLφ

= 電磁感應定律

電感器儲存電能。電感可以供應所儲存的能量，但是，它們不會製造能量。他們必须遵守被動符號的規則。

對線性電感器而言， 磁通與電流成正比

⇒= LLiφdtdiLv LL =

電磁感應定律的微分型式

比例常數, L, 稱為元件的電感值

電感的量測值以亨利 (H) 為單位。

秒安培

伏特亨利 =

採用被動符號的規則

dtdiLv LL =

電磁感應定律的微分型式

∫∞−

=t

LL dxxvLti )(1)( 電磁感應定律

的積分型式

00 ;)(1)()(

0

ttdxxvL

titit

tLLL ≥+= ∫

積分型式的一個直接結果 ttiti LL ∀+=− );()( 電流必須是連續的

微分型式的一個直接結果 0. =⇒= LL vConsti 直流(穩態) 行為

儲存的功率和能量

)()()( titvtp LLL = W )()()( titdtdiLtp LLL = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= )(

21 2 tLi

dtd

L

)(21)( 2 tLitw LL =

“在時間 t 所儲存的能量＂必須是非負值。被動元件!!!

(J)

電流的單位是安培， 電感的單位是亨利，所產生能量的單位是焦耳

範例6.5 求儲存在電路中的總能量對直流而言， 電感的行為像短路，電容的行為像開路

2 21 12 2C C L L

W CV W LI= =

96I3I6I :KVL3II

L2L2L1

L12

=+++=L

1.8I-1.2I

2

1

==

L

L

10.8(V)6IV16.2(V)9-6IV

L2C2

L1C1

===+=

Total 1.44+6.48+2.62+2.92=13.46 (mJ)

L=10mH. 試求電壓波形

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

××

= −−

sA

sAm 10

1021020

3

3⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

sAm 10

)()( tdtdiLtv =

直線的微分等於它的斜率

⎪⎩

⎪⎨

⎧≤

試求跨在電感上的電壓以及儲存在電感中的能量

儲存在電感中的能量

)(twL

注意： 如果任意時間內所儲存的能量為非負值， 則此元件為被動元件

範例6.7

L=200mH

試求電流

0)0(0;0)( =⇒+= ∫ tdxxvLitit

)(ti

)(ti

範例6.8

能量

功率

)(ti

L=200mH

)(tp

)(tw

注意功率改變符號的意義

能量為非負值， 表示這是一個被動元件

viivLC

→→→

理想和實際的元件

理想的元件 電容和電感的模型包含漏電阻

)(ti

−

+

)(tv

)()()( tdtdvC

Rtvti

leak

+=

)(ti

−

+

)(tv

)()()( tdtdiLtiRtv leak +=

−

+)(tv

−

+)(tv

)(ti )(ti

)()( tdtdvCti =

)()( tdtdiLtv =

6.3 電容器和電感器的組合

跟電阻的並聯計算相類似

21

21

CCCCCs +

=

兩個電容的串聯組合

Fμ6 Fμ3 =SCFμ2

電容器的串聯

等效初始電壓為各電容器初始電壓之和

Fμ2

Fμ1

6123 ++

=

初始電壓的代數和

極性由電壓的参考方向所指定

VVV 142 −−+=

範例6.12

求等效電容與初始電壓

或者我們可以一次計算二個電容的串聯(如藍色框框所標示)

1CS =

Fμ30

C

+- −

+V8

V12

兩個電容串聯通過的電流相同，而且

兩個電容同時充電， 所以每個電容的電荷量都相同

CVFQ μμ 240)8)(30(

dt iQ

==

= ∫

−

+V4

範 例 6 . 1 3 將兩個未充電的電容串聯在一起，求未知電容的電容值

電容並聯組合

)()( tdtdvCti kk =

)(ti範例6.16

PC 4 6 2 3 15 Fμ= + + + =

學習評量E6.7Fμ6

Fμ2

Fμ3

Fμ4

Fμ12

→eqC

Fμ4

FCeq μ23

=

電感串聯

)()( tdtdiLtv kk =

)()( tdtdiLtv S=

範例6.15

=eqL H7

跟電阻的串聯計算相類似

電感並聯

)(ti

電感的串/並聯組合與電阻的串/並聯組合類似

範例6.16

mH4 mH2∑=

=N

jj titi

100 )()( AAAAti 1263)( 0 −=+−=