1

Pénzintézeti szolgáltatások gazdaságtana – Piaci kockázatok és a VaR

Erdős PéterPhD hallgató

BME Pénzügyek Tanszék2007.10.24.

2

Vázlat

A kockázat fogalmaBasel I.-II.Piaci kockázat mérőszámaiVaR – Value at RiskDelta-normál módszer/kovariancia módszerHistorikus módszerStrukturált Monte Carlo módszerKoherens kockázati mértékekA VaR korlátai

3

Mi a kockázat? I.Véletlen változók értékének átlag körüli szóródása. A pozitív kilengések is kockázatot jelentenek

16000

18000

20000

22000

24000

26000

28000

30000

32000

34000

36000

2005

.11.

2005

.11.

2005

.11.

2005

.12.

2005

.12.

2006

.01.

2006

.01.

2006

.02.

2006

.02.

2006

.03.

2006

.03.

2006

.04.

2006

.04.

4

Mi a kockázat? II.

16000

18000

20000

22000

24000

26000

28000

30000

32000

34000

36000

2005

.11.

2006

.01.

2006

.03.

2006

.05.

2006

.07.

2006

.09.

2006

.11.

2007

.01.

2007

.03.

2007

.05.

2007

.07.

2007

.09.

5

Empirikus eloszlás

Az eloszlás nem normális. Ferdeség, csúcsosság (lapos, leptokurtikus); 3. és 4. centrális momentum. Van véges várható értéke,szórása? Nem biztos (Cauchy és t-eloszlás ->hatványszerű esés a széleken, nem exp)

0

10

20

30

40

50

60

70

80-10

% -9% -8% -7% -6% -5% -4% -3% -2% -1% 0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

VaR

6

Melyik a kockázatosabb?

0 0 0 0 6 3 23

150

792 781

12831 9 4 3 0 2 0 11 0 1 3 10 44

117

309

516 487

274

11741 6 4 1 0 1 0

0100200

300400500600

700800900

-4,0

%

-3,5

%

-3,0

%

-2,5

%

-2,0

%

-1,5

%

-1,0

%

-0,5

%

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

4,0%

4,5%

5,0%

HUF/EUR

HUF/US D

c

•2000.01.04. – 2007.10.12. MNB HUF/USD, HUF/EUR árfolyamok.

•Kockázatosabb, mert vastagabb az eloszlás széle.

•HUF/USD: csúcsosság 1,95; ferdeség 0,17

•HUF/EUR: csúcsosság 13,13; ferdeség 1,327

7

Miért vált jelentőssé a kockázatkezelés?

1971- Bretton Woods-i rendszer összeomlása ($35=1uncia arany)->árfolyam-volatilitás.1973 - olajárrobbanás -> infláció, kamatláb-volatilitás. 70-es évek derivatív piaci innovációi. 90-es évek nagy bukásai (Enron, Barings $1,33mrd, Daiwa $1,1mrd, Orange County $1,64mrd, Kulcsár-féle portfóliókezelés, stb)

->független kockázatkezelési osztály!!!

8

Basel1988 - G10 Bázeli egyezménySzolvencia közös mérőszáma a Cookehányados: tőke ≥ 8%*bank kockázattal súlyozott eszközállománya (csak hitelkockázat)1993. ápr. – standard modell. Kereskedési könyvben szereplő nettó pozíciókra 8% (áruk 15%). Devizás kitettségekre 8%-os tőke. Lejárati alapú kamatlábkockázat-értékelés (<3hónap 0,2%; >20év 12,5%). (diverzifikáció?)

9

Basel – 1995. ápr. – belső modellLehetőség saját kockkezelési modellreVaR(10 ker. nap vagy két naptári hét, 99%)Legalább 1 éves idősor, negyedévente frissíteni kellKorreláció figyelembe vétele (kategórián belüli és közötti)Stress testing, Backtesting

60t t i t 1i 1

1MRC max(k VaR ,VaR )60 − −=

= ∑

Z ó n a T ú l lé p é s e ks z á m a

K o r r e k c ió st é n y e z ő

n ö v e lé s e0 01 02 03 0

Z ö ld

4 05 0 ,46 0 ,57 0 ,6 58 0 ,7 5

S á r ga

9 0 ,8 5

P ir o s1 0 v a g y

tö b b 1

10

Basel I-II.EU 1998 (31/98 direktíva) (CAD II – Capital Adequacy Directive II)2000. Dec. 24. 244/200 Kormányrendelet a kereskedési könyv vezetéséről -> a magyar bankok többsége a standard módszer szerint számolja a tőkekövetelményt. Basel II. Banki könyvi ép-ok kamatkockázata, OTC derivatívok és ép-finanszírozó ügyletek partnerkockázata, hitelderivatívák, jegyzési garanciavállalás. Befektetési jegyek 32%-os tőke +8%FX (standard); felbontható összetevőkre: index ha korr>0,9 (belső).

Forrás: Olti Kálmán, Banküzemgazdaságtan II. 2007.04.06, Budapesti Corvinus Egyetem

11

Átlagos kockázat megoszlás Basel II szerint Mo-on.

70 %

20 %

10 %

Piacikockázatok

Működésikockázatok

Hitelkockázatok

Az ábra általában a magyar univerzális bankokban fellelhető főbb kockázattípusok megoszlását jellemzi

Forrás: Olti Kálmán, Banküzemgazdaságtan II. 2007.04.06, Budapesti Corvinus Egyetem

Működési kockázatok

Piaci kockázatok

Hitel kockázatok

12

Piaci kockázat mérőszámaiVárható érték – szórás? Normális eloszlás? Neumann –Morgenstern várható hasznosság? ->Prospect Theory - Kahnemann (Nobel, 2002)-Tversky. Biztos veszteség esetén kockkedvelő, biztos nyereség esetén kockelutasító! MAD, empirikus elemzésekhez jobb, ha outlierekvannakVaR, marginal (növekményi) VaR, CVaR=TCE, ES (expected shortfall, folytonos eloszlás esetén =CVaR)

13

VaR – Value at Risk

*W*1 c f ( w )d w P ( W W )

− ∞

− = = ≤∫

A VaR adott időintervallum alatt várható legnagyobb veszteséget méri adott konfidenciaszint mellett.W*=W0(1+r*) a portfólió kritikus értéke, W=W0(1+r), f(W) W sűrűségfv-e, c konfidenciaszint

•Értelmezhető Ft-ban és hozamban is ->r*

14

VaR normális eloszlás esetén (~delta-normál módszer)

N[x]=c -> N-1[c]=xN[0,1] eloszlás esetén, a VaR c=95%; 99% esetén rendre 1,645; 2,326.Normális eloszlás esetén a VaR modellek standard paraméterei a standard normális eloszlás kvantilisei.Normális eloszlás esetén: W0ασ vagy W0 (ασ−µ). α a st. norm eloszlás kvantiliseIdőaggregáció: VaR(1nap, 99%)*(20)^0,5= =VaR(1hónap,99%). Feltéve, hogy a hozamok autokorrelálatlanok és azonos eloszlásúak.

15

VaR értelmezéseEgy portfólió VaR(10 nap, 99%)-ja 100M FtOptimista: 99% annak a val-e, hogy a köv. 10 napban a portfólió vesztesége normál piaci körülmények között nem haladja meg a 100M Ft-ot. -> felső VaR (a felső 99% közül a legrosszabb kimenet) Pesszimista: 1% annak a val-e, hogy a köv. 10 napban a portfólió vesztesége normál piaci körülmények között meghaladja a 100M Ft-ot. -> alsó VaR (az alsó 1% közül a legjobb kimenetel)Abs(felső VaR)≤abs(alsó VaR), folytonos eloszlás esetén=.

16

Mapping

RÉSZVÉNY

KÖTVÉNY

FX SPOT

FRA

IRS/CIRS

FX OPCIÓ

PORTFÓLIÓ

RÉSZVÉNY

KAMAT

ÁRFOLYAM

(ÁRU)

Forrás: Olti Kálmán, Banküzemgazdaságtan II. 2007.04.06, Budapesti Corvinus Egyetem

17

Delta-normál módszer és a kovariancia módszer

Ha a portfólióban több eszközt tartunk hogyan kezeljük a diverzifikációt (korrelációkat)?->Markowitz portfólióelmélete. σp

2=w’ΣwA Σ-át nehéz becsülni: N(N+1)/2 paraméter. S&P500 esetén 125250CAPM/Indexmodell rp=rf+β(rm-rf)(2N+1) ->Diverzifikált portf. esetén az egyedi kock. 0. ->(N+1)VaR= ασpRészvényre, árura, határidős ügyletre* kötvényre*, opcióra*. * csak delta közelítés!Előnye: egyszerűség, időben változó eloszlás, korreláció kezelése. Hátránya:norm eloszl, delta.

N N2 2 2 2 2p m i i ,i

i 1 i 1w ε

= =

σ = σ β + σ∑ ∑

18

Növekményi VaR

A portfólió varianciájának felbontása:

Vigyázat a béta nem feltétlenül a CAPM béta, azt méri, hogy az adott eszköz mennyivel járul hozzá a portfólió kockázatához! βi=cov(i,p)/σp

2

Ennek mintájára: VaRi(növekményi)=βiVaRp(HUF-ban)VaRi(növekményi)=wiβiVaRp (hozamban)

N2 2 2 2p 1 1 p 2 2 p 1 1 p 2 2 p p i ii 1

w Cov(r , r ) w Cov(r , r ) ... w w ... w=

σ = + + = β σ + β σ + = σ β∑

19

Historikus módszer1, Portfólió mapping2, Az egyes eszközök múltbeli hozamai és a jelenlegi portfólió súlyok alapján adódik egy hipotetikus hozam-eloszlás.Előnye: teljes értékelés, egyszerű, kezeli a diverzifikációt, tetszőleges eloszlás esetén alkalmazható, nem lineáris eszközök esetén is jó (pl. opciók).Hátránya: Uakkora súlyt rendel a mintában szereplő vmennyi adathoz, érzékeny a szélsőséges eseményekre, a múlt=jövő???.

20

Példa a delta-normál vs historikus módszerre I.

Mol havi hozamai (1995.12.11. -2007.10.05.)r=1,97%

-50%-40%-30%-20%-10%

0%10%20%30%40%50%

1996

.01.

1996

.07.

1997

.01.

1997

.07.

1998

.01.

1998

.07.

1999

.01.

1999

.07.

2000

.01.

2000

.07.

2001

.01.

2001

.07.

2002

.01.

2002

.07.

2003

.01.

2003

.07.

2004

.01.

2004

.07.

2005

.01.

2005

.07.

2006

.01.

2006

.07.

2007

.01.

2007

.07.

c

21

Példa a delta-normál vs historikus módszerre II.

σ=10,36%Mol havi átlagos abszolút eltéréseiIntermittancyVolatility clustering (magas volatilitású időszakot nagyobb valószínűséggel követ magas volatilitású időszak, a volatilitásokautokorreláltak)

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

1996

.01.

1996

.07.

1997

.01.

1997

.07.

1998

.01.

1998

.07.

1999

.01.

1999

.07.

2000

.01.

2000

.07.

2001

.01.

2001

.07.

2002

.01.

2002

.07.

2003

.01.

2003

.07.

2004

.01.

2004

.07.

2005

.01.

2005

.07.

2006

.01.

2006

.07.

2007

.01.

2007

.07.

22

Példa a delta-normál vs historikus módszerre III.

0

100

200

300

400

500

600

700-5

5%-5

0%-4

5%-4

0%-3

5%-3

0%-2

5%-2

0%-1

5%-1

0% -5% 0% 5% 10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

50%

55%

VaR

•A havi hozamok eloszlása jól közelíthető normális eloszlással.

•Historikus módszerrel abszolút értelemben a VaR 95%-os konfidencia szinten 14,12%. Ha a várható értékhez mérjük a VaR-t, akkor 16,09%.

•Közelítés normális eloszlással: ασ−µ=1,645∗0,1036−0,0197=15,07%; ασ=1,645*0,1036=17,04

23

Paraméterek (szórás, várható érték) becslése a múltbeli adatokbólSztochasztikus modell alapján az árfolyam/hozam modellezése, előrejelzése.A sztochasztikus modell része mindig legalább egy véletlen változó. Több változó esetén korrelációk modellezése is!Fehérzaj εt~N(0,1); E(εt*εt-1)=0Részvényárakra leggyakrabban alkalmazott modell -> geometrikus Brown mozgás:dSt=µStdt+σStdz, ahol dz=σε(dt)^0,5A sztoch. modell alapján a vizsgált időpontra (T) ki kell számítani az ép. értékét. Majd ezt meg kell ismételni, mondjuk 10000-szer, így adódik az ép. T időponti eloszlása, aminek a megfelelő kvantilise a VaR.Mol esetében egy 3000-es becsült minta alapján a VaR15,08%.

Strukturált Monte Carlo módszer (SMC)

24

Geometrikus Brown vs Mol

-50%

-40%

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

1 140 279 418 557 696 835 974 1113 1252 1391 1530 1669 1808 1947 2086 2225 2364 2503 2642 2781

-50%-40%-30%-20%-10%

0%10%20%30%40%50%

1996

.01.

1996

.07.

1997

.01.

1997

.07.

1998

.01.

1998

.07.

1999

.01.

1999

.07.

2000

.01.

2000

.07.

2001

.01.

2001

.07.

2002

.01.

2002

.07.

2003

.01.

2003

.07.

2004

.01.

2004

.07.

2005

.01.

2005

.07.

2006

.01.

2006

.07.

2007

.01.

2007

.07.

c

Modellkockázat!

25

Koherens kockázati mértékek

Artzner, Delbaen, Eber, Heath: Coherent measures of risk, 1998

Ha teljesülnek az alábbi axiómák: X=a portfólió nettó értéke T-ben

Transzláció-invariancia: ρ(X+αrf)=ρ(X)-α (ha a kezdeti portfólió egy részét kockázatmentes eszközbe fektetjük, akkor a tőkekövetelménynek uazzal az összeggel csökkennie kell.)

Pozitív homogenitás: bármely λ≥0-ra ρ(λX)=λρ(X)

Szubadditivitás: ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y) (‘a merger does notcreate extra risk’)

Monotonitás: X≥Y esetén ρ(X)≤ρ(Y)

26

VaR korlátai I.

Y kockázatosabb, de c=95% esetén VaR(alsó,X)=VaR(alsó,Y)=100 VaR(felső,X)=VaR(felső,Y)=-10ES(X)=100 ES(Y)=(200*4%+100*1%)/5%=180

95%101%-10095%104%-2005%-100

p(Y)Yp(X)X

Pafka Szilárd: Portfóliók II. (Áringadozások a pénzügyi piacokon, Budapesti Corvinus Egyetem, 2005 ősz

27

VaR korlátai II.A és B kötvény névértéke 100, néveleges kamatlába 4%. 2% val-gel elveszítjük a kupont, 3%-kal a teljes összeget. A és B együttes csődje kölcsönesen kizárja egymást.

•VaR95%(A)=VaR95%(B)=4

•VaR95%(A+B)=100

•VaR95%(A+B) ≤ VaR95%(A)+VaR95%(B) sérül! ->nem koherens

•ES95%(A)=ES95%(B)=(2%*4+3%*104)/5%=64

• ES95%(A+B)=100

Esemény P (%)

P/ L A

P/ L B

P/ L A+ B

A kupon 2 -4 4 0A teljes 3 -104 4 -100B kupon 2 4 -4 0B teljes 3 4 -104 -100Nincs csőd 90 4 4 8

Pafka Szilárd: Portfóliók II. (Áringadozások a pénzügyi piacokon, Budapesti Corvinus Egyetem, 2005 ősz

28

VaR korlátai III.Millennium híd -> endogén kockázat. Mekkora annak a val-e, hogy 1000 ember egyszerre lépjen? ~0. Az egyének mozgása nem fgtlen esemény, természetes, hogy a széllökések hatására egyszerre léptek, mint a katonák. Porftólió-biztosítás, 1987.10.19. DJ -22,61%Endogén kockázat: sokkokból eredő kockázat, amely a rendszeren belül generálódnak, illetve felerősödnek.Jón Daníelsson: The emperor has no Clothes: Limits to Risk Modelling, Journal of Money andFinance, September 2001

29

Köszönöm a figyelmet!