تئوري احتمال و كاربردآن

تئوري احتمال و كاربردآن

http://www.Beiki.info

2http://www.Beiki.info

جلسه سوم

مقدمه متغير تصادفيتعريف يكمتغيرهاي تصادفي گسسته، پيوسته و آميختهتوزيعهاي احتمال گسستهتوابع توزيع جمعي

oگسستهتوابع توزيع جمعي پيوستهتوزيعهاي احتمال

oپيوستهتوابع توزيع جمعي آميختهتوزيعهاي احتمال متغيرهاي تصادفي چندبعدي


جلسه سوم

مقدمهo نتيجه برخي از پديده ها تصادفي زير

مجموعه اعداد حقيقي است.زمان رسيدن مشتري به يك فروشگاهعمر انسان...

o در مواردي كه نتايج عددي نيستند عالقهمند به نتايج عددي هستيم

تعداد شيرها در سه بار پرتاب سكه


جلسه سوم

تعريف يك متغير تصادفيo آزمايشي با فضاي نمونهS را در نظر بگيريد. اگر به هر نقطه مانند e موجود در S

تعريف مي گردد كه به R و S نسبت دهيم رابطه اي بين X(e)عددي حقيقي مانند آن متغير تصادفي گويند.

o با دامنه تابعيهر متغير تصادفي S زيرمجموعه و برديR.است o در آزمايش مربوط به پرتاب يك سكه اگر 1مثال :X تعداد شيرها را نشان دهد

آنگاه داريم:X(H H H)=3، X(H H T)=2 ,…

o مقادير متغير تصادفي 2مثال :Y توپ بدون 2 كه تعداد توپهاي قرمز در انتخاب توپ سياه است به شرح زير مي 3 توپ قرمز و 4جايگذاري از ظرفي شامل

باشد:Y(RR)=2، Y(RB)=1، Y(BR)=1 و Y(BB)=0

o احتمال مربوط به هر يك از مقادير متغير تصادفي 1: در مثال 4مثال X:عبارتند از P(X=1)=P{TTH,THT,HTT)=3/8, P(X=0)=P{TTT)=1/8,

P(X=2)=P{THH,HTH,HHT)=3/8, P(X=3)=P{HHH}=1/8o احتمال شير آمدن در پرتاب يك سكه برابر6مثال : p است سكه را آنقدر پرتاب

متغير تصادفي تعداد X بار پرتاب كرده باشيم اگر nمي كنيم تا يا به شير برسيم يا دفعات پرتاب سكه باشد آنگاه داريم:

P(X=1)=P{H}=pP(X=2)=P{T,H}=(1-p)pP(X=n-1)=P{T,T,T,..,T,H}=(1-p)npP(X=n)=P{T,T,T,…,T}يا P{T,T,T,…,T,H}=(1-p)n+(1-p)n-1p=(1-p)n-1


جلسه سوم

متغيرهاي تصادفي گسسته، پيوسته و آميختهo متغير تصادفي برداگر X نامحدود ولي يا محدود شامل تعداد

متغير يك X از نقاط باشد آنگاه متغير تصادفي شمارش پذير ناميده مي شود.تصادفي گسسته

مقادير ممكن متغير تصادفي 2: در مثال 8مثال Y و 1، 0 عبارت است از گسسته است.Y بنابراين 2

اگر متغير تصادفي 9مثال :X تعداد پرتابهاي الزم يك سكه براي رسيدن به گسسته مي باشد.X است و Nنتيجه شير باشد آنگاه برد تابع

o متغير تصادفي برداگر X از نقاط باشد نامحدودي شامل تعداد ناميده مي شود.متغير تصادفي پيوسته يك Xآنگاه متغير تصادفي

اگر بتوان طول را با هر دقتي اندازه گيري نمود آنگاه مسافت 10مثال : ليتر بنزين يك متغير تصادفي 10پيموده شده توسط يك خودرو به ازاي هر

پيوسته است.o در صورتي كه فضاي نمونه آميخته داشته باشيم مي توانيم

داشته باشيم به اين معنا كه برخي از متغيرهاي تصادفي آميختهمقادير محدود(يا نامحدود ولي شمارش پذير) باشند و برخي از

مقادير نامحدود و شمارش ناپذير


جلسه سوم

توزيعهاي احتمال گسستهo اگرX يك متغير تصادفي گسسته باشد آنگاه P(X=x) كه آنرا با

fX(x) يا f(x) نشان مي دهند به ازاي مقادير مختلف x احتمالي را تخصيص مي دهد و چگونگي توزيع احتمال را به ازاي مقادير

يا تابع احتمال نمايش مي دهد. به آن كه يك تابع است xمختلف مي گويند.X متغير تصادفي تابع توزيع احتمال

o تعريف: مجموعه زوجهاي مرتب)x,fX(x)( توزيع احتمال متغير x نام دارد، اگر براي هر يك از مقادير ممكن Xتصادفي گسسته

داشته باشيم:0=<fX(x)<=1 P(X=x)=fX(x)

o تعبير مكانيكي تابع توزيع احتمال گسسته عبارت است از جرم كه روي محور اعداد حقيقي به Xمقادير مختلف متغير تصادفي

توزيع شده اند به همين دليل توابع ,…fX(xi),i=1,2,3صورت نيز معروفند و با توابع جرمي احتمالتوزيع احتمال گسسته به نامه

pmf.نشان داده مي شوند

X X

xf 1)(


جلسه سوم

توزيعهاي احتمال گسستهo نفره از ميان 2: فرض كنيد مايل به انتخاب كميته اي 12مثال

متغير تصادفي نشان دهنده تعداد Y زن هستيم اگر 3 مرد و 3مردها باشد توزيع احتمال آن چيست؟

o:پاسخ

o:بهترين پاسخ

5

1

15

3*)2()2(

5

3

15

9*)1()1(

5

1

15

3*)0()0(

6

2

3

0

3

2

6

2

3

1

3

1

6

2

3

2

3

0

CCCf

CCCf

CCCf

YP

YP

YP

Y

Y

Y

0

1/5

2/5

3/5

f(y)

0 1 2

هيستوگرام احتمال

2,1,0;*

)()( 6

2

3

2

3

yyYPyCCCf yy

Y


جلسه سوم

توابع توزيع جمعيo در بسياري از موارد عالقه مند به محاسبه احتمال اينكه متغير

باشد هستيم بنابراين x كوچكتر يا مساوي مقدار معلوم Xتصادفي داريم:

FX(x)=F(x)=P(X<=x)o يا به اختصار تابع توزيع تجمعيبه آن cdf.گويند o:خواص آن به شرح زير مي باشد

o و خاصيت پنجم به معناي غير نزولي بودنخاصيت دوم به معناي است.پيوستگي تابع از سمت راست

0)]()()5

0)()4

1)()3

)()(|)2

1)(0)1

[limlimlim

0

xx

x

x

bFaFba

x

FFFF

F

XX

Xx

Xx

X


جلسه سوم

توابع توزيع جمعي

baabbXaP

aXPbXPbXaP

bXaPaXPbXP

bXaaXbX

bXaP

FF XX

bXaaX

);()()(

)()()(

)()()(

)()()(

?)()()(

)1

()1

(

})1

{()(

?)(

limlim

lim

nb

nbXP

nbXPbXP

bXP

F Xnn

n


جلسه سوم

توابع توزيع جمعيo تابع توزيع تجمعي متغير تصادفي 14مثال :X:عبارت است از

o در اين صورتP(X<3) و P(X=1) و P(X<1/2) و P(2<X<=4).را بدست اوريد

o:پاسخ

xx<00=<x<11=<x<22=<x<3X<=3

FX(x)01/22/311/121

12

1

12

111)2()4()42(

2

1

2

11)

2

1(1)

2

1(1)

2

1(

6

1

2

1

3

2)1

1()1()1()1()1(

12

11)1

3()1

3()3(

lim

limlim

FF

F

FF

F

XX

X

XnX

Xnn

XP

XPXP

nXPXPXP

nnXPXP


جلسه سوم

توابع توزيع جمعيoتوابع توزيع تجمعي گسستهo تعربف: متغير تصادفي گسستهX با توزيع احتمال f(x) مفروض

به شرح زير قابل ارائه مي باشد:Xاست تابع توزيع تجمعي

o اگر متغير تصادفي گسسته 15مثال :X تعداد شيرهاي بدست بار پرتاب مستقل يك سكه باشد در اين صورت مي 4آمده از

به شرح زير استXتوان نشان داد كه تابع توزيع جرمي احتمال

xtXxtfxXPxF );()()(

x01234

f(x)1/164/166/164/161/16


جلسه سوم

توابع توزيع جمعيو داريم

FX(0)=P(X<=0)=f(0)=1/16

FX(1)=P(X<=1)=f(0)+f(1)=5/16

FX(2)=P(X<=2)=f(0)+f(1)+f(2)=11/16

FX(3)=P(X<=2)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=15/16

FX(3)=P(X<=2)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1

xX<00=<x<1

1=<x<2

2=<x<3

3=<x<4

X<=4

FX(x)01/165/1611/16

15/16

1


جلسه سوم

پيوستهتوزيعهاي احتمالo اگرX يك متغير تصادفي پيوسته داشته باشيم احتمال اينكه

متغير ما برابر يك مقدار خاص گردد صفر است.P(a<x<=b)=P(a<x<b)+P(X=b)=P(a<x<b)

+0=P(a<x<b)o توزيع احتمال يك متغير تصادفي پيوستهX را با f(x) نشان داده

گويند.pdf يا به اختصار تابع چگالي احتمالو به آن of(x).از رابطه مقابل به دست مي آيد

o تعريف: تابعf(x) چگالي احتمال متغير تصادفي پيوسته X است اگر روابط زير برقرار باشد

b

a

dxxfbXaP )()(

b

a

dxxfbXaP

dxxf

xfx

)()()3

1)()2

0)(;)1


جلسه سوم

پيوستهتوزيعهاي احتمالoفرض كنيد خطاي اندازه گيري دما در يك آزمايش 16مثال :

با چگالي احتمال زير Xشيميايي متغير تصادفي . پيوسته مانند است:

f(x)=x2/3 ; -1<x<2 واقعا يك چگالي احتمال است و آنگاه f(x)ابتدا نشان دهيد

P(0<X<=1)را پيدا كنيد o پاسخ: چونf(x)مربع كامل است شرط اول را دارد

9

1)10(

19

1

9

8)(

]93

]93

1

0

31

0

2

2

1

32

1

2

xx

xx

dxXP

dxdxxf


جلسه سوم

پيوستهتوزيعهاي احتمالoمدت زماني كه يك رايانه قبل از خراب شدن كار مي 19مثال :

معرفي مي شود كه چگالي احتمال زير Xكند با متغير تصادفي را دارد.

ساعت كار كند چيست؟150 و 50احتمال اينكه رايانه بين ساعت كار كند چيست؟100احتمال اينكه رايانه كمتر از

o:پاسخ

0;)(100/ xxf e

x

633.01100

1)100(

384.0100

1)15050(

100

1100)100(1

1100

0

100/100

0

100/

5.15.0150

50

100/150

50

100/

0

100/

0

100/100/

]

]

]

eee

eeee

eee

xx

xx

xxx

dxXP

dxXP

dxdx


جلسه سوم

پيوستهتوزيعهاي احتمالoتوابع توزيع تجمعي پيوسته

تعريف: توزيع تجمعي متغير تصادفي پيوستهX با چگالي عبارت است از:f(x)احتمال

يك متغير تصادفي پيوسته برابر است با چگالي احتماليعني آنتوزيع تجمعي تابع مشتق

x

x

xfdttfdx

dxF

dx

d

xdttfxXPxXPxF

)()()(

;)()()},({)(


جلسه سوم

پيوستهتوزيعهاي احتمالoتوابع توزيع تجمعي پيوسته

مدت زمان مورد نياز براي كامل شدن يك فرايند 23مثال : با تابع توزيع تجمعي زير است:Xشيميايي متغير تصادفي

F(X)=1-e-0.1x ; x<=0F(X)=0 ; X<0

چيست؟Xچگالي احتمال متغير تصادفي هزارم ثانيه كامل شود 200احتمال اينكه يك فرآيند در كمتر از

را محاسبه كنيد. پاسخ: با توجه به اينكه چگالي احتمال متغير تصادفي مشتق

اين مقدار صفر است x<0تابع توزيع تجمعي آن است براي داريمx<=0و براي

f(x)=0.01e-0.01x

8647.011)200(01.0)200(2)200(01.0

200

0

01.0

eee FdxXPx


جلسه سوم

آميختهتوزيعهاي احتمالo اگرX متغير تصادفي آميخته باشد و تابع توزيع تجمعي قسمت

F2(x) و تابع توزيع تجمعي قسمت پيوسته آن F1(x)گسسته آن جمع c1 كه FX(x)=c1F1(x)+ c2F2(x)باشد آنگاه داريم

جمع احتماالت همه c2=1-c1احتماالت همه نقاط گسسته و نقاط پيوسته است.

o فرض كنيد متغير تصادفي 24مثال :X عمر مفيد نوعي قطعه % از همان ابتدا خراب است 25الكترونيكي باشد كه به احتمال

-f(x)=eو در غير اينصورت عمر مفيد آن داراي چگالي احتمال

x ;x<=0 .است P(X<10).را به دست آوريد

eeF

eFcFcF

eeF

F

cc

X

x

X

xx

t

XPXP

xxx

xdtx

xx

1010

2211

02

1

21

4

3)]1(

4

3

4

1[1)10(1)10(1)10(

)1(4

3

4

1)()()(

0;1)(

0;1)(4

3;4

1


جلسه سوم

متغيرهاي تصادفي چندبعديo ،احتمال موفقيت در تحصيالت دانشگاهي بر اساس مولفه هاي معدل

رتبه كنكور و شهرستان محل فراغت از تحصيلo تعريف: اگرS فضاي نمونه آزمايش و X1، X2 و ... ،Xn توابعي باشند كه

تايي مرتب متشكل از اعداد nبه صورت همزمان فقط و فقط يك e را به هر يك از عناصر xn=Xn(e)،... و x1=X1(e)، x2=X1(e)حقيقي

بعدي n يك بردار تصادفي [X1,X2,…,Xn] نسبت دهند آنگاه Sموجود در خواهد بود در اينصورت برد بردار تصادفي فوق عبارت است از حاصل ضرب دكارتي بردهاي متغيرهاي تصادفي موجود در بردار تصادفي كه

تايي هاي مرتب به صورت زير است.nمجموعه اي از

o توپ به صورت تصادفي و بدون 2: آزمايشي براي انتخاب 25مثال توپ مشكي 3 توپ قرمز و 2 توپ آبي، 3جايگذاري از جعبه اي شامل

را به عنوان تعداد توپهاي آبي Xرا در نظر بگيريد. اگر متغير تصادفي را به عنوان تعداد توپهاي قرمز انتخاب Yانتخاب شده و متغير تصادفي

به صورت مجموعه [X,Y]شده در نظر بگيريم آنگاه برد بردار تصادفي خواهد بود.[}2,0[,]0,2[,]1,1[,]1,0[,]0,1[,]0,0{]

},...,2,1,];,...,,{[21],...,,[

21

niXXXX RxxxxR

inin

تئوري احتمال و كاربردآن

Documents