高中数学第七章直线与圆的方程课件

高中数学第七章直线与圆的方程课件

高二数学 : 严明

圆的标准方程

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知识回顾：

求曲线的方程的一般步骤：

圆的标准方程


知识应用：求：圆心是 C(a,b) ，半径是 r 的圆的方程

x

C

Mr

O

y解：设 M(x,y) 是圆上任意一点，根据圆

的定义，点 M 到圆心 C 的距离等于 r ，

所以圆 C 就是集合P={M| |MC|=r}

由两点间的距离公式，

点 M 适合的条件可表示为：(x-a) 2 + (y-b) 2 = r

把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

说明：

1 、特点：明确给出了圆心坐标和半径。2 、确定圆的方程必须具备三个独立条件。

圆的标准方程


知识点拨：

圆心是 C(a,b) ，半径是 r 的圆的方程

x

C

Mr

O

y

(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

圆心坐标 C(a,b) 圆的半径 r 说明：

1 、特点：明确给出了圆心坐标和半径。2 、确定圆的方程必须具备三个独立条件。

圆的标准方程

圆的标准方程


练习： 1 、写出下列各圆的方程：

(1) 圆心在原点，半径是 3

(2) 圆心在点 C(3, 4 ) ，半径是 (3) 经过点 P(5,1), 圆心在点 C(8,-3)

5

x2+y2=9

(x-3)2+(y-4)2=5

(x-8)2+(y+3)2=25

补充练习：

写出下列各圆的圆心坐标和半径：

(1) (x-1)2+y2=6

(2) (x+1)2+(y-2)2=9

(3)(x+a)2+y2=a2

(1,0) 6

(-1,2) 3

(-a,0) |a|

圆的标准方程


例 1 ：求以 C （ 1 ， 3 ）为圆心，并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的方程。

C

y

xO

M

解：设所求圆的方程为：

(x-1)2+(y-3)2=r2

因为圆 C和直线 3x-4y-7=0 相切所以圆心 C到这条直线的距离等于半径r根据点到直线的距离公式，得

| 3×1— 4×3 — 7 |

32+(-4)2=

5

16r =

因此，所求圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2 = 25256

圆的标准方程


练习 2:

已知一个圆的圆心在原点，并与直线 4x+3y-70=0 相切，

求圆的方程。x 2+y2=196

1 、圆心在 y 轴上 , 半径为 5, 并且经过点 A(-3,2) 与 B(3,10).

2 、过点 A （ 2 ， 1 ）和 B （ 10 ， 1 ）并且与直线 2x-y+1=0 相切

思考：

圆的标准方程


例 2 已知圆的方程是，求经过圆上一点

的切线的方程。

222 ryx ),( 00 yxM

),( 00 yxM

y

xO

k，解 : 设切线的斜率为则 .1

kk

OM

,

0

0

x

yk

OM x

.0

0

yk

M 的切线方程是经过点x

),( 00

00 xx

yyy

,220

20 ryxM 在圆上 , 所以因为点

所求的切线方程是当点 M 在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用 .

x0x +y0 y = r2

圆的标准方程




222 ryx ),( 00 yxM

P(x , y )

),( 00 yxM

由勾股定理： OM2+MP2=OP2

解法二（利用平面几何知识）：

在直角三角形 OMP 中，

y

xO

x0x +y0 y = r2

圆的标准方程


P(x , y )

),( 00 yxM

y

xO



222 ryx ),( 00 yxM

解法三（利用平面向量知识）：

OM MP= 0OM MP

x0x +y0 y = r2

x02

+ y02 = r2

21212211 ),(),( yyxxyxyx


已知圆的方程是，经过圆上一点

的切线的方程：

222 ryx ),( 00 yxM

),( 00 yxM

y

xO

知识点拨：

x0x +y0 y = r2

过圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 上一点 M(x0,y0)

的切线方程为：

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2

圆的标准方程


练习 3 ：写出过圆 x2+y2=10 上一点 M （ 2 ， ) 的切线方程。

6

练习 4 ：已知圆的方程是 x2+y2=1 ，求：

（ 1 ）斜率等于 1 的切线的方程；

2x + y =1066

2（ 2 ）在 y 轴上截距是的切线方程。y = ± x+ 2

所以切线方程为： y = x± 2

提示：设切线方程为 y=x+b , 由圆心到切线的距离等于半径 1 ，得： |b|

12+(-1)2

=1 解得 b=± 2

圆的标准方程


(1) 圆心为 C(a,b) ，半径为 r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

当圆心在原点时 a=b=0 ，圆的标准方程为 x2 + y2 = r2

(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。

(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。


课后作业 :

对话：圆的方程第一课时举一反三 1 、 2 ，练习 8 ， 1012 。

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