5.5 直线与圆的位置关系（ 1 ）

点和圆的位置关系有几种？

⑴ 点在圆内

⑵ 点在圆上

⑶ 点在圆外

d<r d=r

d>r

· rO

rO

rO

·

·

用数量关系如何来判断？

回 顾回 顾

思考：如果把点换成一条直线，直线和圆又有哪几种位置关系？

引 入引 入

直线与圆的位置关系• 1. 观察三幅太阳升起的照片 , 地平线与太阳的位置关系是怎样的 ?

• 你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种 ?

( 地平线 )

a( 地平线 )●

O

●

O

●

O

情景创设情景创设

总体看来应该有下列三种情况 :

分 类分 类

(1)直线和圆有一个公共点

(2)直线和圆有两个公共点 .

(3)直线和圆没有公共点 .

(1)直线和圆有唯一个公共点 ,叫做直线和圆相切 ,这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点

(2)直线和圆有两个公共点 ,叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线

(3)直线和圆没有公共点时 ,叫做直线和圆相离

前面复习知道 :点和圆的位置关系可以用圆心到点之间的距离 ,这一数量关系来刻画他们的位置关系 ;那么直线和圆的位置关系是否也可以用数量关系来刻画他们三种位置关系呢 ?下面我们一起来研究一下 !

探 索探 索

d

d d.O.O.O

rr r

相离相切

相交

1 、直线与圆相离 => d>r

2 、直线与圆相切 => d=r

3 、直线与圆相交 => d<r

<

<

<

想一想当直线与圆相离、相切、相交时， d 与r 有何关系？

l

2 3.A.B

.C

.D.E .F. N

H.

Q.

你能根据 d 与r 的大小关系确定直线与圆的位置关系吗 ?

例：在 Rt△ABC中，∠ C=90°， AC=3cm， BC=4cm ，以 C 为圆心， r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？ (1) r=2cm ； (2) r=2.4cm (3) r=3cm ． B

C A

4

3

分析：要了解 AB 与⊙ C 的位置关系，只要知道圆心 C到 AB 的距离 d与 r 的关系．已知 r ，只需求出 C到 AB 的距离 d 。怎样求？图上有没有？

D

如何作出？

典型例题典型例题

解：过 C作 CD AB⊥ ，垂足为 D

在△ ABC 中，AB= 22 BCAC 22 43 5

根据三角形的面积公式有BCACABCD

2

1

2

1

∴ )(4.25

43cm

AB

BCACCD

即圆心 C到 AB 的距离 d=2.4cm

所以 (1)当 r=2cm时 ,有 d>r,因此⊙ C和 AB 相离。

B

C A

4

3

D

（ 2 ）当 r=2.4cm时 ,有 d=r,

因此⊙ C和 AB 相切。

（ 3 ）当 r=3cm 时，有 d<r ，因此，⊙ C和 AB 相交。

B

C A

4

3

D

B

C A

4

3

D

1 、直线与圆的位置关系：

0

d>r

1

d=r

切点

切线

2

d<r

交点

割线

．Ｏ

ldr┐ ┐

．ｏ

ld r

． O

l

d┐r图形

直线与圆的

位置关系

公共点的个数

圆心到直线的距离d与半径 r的关系

公共点的名称

直线名称

.A C B

. .

相离 相切 相交

归 纳归 纳

2 、判定直线 与圆的位置关系的方法有 ____ 种：

（ 1 ）根据定义，由 __________________的个数来判断；

（ 2 ）根据性质，由 ___________________________________ 的关系来判断。

在实际应用中，常采用第二种方法判定。

两

直线与圆的公共点

圆心到直线的距离 d与半径 r

1 、已知：圆的直径为 13cm ，如果直线和圆心的距离为以下

值时，直线和圆有几个公共点？为什么？(1) 4.5cm A 0 个； B 1 个； C 2 个；答案 :C

(2) 6.5cm 答案 :B

(3) 8cm 答案 :A

A 0 个； B 1 个； C 2 个；A 0 个； B 1 个； C 2 个；

2 、如图，已知∠ AOB=30 度， M为 OB 上一点，且 OM=5cm ，

以M 为圆心、 r 为半径的圆与直线 OA 有怎样的位置关系？

为什么？ (1) r=2cm (2) r=4cm (3) r=2.5cm

答案： (1) 相离(2) 相交(3) 相切 ．

D

ＭO

A

B

练 习练 习

通过本课的学习，你又有什么收获？

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