《高一

数学》必修二

解析几何部分

直线的方

程

3.2 直线的方程

3.2.1 直线的点斜式方程

3.2.2 直线的两点式方程

3.2.3 直线的一般方程

y-b=k(x-a)

(y-b)/(d-b)=(x-a)/(c-a)

Ax+By+C=0

目 录

3.2.1 直线的点斜式方程一 直线的点斜式方程问题 1 ：如图所示，已知直线 l 上的一点 P （ a ，b ）和直线 l 的斜率 k ， Q （ x ， y ）为直线 l上的任意一点那么，我们能不能根据所学的知识表示 Q （ x ， y ）点关系表示出来呢？分析：已知直线上的两点可以求直线的斜率，

那么我们可以用 P ， Q 两点的坐标把直线的斜率 k 表示出来，请大家自己表示；由斜率公式表示为： k= （ y-b ） / （ x-a ） （ 1 ）由上面的表达式我们可以把 x ， y 的表达式给出： （ y-b ） = k (x-a ） （ 2 ）

思考：由（ 1 ），（ 2 ）给出的两个式子表示同一个意思么？ （ 2 ）式是不是对任何直线都适用呢？

注意：

在（ 1 ）式中，表示的是直线去掉一点 P（ a ， b ），而在（ 2 ）式中表示的才是整条直线。 （ 2 ）式只适用于直线的斜率存在的时候，若直线的斜率不存在就不能应用（ 2 ）式。 我们一般把 （ 2 ）式叫做直线的点斜式方程，即知道直线的斜率和直线上的一点，就可以用代数的方法把一条直线表示出来，其中 k 表示的是直线的斜率，而（ a ， b ）表示的是直线上的一点。

例题：已知直线上一点 P （ 2 ， 3 ）和直线的倾斜角为45 ° ，求直线的点斜式方程。若直线的倾斜角为 135° 呢？

由于直线的倾斜角为 135° ，所以有直线的斜率为：－ 1，由于直线又过点（ 2 ， 3 ），由直线的点斜式方程得到直线的点斜式方程为：当直线的倾斜角为 45 ° 时，直线的斜率为： 1 ，所以直线的点斜式方程为：

练习： 1. 写出下列直线的点斜式方程： （ 1 ）经过点 A （ 3 ， -1 ），斜率是 （ 2 ）经过点 B （ -4 ， -2 ），倾斜角为 30° （ 3 ）经过点 C （ 0 ， 3 ），倾斜角为 0°

贰 直线的斜截是方程叁 如果直线 l 的斜率 k ，且与 y 轴的交点

为（ 0 ， b ），代肆 直线的点斜式方程，得 ：

y-3= － (x-2)

y-3=(x-2)

我们把（ 3 ）式叫做直线的斜截式方程，其中把直线与 y 轴的交点（ 0 ， b ）的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距

y-b= k （ x-0 ） 也就是 y=kx-b （ 3 ）

注意： ① 直线的斜率是 k ，直线过定点（ 0 ， b ），则由斜截式方程的到方程（ 3 ） ② 直线的斜率一定要存在，并且在 y 轴上有截距。 ③ 截距并不是距离，截距可以是任何实数，而距离只能是非负实数

例：已知一直线与 y 轴交于点（ 0 ， 2 ）且直线的倾斜角 45° ，求直线的斜截式方程。分析：直线与 y 轴交于点（ 0 ， 2 ），则直线在 y 轴上的截距为 2 ，倾斜角为 45° ，则直线的斜率为 1 由方程（ 3 ）可以的到直线的斜截式方程： y= x ＋ 2练习：

1. 经过点（－ 3 ， 2 ），倾斜角为 60° 的直线的方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其在 y 轴上的截距是：＿＿＿＿＿＿＿则直线的斜截式方程是：＿＿＿＿＿＿ 2. 已知点 P y 轴上，离原点的距离为 5 ，在求与直线 l ：y-3= 2 （ x-5 ）垂直，且过点 P 的直线的方程。

小结： 1. 已知直线上的一点和直线的斜率可以写出直线的点斜式方程： （ y-b ） = k (x-a ） 2. 若是知道直线的斜率和直线在 y 轴上的截距可以写出直线的斜截式方程： y=kx-b 3. 直线的斜率不存在，若知道直线过一定点的直线方程为： x = a

叁 斜率不存在的直线方程肆 思考：伍 前面我们讨论的都是直线的斜率存在的情况，陆 若直线的斜率不存在且知道直线过一定点（ a ， b ）柒 ，直线的方程能写出来吗？

通过观察，我们可以看到该直线的上的所有点的横坐标都是 a ，所以该直线的方程可以写为： x = a （ 4 ）

作业： 1. 已知点 A （ 1 ，－ 1 ）， B （ 3 ， 3 ）， C （ 4 ， 5 ），请用两种不同的方法证明这三点在同一条直线上。 2. 直线的倾斜角为 30° ，且经过点（－ 3 ， 4 ）求直线的方程，并求直线在 y 轴上的截距。 3. 直线过点 P （ 1 ， 3 ），且与 y 轴平行，求直线的方程。 4. （选做）求斜率为 3/4 且与两坐标轴围成的三角形的周长是 12 的直线的方程。