直线与抛物线( 一 )

高二理科数学 刘洋杰

L1

O

y

x

L2

L4

L3

回顾 :

新课：直线与抛物线（一） 本节课探究学习的内容：• 类型一 : 直线与抛物线的位置关系的判断；

• 类型二 : 抛物线的弦长有关问题。

例 1 ：求过定点 A （ 0 ， 1 ）且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程 .

2xy2

y

O x

A

由方程组 { 消去 y 得1kxy

2xy2

解 : 设过 A 点的直线方程是y=kx+1,

011)x2(kxk 22 因为直线与抛物线只有一个公共点，则

.2

1k0,4k1)4(kΔ 22

所以直线方程为 1.x2

1y

以上解法正确吗

例 1 ：求过定点 A （ 0 ， 1 ）且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程 .

2xy2

故直线 x=0 与抛物线只有一个交点 .

正确解法 : (1) 若直线斜率不存在 , 则过点 A 的直线方程是

由方程组 { 消去 y 得1kxy

2xy2

(2) 若直线斜率存在 , 设为 k, 则过 A 点的直线方程是

y=kx+1,

x=0.

y

O x

A

由 { 得 { 0x0y

0x

2xy2

故直线 y=1( 平行于抛物线的对称轴 ) 与抛物线只有一个交点 .

当 k≠0 时，若直线与抛物线只有一个公共点，则 .

2

1k0,4k1)4(kΔ 22

点评：本题是非常典型的易错类型，应采用分类讨论的方法 . 因此在解题时应先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。

综上所述，所求直线方程是 x=0 或 y=1 或1

12

y x

当 k=0 时， x= ，即方程为 y=1.

1

2

011)x2(kxk 22 y

O x

A

此时直线方程为1

12

y x

练习 : 当 b 为何值时 , 直线 y= -2x+b 与抛物线

2yx2 (1) 相交 ,(2) 相切 ,(3) 相离 ?

解：由方程组 {

02b4xx2

b)8(22b)(44Δ 2

b2xy

2yx2

消去 y ，并整理得

(1) 当 即 b>-2 时，直线与抛物线相交 0(2) 当 即 b=-2 时，直线与抛物线相切

（ 2 ）当即

(3) 当 即 b<-2 时，直线与抛物线相离 00

归纳 : 一 : 直线与抛物线的公共点个数的判断 :

把直线方程代入抛物线方程得到关于 x( 或 y) 的一元方程

0A

2 20( 0)Ax Bx C Ay By C 或

(2) 直线与抛物线有一个公共点

0A（直线和抛物线的对称轴平行，即相交）

或

0A(1) 直线与抛物线有两个公共点

(3) 直线与抛物线没有公共点 0A

二 ; 直线与抛物线的位置关系的判断

把直线方程代入抛物线方程得到关于 x( 或 y) 的一元方程 2 20( 0)Ax Bx C Ay By C 或

0

0

A

A

有两个公共点

有一个公共点 （直线和抛物线的对称轴平行，即相交）相交

0A 相切 有一个公共点

0A 相离 没有公共点

即：有一个公共点是相切的必要不充分条件

y

O xFB

AA’

B’

2

2)

sin

pAB

(注：

2

点评此例： 对于直线被圆锥曲线所截得弦长的求法， 解法二是最常见的，通过“设而不求”的思想，结合韦达定理求解，并能推广到任意二次曲线； 而解法三仅在抛物线的焦点弦中显得更为灵活，所以应记住弦长公式：

1 2 2

2

sin

pAB x x p

变式训练：设抛物线 被直线 截得的弦长为 求 k 的值。

2 4y x 2y x k 3 5,

解：由 2 4 ,2 ,

y xy x k

2 24 (4 4) 0x k x k 得设直线与抛物线交于 两点。

则有

1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、

2 21 2

21 2 1 2

2 2

(1 2 )( )

5 ( ) 4

5 (1 )

5(1 2 ).

AB x x

x x x x

k k

k

3 5, 5(1 2 ) 3 5, 4AB k k 即

2

1 2 1 21 , .

4

kx x k x x

1. 直线与抛物线的位置关系 ;

2. 运用函数和方程的思想方法来解决直线与抛物线相交的有关问题 ;

3.“ 设而不求” 、“数形结合”的数学

思想方法 .

课堂小结 :

21 : ( 1) 4 ,

(1)

2

3

l y k x x y

k

k

k

课后作业：

：直线 与抛物线只有一个公共点，求 的范围；

（）有两个公共点，求 的值；（）没有公共点，求 的范围。

22 : 12 2 1y x y x 求抛物线 截直线 所得的弦长。