第三章 貨幣時間價值
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第三章 貨幣時間價值. 第一節 單筆金額. 第二節 年金. 第三節 非等額現金之計算. 第四節 有效利率之計算. 第五節 貨幣時間價值的運用. 貨幣時間價值的計算方式 ：. 利用公式 . 查表. 財務計算機： 如 Casio FC-200 或 HP 10B 。. 電腦軟體： 如 EXCEL 。. 第一節 單筆金額. 複利的計算. $1,000 (1.04) 4 = $1,169.86 。. PV ‧(1+ i ) n = FV n 。. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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第三章 貨幣時間價值
第三節 非等額現金之計算
第一節 單筆金額
第四節 有效利率之計算
第二節 年金
第五節 貨幣時間價值的運用
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利用公式
查表
財務計算機： 如 Casio FC-200 或 HP 10B。
貨幣時間價值的計算方式：
電腦軟體： 如 EXCEL。
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第一節 單筆金額
複利的計算 t t+n
PV (1+‧ i)n = FVn 。 $1,000 (1.04)4 = $1,169.86 。
PV (FVIF‧ i,n) = FVn 。
0 1 2 3
$1,000
4
金額
未來值 FV
1,040
1.04
1,134.86 1,081.6 1,169.86
1,169.86 現值 PV (1.04)4
1.04 1.04 1.04
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複利示意圖
$0
$500
$1,000
$1,500
1 2 3 4
單利
利上加利
$1.6 $4.86
$9.86
單利 單利 單利 $40 $80 $120 $160
6
未來值的變動
「未來值」大於「現值」；當利率愈高，時間拉長後，「未來值」就愈大
期數
12345678
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
價值
FV
i=5%i=10%
i=15%
貨幣隨時間成長，利率愈高，愈久價值愈高
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現值的變動 當利率 ( 或稱折現率 ) 愈高，時間拉長後，「現值」就愈小。
期數
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
價值
PV
i=5%
i=10%
i=15%
距離現在愈遠的貨幣，價值愈低
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2. [單一金額未來值 ] 某人目前在銀行存入$5,000 ，年利率固定為 2% ，則其 3 年後的存款金額為何？
答： 0 1 2 3 ├──┼──┼──┤-$5,000 FV
FV = PV FVIF2%,3= $5,000 1.0612= $5,306 。
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3. [ 單一金額現值 ] 若年利率固定為 3%， 某人希望 5 年後有 $100,000 收入，則目前
應存入的金額為何？
答： 0 1 2 3 4 5├──┼──┼──┼──┼──┤
PV $100,000
PV = FV PVIF3%,5= $100,000 0.8626= $86,260 。
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4. [ 單一金額利率 ] 目前若存入 $86,260 於C 銀行，以年利率複利計算， 5 年後會有$100,000 之收入，則 C 銀行之年利率為何？
答： 0 1 2 3 4 5├──┼──┼──┼──┼──┤
-$86,260 $100,000
FV= PV FVIFi,5= $86,260 (1+i)5 = $100,000， i = 3% 。
5. [單一金額期數 ] H 先生現以固定年利率 4% 存入 67,566 美元於某信託基金，到 n 年之後將可提出 $100,000 作為子女教育經費，試問 n =？
答： 0 1 2 ... n├──┼──┼──────┤
-$67,566 $100,000
FV = PV FVIF4%,n= $67,566 (1.04)n = $100,000 ，n = 10 ( 年 ) 。
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第二節 年金
FVAn = PMT‧ [1 + (1+i) + (1+i)2 + ... + (1+i)
n 1]，
FVAn = PMT‧ t=1
n
(1+i)n-t
= PMT‧ (FVIFAi,n)。
1. 一般年金 (Ordinary Annuity)
一般年金示意圖
n10 ... n-1
0 1 2 3 ... n
├──┼──┼──┼────────┤ 利率 = i
PMT PMT PMT ... PMT
PVAn FVAn
FVIFAi,n = t=1
n (1+i)
n-t =
( )1 1 i
i
n
。
未來值
[ 年金之未來值 ] 如果年金共 5 期， PMT = $100，i = 10%，圖 5-6 描繪其未來值的計算。
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0 1 2 3 5
(1.1)
$100
4
$100 $100 $100 $100
110
121
133.1 146.41
$610.51 總合 FVA
(1.1)2
(1.1)3
(1.1)4
15
PVAn = PMT‧ [1
1+i + 1
(1+i)2 + ... +
1 (1+i)
n ]，
PVAn = PMT‧ t=1
n
1 (1+i)
t = PMT‧ (PVIFAi,n)。
PVIFAi,n = t=1
n
1 (1+i)
t =
1
i 1
1i i n( ) 。
現值
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一般金年現值示意圖
例、 [ 年金之現值 ] 年金共 5 期， PMT = $100 ， i = 10% 。
0 1 2 3 5
1/1.1
$100
4
1/(1.1)2
$100 $100 $100 $100
$90.91
82.64
75.13
62.09
$379.07
1/(1.1)3
1/(1.1)4
1/(1.1) 568.30
PVA
+)
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「給父親的感謝信」的啟示 － 養兒防老？妳 / 你要準備多少退休金？
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例、 [ 年金之現值 ] 某房東每年年底必須花費 $10,000 整修房屋，租賃契約 4 年，以整存零付的方式支付整修費，若年利率固定為 8% ，則目前應存入多少？
0 1 2 3 4
├───┼───┼───┼───┤ 利率 = 3%
PV 10,000 10,000 10,000 10,000
PV = FV PVIF 3%,4
= $10,000 3.7171 = $37,171 。
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2 、 [ 年金之未來值 ] L 商店老闆為自己設立退 休金：每年年底存款 $100,000 ，年利率固定為
2% ，共存 10 年。在第 10 年年底 L 商店老闆的退休金總額為多少？
答： 0 1 2 ... 10├───┼───┼────────┤$10萬 $10萬 ... $10
萬 FVA
FVA = $100,000 FVIFA2%,10= $100,000 10.950= $1,095,000。
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2. 期初年金 (Annuity Due) n10 ... n-1
期初年金示意圖
0 1 2 3 ... n -1 n
├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = i PMT PMT PMT PMT ... PMT 0
PVAn FVAn
FVAn = PMT‧ t=0
n-1
(1+i)n-t
= PMT‧ (FVIFAi,n)‧ (1+i)。
PVAn = PMT‧ t=0
n-1
1 (1+i)
t = PMT‧ (PVIFAi,n)‧ (1+i)。
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例、 [ 期初年金未來值 ] 每年年初買進一張 (1,000 股 ) K 公司股票 ( 面額 $10) ；如果 K 公司每年發放股票股利 $2 ，到了第 5 年年底會擁有多少 K 公司的股票？
0 1 2 3 4 5
├───┼───┼───┼───┼───┤ i = 20%
1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 FVA
FVA = 1,000 FVIFA 20%,5 1.2
= 1,000 7.4416 1.2 = 8,930 。
1. [期初年金之利率 ] 張君購買某儲蓄型保單，自 2006 年起至 2011 年，每年年初存入 $200 (千 ) ，至 2011 年年底將可收回 $1,332.5 (千 ) ，則其存款年利率為多少？
答：‘ 06 07 … 11 ├────┼────────┼────┤-$200 -200 … -200 $1,332.5
$2,263 = $200 FVIFAi,6 (1+i) ，
若以查表方式解題，可發現： $200 FVIFA3%,6 (1+i)
= $200 6.4684 (1.03)= $1,332.49。
i = 3%。
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3. 分期付款 (Amortization) 例、 [ 分期付款 ] 以固定利率 4% 向銀行貸款 $2 百
萬，為期 10 年，每年年底須支付相同金額。
每年應還金額為何？ 若第三年年底想償還所有貸款，則應還金額多少？
$2 百萬 = PMT PVIFA
4%,10
= PMT 8.1109 ， PMT = $246,582 。
0 1 2 3 ... 9 10
├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = 9%
$2 百萬 PMT PMT PMT ... PMT PMT
25
第三年年底應償還 $246,582 + 1,479,998 = $1,726,580 。
第三年年底應還金額：
－ (1) (2) (3) = (1)4%
(4) = (2)-(3) (5) = (1)-(4)
項目 期初餘額(Beginning)
每年金額(Payment)
利息費用(Interests)
償還本金(Principal
Paid)
期末餘額(Ending)
第一年 $2,000,000 246,582 80,000 166,582 1,833,418
第二年 $1,833,418 246,582 73,337 173,245 1,660,173
第三年 $1,660,173 246,582 66,407 180,175 1,479,998
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4. 永續年金 (Perpetuity) 10 ... ...n
PV
P = PMT (1
(1+i) + 1
(1+i)2 + … +
1 (1+i)
n + …) = PMT
i ，
PVA = PMT
i 。
例、 [ 永續年金 ] 大大公司發行特別股，每年支付股利 $2,000 ，必要報酬率 10% ，則其理論股價應為何？
P = PMT
i = $2 0.1 = $20。
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第三節 非等額現金之計算
FVn = CF0‧ (1+i)n + CF1‧ (1+i)
n 1 + CF2‧ (1+i)
n 2 + ... + CFn。
0 1 2 3 ... 9 10
├──┼──┼──┼──────┼──┤ 利率 = i
CF1 CF2 CF3 ... CFn-1 CFn
PV FV
PVn = CF0 + CF1 1+i +
CF2
(1+i)2 + ... +
CFn
(1+i)n =
t=0
n
CFt
(1+i)t 。
1 、 [ 非等額現金之現值與未來值 ] 某公司估計 5 年內的現金流量如下圖：
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0 1 2 3 4 5
0 $200¸U 400¸U 400¸U 400¸U300¸U
=6%i
上列現金流量的「現值」與「未來值」各為多少？
2 、 [ 非等額現金之現值 ] A 先生參加抽獎活動獲得下列收入：第一年初： $10,000，第二年初： $20,000，第三、四、五年初各為 $30,000，第六、七、八年初各為 $40,000。
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該抽獎單位宣稱 A 先生之獲獎金額共 $240,000 ($1 萬 + $2 + $3 3 + $4 3) ，但若以 10% 之利率計算，獲獎金額實際上較低，試問應為多少？
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第四節 有效年利率之計算
EAR = (1 + 0.18 12 )
12 1.0 = 19.56%。
名目年利率 (Nominal Annual Rate) ： inom ，掛牌利率。 每期利率 (Periodic Interest Rate) ： inom /m ， m 為計算次數。 有效年利率 (Effective Annual Rate) ：EAR (ieff) ，實際年利率。
例、 [ 有效利率之計算 ] 某信用卡的名目年利率為 18% ，則其「有效年利率」為何？
EAR = (1 + inom m )
m 1.0。
1. [有效利率之比較 ] A 銀行定期存款年利率為 3%，以單利計算； B 銀行年利率 2.92%，每季計息； C 銀行年利率 2.88%，每月計息。以有效利率作比較，哪一個銀行的利率最高？
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2 、 [ 有效利率之計算 ] 如果花旗銀行信用卡的名目年利率為 18%，則其「有效年利率」為何？
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3 、 [ 有效利率之應用 ] 吳先生現存入銀行 $100,000，為期 9 個月，名目年利率為 1.8%，每個月計息一次，則到期時的本金與利息共為多少？
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2. 無限次數的有效年利率
ieff = [ lim m→ (1 +
inom m )
m ] 1.0
= [ lim m→ (1 +
1 m/inom
)m ] 1.0
= [ lim m→ (1 +
1 m/inom
)(m/inom)‧ inom] 1.0
= [ lim m→ (1 +
1 n )
n‧ inom] 1.0
= einom 1.0 。
[ 有效利率之比較 ] 如果 X 銀行定期存款年利率為 1.60%，每季計息一次； Y 銀行年利率 1.56%，計息無限次。以「有效年利率」作比較，哪一個銀行的利率較高？
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第五節 貨幣時間價值之應用 1 、 [ 年金之計算 ] 林先生的女兒現在高中畢業將進入大學，預計 4 年後出國留學兩年，目前美國研究所每年的教育費用為美金 $40,000，假設每年將上漲 4%。林先生為了支應這些費用，現在每年以 2% 利率存入定期存款 ( 共 4 期 ) ，以複利計算；則林先生每年應存多少美金？
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甲公司－交車一個月後每個月月底應付 $73,178 ( 無頭期款 ) ，共付一年六個月 (18 期 ) 。
乙公司－交車兩個月後每二個月月底應付 $132,198 ( 無頭期款 ) ，共付 10 期。
甲或乙公司之分期付款對消費者較有利？
例、分期付款年金利率之比較新車，現金售價 $120 萬：
甲公司： $1,200,000 = ($73,178) PVIFAi,18 ，一個月利率 = 1%
有效年利率 = (1.01)12 1 = 12.68% 。
乙公司： $1,200,000 = ($132,198) PVIFAi,10 ，二個月利率 = 1.8%
有效年利率 = (1.018)6 1 = 11.30% 。
乙公司利率較低，應選擇乙公司。
3 、 [ 非等額現金之報酬率 ] 張太太 5 年來每年年初買進 1 張 ( 每張 1,000 股 ) K 股票，買入的平均股價分別為 $50、 $56、 $48、 $72、 $64，如果張太太這 5 年來未曾收到股利，在第 5 年年底時，這些股票的平均股價為 $74 (共 5 張 ) ，則其投資的年平均報酬率為多少？
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如果要保人繳滿保險金 5 年之後 ( 第 24 年底 ) 死亡，則其投保的「年平均報酬率」為多少？
以平均壽命 70 歲計算，忽略作業成本，則該保險公司推出該契約的成本 ( 百分比 ) 約為多少？
例、 [ 保險的報酬率 ] 30 歲要保人之壽險 $1,000,000 保額，每年年初需繳費 $12,368 ， 20 年後期滿。
0 1 2 3 ... 19 20 24
├──┼──┼──┼──────┼──┼────┤12,638 12,638 12,638 12,638 ... 12,638 0 1,000,000
FV = PMT FVIFAi,20 (1+i)5 ， $1,000,000 = ($12,368) FVIFAi,20 (1+i)5 ， 利用財務計算機得到 i = 9.17% 。
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0 1 2 3 ... 19 20 ... 38 39 ├──┼──┼──┼──────┼──┼────┼──┤
12,638 12,638 12,638 12,638 ... 12,638 0 ... 0 1,000,000
FV = PMT FVIFAi,20 (1+i)20 ， $1,000,000 = $12,368 FVIFAi,20 (1+i)20 ， 利用財務計算機得到 i = 4.72% 。
( 續前題 )