เฉลยแบบฝึกหัด calculus 1 เจษฎา ห่อ...

เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com

1

แบบฝึกหัด 1.2

1. จากกราฟของ f และจุด a ท่ีก าหนดให้

จงหาลิมิตทางซา้ย ลิมิตทางขวา และลิมิตของ f (x) เม่ือ x เม่ือเขา้ใกล ้a ถา้ลิมิตมีค่า

1.1. a = –2, 2

y

x4321–3 –2 –1123

–3–2

วธิีท ำ เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = –2 จะไดว้่า

2lim ( )x

f x

= 2 และ 2

lim ( )x

f x

= 2

เน่ืองจาก 2 2

lim ( ) lim ( )x x

f x f x

เพราะฉะนั้น 2

lim ( ) 2x

f x

เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 2 จะไดว้่า 2

lim ( )x

f x

= –2 และ 2

lim ( )x

f x

= 1


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( )x

f x

ไม่มีค่า

1.2. a = –1, 3, 4

6–4

3

–8

x

y


1lim ( )x

f x

= –2 และ 1

lim ( )x

f x

= 1


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( )x

f x



lim ( )x

f x

= –7 และ 3

lim ( )x

f x

= –7


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( ) 7x

f x


lim ( )x

f x

= –4 และ 4

lim ( )x

f x

= –4


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( ) 4x

f x


2

1.3. a = –2, –1, 1, 2

–3

x

y

–4 3

4


2lim ( )x

f x

= 2 และ 2

lim ( )x

f x

= 2


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( ) 2x

f x

เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = –1 จะไดว้่า 1

lim ( )x

f x

= 1 และ 1

lim ( )x

f x

= 3


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( )x

f x



lim ( )x

f x

= –1 และ 1

lim ( )x

f x

= –1


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( ) 1x

f x


lim ( )x

f x

= 0 และ 2

lim ( )x

f x

= 1


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( )x

f x


2. จากฟังกช์นั f และจุด a ท่ีก าหนดให้

จงเขียนกราฟของ f และพิจารณาว่า lim ( )x a

f x

, lim ( )x a

f x

และ lim ( )x a

f x

มีค่าหรือไม่

2.1. f (x) = 22 ; 1

2 ; 1 31 ; 3

x xx

x x

และ a = 1, 3

วธิีท ำ เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 1 จะไดว้่า 1

lim ( )x

f x

= 21

lim (2 )x

x

= 1

1

lim ( )x

f x

= 1

lim (2)x

= 2


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( )x

f x



lim ( )x

f x

= 3

lim (2)x

= 2

3

lim ( )x

f x

= 3

lim ( 1)x

x

= 2


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( ) 2x

f x


3

2.2. f (x) = 2 2 ; 2

1 ; 2 4 9 2 ; 4

x x xx

x x

และ a = 2, 4

วธิีท ำ เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 2 จะไดว้่า 2

lim ( )x

f x

= 22

lim ( 2)x

x x

= 0

2

lim ( )x

f x

= 2

lim (1)x

= 1


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( )x

f x



lim ( )x

f x

= 4

lim (1)x

= 1

4

lim ( )x

f x

= 4

lim (9 2 )x

x

= 1


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( ) 1x

f x

3. จากฟังกช์นั f และจุด a ท่ีก าหนดให้ จงพิขารณาว่า lim ( )x a

f x

, lim ( )x a

f x

และ lim ( )x a

f x

มีค่าหรือไม่

3.1. f (x) = 2 4

2xx

และ a = 2

วธิีท ำ f (x) = 2 ; 2( 2) ; 2x xx x


lim ( )x

f x

= 2

lim ( 2)x

x = 4

2

lim ( )x

f x

= 2

lim ( 2)x

x

= 4


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( )x

f x


3.2. f (x) = 3 1

1xx

และ a = 1

วธิีท ำ f (x) = 2

2 1 ; 1

( 1) ; 1x x xx x x


lim ( )x

f x

= 21

lim ( 1)x

x x

= –3

1

lim ( )x

f x

= 21

lim ( 1)x

x x

= 3


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( )x

f x


3.3. f (x) = ( 1)sgn( )x x และ a = 0

วธิีท ำ f (x) = ( 1) ; 0

0 ; 0 1 ; 0

x xx

x x


lim ( )x

f x

= 0

lim ( 1)x

x

= –1


4

0

lim ( )x

f x

= 0

lim ( 1)x

x

= 1


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( )x

f x


3.4. f (x) = [ ]x x และ a = 4

วธิีท ำ f (x) = 3 ; 3 44 ; 4 5

x xx x


lim ( )x

f x

= 4

lim ( 3)x

x

= 1

4

lim ( )x

f x

= 4

lim ( 4)x

x

= 0


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( )x

f x


3.5. f (x) = [ ]x และ a = 2

วธิีท ำ f (x) = 1 ; 1 22 ; 2 3

xx


lim ( )x

f x

= 2

lim 1x

= 1

2

lim ( )x

f x

= 2

lim 2x

= 2


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( )x

f x


3.6. f (x) = xx และ a = 0

วธิีท ำ f (x) = 1 ; 01 ; 0

xx


lim ( )x

f x

= 0

lim 1x

= –1

0

lim ( )x

f x

= 0

lim 1x

= 1


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


lim ( )x

f x


3.7. f (x) = 2 1x x และ a = –1

วธิีท ำ เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = –1 จะไดว้่า 1

lim ( )x

f x

= 21

lim ( 1)x

x x

= 3


lim ( )x

f x

= 3


5


1. จงหาค่าของลิมิตต่อไปน้ี ถา้ลิมิตมีค่า

1.1. 31

3lim( 2)x

x x x x

วธิีท ำ 31

3lim( 2)x

x x x x

= 331 1 1 1 2

= 1 1 3 2 = 1

1.2. 3 22

lim ( 2 5)(3 )x

x x x

วธิีท ำ 3 22

lim ( 2 5)(3 )x

x x x

= 3 2( 2) ( 2 2 5){3 ( 2) }

= ( 8)(5)(3 4)

= 40

1.3. 54

1lim( )x

xx


1lim( )x

xx

= 51( 4 )4

= 51(2 )2

= 24332

1.4. 9

2 3lim2x

xx x


2 3lim2x

xx x

= 2 9 3

9 2(9)

= 2(3) 33 2(9)

= 17

1.5. 2

3

2 5 3lim 3x

x xx


3

2 5 3lim 3x

x xx

= 3

(2 1)( 3)lim 3x

x xx

= 3lim(2 1)x

x

= 2(3) + 1

= 7

1.6. 3

41

1lim 1x

xx


41

1lim 1x

xx

= 2

2 21

( 1)( 1)lim ( 1)( 1)x

x x xx x


6

= 2

21

( 1)( 1)lim ( 1)( 1)( 1)x

x x xx x x

= 2

21

1lim ( 1)( 1)x

x xx x

= 2

2( 1) ( 1) 1

( 1 1){( 1) 1}

= 34

1.7. 2

22

5 14lim 3 4 4x

x xx x


22

5 14lim 3 4 4x

x xx x

= 2

( 2)( 7)lim (3 2)( 2)x

x xx x

= 2

7lim 3 2x

xx

= 2 73 2 2

= 98

= 32 2

1.8. 3 2

1

2 3 2lim 1x

x x xx


1

2 3 2lim 1x

x x xx

= 2

1

( 1)( 2)lim 1x

x x xx

= 21

lim( 2)x

x x

= 21 1 2

= 2

1.9. 2

12

4 1lim ( )2 1 1 2x

xx x


12

4 1lim ( )2 1 1 2x

xx x

= 2

12

4 1lim ( )2 1 2 1x

xx x

= 2

12

4 1lim 2 1x

xx

= 12

(2 1)(2 1)lim 2 1x

x xx

= 12

lim (2 1)x

x

= 12 12

= 2


7

1.10. 2

3 22

2 3 2lim 3 6 2 4x

x xx x x

.


3 22

2 3 2lim 3 6 2 4x

x xx x x

= 2 22

(2 1)( 2)lim (3 2) 2(3 2)x

x xx x x

= 22

(2 1)( 2)lim ( 2)(3 2)x

x xx x

= 22

2 1lim 3 2x

xx

= 22( 2) 1

3( 2) 2

= 4 13 4 2

= 12

1.11. 3

0

( 3) 27limx

xx


0

( 3) 27limx

xx

=

3 2

0

( 9 27 27) 27limx

x x xx

= 3 2

0

9 27limx

x x xx

= 20

lim ( 9 27)x

x x

= 20 9(0) 27

= 27

1.12. 7 4 13 3 3

4 12 3 3

2lim2x

x x xx x

วธิีท ำ 7 4 13 3 3

4 12 3 3

2lim2x

x x xx x

=

123

12 3

( 2)lim( 2)x

x x xx x

= 2

( 2)( 1)lim 2x

x xx

= 2lim ( 1)

xx

= –2 – 1

= – 3

1.13. 21

1lim1x

xx


1lim1x

xx

=

1

1lim(1 )(1 )x

xx x

= 1

1lim 1x

xx


8

= 1 11 1

= 0

1.14. 3

3 2 3lim 3x

xx


3 2 3lim 3x

xx

= 3

3 2 3 3 2 3lim 3 3 2 3x

x xx x

= 2

3

( 3 2 ) 9lim( 3)( 3 2 3)x

xx x

= 3

2( 3)lim( 3)( 3 2 3)x

xx x

= 3

12 lim3 2 3x x

= 2

3 2 3 3

= 13

1.15. 2

2 2lim1x

xx


2 2lim1x

xx

= 2 2 2

2 1

= 2

1.16. 4 2

4

9 5lim 4x

x x xx


4

9 5lim 4x

x x xx

= 2 2

24

9 5 9 5lim 4 9 5x

x x x xx x

= 2 2 2

24

{( 9 ) 5 }lim( 4) ( 9 5)x

x xx x

= 2

24

( 9 25)lim( 4) ( 9 5)x

x xx x

= 2

24

( 16)lim( 4) ( 9 5)x

x xx x

= 24

( 4)( 4)lim( 4) ( 9 5)x

x x xx x

= 24

( 4)lim9 5x

x xx

= 24( 4 4)

( 4) 9 5

= 165


9

1.17. 0

5 2lim 3x

x xx x

วธิีท ำ พิจารณาลิมิตทางซา้ย 0

5 2lim 3x

x xx x

= 0

7lim 4x

xx

= 0

7lim 4x

= 74

พิจารณาลิมิตทางขวา 0

5 2lim 3x

x xx x

= 0

3lim 2x

xx

= 0

3lim 2x

= 32

เน่ืองจากลิมิตทางซา้ยมีค่าไม่เท่ากบัลิมิตทางขวา ท่ีจุด x = 0 ดงันั้น 0

5 2lim 3x

x xx x


1.18. 2

12

2lim 2 1x

x xx


12

2lim (2 1)x

x xx

= 12

(2 1)lim (2 1)x

x xx

= 12

limx

x

= 12


12

2lim 2 1x

x xx

= 12

(2 1)lim 2 1x

x xx

= 12

limx

x

= 12

เน่ืองจากลิมิตทางซา้ยมีค่าไม่เท่ากบัลิมิตทางขวา ท่ีจุด x = 12 ดงันั้น

2

12

2lim 2 1x

x xx


1.19. 232

5 2 3lim 1x

xx x


5 2 3lim 1x

xx x

= 23

2

( )5 2 3lim 1x

xx x

= 2

( )35 2 323 3( ) 12 2


10

= 207

1.20. 40

sinlimx

xx


sinlimx

xx

= 30 4

sinlimx

xx x

= 34

0 0

sinlim limx x

x xx

= 1 0 = 0

1.21. 0

tanlim 4x

xx


tanlim 4x

xx

= 0

1 sinlim4 cosx

xx x

= 0 0

1 sin 1lim lim4 cosx x

xx x

= 1 114 cos0

= 14

1.22. 1

sinlim 1x

xx

วธิีท ำ พิจารณา (sinπx -– 1π) = sinπx cosπ – cosπx sinπ

= –sinπx

ดังนั้น 1

sinlim 1x

xx

= 1

sin( )lim 1x

xx

= 1

1sin ( )lim ( 1)x

xx

ให้ u = π(x -– 11)

= 0

sinlimu

uu

=

1.23. 0

sin5lim cosx

xx x


sin5lim cosx

xx x

= 0 0

sin5 15 lim lim5 cosx x

xx x

= 15 1 cos0

= 5

1.24. 20

l im cotx

x x


lim cotx

x x

= 2

0

coslim sinx

x xx


11

= 0 0

lim lim cossinx x

x x xx

= 0 0

1lim lim cossinx xx xx

x

= 1 0 cos01

= 0

1.25. 0

tan5lim sin3x

xx


tan5lim sin3x

xx

= 0

sin5 1lim cos5 sin3x

xx x

= 0

1 sin5lim cos5 sin3x

x xx x x

= 0 0 0

1 1 3 sin5lim lim 5limcos5 3 sin3 5x x x

x xx x x ให้ u = 3x และ v = 5x

= 0 0 0

1 1lim lim 5limcos5 3 sinx u v

u sinvx u v

= 1 1 5cos0 3

= 53

1.26. 2

sin(12 6 )lim 5 10x

xx


sin(12 6 )lim 5 10x

xx

= 2

sin6(2 )lim 5( 2)x

xx

= 2

6 sin6(2 )lim5 6(2 )x

xx

ให้ u = 6(2 – x)

= 0

6 lim5 u

sinuu

= 65

1.27. 23

sin( 3)lim 2 3x

xx x


sin( 3)lim 2 3x

xx x

= 3

sin( 3)lim ( 1)( 3)x

xx x

= 3

sin( 3) 1lim 3 1x

xx x

ให้ u = x + 3

= 0 3

sin 1lim lim 1u x

uu x

= 11 4

= 14


12

1.28. 0

tanlim sinx

x xx


tanlim sinx

x xx

= 0

tanlim ( )sin sinx

x xx x

= 0

1lim ( )sin cosx

xx x

= 0 0

1lim limsin cosx x

xx x

= 11 cos0

= 2

1.29. 2 20

1lim sinx

x x


1lim sinx

x x =

2

0 2

1(sin )lim 1( )x

x

x

ให้ u = 1x

= 2

2( )lim

u

sinuu

= 0

1.30. 2

0lim 1 cosx

xx


0lim 1 cosx

xx

= 2

0

1 coslim 1 cos 1 cosx

x xx x

= 2

20

(1 cos )lim 1 cosx

x xx

= 2

20

(1 cos )lim sinx

x xx

= 20

lim ( ) (1 cos )sinx

x xx

= 20 0

lim ( ) lim (1 cos )sinx x

x xx

= 1 (1 cos0)

= 2

2. ก าหนดให้ f (x) = 3 2 5 ; 2

7 ; 2 1

x x xx xx

จงพิจารณาว่า 2

lim ( )x

f x

และ 2

lim ( )x

f x

มีค่าหรือไม่ เพราะเหตุใด

วธิีท ำ f (x) = 3 2 5 ; 2 2

7 ; 2 or 2 1

x x xx x xx

พิจาณา 2

lim ( )x

f x


13

พิจารณาลิมิตทางซา้ย 2

lim ( )x

f x

= 2

7lim ( )1x

xx

= 3 73 1

= 1 พิจารณาลิมิตทางขวา

2lim ( )

xf x

= 3

2lim ( 2 5)

xx x

= 8 4 5 = 1

เน่ืองจากลิมิตทางซา้ยมีค่าไม่เท่ากบัลิมิตทางขวา ท่ีจุด x = 2 ดงันั้น 2

lim ( )x

f x


พิจาณา 2

lim ( )x

f x


lim ( )x

f x

= 32

lim ( 2 5)x

x x

= 8 4 5 = 9


lim ( )x

f x

= 2

7lim ( )1x

xx

= 2 72 1

= 9 เน่ืองจากลิมิตทางซา้ยมีค่าเท่ากบัลิมิตทางขวา ท่ีจุด x = 2 ดงันั้น

2lim ( )

xf x

= 9

3. จงหาค่าของ a ท่ีท าให้ 3 2lim ( 4 10) 4x a

x x x

วธิีท ำ 3 2lim ( 4 10)x a

x x x

= 4

3 24 10a a a = 4

3 24 6a a a = 0

( 3)( 2)( 1)a a a = 0

เพราะฉะนั้น a = –1, 2 และ 3

4. ก าหนดให้ f (x) = 2 2 5 ; 3

2 ; 3x x

kx x

จงหาค่าของ k ท่ีท าให้ 3

lim ( )x

f x

มีค่า


lim ( )x

f x

= 3lim (2 5)

xx

= 2( 3) 5


3lim ( )

xf x

= 2

3lim ( 2)

xk x


14

= 9 2k ลิมิตจะมีค่าก็ต่อเม่ือ

3lim ( )

xf x

=

3lim ( )

xf x

ดงันั้น 9k + 2 = –1

k = 13

5. ก าหนดให้ f (x) = 2

2

3 ; 2 ; 2 2

; 22

x xax b xx x

จงหาค่าของ a และ b ท่ีท าให้ 2

lim ( )x

f x

และ 2

lim ( )x

f x

มีค่า

วธิีท ำ พิจาณา 2

lim ( )x

f x


lim ( )x

f x

= 22

lim (3 )x

x

= 23 ( 2)


2lim ( )

xf x

= 2

lim ( )x

a x b

= 2a b ลิมิตจะมีค่าก็ต่อเม่ือ

2lim ( )

xf x

=

2lim ( )

xf x

ดงันั้น –2a + b = –1 … (1) พิจาณา

2lim ( )x

f x


lim ( )x

f x

= 2lim ( )

xa x b

= 2a b


lim ( )x

f x

= 2

2lim ( )2x

x

= 22

2

= 2

ลิมิตจะมีค่าก็ต่อเม่ือ 2

lim ( )x

f x

= 2

lim ( )x

f x

ดงันั้น 2a + b = 2 … (2)

แกส้มการ (1) และ (2) จะไดว้่า a = 34 , b = 1

2


15


จงพิจารณาค่าของลิมิตต่อไปน้ี

1. 3 31lim ( )x x x

วธิีท ำ 3 31lim ( )x x x

= 3 31lim limx xx x

= 0 3 = 3

2. 3 7

3 2 4(2 5) ( 8)lim ( 2) (3 1)x

x xx x


3 2 4(2 5) ( 8)lim ( 2) (3 1)x

x xx x

= 3 3 7 7

6 2 4 43

5 8(2 ) (1 )lim 2 1(1 ) (3 )x

x xx xx x xx

= 10 3 7

10 2 43

5 8(2 ) (1 )lim 2 1(1 ) (3 )x

x x xx xx

= 3 7

2 43

5 8(2 ) (1 )lim 2 1(1 ) (3 )x

x x

xx

= 3 7

2 4(2 0) (1 0)(1 0) (3 0)

= 881

3. 5

39lim4x

xx


39lim4x

xx

=

55

33

9( 1)lim 4( 1)x

x xx x

= 5

215 3

9 1lim 4( 1)x

xx x

= 0

4. 3

2 33 4lim 7 2x

x xx x x


2 33 4lim 7 2x

x xx x x

= 3

2 3

32

3 4(1 )lim 7 1( 2)x

x x xx xx


16

= 2 3

2

3 41lim 7 1 2x

x x

xx

= 1 0 00 0 2

= 12

5. 2

3 3 8lim ( 2)x

xx x


3 3 8lim ( 2)x

xx x

= 2

3 3 8lim ( 2)x

xx x

= 2

23

2

3( 8)lim 2(1 )x

x xx x

= 23

3 8lim 21x

x

x

= 3 0 81 0

= 2

6. 2

47 4lim2x

xx x


47 4lim2x

xx x

=

22

23

4(7 )lim

12x

x xx x

= 2

3

47lim

12xx

x

= 7 02 0

= 72

7. 2 6lim 2 5x

xx

วธิีท ำ 2 6lim 2 5x

xx

= 261

lim 5(2 )x

x xx x


17

= 261

lim 5(2 )x

x xx x

= 261

lim 5 2x

x

x

= 1 00 2

= 12

8. 2

21

lim 1x

xx


21

lim 1x

xx

=

2

21lim 1x

xx

= 2

2

22

1(1 )lim 1(1 )x

x xx x

= 2

2

11lim 11x

x

x

= 1

9. 3

3 2lim2 2x

x xx x x


3 2lim2 2x

x xx x x

=

3

2 (lim

( 2) 2)x

x xx x x

= 3

22(

1(1 )lim

1)( 2)x

x xx x

= 3

22(

1(1 )lim 1)( 2)x

x xx x

= 3

2

32(

1(1 )lim 1 21 )(1 )x

x xx xx

= ((1 0)

1 0)(1 0)

= 1


18

10. 2lim ( 3 )x

x x x

วธิีท ำ 2lim ( 3 )x

x x x

= 2

22

3lim ( 3 )3x

x x xx x xx x x

= 2 2

23lim

3x

x x xx x x

= 3lim

3( 1 1)x

x

x x

= 3lim31 1xx

= 31 0 1

= 32

11. 3 33 3lim ( 1)x

x x x

วธิีท ำ พิจารณา 3 33 3 1x x x

3 33 3 1x x x = 3 3 3 333 3 3 2 3 3 3 2

3 333 2 3 3 3 2(

(( 1) ( ) ( )( 1) 1)

( ) ( )( 1) 1)x x x x x x x x x

x x x x x x

= 3 33 3 3 3

3 333 2 3 3 3 2( )

(( 1)

( ) ( )( 1) 1)x x x

x x x x x x

= 3 333 2 3 3 3 2(1

( ) ( )( 1) 1)x

x x x x x x

3 33 3lim ( 1)x

x x x

= 3 333 2 3 3 3 2(1lim

( ) ( )( 1) 1)x

xx x x x x x

= 2 2 23 3 3

2 2 3 3(

1(1 )lim

1 1 1 1{( 1 ) (1 )(1 ) 1 )x

x xx x x x x

= 2 23 3 3

2 2 3 3(

11lim

1 1 1 1{( 1 ) (1 )(1 ) 1 )xx

x x x x x

= 0


19

12. 2 4 2lim 2 3x

xx

วธิีท ำ 2 4 2lim 2 3x

xx

= 241 2

lim 3(2 )x

x xx x

= 24 2( 1 )

lim 3(2 )x

x xxx x

= 24 21

lim 32x

xx

x

= 1 0 02 0

= 12

13. 1cos

limx

xx

วธิีท ำ

1coslimx

xx

= cos 0limx

x

= 1

limx

x

= 0

14. 1lim (cos 1)x

x x

วธิีท ำ ให้ 1u x

จะไดว้่า 1limx x

= 0l imu

u

1lim (cos 1)x

x x =

0

1lim (cos 1)u

uu

= 0

cos 1limu

uu

= 0

1 coslimu

uu

= 0

15. 2

2sinlim cos3 2x

x x xx x


2sinlim cos3 2x

x x xx x

= 2

22

sin(1 )lim cos3( 2)x

xx xxx x


20

= 2

sin1lim cos3 2x

xxx

x

= 1 00 2

= 12

16. 31

1lim1x x

วธิีท ำ ให้ 31( )

1f x

x

เพราะว่า 3

1( )1

f xx

> 0 เม่ือ (1, )x

และ 1

1lim ( )x f x = 3

1lim 1x

x

= 0

จะไดว้่า 31 1lim

1x x

17. 32

3lim 8x

xx

วธิีท ำ ให้ 33( ) 8

xf x x

เพราะว่า 33( ) 8

xf x x

> 0 เม่ือ ( , 2)x

และ 2

1lim ( )x f x =

3

2

8lim 3x

xx

= 0

จะไดว้่า 32 3lim 8x

xx

18. 4

5lim 4x

xx

วธิีท ำ ให้ 5( ) 4xf x x

เพราะว่า 5( ) 4xf x x

< 0 เม่ือ (4, 5)x

และ 4

1lim ( )x f x =

4

4lim 5x

xx

= 0

จะไดว้่า 4

5lim 4x

xx

19. 43 3

21

2lim 8 9x

x x xx x

วธิีท ำ ให้ 43 3

22( ) 8 9

x x xf x x x

เพราะว่า

43 32

2( ) 8 9x x xf x x x

< 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้–1 ทางขวา

และ 1

1lim ( )x f x =

2

41 3 3

8 9lim2x

x xx x x

= 0


21

จะไดว้่า 43 3

21 2lim 8 9x

x x xx x

20. 21

2 3lim 2 1x

xx x

วธิีท ำ ให้ 22 3( ) ( 1)xf x x

เพราะว่า 22 3( ) ( 1)xf x x

< 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้1

และ 1

1lim ( )x f x =

2

1

( 1)lim 2 3x

xx

= 0

จะไดว้่า 21 2 3lim 2 1x

xx x

21. 2

22

4lim 2x

x xx x

วธิีท ำ ให้ 2

24( ) 2

x xf x x x


24( ) 2

x xf x x x

> 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้–2 ทางซา้ย

และ 2

1lim ( )x f x =

2

22

2lim 4x

x xx x

= 0


22 4lim 2x

x xx x

22. 25

6lim 10 25x

xx x

วธิีท ำ ให้ 26( ) 10 25

xf x x x

เพราะว่า 26( ) ( 5)

xf x x

> 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้–5

และ 5

1lim ( )x f x =

2

5

10 25lim 6x

x xx

= 0

จะไดว้่า 25 6lim 10 25x

xx x

23. 5

[ ]lim 5x

x xx

โดยท่ี [x] คือจ านวนเต็มท่ีมากท่ีสุดท่ีมีค่านอ้ยกว่าหรือเท่ากบั x

วธิีท ำ ให้ [ ]( ) 5x xf x x

เพราะว่า [ ]( ) 5x xf x x

< 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้5 ทางซา้ย

และ 5

1lim ( )x f x =

5

5lim [ ]x

xx x

= 0


[ ]lim 5x

x xx

24. 3

22 1lim 3 10x

x xx x


22 1( ) 3 10

x xf x x x


22 1( ) 3 10

x xf x x x

> 0 เม่ือ x มีค่ามาก


22

และ 1lim ( )x f x =

2

33 10lim 2 1x

x xx x

= 2

2

32 3

3 10(1 )lim 2 1(1 )x

x x xx x x

= 2

2 3

3 101lim 2 1(1 )x

x xx x x

= 0


2 2 1lim 3 10x

x xx x

25. 3 3lim 2 1x

x x

วธิีท ำ ให้ 3 3( ) 2 1f x x x เพราะว่า 3 3( ) 2 1f x x x < 0 เม่ือ x มีค่านอ้ยๆ

และ 1lim ( )x f x = 3 3

1lim2 1x x x

= 0

จะไดว้่า 3 3 lim 2 1 x

x x

26. 5 2

3 26 7lim 4 1x

x x xx x

วธิีท ำ ให้ 5 2

3 26 7( ) 4 1

x x xf x x x

เพราะว่า 5 2

3 26 7( ) 4 1

x x xf x x x

> 0 เม่ือ x มีค่านอ้ย


3 2

5 24 1lim 6 7x

x xx x x

= 3

3

53 4

1 1(4 )lim 6 7(1 )x

x x xx x x

= 3

23 4

1 14lim 6 7(1 )x

x xx x x

= 0

จะไดว้่า 5 2

3 2 6 7lim 4 1x

x x xx x

27. 3

22 6lim 3x

x xx x


22 6( ) 3x xf x x x


22 6( ) 3x xf x x x

< 0 เม่ือ x มีค่านอ้ย


2

33lim 2 6x

x xx x


23

= 2

32 3

1(3 )lim 1 6(2 )x

x xx x x

= 2 3

13lim 1 6(2 )x

xx x x

= 0


2 2 6lim 3x

x xx x

28. 3

22

2 6lim 2 15x

x xx x


22 6( ) 2 15

x xf x x x


22 6( ) 2 15

x xf x x x

< 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้3 ทางซา้ย

2

22 6( ) 2 15

x xf x x x

> 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้3 ทางขวา

เพรำะฉะนั้น 3

22

2 6lim 2 15x

x xx x


29. 46

2lim 12x

x xx x


2( ) 12x xf x x x


2( ) 12x xf x x x

> 0 เม่ือ x มีค่ามาก


2

4612lim

x

x xx x

= 2

2

32

1 12(1 )lim

11x

x x x

x x

= 2

2

1 121lim

11xx x

x x

= 0


2 lim 12x

x xx x

30. 2

28lim

2 1x

xx x


28( )

2 1xf x

x x


28( )

2 1xf x

x x

< 0 เม่ือ x มีค่ามาก


24


2

22 1lim 8x

x xx

= 2

22

1 12lim 8( 1)x

x x xx x

= 2

2

1 12lim 8( 1)x

x xx x

= 0


2 8lim

2 1x

xx x


25


1. จากกราฟของฟังกช์นั f ท่ีก าหนดให้ต่อไปน้ี

จงพิจารณาว่า f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = a ท่ีก าหนดให้หรือไม่ เพราะเหตุใด

1.1. a = 1

y

x4321–3–2 –1123

–25 6

–3 วธิีท ำ เพราะว่า f (1) ไม่มีค่า

ดงันั้น f ไม่ต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 1

1.2. a = 2

y

x4321–2 –1123

–25

4

วธิีท ำ เพราะว่า

2lim ( ) 2

xf x

และ

2lim ( ) 3

xf x

,

2lim ( )x

f x



1.3. a = –2, 2

y

x4321–3–2 –1123

–2–3

วธิีท ำ พิจารณาท่ีจุด x = –2

เพราะว่า f (–2) = 2, 2

lim ( ) 2x

f x

และ 2

lim ( ) 2x

f x

และ 2

lim ( ) ( 2) 2x

f x f

ดงันั้น f ต่อเน่ืองทีจุ่ด x = –2

พิจารณาท่ีจุด x = 2


26


lim ( ) 2x

f x

และ 2

lim ( ) 1x

f x

, 2

lim ( )x

f x


ดงันั้น f ไม่ต่อเนือ่งทีจุ่ด x = 2

1.4. a = –2, –1, 1, 2

–3

x

y

–4 3

4


เพราะว่า f (–2) = 2, 2

lim ( ) 2x

f x

และ 2

lim ( ) 2x

f x

และ 2

lim ( ) ( 2) 2x

f x f

ดงันั้น f ต่อเน่ืองทีจุ่ด x = –2

พิจารณาท่ีจุด x = –1

1

lim ( ) 1x

f x

และ 1

lim ( ) 3x

f x

, 1

l im ( )x

f x


ดงันั้น f ไม่ต่อเน่ืองทีจุ่ด x = –1


เพราะว่า f (1) = –2,1

lim ( ) 1x

f x

และ 1

lim ( ) 1x

f x

และ 1

lim ( ) 1x

f x

และ 1

lim ( ) (1)x

f x f



เพราะว่า2

lim ( ) 0x

f x

และ 2

lim ( ) 1x

f x

, 2

lim ( )x

f x



2. จงพิจารณาว่า ฟังกช์นั f ท่ีก าหนดให้ต่อไปน้ี มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = a ท่ีก าหนดให้หรือไม่

2.1. 2 2 5( ) 6

x xf x x

; a = 6

วธิีท ำ เพราะว่า (6)f ไม่มีค่า

ดงันั้น f ไม่มีควำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 6


27

2.2. 33 1 ; 1

( ) 2 ; 1x x

f x x x

; a = –1, 1

วธิีท ำ เพราะว่า 1 1

lim ( ) lim (3 1) 2x x

f x x

31 1

lim ( ) lim (2 ) 3x x

f x x

ดงันั้น 1

lim ( )x

f x

ไม่มีค่า เน่ืองจาก 1 1

lim ( ) lim ( )x x

f x f x

เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = –1

เพราะว่า 31 1 1

lim ( ) lim ( ) lim (2 ) 1x x x

f x f x x

และ 3(1) 2 1 1f

เพราะฉะนั้น f มคีวำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 1

2.3. 1 ; 22( )

1 ; 2xxf xx

; a = 2, 3


1lim ( ) lim 2x xf x x

2 2



lim ( )x

f x


lim ( ) lim ( )x x

f x f x

เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเนื่องทีจุ่ด x = 2

เพราะว่า 3 3 3

lim ( ) lim ( ) lim(1) 1x x x

f x f x

และ (3) 1f


2.4. 2

2

2

; 4 1( ) 1 ; 1 1

1 ; 1 42 5 3

x x xf x x x

x xx x

; a = –1, 0, 1


lim ( ) lim 0x x

f x x x

1 1

lim ( ) lim ( 1) 2x x

f x x


lim ( )x

f x


lim ( ) lim ( )x x

f x f x

เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = –1


lim ( ) lim ( 1) 1x x

f x x


28

0 0

lim ( ) lim ( 1) 1x x

f x x


lim ( ) 1x

f x

และ (0) 1f



lim ( ) lim ( 1) 2x x

f x x

1 1 1

(1 )(1 ) 1lim ( ) lim lim 2(2 3)( 1) 2 3x x x

x x xf x x x x


lim ( ) 2x

f x

และ (1) 1 1 2f


2.5. 3 1 ; 1( ) 1

3 ; 1

x xf x xx

; a = 1

วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า 2

2

1 ; 1( ) 3 ; 1

( 1) ; 1

x x xf x x

x x x


lim ( ) lim ( 1) 1x x

f x x x

21 1

lim ( ) lim ( 1) 3x x

f x x x


lim ( )x

f x


lim ( ) lim ( )x x

f x f x

เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 1

2.6. 2 และ

และ

2 ; 2 24( ) 1 ; 2 24

x x xxf x

x x

; a = –2, 2

วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า

และ

และ

1 ; 2 221( ) ; 2 241 ; 2 22

x xxf x x x

xx


1 1lim ( ) lim 2 4x xf x x

2 2

1 1lim ( ) lim 2 4x xf x x


lim ( )x

f x


lim ( ) lim ( )x x

f x f x

เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเนื่องทีจุ่ด x = –2


29



2 2



lim ( )x

f x

ไม่มีค่า เน่ืองจาก 2

lim ( )x

f x

และ 2

lim ( )x

f x

ไมส่ามารถหาคา่ได้

เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 2

3. จงพิจารณาว่า ฟังกช์นั f ท่ีก าหนดให้ต่อไปน้ี มีความต่อเน่ืองบนช่วงท่ีก าหนดให้หรือไม่

3.1. 3 ; 3( ) 3

1 ; 3

x xf x xx

; (–∞,–3), (–3, 3), (–3, 3], [3, ∞)

วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า 1 ; 3( ) 1 ; 3

xf x x

มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (–∞,–3)

มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (–3, 3)

ไม่ต่อเน่ืองในช่วง (–3, 3] เน่ืองจาก f (3) ≠ 3

lim ( )x

f x

มี ความต่อเน่ืองบนช่วง [3, ∞)

3.2. 21( ) 4

xf x x

; (–∞, 2), [–1, 2)

วธิีท ำ ไม่มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (–∞, 2) เพราะ f (–2) ไม่มีค่า

มี ความต่อเน่ืองบนช่วง [–1, 2)

3.3. 3

21( ) 4 5

xf x x x

; (–5, 1], (1, 5)

วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า 2( 1)( 1)( ) ( 5)( 1)

x x xf x x x

ไม่มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (–5, 1] เพราะ f (–1) ไม่มีค่า

มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (1, 5)

3.4. 2

2

2

; 1( ) 2 ; 1

1 ; 1

x xf x x x

x x

; [–1, 1], [–1, 1), [1, ∞)


2

2

; 1 1( ) 2 ; 1

1 ; 1

x xf x x x

x x


30

ไม่มี ความต่อเน่ืองบนช่วง [–1, 1] เพราะว่า 1

lim ( ) (1)x

f x f

มี ความต่อเน่ืองบนช่วง [–1, 1)


3.5. 2

3 2 ; 1 311( ) 3 ; 3 52

2 7 ; 51

x xxf x x x x

x xx

; (2, 3), [1, 3], (2, 5], [5, ∞)


1 ; 1 311( ) 3 ; 3 52

2 7 ; 51

x xxf x x x x

x xx

มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (2, 3)

มี ความต่อเน่ืองบนช่วง [1, 3]

ไม่มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (2, 5] เพราะว่า 5

lim ( ) (5)x

f x f


4. จงพิจารณาว่า ฟังกช์นั f ท่ีก าหนดให้ต่อไปน้ี มีความต่อเน่ืองบน Df หรือไม่

ถา้ไม่ จงบอกค่าของ x ท่ีซ่ึง f ไม่มีความต่อเน่ือง

4.1. 21( ) 1f x x

วธิีท ำ โดเมนของ f คือ ( , 1) ( 1, 1) (1, )

f มคีวำมต่อเนื่องบน Df

4.2. 23( ) 3 4

xf x x x

วธิีท ำ โดเมนของ f คือ ( , 1) ( 1, 4) (4, )


4.3. 22( )2

xf xx x

วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า และ1 ; 2 0

( ) 1 ; 2 0

x xxf xxx

โดเมนของ f คือ ( , 2) ( 2, 0) (0, )


31


4.4. ( ) 1f x x x

วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า 2 1 ; 0

( ) 1 ; 0 12 1 ; 1

x xf x x

x x

โดเมนของ f คือ R



lim ( ) lim ( 2 1) 1x x

f x x

0 0

lim ( ) lim 1 1x x

f x


lim ( ) 1x

f x

และ f (0) = 1 เพราะฉะนั้น f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = 0



lim ( ) lim 1 1x x

f x

1 1

lim ( ) lim (2 1) 1x x

f x x


lim ( ) 1x

f x

และ f (1) = 1 เพราะฉะนั้น f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = 1

เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเนื่องบน Df

4.5. ( ) cos 2 3f x x

วธิีท ำ โดเมนของ f คือ R


4.6. ; 4( ) 1 ; 4x xf x x x




lim ( ) lim 2x x

f x x

4 4

lim ( ) lim ( 1) 3x x

f x x


lim ( )x

f x


lim ( ) lim ( )x x

f x f x



32

4.7. 2

3 10 ; 5( ) 57 ; 5

x x xf x xx


พิจารณาท่ีจุด x = –5


lim ( ) lim ( 2) 7x x

f x x

5 5

lim ( ) lim ( 2) 7x x

f x x


lim ( )x

f x

= –7

และ f (–5) = –7 ซ่ึงเท่ากบั 5

lim ( )x

f x

เพราะฉะนั้น f มคีวำมต่อเนื่องบน Df

4.8. 1 ; 2

( ) 2 ; 2 69 ; 61

x xf x x x

x xx




lim ( ) lim (1 ) 3x x

f x x

2 2

lim ( ) lim 2 0x x

f x x


lim ( )x

f x


lim ( ) lim ( )x x

f x f x



lim ( ) lim 2 4x x

f x x

6 6

9lim ( ) lim 31x x

xf x x


lim ( )x

f x


lim ( ) lim ( )x x

f x f x


5. ส าหรับฟังกช์นั f ท่ีก าหนดให้ต่อไปน้ี จงก าหนดค่าของ f (a) ท่ีท าให้ f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = a ถา้ก าหนดไม่ได ้จงบอกเหตุผล

5.1. 3 2

22 4 3( ) 2 3

x x xf x x x

; a = 3

วธิีท ำ พิจารณา f จะไดว้่า 2( 3)( 1)( ) ( 1)( 3)

x x xf x x x


33


3 3

1 11lim ( ) lim 1 4x x

x xf x x

2

3 3

1 11lim ( ) lim 1 4x x

x xf x x


lim ( )x

f x

= 114

เพราะฉะนั้นก าหนดให้ f (3) = 114

5.2. 1 1( ) xf x x

; a = 0


1 1 1 1lim ( ) lim ( )( )1 1x x

x xf x x x

0

1 1lim 21 1x x

0 0

1 1lim ( ) lim 21 1x xf x

x


lim ( )x

f x

= 12

เพราะฉะนั้นก าหนดให้ f (0) = 12

5.3. 3 9 ; 2 3( ) 3

7 5 ; 3 7

x x xf x xx x

; a = 3


( 3)( 3)lim ( ) lim 3x x

x x xf x x

3

lim ( 3) 18x

x x

3 3

lim ( ) lim (7 5) 26x x

f x x


lim ( )x

f x


lim ( ) lim ( )x x

f x f x

เพราะฉะนั้นไม่สามารถก าหนดให้ f (3) เพ่ือให้ฟังกช์นัต่อเน่ืองได ้

6. ก าหนดให้ ( )( ) ; 2( ) 5 ; 2

x k x k xf x kx x

จงหาค่าของ k ท่ีท าให้ f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = 2


lim ( ) lim ( )( ) 4x x

f x x k x k k

2 2

lim ( ) lim 5 2 5x x

f x kx k

ฟังกช์นัจะต่อเน่ืองได ้ก็ต่อเม่ือ 2 2

lim ( ) lim ( )x x

f x f x

เพราะฉะนั้น 4 – k2 = 2k + 5


34

k2 + 2k + 1 = 0

(k + 1)2 = 0

จะไดว้่า k = –1

7. ก าหนดให้ 3

2

1 ; ( ) 4 ; 1

2 ; 1

a x b xf x x

a x bx x

จงหาค่าของ a และ b ท่ีท าให้ f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = 1


lim ( ) lim ( )x x

f x a x b a b

21 1

lim ( ) lim ( 2) 2x x

f x ax bx a b


lim ( ) lim ( ) (1)x x

f x f x f

เพราะฉะนั้น a – b = 4 … (1)

และ a + b + 2 = 4 … (2)

แกส้มการ จะไดว้่า a = 5, b = 1

8. ก าหนดให้ 2 2 ;

( ) 3 ; 2 13 2 ; 1

x c xf x cx k x

x k x

จงหาค่าของ c และ k ท่ีท าให้ f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = –2 และ x = 1


2 2lim ( ) lim ( 2 ) 2 2

x xf x x c c

2 2

lim ( ) lim (3 ) 6x x

f x cx k c k


lim ( ) lim ( )x x

f x f x

เพราะฉะนั้น –2 + 2c = – 6c + k

8c – k = 2 … (1)


1 1lim ( ) lim (3 ) 3x x

f x c x k c k

1 1

lim ( ) lim (3 2 ) 3 2x x

f x x k k


lim ( ) lim ( )x x

f x f x

เพราะฉะนั้น 3c + k = 3 – 2k

c + k = 1 … (2)

แกส้มการ (1) และ (2) จะไดว้่า c = 13 , k = 2

3

เฉลยแบบฝึกหัด calculus 1 เจษฎา ห่อ...

Documents