定义

.)(

,,,

,

的特征向量特征值或属于的对应于称为量非零向的特征值称为方阵这样的数那么成立

使关系式

维非零列向量和如果数阶矩阵是设

Ax

A

xAx

xnnA

.)(

.0

的特征多项式称为方阵

的特征方程称为方阵

AEAf

AEA

1 　方阵的特征值和特征向量

第五章 特征值问题与二次型

.)2(

;)1(

,,,,

)(.

21

221121

21

A

aaa

aAnAn

n

nnn

n

ij

则有

的特征值为若个特征值有阶方阵

.

1;

1,)3(

.)(

,)(.)(

)();()2(

;)1(

,)(

1

10

10

特征值

的是的特征值是可逆时当

其中的特征值

是为任意自然数的特征值是

的特征值也是

则的特征值是设

AAAA

AaAaIaA

aaaA

kA

A

aA

mm

mm

kk

T

ij nn

2 　有关特征值的一些结论

定理

.

.,,,,,,,

,,,,

, ,, ,

2121

21

21

征向量是线性无关的即属于不同特征值的特

线性无关则各不相等

如果向量依次是与之对应的特征

个特征值的是方阵设

ppp

ppp

mA

mm

m

m

定理 　属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．

3 　有关特征向量的一些结论

定义

.

,

.,

,

,,,

1

1

的相似变换矩阵变成称为把可逆矩阵

进行相似变换称为对进行运算对

相似与或说矩阵的相似矩阵是则称

使若有可逆矩阵阶矩阵都是设

BAP

AAPPA

BAAB

BAPP

PnBA

　　矩阵之间的相似具有 (1) 自反性； (2) 对称性；(3) 传递性．

4 　相似矩阵

.,,,,

)2(

21

2

1

个特征值的是则相似

与对角矩阵若

nA

A

n

n

5 　有关相似矩阵的性质　　　若　与　相似，则　与　的特征多项式相同，从而　与　的特征值亦相同．

A BAABB

)1(

.)()(,

,,,

.)()(

,,)3(

11

1

1

11

PPAPPA

APPP

PBPA

PBPAPPBA

kk

kk

则有

为对角阵使若有可逆阵特别地

则若

　　 (4) 　能对角化的充分必要条件是　有　个线性无关的特征向量．

A A n

(5) 　有 个互异的特征值，则 与对角阵相似．A An

.)1( 实数实对称矩阵的特征值为

.

)2(

量必正交

特征值的特征向实对称矩阵的属于不同

.

,)3(

个线性无关的特征向量的必有

则对应重特征值的是实对称矩阵若

r

rA

.

,,,

.)4(

1

对角阵个特征值为对角元素的的以是其中使得则必有正交阵称阵

阶实对为即若实对称矩阵必可对角化

nA

APPP

nA

6 　实对称矩阵的相似矩阵

定义

.

2

22

),,,(

,,,

1,1

311321122

2222

211121

21

称为二次型

的二次齐次函数个变量含有

xxa

xxaxxaxa

xaxaxxxf

xxxn

nnnn

nnn

n

n

7 　二次型

.

,,

.,

的秩的秩称为二次型称阵对的二次型称为对称阵的矩阵为二次型

称其中二次型可记作

fA

Aff

AAAAxxf TT

二次型与它的矩阵是一一对应的．

.

,;,

称为实二次型

是实数时当称为复二次型是复数时当

f

afa ijij

定义

).(

2222

211

或法式称为二次型的标准形

只含平方项的二次型

ykykykf nn

8 　二次型的标准形

).()(,,

,,)1(

ArBrB

AACCBC T

且亦为对称阵则阵

为对称如果令任给可逆矩阵

.)(,,,

,

,

),()2(

21

2222

211

1,

的特征值的矩阵是其中

化为标准形使有正交变换

总任给实二次型

aAf

yyyf

fPyx

aaxxaf

ijn

nn

jiijji

n

jiij

9 　化二次型为标准形

定义

.,,0

)(,0;

,),0)0((0)(

,0,)(

是负定的并称对称矩阵为负定二次型则称都有如果对任何是正定的称对称矩阵

并为正定二次型则称显然都有

如果对任何设有实二次型

Af

xfxA

ffxf

xAxxxf T

10 　正定二次型

.

,,,,,,

),0(

),0(

,,

2121

2222

211

2222

211

等中正（负）数的个数相中正（负）数的个数与则

及

使

及实的可逆变换

有两个它的秩为设有实二次型

rr

irr

irr

T

kkk

zzzf

kykykykf

PzxCyx

rAxxf

11 　惯性定理

.

.

2)(

;

;

,,, 21

量

化线性变换的不变它们是二次型对于非退差

的符号称为

称为负惯性指数数

称为正惯性指中正数的个数

frrs

r

kkk r

注意

., PPAP

AT使矩阵

可逆正定的充要条件是存在实对称矩阵

;

,:

)1(

n

n

Axxf T

即正惯性指数个系数全为正它的标准形的是

为正定的充分必要条件实二次型

;

:)2(

特征值全为正

的是为正定的充分必要条件对称矩阵 AA

12 　正定二次型的判定

(3)

).,,2,1(,0)1(

,,

:

;0,;0;0

,:

))(4(

1

111

1

111

2221

121111

nr

aa

aa

A

aa

aa

aa

aaa

A

A

rrr

rr

nnn

n

即正而偶数阶顺序主子式为主子式为负奇数阶顺序是为负定的充分必要条件对称矩阵

即正的各阶顺序主子式都为要条件是

为正定的充分必对称矩阵霍尔维茨定理