1 數 學 乙

1 前 言

104 年的指考乙是近四年來難度最大的一次，頂標和前標比前三年各降了約 20 分。以往數

乙是自然組考生數學的暖身戰，而且普遍的難度是中偏易。但 104 年指考乙不管是對跨考生或社

會組的考生而言，都是一次頗大的震撼。冗長的敘述（非選一、二）、計算量大（多選 7），再

加上需要閱讀理解能力，也沒有很容易一看就可解決的問題，才有如此大幅下降的結果。

表一：近四年指考乙五標分數及高低分比例

年度 頂標 前標 均標 後標 底標 104 年 69 58 44 30 21 103 年 89 79 58 33 20 102 年 84 75 58 36 21 101 年 88 80 64 43 28

年度 零分 滿分 104 年 24 ( 0.06% ) 47 ( 0.11% ) 103 年 34 ( 0.09% ) 1,236 ( 2.63% ) 102 年 35 ( 0.07% ) 308 ( 0.60% ) 101 年 123 ( 0.21% ) 378 ( 0.64% )

但是，對於今年的考生而言，亦無須過於驚恐。經過 104 年的指考乙之後，大考中心面對若干的

批評或者略微調整，甚至從鐘擺效應來看，也許試題會回到以往的難度？ 但是無論如何，對於準備指考乙，做好扎實的復習工作，按部就班，才是最好的準備！

年指考 趨 勢 預 測 105 數學乙 文／ 梁勇能老師

南一大考教學誌 2 指考特輯

2 測驗內容

準備指考乙，當然以大考中心公布的三顆星內容為首要的復習重點。

表二：數學乙3顆星的章節

冊 主題 子題 註

一、數與式 2. 數線上的幾何 1. 簡單多項式函數及其圖形 2. 多項式的運算與應用 3. 多項式方程式

二、多項式函數

4. 多項式函數的圖形與 多項式不等式

不含複數問題

1. 指數 2. 指數函數 3. 對數 4. 對數函數

數 學 I

三、指數、對數函數

5. 指數與對數的應用

換底公式不宜牽涉太過技巧

性與不實用的問題

1. 邏輯、集合與計數原理 排列、組合 2. 排列與組合

不含二項式定理

1. 樣本空間與事件 2. 機率的定義與性質

機率

3. 條件機率與貝氏定理

1. 一維數據分析

數 學 II

數據分析 2. 二維數據分析

1. 直線方程式及其圖形 二、直線與圓 2. 線性規劃

不含圓與直線的關係

1. 平面向量的表示法 2. 平面向量的內積

數 學 III

三、平面向量

3. 面積與二階行列式

1. 線性方程組與矩陣 2. 矩陣的運算

數 學 IV

三、矩陣

3. 矩陣的應用

不含平面上的線性變換

1. 隨機的意義 2. 期望值、變異數、標準差 3. 獨立事件 4. 二項分布

數 學 乙 I

一、機率統計Ⅱ

5. 抽樣與統計推論

1. 數列及其極限 數 學 乙 II

一、極限與函數

2. 無窮等比級數

不含夾擠定理、函數的極限

3 數 學 乙

3 指考數學乙準備方向

從近三年的配分來看，分配大致算均勻。因此，準備上不可偏廢。但是從以往的考題來分 析，仍然有熱門的考題，可以多加復習。

表三：近三年各單元配分情況

單元 102年配分 103年配分 104年配分 數與式 8 多項式函數 6 16 16 指數與對數函數 12 6 8 排列、組合 8 8 6 機率 8 16 數據分析 14 6 8 直線與圓 20 20 24 平面向量 8 12 8 矩陣 8 8 8 機率統計 16 極限與函數 8 8 6

以下是一些經常入題的熱門單元：

1. 線性規劃的非選題： 此類的題目很適合命題為「測驗閱讀與表達的能力」。例如：能讀懂題目，並以數學語言表

達題目的涵意及解題的過程，利用生活化情境的題目，加上非選題型，適合分段給分，所以

多做考古題，並練習將解答過程書寫詳細確實，有助於取得分數。 2. 排列組合、機率問題：

每年都會有的題目，根據題意，找出所求的機率或次數。解題有時候不一定需要複雜的技 巧，但是列舉及討論的能力是需要的。

3. 數據分析、統計問題 ( 多選題 )：

此類問題通常搭配圖表的判讀，甚至有新名詞的定義。對於閱讀能力格外吃重，但是這畢竟

不是考文科，也不是要翻譯。因此在理解上側重於新名詞的了解，以及內容中牽涉到數字的

真正意涵。別因為題幹長便怯場，有時候題目的難度反而和字數成反比。準備上可以看一些

書報雜誌上有統計相關的新聞，此外搭上總統大選的列車，信賴區間與信心水準的問題，或

是搭上 PM2.5 的環保議題，都是有可能雀屏中選的題材。 4. 多項式函數問題：

傳統的熱門單元，常見的測驗主題內容:實係數多項式虛根成對、根與係數、因式定理、餘式

定理、二次函數極值問題等，是 CP 值很高的一章，值得多花時間準備。 5. 指對數問題：

地震規模、噪音分貝、細菌成長、單複利問題、成長率等都與指對數有關，此外指對數圖形

的性質或指對數比大小也是命題內容，這也是歷久彌新的常考題。

南一大考教學誌 4 指考特輯

4 結語

面對指考數學乙，先從鞏固基本觀念做起，此時，課本是最佳讀物。接著熟悉大考的題目難

易度及題意敘述，多做歷屆考題。欲磨練解題應變能力，請嘗試各地的模擬考題及大考中心參考

試題。當你按部就班，做好復習，則信心日增，便能”試試”順利。祝福各位考生！

5 數 學 乙

105 學年度指定科目考試模擬試題

數學乙考科

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

題型題數： ● 單選題共 2 題

● 多選題共 5 題

● 選填題共 3 題

● 非選擇題共 2 題

作答方式： ● 選擇題答案請填入後面之答案欄中

● 非選擇題用黑色或藍色筆，在「作答區」上作答

◎註：1. 答錯不倒扣

2. 此份試題本為模擬指定科目考科之測驗形式，

作答方式仍以未來實際之測驗形式為準

版權所有 請勿翻印

教師用

南一大考教學誌 6 指考特輯

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一、單選題（占 12 分） 說明：第 1 題至第 2 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在

答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於

一個選項者，該題以零分計算。

(3) 1. 假設一多項式函數 f (x)＝x105＋2016，則 f (x)÷( x－6 ) 的餘式是幾位數？

( log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771 ) (1) 80 (2) 81 (3) 82 (4) 105 (5) 106

(3) 2. 有二顆公正的正四面體骰子，點數 1，2，3，4 出現的機率皆相同。

現在進行一個遊戲：丟二顆骰子一次，當出現點數皆為 k 時，則獲得積分 k2，若出現二個

不同的點數 m 和 n，則可獲得積分 | m－n |，試問玩一次遊戲，積分的期望值是多少？

(1) 15 2 (2) 10 (3)

25 8 (4)

55 4 (5) 20

二、多選題（占 40 分）

說明：第 3 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫

記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，

得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選

項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

(1)(2) 3. 現有 10 組資料 ( xi , yi )，i＝1，2，…10，μx＝4，μy＝3，且相關係數 rxy＝0.75，若 y 對

x 迴歸直線過 ( 5 , 6 )，則下列哪些選項是正確的？ (1) 迴歸線斜率為 3 (2) 迴歸線過 ( 2 ,－3 ) (3) x 的標準差大於 y 的標準差 (4) 若 x＝7，可預測 y 值＝12 (5) 若增加一組資料，則新的 11 組資料形成的迴歸線必與原迴歸線不同

1. 由餘式定理知： f (x)÷( x－6 ) 的餘式是 f (6)＝6105＋2016，只需考慮 6105 是幾位數。 log 6105＝105×( log 2＋log3 ) ≈ 105×( 0.3010＋0.4771 )＝81.7005， 首數為 81，故代表 82 位數， 故選(3)。

2.

E＝ 1 16 ( 12＋22＋32＋42 )＋1×

6 16 ＋2×

4 16 ＋3×

2 16 ＝

25 8 ，

故選(3)。

3. (1) 由於迴歸線必過 ( μx , μy )＝( 4 , 3 ) ，可知迴歸線斜率為 6－3 5－4 ＝3，因此迴歸線為 y－3＝3 ( x－4 )。

(2) ( 2 ,－3 ) 代入迴歸線方程式，得－6＝3 ( 2－4 )，故符合。

(3) 3＝r σy σx

＝0.75．σy σx

σy＝4σx，所以 x 的標準差小於 y 的標準差。

(4) 若 x＝7，可預測 y 值＝3 ( 7－4 )＋3＝12。 (5) 若增加一組資料恰在原迴歸線上，則新的 11 組資料形成的迴歸線與原迴歸線相同。 故選(1)(2)(4)。

(4)

| m－n | 0 1 2 3 次數 4 6 4 2

7 數 學 乙

(1)(2) 4. 假設 f (x) 是實係數四次多項式，且最高項係數為 1，i＝ －1 ，已知 f ( i＋1 )＝0，且 f (x)＞0 的解為 x＞2 或 x＜1，則下列哪些選項是正確的？

(1) f ( i－1 )≠0 (2) f (π)＞0 (3) y＝f (x) 的圖形與 y 軸交於 ( 0 , 4 ) (4) f (x) 除以 ( x－1 )2 的餘式為－x＋1 (5) f (x)＝2016 有 2 個實根

(1)(2) 5. 若 1＜a＜b＜a3＜200，且 a，b 皆為整數，現在欲使 log a b 為有理數，則 a＋b 可能為多

少？ (1) 6 (2) 12 (3) 18 (4) 20 (5) 30

4. (1) ○：f ( i＋1 )＝0 由虛根成對，可知 f (－i＋1 )＝0，故 f ( i－1 )≠0。 (2) ○：∵π＞2 ∴ f (π)＞0 (3) ○：x＝i＋1 ( x－1 )2＝i2 ( x－1 )2＋1＝0 x2－2x＋2＝0， 可知 f (x) 有因式 x2－2x＋2， 又 f (x)＞0 的解為 x＞2 或 x＜1 可知 f (1)＝0，f (2)＝0， 故可得 f (x)＝( x2－2x＋2 ) ( x－1 ) ( x－2 )。 f (0)＝2×(－1 )×(－2 )＝4 ∴ y＝f (x) 的圖形與 y 軸交於 ( 0 , 4 ) (4) ○：f (x)＝( x2－2x＋2 ) ( x－1 ) ( x－2 )＝［( x－1 )2＋1］( x－1 ) ( x－2 ) ＝( x－1 )2 ( x－1 ) ( x－2 )＋( x－1 ) ( x－2 )＝( x－1 )2 ( x－1 ) ( x－2 )＋( x－1 )2－( x－1 )， 故 f (x) 除以 ( x－1 )2 的餘式為－x＋1。 (5) ○：因為 y＝f (x) 為四次實係數多項式且最高項係數為正，又與 x 軸交於兩點，當 x 逐漸變大時， f (x) 變大，同理，當 x 為負值且逐漸變小時，f (x) 亦變大。 f (x)＝2016 的實根可視為 y＝f (x) 與 y＝2016 兩圖形交點，可知必有兩交點，故有 2 實根。 故選(1)(2)(3)(4)(5)。

5. 由 1＜a＜b＜a3＜200，可知 a 可能為 2，3，4，5。 分類討論： a＝2 時，2＜b＜8，滿足條件的 b＝4 a＋b＝6。 a＝3 時，3＜b＜27，滿足條件的 b＝9 a＋b＝12。 a＝4 時，4＜b＜64，滿足條件的 b＝8，16，32 a＋b＝12，20，36。 a＝5 時，5＜b＜125，滿足條件的 b＝25 a＋b＝30。 故選(1)(2)(4)(5)。

(4)(5)

(3)(4) (5)

南一大考教學誌 8 指考特輯

細懸浮微粒（PM2.5）指標對照表與活動建議 指標等級 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分 類 低 低 低 中 中 中 高 高 高 非常高

PM2.5 濃度 ( μg/m3 )

0～11 12～23 24～35 36～41 42～47 48～53 54～58 59～64 65～70 71

一般民眾 活動建議 正常戶外活動。 正常戶外活動。

任何人如果有不適，如

眼痛，咳嗽或喉嚨痛等

，應該考慮減少戶外活

動。

任何人如果有不適，如

眼痛、咳嗽或喉嚨痛等

，應減少體力消耗，特

別是減少戶外活動。

敏感性族群

活動建議 正常戶外活動。

有心臟、呼吸道及心血

管疾病的成人與孩童感

受到癥狀時，應考慮減

少體力消耗，特別是減

少戶外活動。

1. 有心臟、呼吸道及 心血管疾病的成人 與孩童，應減少體 力消耗，特別是減 少戶外活動。 2. 老年人應減少體力 消耗。 3. 具有氣喘的人可能 需增加使用吸入劑 的頻率。

1. 有心臟、呼吸道及 心血管疾病的成人 與孩童，以及老年 人應避免體力消耗 ，特別是避免戶外 活動。 2. 具有氣喘的人可能 需增加使用吸入劑 的頻率。

(1)(2) 6. 環保署自 2014 年 10 月 1 日起實施「細懸浮微粒 ( PM2.5 ) 指標」，提供民眾日常生活上

之活動建議，即時細懸浮微粒 ( PM2.5 ) 指標計算方式：0.5×前 12 小時平均＋ 0.5×前 4 小時平均。現在某地區前 12 個小時的懸浮微粒指標資訊如下： 時間 6～7 7～8 8～9 9～10 10～11 11～12 12～13 13～14 14～15 15～16 16～17 17～18

PM2.5 濃度

( μg/m3 ) 42 12 43 25 30 56 76 60 31 34 20 27

試問下列哪些選項是正確的？ (1) 按照細懸浮微粒 ( PM2.5 ) 指標計算方式，則當下所得到的 PM2.5 濃度為 33 (2) 適合敏感性族群正常戶外活動的時間有 7 個小時 (3) 若一呼吸道過敏的人想要到戶外運動，可以選擇 7～8 時 (4) 前 12 小時中達到中、高級程度的比例超過一半 (5) 達到最高等級的時段是中午 12～13 時

6. (1) PM2.5： ( 42＋12＋43＋25＋30＋56＋76＋60＋31＋34＋20＋27 )÷12＝38， ( 31＋34＋20＋27 )÷4＝28， 濃度為 38×0.5＋28×0.5＝33。 (2) 適合敏感性族群正常戶外活動的時間為分類等級低 (＜35 ) 的時間， 故有 07～08，09～10，10～11，14～15，15～16，16～17，17～18 共 7 個小時。 (3) 一呼吸道過敏的人想要到戶外運動，需選擇等級低的時間，故 07～08 為合適時段。 (4) 前 12 小時中達到中、高級程度時間有 5 個小時，其比例少於一半。 (5) 達到最高等級的時段是中午 12～13 時。 故選(1)(2)(3)(5)。

(3)(5)

9 數 學 乙

(3)(5) 7. 現有甲乙丙丁四個隊伍，依照 (a)(b)(c) 三種賽程表進行比賽，假設甲隊勝其它

三隊的機率都是 2 3 ，乙隊勝其它三隊的

機率都是 1 3 ，且丙隊勝丁隊的機率是

1 2 ，

假設不會出現和局的結果。試問下列哪些選項是正確的？ (1) 甲隊應選擇賽程(a)最有利 (2) 乙隊選擇賽程(b)最不利

(3) 丙隊利用賽程(c)獲得冠軍的機率為 7

27

(4) 丁隊在三種賽程中獲得冠軍的機率都相等 (5) 利用賽程表(a)時，甲丙兩隊在冠軍戰遭遇的機率小於利用賽程表(c)時的機率

三、選填題（占 24 分） 說明：1. 第 A 至 C 題，將答案畫記在答案卡之「選擇 ( 填 ) 題答案區」所標示的列號

( 8～13 )。 2. 每題完全答對給 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 設有一無窮等比級數，首項為 7，公比為 0.5a─

，a∈ ，且 1≤ a ≤ 9，若其值為 12＋a，試求 a 值為 ○8_______。

B. 假設 f (x)＝－x2＋ax＋b 的最大值為 9，且其圖形與 x 軸交於 A，B 二點，且頂點為 C，則

△ABC 的面積為 ○9 ○10_________。

B. －

a2＋4b －4 ＝9，a2＋4b＝36，C 點坐標 ( k , 9 )。

令 y＝0 代入－x2＋ax＋b＝0 有兩根α，β恰好是 A，B 兩點的 x 坐標，

則 AB ＝ (α－β)2 ＝ (α＋β)2－4αβ ＝ a2＋4b ＝ 36 ＝6， 故△ ABC＝9×6÷2＝27。

7. (1) ×：甲隊在每個賽程表中獲得冠軍的機率都是 2 3 ×

2 3 ＝

4 9 。

(2) ×：乙隊在每個賽程表中獲得冠軍的機率都是 1 3 ×

1 3 ＝

1 9 。

(3) ○：丙隊在賽程表(c)中，勝甲得冠軍或勝丁得冠軍 2 3 ×

2 3 ×

1 3 ＋

1 3 ×

2 3 ×

1 2 ＝

7 27 。

(4) ×：在賽程表(a)中，丁隊得到冠軍的機率為 1 2 ×

2 3 ×

1 3 ＋

1 2 ×

1 3 ×

2 3 ＝

2 9 ，

在賽程表(c)中，丁隊得到冠軍的機率為 1 3 ×

1 3 ×

2 3 ＋

1 3 ×

2 3 ×

1 2 ＝

2＋3 27 ＝

5 27 ，

兩者的機率並不相同。

(5) ○：賽程表(a)時，甲丙兩隊在冠軍戰遭遇的機率為 2 3 ×

1 2 ＝

1 3 ，

賽程表(c)時，甲丙兩隊在冠軍戰遭遇的機率為 2 3 ×

2 3 ＝

4 9 。

故選(3)(5)。

A. 0.5a─

＝ 50＋a－5

90 ＝ 45＋a

90 ，

總和： 7

1－ 45＋a

90 ＝12＋a

7 45－a

90 ＝12＋a

630 45－a ＝12＋a a2－33a＋90＝0，( a－3 ) ( a－30 )＝0

∴ a＝3 或 30 ( 不合 )

南一大考教學誌 10 指考特輯

C. 平面上有△ABC，若點 P 滿足 PA ＋2 PB ＋3 PC ＝k AB ，若欲使 P 點在△ABC 內部，則 k 的範圍為 ○11 ○12 ＜k＜○13_______________。

第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、二）

與子題號（(1)、(2)、…），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零 分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。每一子題配分標

於題末。

一、假設 I＝

1 0

0 1 ，A＝

0 1

－1 0 ，B＝

a 1

1 b 滿足 BAB＝A。

(1) 求 a，b 的關係式。 （6 分） (2) 若 B 又滿足 B＋B－1＝－3I，求 B＝？ （6 分）

二、南一食品廠現有腰果 78 公斤、杏仁 80 公斤、核桃 150 公斤。現在要製作兩種堅果綜合包，

其中健康堅果包的各種堅果混合比例是 ( 腰果 )：( 杏仁 )：( 核桃 )＝3：2：5；而另一種快

樂堅果包的比例則是 ( 腰果 )：( 杏仁 )：( 核桃 )＝1：2：3，若健康堅果包每公斤可賺 24元，快樂堅果包每公斤可賺 20 元。試問：應混合出健康堅果包、快樂堅果包各多少公斤，

才能獲得最高利潤？並求最高利潤。 （12 分）

C. PA ＋2 PB ＋3 PC ＝k ( PB － PA ) ( 1＋k ) PA ＋( 2－k ) PB ＋3 PC ＝ 0 。 若 P 在△ ABC 內部，則 PA ＋m PB ＋n PC ＝ 0 中各項係數 ，m，n 需同時為正或同時為負， 故 ( 1＋k )＞0，( 2－k )＞0，可得－1＜k＜2。

一. (1)

a 1

1 b

0 1

－1 0

a 1

1 b ＝

－1 a

－b 1

a 1

1 b ＝

0 －1＋ab

－ab＋1 0 ＝

0 1

－1 0

∴ ab－1＝1 ab＝2

(2) B－1＝ 1

ab－1

b －1

－1 a ＝ 1

2－1

b －1

－1 a ＝

b －1

－1 a ，

B＋B－1＝

a 1

1 b ＋

b －1

－1 a ＝

a＋b 0

0 a＋b ＝

－3 0

0 －3 ，

a＋b＝－3。 由(1)知 ab＝2 且 a＋b＝－3，解得 a＝－1，－2，

故 B＝

－1 1

1 －2 ，

－2 1

1 －1 。

二. 假設混合出健康堅果包 x 公斤，快樂堅果包 y 公斤。 列出不等式組

3 10 x＋

1 6 y 78

1 5 x＋

1 3 y 80

1 2 x＋

1 2 y 150

x 0，y 0

，

畫出可行解區域，並找出頂點， 目標函數 P＝24x＋20y 有最大值， 由頂點法

( x , y ) ( 260 , 0 ) ( 210 , 90 ) ( 150 , 150 ) ( 0 , 240 ) P 6240 6840 6600 4800

故知混合出健康堅果包 210 公斤，快樂堅果包 90 公斤， 可得最高利潤 6840 元。

11 數 學 乙

答 案

第壹部分：選擇題

1. 3 2. 3 3. 124 4. 12345 5. 1245 6. 1235 7. 35 8. 3 9. 2 10. 7

11. － 12. 1 13. 2

第貳部分：非選擇題

1. (1) ab＝2；(2) B＝

－1 1

1 －2 ，

－2 1

1 －1 。

2. 健康堅果包 210 公斤，快樂堅果包 90 公斤，可得最高利潤 6840 元。

解 析

第壹部分：選擇題 一、單選題 1. 答案 3

解析 由餘式定理知： f (x)÷( x－6 ) 的餘式是 f (6)＝6105＋2016， 只需考慮 6105 是幾位數。 log 6105＝105×( log 2＋log3 ) ≈105×( 0.3010＋0.4771 ) ＝81.7005， 首數為 81，故代表 82 位數， 故選(3)。

2. 答案 3 解析

E＝ 1 16 ( 12＋22＋32＋42 )＋1×

6 16 ＋

2× 4 16 ＋3×

2 16

＝ 25 8 ，

故選(3)。

二、多選題 3. 答案 124

解析 (1) 由於迴歸線必過 ( μx , μy )＝( 4 , 3 )，

可知迴歸線斜率為 6－3 5－4 ＝3，

因此迴歸線為 y－3＝3 ( x－4 )。 (2) ( 2 ,－3 ) 代入迴歸線方程式， 得－6＝3 ( 2－4 )，故符合。

(3) 3＝r σy σx

＝0.75．σy σx

σy＝4σx，

所以 x 的標準差小於 y 的標準差。 (4) 若 x＝7，可預測 y 值＝3 ( 7－4 )＋3＝12。 (5) 若增加一組資料恰在原迴歸線上， 則新的 11 組資料形成的迴歸線與原迴歸 線相同。 故選(1)(2)(4)。

4. 答案 12345 解析 (1) ○：f ( i＋1 )＝0 由虛根成對，

可知 f (－i＋1 )＝0，故 f ( i－1 )≠0。 (2) ○：∵π＞2 ∴ f (π)＞0 (3) ○：x＝i＋1 ( x－1 )2＝i2 ( x－1 )2＋1＝0

x2－2x＋2＝0，

數學乙 指定科目考試模擬試題

| m－n | 0 1 2 3 次數 4 6 4 2

南一大考教學誌 12 指考特輯

可知 f (x) 有因式 x2－2x＋2， 又 f (x)＞0 的解為 x＞2 或 x＜1 可知 f (1)＝0，f (2)＝0，故可得 f (x)＝( x2－2x＋2 ) ( x－1 ) ( x－2 )。 f (0)＝2×(－1 )×(－2 )＝4 ∴ y＝f (x) 的圖形與 y 軸交於 ( 0 , 4 ) (4) ○：f (x)＝( x2－2x＋2 ) ( x－1 ) ( x－2 ) ＝［( x－1 )2＋1］( x－1 ) ( x－2 ) ＝( x－1 )2 ( x－1 ) ( x－2 )＋ ( x－1 ) ( x－2 ) ＝( x－1 )2 ( x－1 ) ( x－2 )＋ ( x－1 )2－( x－1 )， 故 f (x) 除以 ( x－1 )2 的餘式為－x＋1。 (5) ○：因為 y＝f (x) 為四次實係數多項式 且最高項係數為正，且與 x 軸交於兩 點，當 x 逐漸變大時，f (x) 變大， 同理，當 x 為負值且逐漸變小時， f (x) 亦變大。 f (x)＝2016 的實根可視為 y＝f (x) 與 y＝2016 兩圖形交點， 可知必有兩交點。故有 2 實根。 故選(1)(2)(3)(4)(5)。

5. 答案 1245 解析 由 1＜a＜b＜a3＜200，

可知 a 可能為 2，3，4，5。 分類討論： a＝2 時， 2＜b＜8，滿足條件的 b＝4 a＋b＝6。 a＝3 時， 3＜b＜27，滿足條件的 b＝9 a＋b＝12。 a＝4 時， 4＜b＜64，滿足條件的 b＝8，16，32 a＋b＝12，20，36。 a＝5 時， 5＜b＜125，滿足條件的 b＝25 a＋b＝30。 故選(1)(2)(4)(5)。

6. 答案 1235 解析 (1) PM 2.5：

( 42＋12＋43＋25＋30＋56＋76＋60＋31 ＋34＋20＋27 )÷12＝38， ( 31＋34＋20＋27 )÷4＝28， 濃度為 38×0.5＋28×0.5＝33。 (2) 適合敏感性族群正常戶外活動的時間為分

類等級低 (＜35 ) 的時間， 故有 07～08，09～10，10～11，14～15， 15～16，16～17，17～18， 共 7 個小時。 (3) 一呼吸道過敏的人想要到戶外運動， 需選擇等級低的時間， 故 07～08 為合適時段。

(4) 前 12 小時中達到中、高級程度時間有 5 個小時，其比例少於一半。 (5) 達到最高等級的時段是中午 12～13 時。 故選(1)(2)(3)(5)。

7. 答案 35 解析 (1) ×：甲隊在每個賽程表中獲得冠軍的機率

都是 2 3 ×

2 3 ＝

4 9 。

(2) ×：乙隊在每個賽程表中獲得冠軍的機率

都是 1 3 ×

1 3 ＝

1 9 。

(3) ○：丙隊在賽程表(c)中， 勝甲得冠軍或勝丁得冠軍

2 3 ×

2 3 ×

1 3 ＋

1 3 ×

2 3 ×

1 2 ＝

7 27 。

(4) ×：在賽程表(a)中，丁隊得到冠軍的機率為

1 2 ×

2 3 ×

1 3 ＋

1 2 ×

1 3 ×

2 3 ＝

2 9 ，

在賽程表(c)中，丁隊得到冠軍的機率為

1 3 ×

1 3 ×

2 3 ＋

1 3 ×

2 3 ×

1 2

＝ 2＋3

27 ＝ 5 27 ，

兩者的機率並不相同。 (5) ○：賽程表(a)時， 甲丙兩隊在冠軍戰遭遇的機率為

2 3 ×

1 2 ＝

1 3 ，

賽程表(c)時， 甲丙兩隊在冠軍戰遭遇的機率為

2 3 ×

2 3 ＝

4 9 。

故選(3)(5)。

三、選填題 A. 答案 3

解析 0.5a─

＝ 50＋a－5

90 ＝ 45＋a

90 ，

總和： 7

1－ 45＋a

90 ＝12＋a

7

45－a 90

＝12＋a 630

45－a ＝12＋a

a2－33a＋90＝0，( a－3 ) ( a－30 )＝0 ∴ a＝3 或 30 ( 不合 )

B. 答案 27

解析 － a2＋4b

－4 ＝9，a2＋4b＝36，C 點坐標 ( k , 9 )。

令 y＝0 代入－x2＋ax＋b＝0 有兩根α，β 恰好是 A，B 兩點的 x 坐標，

則 AB ＝ (α－β)2 ＝ (α＋β)2－4αβ

＝ a2＋4b ＝ 36 ＝6， 故△ ABC＝9×6÷2＝27。

13 數 學 乙

C. 答案 －1＜k＜2

解析 PA ＋2 PB ＋3PC＝k ( PB － PA )

( 1＋k ) PA ＋( 2－k ) PB ＋3PC＝ 0 。 若 P 在△ ABC 內部，則 PA ＋m PB ＋nPC＝ 0 中各項係數 ，m，n

需同時為正或同時為負， 故 ( 1＋k )＞0，( 2－k )＞0，可得－1＜k＜2。

第貳部分：非選擇題

1. 答案 (1) ab＝2；(2)

－1 1

1 －2 ，

－2 1

1 －1

解析 (1)

a 1

1 b

0 1

－1 0

a 1

1 b

＝

－1 a

－b 1

a 1

1 b

＝

0 －1＋ab

－ab＋1 0 ＝

0 1

－1 0

∴ ab－1＝1 ab＝2

(2) B－1＝ 1

ab－1

b －1

－1 a

＝ 1

2－1

b －1

－1 a ＝

b －1

－1 a ，

B＋B－1＝

a 1

1 b ＋

b －1

－1 a

＝

a＋b 0

0 a＋b ＝

－3 0

0 －3 ，

a＋b＝－3。 由(1)知 ab＝2，且 a＋b＝－3， 解得 a＝－1，－2，

故 B＝

－1 1

1 －2 ，

－2 1

1 －1 。

2. 答案 健康堅果包 210 公斤；

快樂堅果包 90 公斤，

可得最高利潤 6840 元 解析 假設混合出健康堅果包 x 公斤，

快樂堅果包 y 公斤。

列出不等式組

3 10 x＋

1 6 y 78

1 5 x＋

1 3 y 80

1 2 x＋

1 2 y 150

x 0，y 0

，

畫出可行解區域( 如下圖 )，並找出頂點， 目標函數 P＝24x＋20y 最大值，

由頂點法 ( x , y ) ( 260 , 0 ) ( 210 , 90 ) ( 150 , 150 ) ( 0 , 240 )

P 6240 6840 6600 4800 故知混合出健康堅果包 210 公斤， 快樂堅果包 90 公斤。 可得最高利潤 6840 元。

南一大考教學誌 14 指考特輯

15 數 學 乙

南一大考教學誌 16 指考特輯