探索矩形的性质探索矩形的性质

2007.4.13

2007.4.13

我是平行四边形 ,你记得我的角、边、对角线都有哪些性质吗 ?

概念 : 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 .

两组对边分别平行，即 : AD BC∥ ， AB CD∥ ；

两组对边相等，即 : AB=CD ， AD=BC ；

对角相等，即 : DAB= BCD ∠ ∠ ， ∠ ABC= CDA∠ ；

对角线互相平分，即： OA=OC ， OB=OD 。

A D

B C

O

回答正确 ,真棒 !

回回顾顾：：

AA

BB CC

DD

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

AA

BB CC

DD动手操作：

矩形：

木门 纸张 电脑显示器

有一个角是直角的特殊平行四边形。

实质上：　　　矩形是特殊的平行四边形。

如图，四边形如图，四边形 ABCDABCD 是矩是矩形。形。

OO探索性质：探索性质： AA

BB CC

DD

(1)(1) 矩形的四个角的度数分别为多少？矩形的四个角的度数分别为多少？

(2)(2) 对角线对角线 ACAC 与与 BDBD 间有什么关间有什么关系？系？

1 、矩形的四个角都是直角。

2 、矩形的对角线相等。矩形的性质定理：

A

B C

D已知：四边形 ABCD 是矩形，∠ A ＝ 900 。 求证：∠ A= ∠B = ∠C=∠D=900 。

证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形∴ AD∥BC

∴ ∠A+ ∠B=1800又∵ ∠ A ＝ 900

∴ ∠B ＝ 900又∵ ∠ A = ∠C ， ∠ B = ∠D （矩形的对角相等）∴ ∠A= ∠B = ∠C=∠D=900

即 矩形的 四个角都是直角。

定理 1 、矩形的四个角都是直角。

A

B C

D

已知： AC,BD 是矩形的对角线。求证： AC=BD 。证明：在矩形 ABCD 中， ∵ AB=CD( 平行四边形的对边相等） ∠BAD=∠CDA=Rt∠ （矩形的每个角都是直角） AD=DA

∴ Rt△BAD≌ Rt△CDA(SAS)∴ AC=BD.

即 矩形的对角线相等。

思考：性质定理（ 2 ）的证明还可以采用什么方法？

定理 2 ：矩形的对角线相等。

证法二：

2

1

A

B C

D

O

已知： AC,BD 是矩形的对角线。

求证： AC=BD 。

在矩形 ABCD 中， AC 、 BD 是对角线

2

1

2

1

2

1

即 BD = AC .

∴ OB+OD= AC+

AC = AC,

∴ OB= AC ， OD= AC ，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

∵∠ABC= ADC=Rt , OA=OC, OB=OD∠ ∠

邻边：互相垂直

（ 3）对角线：

A

B C

D

四个角都是直角 　　　　互相平分

相 等　　　 　　　　

（ 2）角：

对边： 平行 相等　　　　 　　　　

（ 1）边：（共性）（共性）（共性）（共性）

（特性）（特性）

（特性）（特性）

（特性）（特性）（共性）（共性）

O矩形特征：

运用性质：

思考：如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC、 BD相交于点 O.（ 1）你能发现ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ这四条线段有什 么关

系吗？（ 2）图中有多少个等腰三角形？有多少对全等三角形？

A D

BC

O

解：（ 1 ） OA=OB=OC=OD ;

（ 2 ）有四个等腰三角形； 有八对全等三角形： △ AOB COD, AOD BOC, ≌△ △ ≌△

ABD ACD, ABD BCD, ABD ABC,△ ≌△ △ ≌△ △ ≌△△ACD BCD , ACD ABC , ABC BCD .≌△ △ ≌△ △ ≌△

例 1 、已知：如图：在矩形 ABCD 中，对角线AC 、 BD 相交于点 O, ∠AOD=120° ， AB=4cm 。 （ 1 ）判断△ AOB 的形状； （ 2 ） 求 BD 与 AD 的长。

O

A

B C

D

解 : (1) (2)∵ AB=4cm, ∴AC=BD=2AB=8cm.

在 Rt△BAD 中，根据勾股定理，得：

22 48 1664

48∴ )(34 cmAD

答： BD=8cm ，

222 ABBDAD

)(34 cmAD

学以致用： 如图，矩形 ABCD 的对角

线 AC 、 BD 相交于 O ，∠ BOC=2 AOB∠ ，若 AC=6cm, 试求 AB 的长。

A

B C

D

O

想一想：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴 ?

是中心对称图形吗？矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。

A

B C

D

矩形也是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点。

DA

B C

O

练一练：练一练：(1) (1) 已知矩形的周长是已知矩形的周长是 14cm14cm，相邻两边的差是，相邻两边的差是 1cm1cm，，那么这个矩形的面积是多少？那么这个矩形的面积是多少？

(2) (2) 矩形的一对角线与一边的夹角是矩形的一对角线与一边的夹角是 50o50o，则这两条对，则这两条对角线所夹的锐角为角线所夹的锐角为 ______________80o80o

12cm212cm2

（（ 33 ）已知）已知 :: 如图如图 ,, 过矩形过矩形 ABCDABCD 的顶点作的顶点作 CD//BDCD//BD ，，交 交 ABAB 的延长线于的延长线于 EE 。 求证：∠。 求证：∠ CAE= CEA.∠CAE= CEA.∠

OO

AA BB

CCDD

EE

(4) (4) 如图，在矩形如图，在矩形 ABCDABCD中，中， DE⊥ACDE⊥AC，，

，那么，那么1

2ADE CDE _______BDC 30o30o

通过今天的学习，你能谈谈你的收获吗？还有哪些困惑？

小结：矩形的性质：

A

B C

D

O

（共性）（共性）

（特性）（特性）

（特性）（特性）（共性）（共性）

（ 1）边：

（ 3）对角线：

四个角都是直角 　　　　互相平分

相 等　　　 　　　　

（ 2）角：

对边： 平行 相等　　　　 　　　　

（（共性共性））

（特性）（特性）邻边：互相垂直

谢谢大家！谢谢大家！