第二节 函数的微分法
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第二章 导数与微分. 第二节 函数的微分法. 一、导数的四则运算. 二、复合函数的微分法. 一、导数的四则运算. 定理 1 设函数 u ( x ) 、 v ( x ) 在 x 处可导 ，. 则它们的和 、 差 、 积与商. 在 x 处也可导，. 且. ( u ( x ) v ( x ) ) = u ( x ) v ( x );. ( u ( x ) v ( x ) ) = u ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ( x );. 证 上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个．. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
高等数学
第二节 函数的微分法第二节 函数的微分法
一、导数的四则运算一、导数的四则运算
二、复合函数的微分法二、复合函数的微分法
第二章 导数与微分第二章 导数与微分
高等数学
定理 1 设函数 u(x) 、 vx 在 x 处可导， )0)((
)(
)(xu
xu
xv
在 x 处也可导，(u(x) v(x)) = u(x) v (x);(u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);
.)]([
)()()()(
)(
)(2xu
xvxuxvxu
xu
xv
一、导数的四则运算一、导数的四则运算
且则它们的和、差、积与商
高等数学
证 上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个．
因为 u (x + x) - u(x) = u ，即 u (x + x) = u(x) +
u ，同理有 v (x + x) = v(x) + v .
y = u(x)v(x) ，令
则 y = u(x + x) v(x + x) u(x)v(x) = [u(x) + u] · [v(x) + v]u(x)v(x)
= u(x)v + v(x)u + u v .
高等数学
,lim)( 0 x
uxu
x
因为 ,lim)(0 x
vxv
x
所以
v
x
u
x
uxv
x
vxu
x
yxx
)()(limlim00
vx
u
x
uxv
x
vxu
xxxx
0000
limlimlim)(lim)(
).()()()( xvxuxvxu
高等数学
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数 ).
推论 2 .)(
)(
)(
12 xu
xu
xu
高等数学
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4) ，(5cos x) = 5(cos x) ， (cos x) = - sin x ，(ex) = ex ， (1) = 0 ，故 f (x) = (3x4 ex + 5cos x 1)
= (3x4) (ex ) + (5cos x) (1)
= 12x3 ex 5sin x .
f (0) = (12x3 ex 5sin x)|x=0 = 1
又 (x4) = 4x3 ，
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1 ，求 f (x) 及 f (0).
高等数学
例 2 设 y = xlnx ， 求 y .
解 根据乘法公式，有
y = (xlnx)= x (lnx) (x)lnx
xx
x ln11
.ln1 x
高等数学
解 根据除法公式，有
22
22
2 )1(
)1()1()1)(1(
1
1
x
xxxx
x
xy
例 3 设 ,1
12
x
xy 求 y .
22
22
)1(
)1]()1()[(])1())[(1(
x
xxxx
.)1(
12
)1(
)1(2)1(22
2
22
2
x
xx
x
xxx
高等数学
例 4 设 f (x) = tan x ，求 f (x).
x
xxxf
cos
sin)(tan)(
x
xxxx2cos
sin)(cos)(sincos
.seccos
1
cos
sincos 222
22
xxx
xx
即
同理可得(tan x) = sec2x .(cot x) = - csc2x .
解
高等数学
例 5 设 y = sec x ，求 y .
解 根据推论 2 ，有
xxy
cos
1)(sec
.sectancos
sin2
xxx
x
即
同理可得
(sec x) = sec x tan x .(csc x) = - csc x cot x .
x
x2cos
)(cos
高等数学
,1
1)(arcsin
2xx
另外可求得
,1
1)(arccos
2xx
,1
1)(arctan
2xx
.1
1)cotarc(
2xx
( 以后补证 )
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二、复合函数的微分法二、复合函数的微分法
定理 2 设函数 y = f (u) ， u = (x) 均可导，
则复合函数 y = f ( (x)) 也可导 .
且
，)()( xufyx
.d
d
d
d
d
d
x
u
u
y
x
y
，xux uyy
或
或
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x
u
u
y
x
yxx 00
limlimx
u
u
yxx
00
limlim
，xuxu
uyx
u
u
y
00
limlim
.xux uyy 即
证 设变量 x 有增量 x ，
.0lim0
ux
所以
由于 u 可导， 相应地变量 u
有增量 u ，从而 y 有增量 y.
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推论 设 y = f (u) ， u = (v) ， v = (x)
均可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导，
.xvux vuyy
且
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例 6 设 y = (2x + 1)5 ，求 y
. 解 把 2x + 1 看成中间变量 u ，
y = u5 ， u = 2x +
1复合而成，,5)( 45 uuy u
.2)12( xux所以
.)12(1025 44 xuuyy xux
将 y = (2x + 1)5 看成是
由于
高等数学
例 7 设 y = sin2 x ，求 y
. 解 这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利用乘法的导数公式，将 y = sin2 x 看成是由 y = u2 ， u = sin x 复合而成 .
而
,2)( 2 uuy u .cos)(sin xxux
所以
.cossin2cos2 xxxuuyy xux
这里，我们用复合函数求导法 .
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解 y = etan x 可以看成是由 y = eu ， u = tan
x 复合而成，所以
xuu
xux xuyy )(tan)e(
.esecsece tan22 xu xx
例 9 设 y = etan x ，求 y
.
复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出 .
高等数学
求 y .,1 2xy 设
解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中 .
. )1(2
1
2
1)( 2
122
1
也在心中运算
xuuyu
这样可以直接写出下式
xx xxy
)1()1(2
1 22
12 .
1 2x
x
例 10
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例 12 设 f (x) = arcsin(x2) ，求 f (x).
解 xxx
xf
)(1
1)( 2
4.
1
24x
x
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例 13 ,sinln xy 设 求 y .
解 这个复合函数有三个复合步骤. ,sin ,ln xvvuuy
把这些中间变量都记在脑子中．
xx xx
xy )(sinsin
1)(
xxxx
)(cossin
1.cot
2
1x
x
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例 15 ,e xxy 设 求 y .
解
xxx
x xxy )e()e(2
12
1
xx
xx xx )e()()e(
2
1 2
1
xxx xx )(e1)e(
2
1 2
1
).e1()e(2
1 2
1xxx
高等数学
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则 .
22
22
)1(
)1(1)(
x
xxxxy
2
2
2
11
221
1
x
xx
xx
.
)1(
1
)1(1
)1(
2
32
22
22
xxx
xx
例 16 , 求 y .21 x
xy
设
高等数学
例 17 设 y = sin(xln x) ，求 y .
解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) · (xln x)
= cos(xln x) · (x · (ln x) + x ln x )
= (1 + ln x)cos(x ln x) .
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例 19 ])1[ln( 2 xx求
解 先用复合函数求导公式， 再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数 的求导 .21 x
])1[ln( 2 xx
)1(1
1 2
2xx
xx
])1(1[1
1 2
2
x
xx
22 11
1
1
x
x
xx
.1
12x
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例 20 设 y = sh x ，求 y .
解 ])e()e[(2
1
2
ee)sh(
xx
xx
xy
))(ee(2
1 xxx
.ch)ee(2
1xxx
即 (sh x) = ch x .
同理可得 (ch x) = sh x .
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补证一下 (x) = x -1 .
，因为 ee lnln xxx
所以 (x) = (elnx)
= elnx · (ln x)
xx 1
e ln
.1 1 xx
x