空间解析几何

第六章

§1 　空间直角坐标系§1 　空间直角坐标系

直线上的坐标系 有向线段 空间直角坐标系

一、直线上的坐标系 有向线段一、直线上的坐标系 有向线段一、直线上的坐标系 有向线段一、直线上的坐标系 有向线段

1. 直线上的坐标系

中学代数和解析几何课程里，曾经介绍过数轴和直线上坐标系的概念。在直线上，任意选定一个原点Ｏ，一个正向（正向有两种可能的情形），和一个单位长度，该直线就叫做数轴。

o1 x

原点 O 把直线分为两个有向半线，从 O 出发，沿正向的半线叫做正半轴，沿相反方向的半线叫做负半轴。直线上任意一点 P 可以用这样一个实数 x 表示：

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a) 当 P 和 O 重合（ P=O ）时， x=0b) 当 P O 而在正半轴上时，c) 当 P O 而在负半思上时，

0x OP ��������������

0x OP ��������������

在这里， 表示线段 OP 的长；在一切情况下， |x|= , 直线上的点和实数之间建立了一种“ 一一对应关系”，即不但直线上每一点 P 之间确定唯一的一个实数 x, 而且倒转过来一个实数 x 显然也确定直线上唯一的一点 P ，因此，直线称为数轴。

OP0OP

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由上可知，对应于数轴上一点 P 的实数 x 也叫做 P 点的坐标，这个事实我们用 P(x) 表示这样，数轴也可以称为坐标轴，用 O x 表示。换句话说，在直线上，一个原点，一个正向，一个单位长就确定了它上面的一个坐标系

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2. 2. 有向线段有向线段2. 2. 有向线段有向线段

坐标轴 O x 是有向线段，它上面的线段也可以是有向线段：若 P1, P2 为 O x 上任意两点，我们用 表示由 P1 到 P2 的有向线段（用 表示有向线段，以便和下一节的向量记号一致，因为有向向段本质上是向量）； P1 是它的始点， P2 是为它的终点。此外我们用 P1 P2 代表有向线段在坐标轴 O x 的代数长。其定义如下：

21PP AB

21PP

1 ）若 P1,=P2 ，令 （ 0 表示零线段），则021 PP 021 PP

21PP2 ）若 与 O x 方向相同，则 2121 PPPP

21PP3 ）若 与 O x 方向相反，则 2121 PPPP

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由定义易验证等式：

12211221 , PPPPPPPP 若 P1,P2,P3 为 Ox 轴上任意三点，则有向线段 21PP

32PP的终点总是有向线段 的始点，因此无论这三点在 Ox 轴上的顺序始何，很自然地令 为它们的和：

31PP

)1()2(

0,0

)2(,

31

133221133221

313221313221

即时当

或

，PP

PPPPPPPPPPPP

PPPPPPPPPPPP

（ 1 ）

根据数轴 Ox 上一点的坐标的定义和有向线段代数长的定义，若 P 点坐标是 X ，则它就是有向线段 xOPOP :的代数长 (3)

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定理定理 Ox 轴上有向线段 的代数长等于终点坐标减去始点坐标，即 1221 xxPP

21PP

证明 根据（ 3 ），有 2211 , xOPxOP

根据（ 2 ）又有 2121 OPOPPP

(4)(5)

(6)

根据（ 1 ），（ 5 ）有

22111 , xOPxOPOP 代入（ 6 ）得（ 4 ）的证明。

由上述定理，可以看出有向线段的长是|| 2121 xxPP

二 、空间直角坐标系二 、空间直角坐标系二 、空间直角坐标系二 、空间直角坐标系

对于二维空间 , 我们引入相应直角坐标系

的途径是通过平面一定点 作两条互相垂直的

数轴而成 . 对于三维空间 , 我们可类似地建立

相应的空间直角坐标系 , 即过空间中一定点 O,

作三条互相垂直的数轴 , 它们以 O 为公共原点且具有相同的单位长度 , 这三条数轴分别称为x 轴 , y 轴 , z 轴 , 都统称为数轴 .

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1. 1. 直角坐标系的建立直角坐标系的建立1. 1. 直角坐标系的建立直角坐标系的建立

数轴正向不同 , 可建立不同的直角坐标系 . 如

0 x

y

z

0

x

y

z

0 x

z

y

0

x

y

z

为统一起见 , 我们用右手法则确定其正向 .

O

x y

z

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主要名称与记号 : 主要名称与记号 :

坐标平面 : 三个坐标轴中任意两条坐标轴

所确定的平面 .

xoy 平面 , yoz 平面 , zox 平面 .

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2.2. 空间点与数组的一一对应空间点与数组的一一对应2.2. 空间点与数组的一一对应空间点与数组的一一对应

空间点在空间直角坐标系中的表示法 .

R

Q

P

O

x

y

z

M

x

y

z 如此 , 记 P, Q, R在 x 轴 ,

y 轴 , z 轴上的坐标

依次为 x, y, z.因此 , 点 M

一一对应于 有序数组(x, y, z).

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点 M (x, y, z) 记为 M (x, y, z)

横坐标 纵坐标 竖坐标 x, y, z 称为 M 的坐标 .

卦限 : 三个坐标平面将空间分为 八个部分 ,

每一部分叫做一个卦限 . 点在各卦限中坐标的符号：

I (+, +, +)

VII

VIII

II (, +, +)

III (, , +)

IV (+, , +)

V (+, +, )VI (, +, )

(, , )(+, , )

Ⅶ x

yo

z

xoy面

yoz面zox 面

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅷ

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三、空间两点间的距离三、空间两点间的距离三、空间两点间的距离三、空间两点间的距离

M1M2 = OM2 OM1 .

现求 M1 , M2 两点间的距离 .

设 M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), 为空间两点 , 连 M1 ,

M2 得向量 M1M2, 由三角形法则

由图知 , 为以M1QNP 为 底 , M1R

为高的长方体的一条对角线的长度 .

P

O

x

y

zR

QR1

R2

P2

P1

Q1Q2

M2M1

N

上一张 下一张

由勾股定理

221

2 |||| MM

21

21

21 |||||||||||| RMQMPM

212

212

212 |||||||||||| OROROQOQOPOP

，212

212

212 )()()( zzyyxx

.)()()( 212

212

212 zzyyxx

21

21 |||||||| RMNM

P

O

x

y

zR

QR1

R2

P2

P1

Q1Q2

M2M1

N

上一张 下一张

例 1. 求在 z 轴上与两点 A(4, 1, 7) 和 B(3, 5, 2)

等距的点 .

解 : 设所求点为 (0, 0, z), 则

(40)2

= 34 4 4z z2 ,

18z = 28,

).9

14 ,0 ,0(故所求点为

(10)2 (7 z)2 = (30)2 (50)2 (2 z)2

17 49 14z z2

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