93

六、解難的評估 數學解難與探究

評估是解難活動中不可或缺的部分。 然而，評估的主要目的就是了解學生的學習情況

以回饋教與學。 適當的評估活動除了有助教師及時了解學生對解難活動的認識，同時

亦能幫助教師理解學生的解難能力和態度，從而調適其解難教學的內容和方法，並對有

需要的學生給予適當的照顧 ( 課程發展議會，2001 )。

6.1 解難評估的模式

解難評估的模式是多種多樣的，有紙筆練習、課堂觀察、提問、晤談和學生自我評

估等，而這些方法均為學生提供了不少展示其解難過程和成果的機會。

1. 課堂觀察

認知範疇的許多結果，如解難的知識、理解和思考技能等，都可從紙筆

練習中得以評估；然而，也有許多非認知結果如學生的態度、鑑賞能力等，

則需在自然互動的環境中使用非正式的觀察來評核 ( Gronlund, N.E.著，鄒慧英譯, 2003 )。 教師透過觀察學生個人或小組的解難過程能判斷他們對解難

技巧的掌握和態度 ( Randall C., Lester F., & O'Daffer P., 1987 )。 教師在課室內巡視時可觀察學生的解難過程，並能從中獲得一些非正式的回饋。 透過

這些回饋，教師可更了解學生如何把現有的知識應用在解決難題的過程中，

藉以調適其解難活動，並向有需要的學生加強照顧 ( Wragg E.C., 2001 )。

此外，解難活動也為學生提供了獨立學習的機會，有助培養他們的責任

感。 因此，教師可從中觀察學生的學習風格 ( Stenmark J.K., 1993 )。 此外，課堂觀察亦可讓教師更了解學生對解難活動的態度，如參與解難活動的

願意程度和堅忍度 ( Randall C., Lester F. & O'Daffer P., 1987 )。 若發現學生在解難過程中失去興趣或遇到挫敗感時，教師可為他們提供適當的協助和

給予他們一些提示，讓他們能繼續進行解難的活動 ( Wragg E.C., 2001 )。

另一方面，以小組形式進行的解難活動，可以觀察學生在小組內的溝通

和協作能力。 在整個過程中，學生應懂得如何影響和鼓勵他人、參與討論和

提問、欣賞和尊重他人的意見，而不是每個組員只顧完成個人的工作而忽略

了其他組員的工作。

觀察所得到的印象容易受到個人選擇性記憶的影響，造成不完整且有偏

誤的圖像，因此教師要為個人的觀察保持一個正確的記錄。 觀察記錄的方法

包括軼事記錄、運用評定量表如檢核表 ( checklist ) 等 ( 歐滄和，2002)。 以下是評定量表的一些例子。

94

解難觀察檢核表 學生姓名：_____________________ 日期：___________________

在適當的地方加上 。 口 1. 喜歡解決難題。

口 2. 能與小組組員合作。

口 3. 能在小組內表達有意義的意見。

口 4. 能堅持解決難題。

口 5. 能嘗試理解難題的意思。

口 6. 能在解難的過程中適當地處理數據。

口 7. 能思考可行的解難策略。

口 8. 能靈活運用不同的解難策略。

口 9. 能核對答案。

口 10. 能描述和分析答案。

態度觀察評估表

學生姓名：_____________________ 日期：___________________

學生在小組解難活動內的態度評估 ( 在適當的地方加上 )：

態度 做得很好 努力以赴/仍可更好 反思改進

積極參與

工作有條理

與人合作

聆聽/接納別人的意見

尊重別人

有禮貌

總評

95

2. 課堂提問

提問有助刺激學生的數學思維，從而幫助他們解決難題。 而在解難評估

的過程中，提問更可協助教師了解學生在解難過程中的能力與態度。 教師能

運用適當的提問則有助於引導學生選用適當的解題策略。 因此，這些提問應

著重學生的解難過程與感受，如「在解難的過程中，你運用了什麼解難策略？

最困難的是甚麼？」

當學生嘗試運用所選擇的策略來解題時，教師可以問學生為什麼會決定

用這個方法來解題； 當學生完成解題時，教師又可以質疑他們答案的準確

性，並引導他們描述或分析其得出的成果。 最後，教師不妨問學生有關解難

後的感受，如「你對整個解難過程或活動有何感受？ 你認為整個解難活動中

最令你感到煩惱的地方是什麼？ 解決問題後，是否很有滿足感呢？」 學生

藉著回答這些提問，能夠表達他們的興趣、經驗和感受，亦能夠強調他們在

整個解難過程中的參與。

另一方面，教師在提問時必須按照題目的性質，給予學生充分的時間思

考，同時亦要對學生的回應作出適當的反應，如以面部表情或身體語言鼓勵

學生發表意見。 當學生的回答顯得不完整時，教師便要進行探問

( probing )，即以語言或非語言的反應，去激勵學生把他的答案變得更完整，

或誘導學生走向回答問題的正確方向。 這種方法除了能夠顯示教師關心學生

外，亦能夠讓學生在教師的正確引導下盡情地表達他們的想法。

事實上，非正式的課堂提問，往往能為課堂帶來輕鬆融洽的學習氣氛。

因此，教師能易於照顧學生的個別差異，從而提高了學生的解難動機，讓他

們更積極投入於解難的過程，並有助改善課堂秩序及教學效能。

3. 晤談

晤談 ( interview ) 與課堂觀察及提問不同，它是一種有目的的雙向溝

通，而且通常是一對一和面對面進行的。 在晤談的過程中，教師提出問題，

讓學生即時給予反應。 因此，它屬個別化的評量方式。 教師在晤談的過程

中可以了解學生對解難活動的興趣、態度和困難等。 因此，晤談能用來診斷

學生在解難過程中所遇到的困難和評估其情意與態度。

思考題：試比較課堂提問與晤談這面種評估方法的優點與缺點。

96

4. 學生的自我評估

學生在自我評估中所表達的感覺和信念，與教師在課堂觀察中所獲得的

資料同樣重要。 然而，課堂觀察與非正式的提問雖能夠為教師提供一個有效

的方法，以評估學生在解難活動中的部分表現和態度，但一些項目如學生對

解難活動的興趣、信念、意向和共通能力等，均是較難從觀察和提問中，作

廣面而詳盡的評估。 故需要從學生的數據得到有關的訊息。 而其中一個收

集學生數據的方法，便是透過學生的自我評估 ( self-assessment )。

自我評估是指學生從知識、技能和態度三方面評估個人的學習成果，以

及在學習歷程中各方面的發展和表現。 若沒有學生的自我評估，教師便難於

得到學生調適、興趣和態度的完整圖像。 教師可以在解難活動完結後，立刻

給學生派發 自我評估表 或 解難問卷 (見下表)， 這不但讓學生透過這些自

評活動反思和描述個人在解難過程中的表現。此外，自我評估表除了為教師

提供數據以了解學生的解難進度與困難外，它更能讓學生從中表達個人在整

個解難過程中的學習態度，補足了教師在評估時的不足之處。

學生自我評估表

姓名：_____________________ 日期：_______________

細閱教師剛發回給你的解難習作，並自行回答以下問題。

1. 我使用的解難策略 ( 正確／錯誤 )。

2. 我的答案 ( 正確／錯誤 )

3. 滿分是 _____ 分。 我取得 _____ 分。

4. 我滿意的是 ____________________________________________

____________________________________________________ 。

5. 我需要改善的是 _________________________________________

_____________________________________________________。

97

解難問卷

姓名：______________________ 日期：______________

1. 我在解難時（曾／不曾）感到洩氣，因為 _______________________

_____________________________________________________。

2. 我（曾／不曾）想過放棄解題這些難題。

3. 我（喜歡／不喜歡）解決這些難題，因為 _______________________

_____________________________________________________。

4. 我希望能以（個人／小組）的形式進行解難的活動，因為 __________

_____________________________________________________。

5. 在解難的過程中，我做得最好的是 ___________________________

_____________________________________________________。

6. 在解難的過程中，我需要改善的地方是 ________________________

_____________________________________________________。

另一方面，自我評估亦能引導學生指出自己那些地方做得較好，那些地方需

要多作改善。 通過這樣的評估方式，學生可以確認個人在解難過程中的成果，並

清楚努力的方向，因而對解難的過程更投入，並從中學會學習。

6.2 評估準則

一些較高層次的教學目標，如理解和解難等表現，是不能靠單一的行為來判

斷的。 故此，若教師能夠擬定清晰的評分準則，來判斷學生在解難活動中的表現

與態度，實有助提高評估過程的信度與有關每個學生成就結論的效度，使他們的表

現都得以公平對待。 此外，把評分的標準告知學生，亦有助引導他們把努力投向

教師預期的方向。 其中兩種較常用的評分準則就是分析性評分 ( analytical scoring )和整體性評分 ( holistic scoring )。

98

分析性評分

分析性評分需要確認評分的不同向度或特徵，例如從解難答案的準確性與解

釋的清晰度加以評量。 同時，它亦能夠提供學生一些較清晰的回饋，讓學生能夠

更了解個人的長處和應改善的地方。 下表便是分析性評分的一個例子。

分析性評分

評分向度 評分標準： 理解問題 2分: 能完全理解問題。

1分: 能部分理解問題。

0分: 完全未能理解問題。 解題策略 2分: 能運用正確的解難策略以獲取正確的答案。

1分: 部分策略正確，基於問題得到部分的正確解釋。

0分: 沒有嘗試或使用不恰當的解難策略。 獲取答案 2分: 能提供所有正確的答案。

1分: 抄寫、計算上的錯誤或只能提供部分答案。

0分: 沒有答案或使用不恰當的解難策略錯誤，以致產生錯誤的答案。

整體性評分

整體性評分一般可以較快捷地評估學生的表現，是有效率且較能直接符合等

第分派所需的整體判斷。 但它卻無法提供學生在特定方面的回饋，如那些地方較

強和那些地方需要改善，而分析性評分則能提供這方面的回饋。

整體性評分

評分標準： 4分: 答案正確和解難策略運用恰當，並有驗算和解釋答案的合理性。

3分: 答案正確和解難策略運用恰當，但沒有驗算和解釋答案的合理性。

2分: 理解問題和解難策略運用恰當，但答案錯誤。

1分: 有嘗試解答問題和方向正確，但未能完全解答問題。

0分: 沒有嘗試解答問題或完全錯誤。

99

在協助學生建立解難能力的初期，如果多使用分析性評分準則，可以令學生

清楚知道解決難題須經過哪些階段，且每一個階段都同樣重要。 當學生已建立良

好的解難習慣，整體性評分可以讓教師快捷地評估學生在解決個別難題時的表現。

無論教師使用那一種方法來評估學生的解難表現，也應該把結果儘快回饋給

學生，使他們能夠更了解個人的長處和應改善的地方；同時，在學生對評估內容還

留有印象時給予他們適當的回饋也能使評估的作用得到較佳的發揮。

6.3 分析性評分準則

練習一： 一班小學生到農場參觀，看見農場內有小雞 ( C ) 及小猪 ( P )。 小明數了一數，發現共有動物 18 隻。 小芬也數了一數，發現共有 52 隻動物

的腳。 究竟有多少小雞及小猪呢？ ( 註： 動物指小雞和小猪。)

為此題設計一個列表試誤的題解。 ( 此題滿分為 5 分。)

為上述題解設計一個 分析性評分準則 (於橫線上加入補充字句，如適用)。

分析性評分準則

_____________ ____：___________________________________________________ ____：___________________________________________________ ____：___________________________________________________

_____________ ____：___________________________________________________ ____：___________________________________________________ ____：___________________________________________________

_____________ ____：___________________________________________________ ____：___________________________________________________

100

利用上述評分準則，為下列三位同學進行評分。

101

6.4 整體性評分準則

練習二： 有八個人參加一個羽毛球比賽，若每位參賽者均需與其他參賽者作賽一

次，共有多少場比賽？ 為此題設計一個以繪圖作為策略的題解。 ( 此

題滿分為 3 分。)

為上述題解設計一個 整體性評分準則。

得分 描述

3

2

1

0

利用上述評分準則，為以下一位同學 ( Carmen ) 進行評分。

102

練習三： 一群小朋友開茶會，把三文治 25 件傳開，每人拿 1 件。 傳了一圈之

後，還有剩下的，大家同意再傳一圈，讓男孩子多拿 1 件。 結果剛好

分完 ( 註：每位男孩子都拿得三文治 2 件)。 接著又把花生糖 23 粒

傳開，每人拿 1 粒。 傳了一個圈之後，還有剩下的，大家同意再傳一

圈，讓女孩子多拿 1 粒。 結果剛好分完 ( 註：每位女孩子都拿得花生

糖 2 粒 )。 問小朋友共有幾人？ ( 此題滿分為 6 分。)

以下是一些學生對練習三的題解。

學生甲 男孩子有 2 件三文治及 1 粒糖而女孩子有 1 件三文治及 2 粒糖，大

家食物的數量都是 3，所以共有 ( 25 + 23 ) ÷ 3 = 16 個小朋友。

學生乙 如果有 1 名男孩子就要有 23 名女孩子才可以按題目要求分盡 25 件

三文治。 但 1 名男孩子及 23 名女孩子共須糖 47 粒，所以男孩子不

只 1 人。 類似地可以列出：

男 女 糖

2 21 44

3 19 41

4 17 38

5 15 35

6 13 32

7 11 29

8 9 26

9 7 23

所以共有 16 名小朋友。

學生丙 因為三文治的數目比糖的數目大 2， 所以男孩子比女孩多 2 人。 如果

有 1 名女孩子則有 3 名男孩子，這時只須 7 件三文治所以不只有 1

名女孩。 類似地可以寫出：

男 女 三文治數目

4 2 10

5 3 13

6 4 16

可以看出每增加 1 名女孩子，三文治的數目就增加 3 件。 因為 10, 13,

103

16, 19, 22, 25 而 2, 3, 4, 5, 6, 7 所以當有 7 名女孩及 9 名男孩

時就需要 25 件三文治。 7 名女孩子各取 2 粒糖， 9 名男孩各取 1 粒

糖共需 14 + 9 = 23 粒糖。 所以共有 16 名小朋友。

學生丁 1 名男孩和 1 名女孩共有 3 件三文治及 3 粒糖。 2 名男孩和 1 名女

孩共有 5 件三文治及 4 粒糖。 可以列表如下。

女 男 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 3,3 5,4 7,5 9,6 11,7 13,8 15,9 17,10 19,11 21,12 23,13 25,14 27,15

2 4,5 6,6 8,7 10,8 12,9 14,10 16,11 18,12 20,13 22,14 24,15 26,16

3 5,7 7,8 9,9 11,10 13,11 15,12 17,13 19,14 21,15 23,16 25,17 27,18

4 6,9 8,10 10,11 12,12 14,13 16,14 18,15 20,16 22,17 24,18 26,19

5 7,11 9,12 11,13 13,14 15,15 17,16 19,17 21,18 23,19 25,20 27,21

6 8,13 10,14 12,15 14,16 16,17 18,18 20,19 22,20 24,21 26,22

7 9,15 11,16 13,17 15,18 17,19 19,20 21,21 23,22 25,23

所以有 7 名女孩及 9 名男孩共 16 人。

針對上述四個不同題解， 嘗試設計一個分析性評分準則及一個整體性評分準則。

試分別利用上述評分準則，為甲、乙、丙、丁四位同學進行評分。

分析性評分 整體性評分

104

練習四： 總共有多少個兩位數？ ( 此題滿分為 6 分。)

以下是一些學生的題解。

學生甲

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

總共有 90 個。

學生乙 把最大的兩位數 99 減去最小的兩位數 10 再加 1 等於

90，所以總共有 90 個兩位數。

學生丙 十位可以是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 而個位可以是 0, 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9， 所以有 9 × 10 個配搭。 結論：

有 90 個兩位數。

針對上述題解，設計一個評分準則。