รายงาน เรอง วงจร RLC

จดทาโดย

นายพชมงคล จงสนนไพศาล

นาเสนอ

อาจารย นพพงษ ศรดวงคา

รายงานฉบบนเปนสวนหนงของการศกษาวชา

วงจรไฟฟา ( 3104-1001)ปการศกษา 1/2558

วทยาลยการอาชพนครปฐม

คานา

รายงานเลมนจดทาขนเพอเปนสวนหนงของวชาวงจรไฟฟา ( 3104-1001)ชนปวส.1

ปการศกษา 1/2558เพอใหไดศกษาหาความรในเรองวงจรไฟฟา RLC ใหศกษาอยางเขาใจเพอเปน

ประโยชนกบการเรยน ผจดทาหวงวา รายงานเลมนจะเปนประโยชนกบผอาน หรอนกเรยน

นกศกษา ทกาลงหาขอมลเรองนอย หากมขอแนะนาหรอขอผดพลาดประการใด ผจดทาขอนอมรบ

ไวและขออภยมา ณ ทนดวย

ผจดทา

วนท 29 สงหาคม 2558

๒

สารบญ

เรอง หนา

คานา 2

วงจร RLC อนกรม 4

วงจร RLC ขนาน 20

วงจร RLC ผสม 34

สารบญ 40

๓

วงจร R L อนกรม

วงจร R L อนกรมดงรปท 1(ก) จะเหนไดวามกระแส I ไหลในวงจรและ

กระแส I ดงกลาวน จะไหลผานทง R และ L ของวงจรดวย ดงนนการเขยนเฟสเซอร

ไดอะแกรมของวงจรดงกลาวน

เราจงใชเฟสเซอรของกระแสเขยนเปนแกนอางอง ซงจะเขยนไดวา I Ð0° หรอ I + j0

แรงดนของวงจร R L อนกรม

(ก) (ข) (ค)

รปท 1

การเขยนไดเฟสของรปคลนของวงจร R L อนกรมทแสดงใหเหนในรป (ข)นนเราจะใช

กระแส I เปนตวอางองในการเขยน สวนการเขยนเฟสเซอรไดอะแกรมของวงจรดงกลาวนเรากจะ

ใชเฟสเซอรของกระแส I

เขยนเปนแกนอางองเชนเดยวกน ดงแสดงใหเหนในรป (ค)

เนองจากวา แรงดนทเกดตกครอมขนท R คอแรงดน VR เกดอนเฟสกบกระแส I ทไหล

ในวงจรดงนนคาเฟสเซอรของแรงดน VR จงเขยนไดเปน VR Ð0° หรอ VR + j0 และแรงดนตก

ครอม L คอ VL

จะเกดนาหนากระแส I ทไหลในวงจรไปเปนมม 90° ดงนนคาเฟสเซอรของแรงดน VL จงเขยน

ไดเปน VL Ð90° หรอ 0 + j VL

๔

สวนแรงดนทงหมดของวงจรคอ VT ไดมาจากแรงดน VR บวกกบแรงดน VL ทางเฟส

เซอร คอ

VT = VR + VL = ( VR + j0 ) + ( 0+ j VL )

VT = VR + j VL

อมพแดนซของวงจร RL อนกรม

จากสมการในเทอมของแรงดน จะเหนไดวา เมอเรานากฎของโอหมมาใชโดยการแทน

คา VT = IZ , VR = IR และ VL = IXL กจะเขยนไดวา

IZ = IR + j IXL

เมอใชกระแส I หารสมการขางบนนตลอด จะทาใหไดสมการของอมพแดนซของ

วงจร RL อนกรมคอ

Z = R + j XL

โวลทเตจและอมพแดนซไดอะแกรมของวงจร RL อนกรม

เมอนาสมการทและมาเขยนแสดงในรปของสามเหลยมหรอไทรแองเกล ( Triangles ) กจะ

ชวยทาใหการพจารณาและการวเคราะหเกยวกบแรงดนและอมพแดนซทเกดขนในวงจรในรปของ

โพลารฟอรมและเรคแทงกวลารฟอรมไดดยงขน

ซงโวลทเตจไดอะแกรมและอมพแดนซไดอะแกรมทเขยนได ( ซงสอดคลองกบสมการทและ

ตามลาดบ ) จะแสดงใหเหนดงรปท2(ก)และ(ข) ตามลาดบ

(ก) (ข)

รปท 2

๕

จากโวลทเตจไดอะแกรมในรปท 2 (ก) จะได

VT = VR + j VL

=

Æ = tan-1 VL / VR

VR = VT cos Æ

j VL = j VT sin Æ

จากอมพแดนซไดอะแกรมในรป (ข)จะได

Z = R + j XL

=

Æ = tan-1 XL / R

R = Z cos Æ

j XL = j Z sin Æ

เพาเวอรแฟคเตอรของวงจร RL อนกรม

เพาเวอรแฟคเตอรของวงจร RL อนกรมมคาเทากบ cos Æ ดงนนจากโวลทเตจและ

อมพแดนซไดอะแกรมในรปทจะไดเพาเวอรแฟคเตอรของวงจรเทากบ

PF = cos Æ = =

ตวอยาง วงจร RL อนกรมดงรป จงหาคา (ก) อมพแดนซของวงจร (ข) กระแสทไหลใน

วงจร (ค) แรงดนตกครอม R , L และแรงดนตกครอมทงหมดของวงจร (ง) มมเฟส เพาเวอรแฟค

เตอร และกาลงงานไฟฟา (จ) เขยนเฟสเซอรไดอะแกรม

๖

(ก) วงจร (ข) เฟสเซอรไดอะแกรม

วธทา (ก) XL = wL = 2 pfL

= 2 ´ 3.14 ´ 50Hz ´ 0.1 H = 31.4 W

Z = R + j XL = (40 + j 31.4) W

= Ðtan-1 31.4 / 40 W

= 50.852 Ð38.13° W

(ข) I = = = 1.9665Ð- 38.13° A

(ค) VR = IR

= 1.9665Ð- 38.13° A ´ 40 Ð0° W = 78.66Ð- 38.13° V

VL = I (j XL)

= 1.9665Ð- 38.13° A ´ 3.14Ð90° W = 61.75Ð51.87° V

VT = E = 100Ð0° V

(ง) cosÆ = = = 0.7866

Æ = cos-1 0.7866 = 38.13°

หรอ Æ = tan-1 XL / R = tan-1 31.4 W / 40 W

= tan-1 0.785 = 38.13°

PF = cosÆ

๗

= 0.7866 หรอ 78.66% ลาหลง

P = I2R

= (1.9665 A)2 ´ 40 W = 154.7 W

หรอ P = EI cos Æ

= 100 V ´ 1.9665 A ´ 0.7866 = 154.7 W

(จ) เฟสเซอรไดอะแกรมทเขยนไดแสดงใหเหนดงรป (ข)

วงจร R C อนกรม

วงจร RC อนกรมดงรปท 1 จะเหนไดวามกระแส I ไหลในวงจรและกระแส I ดงกลาว

น จะไหลผานทง R และ C ของวงจรดวย ดงนนการเขยนเฟสเซอรไดอะแกรมของวงจรดงกลาว

น

เราจงใชเฟสเซอรของกระแสเขยนเปนแกนอางอง ซงจะเขยนไดวา I Ð0° หรอ I + j0

แรงดนของวงจร R C อนกรม

(ก) (ข) (ค)

รปท 1

๘

การเขยนไดอะแกรมของรปคลนของวงจร RC อนกรมทแสดงใหเหนในรปท 1(ข) นนเรา

จะใชกระแส I เปนตวอางองในการเขยน สวนการเขยนเฟสเซอรไดอะแกรมของวงจรดงกลาวน

เรากจะใชเฟสเซอรของกระแส I

เขยนเปนแกนอางองเชนเดยวกน ดงแสดงใหเหนในรป (ค)

เนองจากวา แรงดนทเกดตกครอมขนท R คอแรงดน VR เกดอนเฟสกบกระแส I ทไหล

ในวงจรดงนนคาเฟสเซอรของแรงดน VR จงเขยนไดเปน VR Ð0° หรอ VR + j0 และแรงดนตก

ครอม C คอ

VC จะเกดลาหลงกระแส I ทไหลในวงจรไปเปนมม 90° ดงนนคาเฟสเซอรของแรงดน VC จง

เขยนไดเปน VC Ð- 90° หรอ 0 – j VC

สวนแรงดนทงหมดของวงจรคอ VT ไดมาจากแรงดน VR บวกกบแรงดน VC ทางเฟส

เซอร คอ

VT = VR + VC = ( VR + j0 ) + ( 0- j VC )

VT = VR – j VC

อมพแดนซของวงจร RC อนกรม

จากสมการในเทอมของแรงดน จะเหนไดวา เมอเรานากฎของโอหมมาใชโดยการแทน

คา VT = IZ , VR = IR และ VC = IXC กจะเขยนไดวา

IZ = IR – j IXC

เมอใชกระแส I หารสมการขางบนนตลอด จะทาใหไดสมการของอมพแดนซของ

วงจร RC อนกรมคอ

Z = R + j XC

โวลทเตจและอมพแดนซไดอะแกรมของวงจร RC อนกรม

เมอนาสมการทและมาเขยนแสดงในรปท 2ของสามเหลยมหรอไทรแองเกล ( Triangles ) ก

จะชวยทาใหการพจารณาและการวเคราะหเกยวกบแรงดนและอมพแดนซทเกดขนในวงจรในรป

ของโพลารฟอรม

๙

และเรคแทงกวลารฟอรมไดดยงขน ซงโวลทเตจไดอะแกรมและอมพแดนซไดอะแกรมทเขยน

ได ( ซงสอดคลองกบสมการทและตามลาดบ ) จะแสดงใหเหนดงรปท 2(ก)และ(ข)ตามลาดบ

(ก) (ข)

รปท 2

จากโวลทเตจไดอะแกรมในรปท 2(ก)จะได

VT = VR - j VC

=

Æ = - tan-1 VC / VR

VR = VT cos Æ

- j VC = - j VT sin Æ

จากอมพแดนซไดอะแกรมในรป (ข)จะได

Z = R - j XC

=

Æ = tan-1 XC / R

๑๐

R = Z cos Æ

- j XL = - j Z sin Æ

เพาเวอรแฟคเตอรของวงจร RC อนกรม

เพาเวอรแฟคเตอรของวงจร RC อนกรมมคาเทากบ cos Æ ดงนนจากโวลทเตจและ

อมพแดนซไดอะแกรมในรปทจะไดเพาเวอรแฟคเตอรของวงจรเทากบ

PF = cos Æ = =

ตวอยาง วงจร RC อนกรมดงรป จงหาคา (ก) อมพแดนซของวงจร (ข) กระแสทไหลใน

วงจร (ค) แรงดนตกครอม R , C และแรงดนตกครอมทงหมดของวงจร (ง) มมเฟส เพาเวอรแฟค

เตอร และกาลงงานไฟฟา (จ) เขยนเฟสเซอรไดอะแกรม

(ก) วงจร (ข) เฟสเซอรไดอะแกรม

วธทา (ก) XC = =

= = 42.46 W

Z = R - j XC = (65 - j 42.46) W

= Ðtan-1 (- 42.46) / 65 W

= 77.64Ð-33.45° W

๑๑

(ข) I = = = 2.8336Ð33.15° A

(ค) VR = IR

= 2.8336Ð33.15° A ´ 65Ð0° W = 184.184Ð33.15° V

VC = I (- j XC)

= 2.8336Ð33.15° A ´ 42.46Ð- 90° W = 120.31Ð-56.85° V

VT = E = 220Ð0° V

(ง) cosÆ = = = 0.8372

Æ = cos-1 0.8372 = 33.15°

หรอ Æ = tan-1 XC / R = tan-1 42.46 W / 65 W

= tan-1 0.6532 = 33.15°

PF = cosÆ

= 0.8372 หรอ 83.72% นาหนา

P = I2R

= (2.8336 A)2 ´ 65 W » 519.1 W

๑๒

วงจร RLC อนกรม

วงจร R , L , C อนกรมดงรปท 1 (ก) จะเหนไดวา จะมกระแส I ไหลในวงจร และ

กระแส I ดงกลาวนจะเปนตวทาใหเกดแรงดนตกครอมขนท R , L และ C คอแรงดน VR ,

VL และ VC ตามลาดบ สวนแรงดนตกครอมคารแอคแตนซและแรงดนตกครอมทงหมดของวงจร

คอ แรงดน VX และ VT ตามลาดบ

(ก) (ข) (ค)

รปท 1

๑๓

สวนในรปท 1 (ข) และ (ค) แสดงใหเหนถงเฟสเซอรไดอะแกรมของวงจร R , L ,

C อนกรมดงรปทเฟสเซอรไดอะแกรมทงในรปท 1 (ข)และ(ค) จะใชเฟสเซอรของกระแสเขยน

เปนแกนอางองคอ I Ð0°

หรอ I+j0 โดยทแรงดนตกครอม R คอ VR จะเกดอนเฟสกบกระแส I ดงนนคาเฟสเซอรของ

แรงดน VR คอ VR Ð0° หรอ VR+j0 และแรงดนตกครอม L คอ VL จะนาหนากระแส I ไปเปน

มม 90°

ดงนนคาเฟสเซอรของแรงดน VL จงเขยนไดเปน VL Ð90° หรอ 0 – j VL สวนแรงดนตก

ครอม C คอ VC จะเกดลาหลงกระแส I ทไหลในวงจรไปเปนมม 90° ดงนนคาเฟสเซอรของ

แรงดน VC

จงเขยนไดเปน VC Ð- 90° หรอ 0 – j VC และจะสงเกตเหนไดวาเฟสเซอรของ

แรงดน VL กบ VC จะมทศทางสวนกน ดงนนถาเรานาขนาดของแรงดน VL กบ VC มารวมกน

ทางคณตศาสตรกจะทาใหไดคาเฟสเซอรรวม

ของแรงดนทตกครอมคารแอคแตนซทงหมดของวงจรคอแรงดน VX นนเอง สวนแรงดนตกครอม

ทงหมดของวงจรคอ VT ไดมาจากแรงดน VR บวกกบแรงดน VX ทางเฟสเซอรนนเอง

จากรปท 1 (ข) จะได

VX = ( + j VL ) + ( - j VC )

= j VL – j VC หรอ j ( VL – VC )

เมอแรงดน VL มากกวา VC ( VL > VC )

ในวงจร R , L , C อนกรมทมคาแรงดน VL มากกวา VC จะเขยนเฟสเซอรไดอะแกรมท

สมบรณไดดงแสดงใหเหนตามรปท 2 (ก) ซงคาของแรงดน VX ทไดจะเหนวาอยในยาน + j ทงน

เพราะคาแรงดน VL มากกวา VC นนเอง

๑๔

อยางไรกตาม ลกษณะสมบตของวงจร R , L , C อนกรมทมคาแรงดน VL มากกวา VC น

เราสามารถทจะหาไดโดยการพจารณาจากความสมพนธระหวางกระแส I

, แรงดน VR , แรงดน VX และแรงดน VT

ซงความสมพนธของคาตวแปรทง 4 ทกลาวมาน จะแสดงใหเหนในรปของเฟสเซอรไดอะแกรมดง

ในรปท 2(ข) โดยใชแรงดน VT เขยนเปนแกนอางอง

(ก)

(ข)

รปท 2

๑๕

จากสมการ และจากเฟสเซอรไดอะแกรมในรปท 2 จะพจารณาเหนไดวาในวงจร R , L ,

C อนกรมในขณะทเกดแรงดน VL มากกวา VC นน จะมลกษณะสมบตของวงจรเหมอนกบ

ลกษณะสมบตของวงจร RL อนกรมนนเอง

เมอแรงดน VC มากกวา VL ( VC > VL )

ในวงจร R , L , C อนกรมทมคาแรงดน VC มากกวา VL จะเขยนเฟสเซอรไดอะแกรมท

สมบรณไดดงแสดงใหเหนตามรปท3(ก) ซงคาของแรงดน VX ทไดจะเหนวาอยในยาน - j ทงน

เพราะคาแรงดน VC มากกวา VL นนเอง

อยางไรกตาม ลกษณะสมบตของวงจร R , L , C อนกรมทมคาแรงดน VC มากกวา VL น

เราสามารถทจะหาไดโดยการพจารณาจากความสมพนธระหวางกระแส I

, แรงดน VR , แรงดน VX และแรงดน VT

ซงความสมพนธของคาตวแปรทง 4 ทกลาวมาน จะแสดงใหเหนในรปของเฟสเซอรไดอะแกรมดง

ในรปท 3(ข) โดยใชแรงดน VT เขยนเปนแกนอางอง

(ก)

๑๖

(ข)

รปท 3

จากเฟสเซอรไดอะแกรมในรปท 3 จะพจารณาเหนไดวาในวงจร R , L , C อนกรมในขณะ

ทเกดแรงดน VC มากกวา VL นน จะมลกษณะสมบตของวงจรเหมอนกบลกษณะสมบต ของ

วงจร RC อนกรมนนเอง

ตวอยาง วงจร R , L , C อนกรมดงรป จงหาคา (ก) อมพแดนซของวงจร (ข) กระแสทไหล

๑๗

ใน วงจร (ค) แรงดน VR , VL , VC , VX และ VT (ง) มมเฟส เพาเวอรแฟคเตอร และกาลงงาน

ไฟฟา ของวงจร (จ) เขยนเฟสเซอรไดอะแกรม

(ก) วงจร

(ข) เฟสเซอรไดอะแกรม

วธทา (ก) XL = j 2pfL = j 2 ´ 3.14 ´ 50 Hz ´80 ´ 10-3 H = 25.12 W

XC = = = 15.9235W

XT = j ( XL – XC ) = j ( 25.12W - 15.9235W )

= j 9.1965W

Z = R + j XT = ( 15 + j 9.1965 ) W = 17.595Ð31.5° W

(ข) I = = = 2.84Ð-16.5° A

(ค) VR = IR = 2.84Ð-16.5° A ´ 15Ð0° W = 42.6Ð-16.5° V

VL = I (j XL) = 2.84Ð-16.5° A ´ 25.12Ð90° W

= 71.34Ð73.5° V

VC = I (-j XC) = 2.84Ð-16.5° A ´ 15.9235Ð-90° W

= 45.22Ð-106.5° V

VX = I (j XT) = 2.84Ð-16.5° A ´ 9.1965Ð90° W

= 26.12Ð73.5° V

VT = E = 50Ð15° V

๑๘

(ง) เมอ E = 50Ð15° V และ I = 2.84Ð-16.5° A

ดงนนจะได Æ = 15° - (-16.5°) = 31.5°

หรอ cos Æ = = = 0.8525

Æ = cos-1 0.8525 = 31.5°

PF = cos Æ = 0.8525 หรอ 85.25% ลาหลง

P = I2R = (2.84 A)2 ´ 15 W = 121 W

หรอ P = EI cos Æ = 50 V ´ 2.84 A ´ 0.8525 = 121 W

๑๙

วงจร RL ขนาน

วงจร RL ขนานดงรปท 1 (ก) จะเหนไดวาแรงดนตกครอม R และ L ของวงจรกคอ

แรงดน E ทจายใหแกวงจรนนเอง หรอจะกลาวในอกทางหนงกคอ แรงดน E ทจายใหแกวงจรจะม

คาเทากบแรงดนตกครอม R และ L ของวงจรนนเอง

ดงนนการเขยนเฟสเซอรไดอะแกรมของวงจรดงกลาวน เราจงใชเฟสเซอรของแรงดนเขยนเปน

แกนอางอง ซงจะเขยนแทนไดวา EÐ0°

หรอ E + j 0

กระแสของวงจร RL ขนาน

(ก)

(ข) (ค)

รปท 1

๒๐

การเขยนไดอะแกรมของรปคลนของวงจร RL ขนานทแสดงใหเหนดงรปท 1(ข) นนเราจะ

ใชแรงดน E เปนตวอางองในการเขยนสวนการเขยนเฟสเซอรไดอะแกรมของวงจรดงกลาวน เราก

จะใชเฟสเซอรของแรงดน E

เปนแกนอางองในการเขยนเชนเดยวกน ดงแสดงใหเหนดงรปท 1 (ค)

เนองจากวา กระแสทไหลผาน R คอ IR เกดอนเฟสกบแรงดน E ทจายใหแกวงจร ดงนนคา

เฟสเซอรของกระแส IR จงเขยนไดเปน IRÐ0° หรอ IR + j 0 และกระแสทไหลผาน L คอ IL จะเกด

ลาหลงแรงดน E ทจายใหแกวงจรอยเปนมม 90°

ดงนน คาเฟสเซอรของกระแส IL จงเขยนไดเปน ICÐ-90° หรอ 0 - j IL

สวนกระแสทงหมดของวงจรคอ IT ไดมาจากกระแส IR บวกกบกระแส IL ทางเฟสเซอรคอ

IT = IR + IL = (IR + j 0) + (0 - j IL)

IT = IR - j IL

แอดมตแตนซของวงจร RL ขนาน

จากสมการในเทอมของกระแส จะเหนไดวา เมอเรานากฎของโอหมมาใช โดยการแทน

คา IT = EY , IR = EG และ IL = EBL กจะเขยนไดวา

EY = EG - jEBL

เมอใชแรงดน E หารสมการขางบนนตลอด จะทาใหไดสมการของแอดมตแตนซของ

วงจร RL ขนานคอ

Y = G - j BL

เคอรเรนทและแอดมตแตนซไดอะแกรมของวงจร RL ขนาน

เมอนาความสมพนธของกระแสตามสมการ และความสมพนธของแอดมตแตนซ

ตาม สมการมาเขยนแสดงในรปของสามเหลยมหรอไทรแองเกล

กจะไดเปนเคอรเรนทไดอะแกรมและแอดมตแตนซไดอะแกรมดงแสดงใหเหนดงในรปท 2

(ก) และ (ข) ตามลาดบ

๒๑

(ก) (ข)

รปท 2

จากเคอรเรนทไดอะแกรมในรปท 2 (ก) จะได

IT = IR - j IL

=

Æ = - tan-1 IL / IR

IR = IT cos Æ

-j IL = - j IT sin Æ

จากแอดมตแตนซไดอะแกรมในรปท 2 (ข) จะได

Y = G - j BL

=

Æ = - tan-1 BL / G

G = Y cos Æ

-j BL = -j Y sin Æ

เพาเวอรแฟคเตอรของวงจร RL ขนาน

เพาเวอรแฟคเตอรของวงจร RL ขนานมคาเทากบ cos Æ ดงนนจากเคอรเรนทและแอดมต

แตนซไดอะแกรมในรปท 2 (ก) และ(ข) จะไดเพาเวอรแฟคเตอรของวงจรเทากบ

๒๒

PF = cos Æ = = =

ตวอยาง วงจร RL ขนานดงรป จงหาคา (ก) กระแส IR , IL และ IT (ข) อมพแดนซและแอดมต

แตนซของวงจร (ค) มมเฟส เพาเวอรแฟคเตอร และกาลงงานไฟฟาของวงจร (ง) เขยนเฟส

เซอร ไดอะแกรม

(ก) วงจร

(ข) เฟสเซอรไดอะแกรม

วธทา (ก) IR = = = 2Ð0° A.

XL = 2pfL = 2 ´ 3.14 ´50 Hz ´ 0.1 H = j 31.4 W

IC = = =

= 1.592Ð-90° A.

IT = IR + IL = 2Ð0° A + 1.592Ð-90° A

= (2 + j 0) + (0 - j 1.592) A.

= (2 - j 1.592) A. = 2.556Ð-38.5° A

(ข) Z = = = 19.562Ð38.5° W

๒๓

Y = = = 51.1Ð-38.5° mS.

หรอ Y = G - j BL = (1 / 25 W - j 1 / 31.4 W)

= (40 - j 31.847) mS. = 51.1Ð-38.5° mS.

(ค) เมอ E = 50Ð0° V และ IT = 2.556Ð-38.5° A

ดงนนจะได Æ = 0° - (-38.5)° = 38.5°

หรอ cos Æ = = = 0.7825

Æ = cos-1 0.7825 = 38.5°

PF = cos Æ = 0.7825 หรอ 78.25% ลาหลง

P = IR2 R = (2A.)2 ´ 25 W = 100W.

หรอ P = EIT cos Æ = 50 V ´ 2.556 A ´ 0.7825 = 100W.

วงจร RC ขนาน

วงจร RC ขนานดงรปท 1 (ก) จะเหนไดวาแรงดนตกครอม R และ C ของวงจรกคอ

แรงดน E ทจายใหแกวงจรนนเอง หรอจะกลาวในอกทางหนงกคอ แรงดน E

ทจายใหแกวงจรจะมคาเทากบแรงดนตกครอม R และ C ของวงจรนนเอง ดงนนการเขยนเฟส

เซอรไดอะแกรมของวงจรดงกลาวน เราจงใชเฟสเซอรของแรงดนเขยนเปนแกนอางอง ซงจะเขยน

แทนไดวา EÐ0°

หรอ E + j 0

กระแสของวงจร RC ขนาน

(ก)

๒๔

(ข) (ค)

รปท 1

การเขยนไดอะแกรมของรปคลนของวงจร RC ขนานทแสดงใหเหนดงรปท 1(ข) นนเราจะ

ใชแรงดน E เปนตวอางองในการเขยนสวนการเขยนเฟสเซอรไดอะแกรมของวงจรดงกลาวน เราก

จะใชเฟสเซอรของแรงดน E

เปนแกนอางองในการเขยนเชนเดยวกน ดงแสดงใหเหนดงรปท 1 (ค)

เนองจากวา กระแสทไหลผาน R คอ IR เกดอนเฟสกบแรงดน E ทจายใหแกวงจร ดงนนคา

เฟสเซอรของกระแส IR จงเขยนไดเปน IRÐ0° หรอ IR + j 0 และกระแสทไหลผาน C คอ IC จะเกด

นาหนาแรงดน E

ทจายใหแกวงจรอยเปนมม 90° ดงนน คาเฟสเซอรของกระแส IC จงเขยนไดเปน ICÐ90° หรอ 0 +

j IC

สวนกระแสทงหมดของวงจรคอ IT ไดมาจากกระแส IR บวกกบกระแส IC ทางเฟสเซอรคอ

IT = IR + IC = (IR + j 0) + (0 + j IC)

IT = IR + j IC

แอดมตแตนซของวงจร RC ขนาน

จากสมการในเทอมของกระแส จะเหนไดวา เมอเรานากฎของโอหมมาใช โดยการแทน

คา IT = EY , IR = EG และ IC = EBC กจะเขยนไดวา

๒๕

EY = EG + jEBL

เมอใชแรงดน E หารสมการขางบนนตลอด จะทาใหไดสมการของแอดมตแตนซของ

วงจร RC ขนานคอ

Y = G + j BC

เคอรเรนทและแอดมตแตนซไดอะแกรมของวงจร RC ขนาน

เมอนาความสมพนธของกระแสตามสมการ และความสมพนธของแอดมตแตนซ

ตาม สมการมาเขยนแสดงในรปของสามเหลยมหรอไทรแองเกล

กจะไดเปนเคอรเรนทไดอะแกรมและแอดมตแตนซไดอะแกรมดงแสดงใหเหนดงในรปท 2

(ก) และ (ข) ตามลาดบ

(ก) (ข)

รปท 2

จากเคอรเรนทไดอะแกรมในรปท 2 (ก) จะได

IT = IR + j IC

=

Æ = tan-1 IC / IR

IR = IT cos Æ

j IC = j IT sin Æ

จากแอดมตแตนซไดอะแกรมในรปท 2 (ข) จะได

๒๖

Y = G + j BC

=

Æ = - tan-1 BC / G

G = Y cos Æ

j BC = j Y sin Æ

เพาเวอรแฟคเตอรของวงจร RC ขนาน

เพาเวอรแฟคเตอรของวงจร RC ขนานมคาเทากบ cos Æ ดงนนจากเคอรเรนทและแอดมต

แตนซไดอะแกรมในรปท 2 (ก) และ(ข) จะไดเพาเวอรแฟคเตอรของวงจรเทากบ

PF = cos Æ = = =

ตวอยาง วงจร RC ขนานดงรป จงหาคา (ก) กระแสทไหลในวงจร (ข) อมพแดนซและแอดมต

แตนซของวงจร (ค) มมเฟส เพาเวอรแฟคเตอร และกาลงงานไฟฟาของวงจร (ง) เขยนเฟส

เซอร ไดอะแกรม

(ก) วงจร (ข) เฟสเซอรไดอะแกรม

๒๗

วธทา (ก) IR = = = 1.7857Ð0° A.

XC = = = -j 42.46 W

IC = = =

= 2.355Ð90° A.

IT = IR + j IC = 1.7857Ð0° A + 2.355Ð90° A

= (1.7857 + j 0) + (0 + j 2.355) A.

= (1.7857 + j 2.355) A. = 2.955Ð52.83° A

(ข) Z = = = 33.835Ð-52.83° W

Y = = = 29.555Ð52.83° mS.

หรอ Y = G + j BC = (1 / 56 W + j 1 / 42.46 W)

= (17.857 + j 23.551) mS. = 29.555Ð52.83° mS.

(ค) เมอ E = 100Ð0° V และ IT = 2.9555Ð52.83° A

ดงนนจะได Æ = 52.83° - 0° = 52.83°

หรอ cos Æ = = = 0.6042

Æ = cos-1 0.6042 = 52.83°

PF = cos Æ = 0.6042 หรอ 60.42% นาหนา

P = IR2 R = (1.7857A.)2 ´ 56 W = 178.57W.

หรอ P = EIT cos Æ = 100 V ´ 2.955 A ´ 0.6042 = 178.57W.

วงจร R , L , C ขนาน

วงจร R , L , C ขนานดงรปท 1 (ก) จะเหนไดวา แรงดนตกครอม R , L และ C ของวงจรก

คอแรงดน E ทจายใหแกวงจรนนเอง ดงนน การเขยนเฟสเซอรไดอะแกรมของวงจรดงกลาวน

๒๘

เราจงใชเฟสเซอรของแรงดนเขยนเปนแกนอางอง ซงจะเขยนไดวา EÐ0° หรอ E + j 0

(ก)

(ข) (ค)

รปท 1

จากวงจร R , L , C ขนานดงในรปท 1 (ก) จะเหนไดวา กระแสทไหลผาน R คอ IR จะเกดอน

เฟสกบแรงดน E ทจายใหแกวงจร ดงนนคาเฟสเซอรของกระแส IR จงเขยนไดเปน IRÐ0° หรอ IR + j

0

และกระแสทไหลผาน L คอ IL จะเกดลาหลงแรงดน E ทจายใหแกวงจรอยเปนมม 90° ดงนนคาเฟส

เซอรของกระแส IL จงเขยนไดเปนILÐ-90° หรอ 0 - j IL และกระแสทไหลผาน C คอ IC จะเกดนาหนา

แรงดน E

๒๙

ทจายใหแกวงจรอยเปนมม 90° ดงนนคาเฟสเซอรของกระแส IC จงเขยนไดเปน ILÐ90° หรอ 0 + j

IC

เนองจากกระแส IL และ IC มทศทางตรงกนขาม ซงพจารณาไดจากเครองหมายบวกและลบ

หนา j ดงนน การหาคากระแสทไหลผานคารแอคแตนซของวงจร (กระแสทไหล

ผาน L และ C รวมกน) คอกระแส IX

จงสามารถหาไดโดยการนา IL และ IC มารวมกนทางเฟสเซอร คอ

IX = j IC – j IL หรอ j ( IC – IL )

เมอกระแส IL มากกวา IC ( IL > IC )

ในวงจร R , L , C ขนานทมคากระแส IL มากกวา IC จะเขยนเฟสเซอรไดอะแกรมทสมบรณ

ไดดงแสดงใหเหนตามรปท 2 (ก)ซงคาของกระแส IX ทไดจะเหนวาอยในยาน - j ทงนเพราะ

คากระแส IL มากกวา IC นนเอง

อยางไรกตาม ลกษณะสมบตของวงจร R , L , C ขนานทมคากระแส IL มากกวา IC นเรา

สามารถทจะหาไดโดยการพจารณาจากความสมพนธระหวางแรงดน E , กระแส IR , กระแส IX และ

กระแส IT

ซงความสมพนธของคาตวแปรทง 4 ทกลาวมาน จะแสดงใหเหนในรปของเฟสเซอรไดอะแกรมดง

ในรปท 2(ข) โดยใชแรงดน E เขยนเปนแกนอางอง

๓๐

(ก) (ข)

รปท 2

จากเฟสเซอรไดอะแกรมในรปท 2 จะพจารณาเหนไดวาในวงจร R , L , C ขนานในขณะท

เกดกระแส IL มากกวา IC นน จะมลกษณะสมบตของวงจรเหมอนกบลกษณะสมบตของ

วงจร RL ขนานนนเอง

เมอกระแส IC มากกวา IL ( IC > IL )

ในวงจร R , L , C ขนานทมคากระแส IC มากกวา IL จะเขยนเฟสเซอรไดอะแกรมทสมบรณ

ไดดงแสดงใหเหนตามรปท 3 (ก)ซงคาของกระแส IX ทไดจะเหนวาอยในยาน + j ทงนเพราะ

คากระแส IC มากกวา IL นนเอง

อยางไรกตาม ลกษณะสมบตของวงจร R , L , C ขนานทมคากระแส IC มากกวา IL นเรา

สามารถทจะหาไดโดยการพจารณาจากความสมพนธระหวางแรงดน E , กระแส IR , กระแส IX และ

กระแส IT

เชนเดยวกนกบวงจร R , L , C ขนานในขณะทเกดกระแส IL มากกวา IC และความสมพนธของคาตว

แปรทง 4 ทกลาวมาน จะแสดงใหเหนในรปของเฟสเซอรไดอะแกรมดงในรปท 2(ข) โดยใช

แรงดน E เขยนเปนแกนอางอง

๓๑

(ก)

(ข)

รปท 3

จากเฟสเซอรไดอะแกรมในรปท 3 จะพจารณาเหนไดวาในวงจร R , L , C ขนานในขณะท

เกดกระแส IC มากกวา IL นน จะมลกษณะสมบตของวงจรเหมอนกบลกษณะสมบตของ

วงจร RC ขนานนนเอง

ตวอยาง วงจร R , L , C ขนานดงรป จงหาคา (ก) กระแส IR , IL , IC , IX และ IT (ข) อมพแดนซ

และแอดมดแตนซของวงจร (ค) มมเฟส เพาเวอรแฟคเตอร และกาลงงานไฟฟาของวงจร (ง) เขยน

เฟสเซอรไดอะแกรม

๓๒

(ก) วงจร (ข) เฟสเซอรไดอะแกรม

วธทา (ก) IR = = = 2.5Ð0° A

XL = j 2pfL = j 2 ´ 3.14 ´ 50 Hz ´80 ´ 10-3 H = j 25.12 W

IL = = = 3.981Ð-90° A

XC = -j = -j = -j 49W

IC = = = 2.041Ð90° A

IX = IL + IC = 3.981Ð-90° A + 2.041Ð90° A

= (-j 3.981 + j 2.041) A = -j 1.94 A = 1.94Ð-90° A

IT = IR + IX = 2.5Ð0° A + 1.94Ð-90° A

= 2.5 A + (-j 1.94 A) = (2.5 – j 1.94) A

= 3.1644Ð-37.81° A

(ข) Z = = = 31.6Ð37.81° W

Y = = = 31.645Ð-37.81° mS

หรอ Y = G + j(BC - BL)

Y = (1/R) + j(1/XC – 1/XL)

= (1/40 W) + j(1/49 W - 1/25.12 W)

= 25 mS + j(20.408 mS – 39.81 mS)

= (25 – j 19.402) mS = 3.1644Ð-37.81° mS

(ค) เมอ E = 100Ð0° V และ IT = 3.1644Ð-37.81° A

ดงนนจะได Æ = 0° - (-37.81°) = 37.81°

๓๓

หรอ cos Æ = = = 0.79

หรอ cos Æ = = = 0.79

หรอ cos Æ = = = 0.79

Æ = cos-1 0.79 = 37.81°

PF = cos Æ = 0.79 หรอ 79% ลาหลง

P = IR2R = (2.5 A)2 ´ 40 W = 250 W

หรอ P = EIT cos Æ = 100 V ´ 3.1644 A ´ 0.79 = 250 W

วงจร R , L , C ผสม ตอแบบอนกรม – ขนาน

∠ °I1 = 1.6937 -32.13 A

∠ °I2 = 1.4579 45.6 A

∠ °IT = 2.4584 3.3 A

∠ °E = 100 0 V ∅ = 3.3°

R2 = 48 ΩR1 = 50 Ω

C = 65 fµL = 0.1 H

IT

AC

I1 I2

E = 100 V 50 Hz

Z1 Z2

(ก) วงจร (ข) เฟสเซอรไดอะแกรม

รปท 1

วงจร R , L , C ผสม ตอแบบอนกรม – ขนานดงรปท 1 (ก) จะเหนวาในสาขาท 1

ประกอบดวย R1 ตออนกรมกบ L และในสาขาท 2 ประกอบดวย R2 ตออนกรมกบ C โดยมกระแส

I1 ไหลในสาขาท 1 หรอสาขา RL อนกรม และกระแส I2 ไหลในสาขาท 2 หรอสาขา RC อนกรม

๓๔

วงจร R , L , C ผสม ตอแบบอนกรม – ขนาน การหาคาตางๆในวงจรเราจะพจารณาใน

เทอมอนกรมของวงจรกอน แลวจงพจารณาในเทอมขนานทหลง ในสวนของวงจรทอนกรมกนเรา

กตองคดแบบวงจรอนกรม และในสวนของวงจรขนานเรากตองคดแบบวงจรขนานทไดเรยนผาน

มาแลว

จากลกษณะสมบตของวงจร RL อนกรม เราทราบวา กระแสทไหลในวงจรจะตองลาหลง

แรงดนอยเปนมมทนอยกวา 90° (จะลาหลงแรงดนอยเปนมมเทาใดขนอยกบคา R และ XL) และจาก

ลกษณะของวงจร RC อนกรม เราทราบวา กระแสทไหลในวงจรจะตองนาหนาแรงดนอยเปนมมท

นอยกวา 90° เชนเดยวกน ดงนนการคานวณหาคากระแส I1 และ I2 เราสามารถหาไดดงนคอ

วธทา จากวงจรในรปท 1 (ก) จะได

XL = j 2πfL = j 2 × 3.14 × 50 Hz ×0.1 H = j 31.4 Ω

XC = -jfCπ21 = - j

FHz 610655014.321

−×××× = -j 49Ω

Z1 = R1 + j XL = (50 + j 31.4) Ω = 22 4.3150 + ∠tan-1 31.4 / 50 Ω

= 59.042 ∠32.13° Ω

I1 = 1Z

E = Ω°∠

°∠13.32042.59

0100 V = 1.6937∠-32.13° A

Z2 = R2 - j XC = (48 - j 49) Ω = 22 )49(48 −+ ∠tan-1 -49/ 48 Ω

= 68.593 ∠-45.6° Ω

I2 = 2Z

E = Ω°−∠

°∠6.45593.68

0100 V = 1.4579∠45.6° A

๓๕

สวนกระแสทงหมดทไหลในวงจรคอ กระแส IT สามารถหาไดโดยการนากระแส I1 และ I2

มารวมกนทางเฟสเซอรทอยในรปของคอมเพลกซนมเบอรคอ

IT = I1 + I2 = 1.6937∠-32.13° A + 1.4579∠45.6° A

= (1.4343 – j 0.9) A + (1.02 + j 1.0416) A = (2.4543 + j 0.1416) A

= 2.4584∠3.3° A

เมอ E = 100∠0° V และ IT = 2.4584∠3.3° A

ดงนนจะไดมมเฟสของวงจรคอมม ∅ = 3.3° - 0° = 3.3° และเพาเวอรแฟคเตอร

ของวงจรมคาเทากบ cos ∅ ดงนน จะได

PF = cos ∅ = cos 3.3° = 0.9983 หรอ 99.83 % นาหนา

สวนกาลงงานไฟฟาทงหมดของวงจรจะมคาเทากบ

P = EIT cos ∅ = 100 V × 2.4584 A × 0.9983 = 245.5 W

หรอ P = P1 + P2 = I12R1 + I2

2R2

= (1.6937 A)2 × 50 Ω + (1.4579 A)2 × 48 Ω

= 143.4 W + 102 W = 245.4 W

และเฟสเซอรไดอะแกรมของวงจร R , L , C ตอแบบอนกรม – ขนานดงรปท 1 (ก) สามารถ

ทจะเขยนแสดงใหเหนไดในรปท 1 (ข)

วงจร R , L , C ผสม ตอแบบขนาน – อนกรม

วงจร R , L , C ผสม ตอแบบขนาน – อนกรม การหาคาตางๆในวงจรเราจะพจารณาใน

เทอมขนานของวงจรกอน แลวจงพจารณาในเทอมอนกรมทหลง ในสวนของวงจรทขนานกนเราก

๓๖

ตองคดแบบวงจรขนาน และในสวนของวงจรอนกรมเรากตองคดแบบวงจรอนกรมทไดเรยนผาน

มาแลว

วงจร R , L , C ผสม ตอแบบขนาน – อนกรม ดงในรปท 2 (ก) จะเหนวาในกลมแรก

ประกอบดวย R1 ตอขนานกบ L และในกลมท 2 ประกอบดวย R2 ตอขนานกบ C การคานวณหา

คากระแส I1 , I2 , I3 , I4 และ IT ของวงจร จะตองหาคาอมพแดนซ Z1 , Z2 และ ZT ของวงจรกอน

ซงจะหาไดดงนคอ

∠ °V1 = 115.3 50.55 V

∠ °V2 = 171.64 -31.25 V

∠ °IT = 5.8953 12.05 A

∅ = 12.05° ∠ °E = 220 0 V

AC∠ °E = 220 0 V 50 Hz

L = 0.1 H

R2 = 40 ΩR1 = 25 Ω

C = 75 fµ

IT

I1 I3

I2 I4

V1,Z1,P1ZT

V2,Z2,P2

(ก) วงจร (ข) เฟสเซอรไดอะแกรม

รปท 2

วธทา จากวงจร R , L , C ผสม ตอแบบขนาน – อนกรม ดงในรปท 2 (ก) จะได

XL = j 2πfL = j 2 × 3.14 × 50 Hz ×80 × 10-3 H = j 25.12 Ω

XC = -jfCπ2

1 = -jFHz 610655014.32

1−××××

= -j 49Ω

BL = - jLX

1 = - jΩ4.31

1 = - j 31.8471 mS.

BC = jCX

1 = jΩ46.42

1 = j 23.5516 mS.

๓๗

G1 = 1

1R

= Ω25

1 = 40 mS.

G2 = 2

1R

= Ω40

1 = 25 mS.

Y1 = G1 - j BL = (40 - j 31.8471) mS = 51.13∠-38.5° mS

Y2 = G2 + j BC = (25 + j 23.5516) mS = 34.3464∠43.3° mS

Z1 = 1

1Y

= .5.3813.51

1mS°−∠

= 19.558∠38.5° Ω

Z2 = 2

1Y

= .3.433464.34

1mS°∠

= 29.115∠-43.3° Ω

ZT = Z1 + Z2 = 19.558∠38.5° Ω + 29.115∠-43.3° Ω

= (15.306 + j 12.175) Ω + (21.189 - j 19.968) Ω

= (36.495 - j 7.793) Ω = 37.318∠-12.05° Ω

IT = TZ

E = Ω°−∠

°∠05.12318.37

0220 V = 5.8953∠12.05° A

V1 = IT Z1 = 5.8953∠12.05° A × 19.558∠38.5° Ω

= 115.3∠50.55° V

V2 = IT Z2 = 5.8953∠12.05° A × 29.115∠-43.3° Ω

= 171.64∠-31.25° V

I1 = 1

1

RV =

Ω°∠°∠

02555.503.115 V = 4.612∠50.55° A

I2 = LjX

V1 = Ω°∠°∠

904.3155.503.115 V = 3.672∠-39.45° A

๓๘

I3 = 2

2

RV =

Ω°∠°−∠

04025.3164.171 V = 4.291∠-31.25° A

I4 = CjX

V−

2 = Ω°−∠°−∠

9046.4225.3164.171 V = 4.042∠58.75° A

เมอ E = 220∠0° V และกระแส IT = 5.8953∠12.05° A ดงนนจะไดมมเฟสของวงจร

คอ

มม ∅ = 12.05° - 0° = 12.05° และเพาเวอรแฟคเตอรของวงจรมคาเทากบ cos ∅

ดงนนจะได

PF = cos ∅ = cos 12.05° = 0.978 หรอ 97.8 % นาหนา

สวนกาลงงานไฟฟาทงหมดของวงจรจะมคาเทากบ

P = EIT cos ∅ = 220 V × 5.8953 A × 0.978 = 1268.4 W

หรอ P = P1 + P2 = I12R1 + I3

2R2

= (4.612 A)2 × 25 Ω + (4.291 A)2 × 40 Ω

= 531.8 W + 736.5 W = 1268.3 W

และเฟสเซอรไดอะแกรมของวงจร R , L , C ตอแบบขนาน – อนกรมดงรปท 2 (ก) สามารถ

ทจะเขยนแสดงใหเหนไดในรปท 2 (ข)

๓๙

สารบญ

- http://www.kat.ac.th/Web_elec/Analysys%20%20Electrical%20Circut%203

105-1001/Plan09.htm

- http://www.kat.ac.th/Web_elec/Analysys%20%20Electrical%20Circut%203

105-1001/Plan10.htm

- http://www.kat.ac.th/Web_elec/Analysys%20%20Electrical%20Circut%203

105-1001/Plan11.doc

-

๔๐