กฏเบื้องต นของเลขยกกําลัง ตัวอย าง ·...

MATH Online III http://www.pec9.com บทท่ี 7 ฟงกชั่นเอ็กโปแนนเชียลและลอการิทึม

! "!

คณิตศาสตร บทท่ี 7 ฟงกช่ันเอ็กโปแนนเชียลและลอการิทึม

ตอนท่ี 1 เลขยกกําลัง และราก

ความหมาย an = a . a . a . a ……… a เชน 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 กฏเบื้องตนของเลขยกกําลัง ตัวอยาง 1. am . an = am+n 72 . 73 = 72 + 3 = 75

72 . 53 ≠ 72 + 3 72 + 73 ≠ 72 + 3

2. nama = am–n 47

97 = 79 – 4 = 75 3. (am)n = amn (53)6 = 53.6 = 518 4. (a.b)n = an . bn (6.7)4 = 64 .74

[52 .34] = (52)3 . (34)3 = 56 . 312 [4–2 .75] = 412 . 7–30

5. [ ]nba = nbna [ ]587 = 58

57

6. a0 = 1 เวน 00 ไมนิยาม 90 = 1 7. a–n = na1 และ an = n-a1 7–5 = 57

1 หรือ 83 = 3-81

6-51 = 56 หรือ 34

1 = 4–3

หรือ [ ]-587 = [ ]578

1. จงหาคาตอไปน้ี 1. 23 . 22 2. 27

57 3. 52 + 53 4. 32 . 42 วิธีทํา

ตอบ 1. 25 2. 73 3. 150 4. 144

เลขชี้กําลัง!

n ตัว!ฐาน!


! #!

2. จงหาคาตอไปน้ี 1. (23 ) 2 2. (3 . 4 ) 2 3. 3)34( วิธีทํา

ตอบ 1. 26 2. 32 . 42 3. 3334

3. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปที่มีเลขชี้กําลังเปนบวก

1. 231− 2. 3

5a 8 − 3. Zc 3y b. xa −

− วิธีทํา

ตอบ 1. 32 2. 5a 38 3. xa 3

y b. zc

4. ถา x > 0 , x ≠1 , m และ n เปนจํานวนเต็มบวก ขอความตอไปน้ีเปนจริงหรือเท็จ 1. $%

"&%" = xm – n 2. $%

&%− = xm – n

3. $%"− = xn 4. xm + xn = x m+n

5. xm > 1 ก็ตอเม่ือ x > 1 วิธีทํา ตอบ 1. X 2. X 3. √ 4. X 5. √

5. จงทําใหเปนรูปอยางงายและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก 1. 0.2 53

5.3 32 −−− 2. (12x2 y4 ) ( #" x5 y) ( '" , 6x7 y5 )

วิธีทํา


! (!

6. จงทําใหเปนรูปอยางงายและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก 1.

!%)#%*!%(+, 2. b4 ( (" b2 ) (12b– 8 ) ( 16x10 , #-

+ )

วิธีทํา 7. จงทําใหเปนรูปอยางงายและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก 1. (a– 5 b7 ) (a– 2 b– 7 C0 ) 2. (2ab– 1 ) (ab2 )– 2 ( ./

" , 0/-# )

วิธีทํา 8. จงทําใหเปนรูปอยางงายและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก

1. ( #" x– 3 y2 )– 4 2. #

(-!#(/"

−

− ( '1"#"2% , 2-

+,/ )

วิธีทํา 9. จงทําใหเปนรูปอยางงายและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก

1. 1#%

(*+)%1!*(1#)% − 2. "

'3%!01#13!"%

−

−−−− ( "41(%

" , 21.%(3 )



! +!

10. จงหาคาของ

1. (#

#. 2. +"

"2!−

3. #(

)45#0* 4. (#

)454#.* วิธีทํา ตอบ 1. 9 2. #" 3. 0.125 4. 0.09 11. จงหาคาของ

1. ( )(#"#0" 2. (

"!"#0*)

−− 3. ( )(

##.− 4. ( )#("2

, วิธีทํา ตอบ 1. #0" 2. – 0" 3. 9 4. 2+#. 12. จงหาคาของ

1. ( ) (#!

!'" −

− 2. ( ) (#!'" ( 4 , +" )



! 0!

13. จงทําใหอยูในรูปอยางงาย และมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนบวก

1. #"

2+1+%− 2. (

#

21#.%( ( (1##%

" , +1#,% )

วิธีทํา 14. จงทําใหอยูในรูปอยางงาย และมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนบวก

1. (

#(!6

%

%(#

2.

#

+"%

("1!#

"% ( #

"(% , (

#1!!#

"% )


15. จงทําให ("

1!2#.%+1!(!%"#0

− อยูในรูปอยางงาย และมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนบวก ( (0 x3 y)



! 2!

16(มช 36) กําหนดให 1b)1a(3)ba(3 . a)1b(3

++++ = 3k จงหาคาของ k (a–1)


กฏเกี่ยวกับเลขยกกําลัง (เพิ่มเติม) (x2 – y2) = (x – y) ⋅(x + y) ผลตางกําลัง 2 (x3– y3) = (x – y) ⋅ (x2 + xy+ y2) ผลตางกําลัง 3 (x3+ y3) = (x + y) ⋅ (x2 – xy+ y2) ผลบวกกําลัง 3

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

17. จงทําใหอยูในรูปอยางงาย −−−−−−1y1x2y2x

( xyxy+ )


กําลังสองสัมบูรณ!


! .!

18. จงทําใหอยูในรูปอยางงาย 1x2x112x2x

−+−+−+−

(x+1)


19. จงทําใหอยูในรูปอยางงาย ++− 32y31y31x32x31y31x (x – y)


นิยาม n x = a ก็ตอเม่ือ an = x

เชน 3 64− = –4 เพราะ (–4)3 = –64 4 81 = 3 เพราะ 34 = 81

สมบัติเกี่ยวกับรากที่ควรรู

1. n x เม่ือ n เปนจํานวนเต็มคู ใหตอบเฉพาะคําตอบท่ีเปนบวกเทาน้ัน เชน 2 25 = 5 เทาน้ัน

2. ถา x < 0 แลว n x จะคิดได 2 กรณี ดังน้ี

n x จะหาคาจํานวนจริงไมได ถา n เปนเลขคู เชน 2 9− หาคาไมได

n x จะหาคาได ถา n เปนเลขค่ี เชน 3 8− = –2

3. n x = n1x เชน 3 8 = 318 เปนตน

ลองพิจารณา 3 35 = 31)3(5 = 5 จํางาย ๆ 3 35 = 5


! '!

4. ( n x )n = x เชน ( 7 3 )7 = 3

x เม่ือ n เปนเลขค่ี เชน 3 38− = –8

|x| เม่ือ n เปนเลขคู เชน 2 26− = |–6| = 6

6. n yx = n yn x เมื่อ x > 0 และ y > 0 และ n เปนจํานวนเต็มบวกท่ีไมใช 1

n xy = n x ⋅ n y ถา x < 0 และ y < 0 จะใชได เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกค่ี

20. ขอความตอไปน้ีเปนจริงหรือเท็จ

1. 49 = –7 2. 16− = –4 3. 3 64− = –4 ตอบ 1. x 2. x 3. √√√√


1. 25 = 5 2. 44 6− = –6 3.

33 9− = –9 ตอบ 1. √√√√ 2. √√√√ 3. √√√√


1. 5 57− = –7 2. 6 63− = –6

3. 4 45− = 5 4. 3 35− = –5 ตอบ 1. √√√√ 2. x 3. √√√√ 4. √√√√

23. จงหาคาของ 1. 57 2. ( (!!( # 3.

,#. 4. ( 2

( .#

วิธีทํา ตอบ 1. (0 2. ( 2 3. ( 4. ("#

5. n nx =


! ,!

24. จงทําจํานวนตอไปน้ีใหอยูในรูปอยางงาย 1. #'% 2. ( #.

(−

3. + #02 4. ( 2+ 5. 2 2+"


ตอบ 1. 2 # x 2. –1 3. 4 4. 4 5. #" 25. จงเขียนจํานวนตอไปน้ีใหอยูในรูปท่ีตัวสวนไมติดกรณฑ 1. #

0 2. "0#" 3. #4

( 4. "##,2 5.

"#+'(

วิธีทํา ตอบ 1. #

"4 2. 0(0 3. "4

"0 4. # 5. +2

26. จงทําผลคูณตอไปนี้ใหอยูในรูปอยางงาย 1. .0"# 2. "## 3. ( +!!( 0+ 4. #.,( วิธีทํา

ตอบ 1. 30 2. 2 2 3. 6 4. 27


! "4!

27. จงหาคาของ 1. 3 # ⋅ 4( 0 2. ( +

(2

วิธีทํา ตอบ 1. 122 #44 2. 3 2 +

28. จงทําใหเปนผลสําเร็จ 1. 3 0 ( "4 +2 0 ) 2. ( ( + # ) ( ( – # ) 3. (2 + ( )2 วิธีทํา ตอบ 1. 15( # + 2) 2. 1 3. 7 + 4 (

29. จงทําใหเปนผลสําเร็จ 1. ( 0 – 2) (2 0 – 1) 2. (2 ( + . ) (2 ( – . )

วิธีทํา ตอบ 1. 12 – 5 0 2. 5


! ""!

30. จงทําใหอยูในรูปอยางงาย 1. "'!!(#!!04 −+ 2. ("4'!!!( (##!!( +0 −+ 3. 3 1923 3753 81 −+ วิธีทํา ตอบ 1. 6 # 2. 6( + 3. 4( ( 31. จงทําให ,%0"2%!!(+% +− อยูในรูปอยางงาย { (2 – 4x + x3 ) ⋅ x % } วิธีทํา 32. จงทําให + 2+(##( −+ อยูในรูปอยางงาย ( 5 # ) วิธีทํา


! "#!

33. จงหาคาของ 1473 !– 7 271 – 311 31 1. 313 2. 315 3. 317 4. 319 (ขอ 4) วิธีทํา 34. จงเขียนจํานวนตอไปน้ีใหตัวสวนอยูในรูปท่ีไมติดกรณฑ 1.

(!##"+

2. (!!##

"−

3. .!2(.#!!2"4

#!+−


ตอบ 1. 0(!!## − 2. 0

(!!## + 3. 8 – +# 35. จงทําให

"!!("!!(!!!!

"!!("!!(

−++

+− อยูในรูปอยางงาย ( 4 )



! "(!

36. จงหาคากําลังสองของ 7!8!!78 −++ ( 2p + 2 #7#8 − ) วิธีทํา

37. จงหาคากําลังสองของ #-!!!#/#!!!!!#-#/( −−+ ( 13a2 + 5b2 – 12 ++/ -!!− ) วิธีทํา 38. จงแกสมการ & – 8 = 0 (64) วิธีทํา 39. จงแกสมการ "42!"!0%! !! =++ (3) วิธีทํา

40. จงแกสมการ 0!!#9 + = r (φ ) วิธีทํา


! "+!

41. จงแกสมการ !.!%!+ = x – 5 ( 9 ) วิธีทํา 42. จงแกสมการ !.!%!+ = !"!(%!+ (3) วิธีทํา 43. จงแกสมการ %!!!!!"!%! −+ = 2 (φ) วิธีทํา 44. จงแกสมการ %!!"#!%! ++ = 2 (φ) วิธีทํา

45. จงแกสมการ – !#"!!#% + = x + 3 (φ) วิธีทํา


! "0!

46. จงแกสมการ 0!(%!!!+!(%! −++ = 9 (7) วิธีทํา 47. จงแกสมการ #!%!!!"!+%! −−+ = !(!%!+ ( 6) วิธีทํา

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ตอนท่ี 2 ฟงกช่ันเอ็กโปแนนเชียล

ความหมายของฟงกช่ันเอ็กโปแนนเชียล คือ ฟงกชั่น f = {(x , y) / y = ax เม่ือ a > 0 และ a ≠ 1} ขอควรทราบ 1) ฟงกชั่นเอ็กโปแนนเชียลม ี 2 แบบ คือ

1.1 ฟงกชั่นเพิ่ม 1.2 ฟงกชั่นลด ฟงกชั่นนี้ เม่ือ x เพิ่มขึ้นคา y จะ เพ่ิมตาม จะเกิดเม่ือ a > 1 เชน y = 2x 21 = 2 –1

1 = 20 2 = 21 4 = 22

ฟงกชั่นนี้ เม่ือ x เพิ่มขึ้นคา y จะลดลง จะเกิดเม่ือ 0 < a < 1 เชน y = ( 21 )x

21 = ( 21 )1

41 = ( 21 )2

61 = ( 21 )3

2) y = a x ← โดเมนคือ เซตของจํานวนจริง เร็นจ คือ เซตของจํานวนจริงบวก

!


! "2!

48. ฟงกชั่นตอไปนี้เปนฟงกเอ็กซโพแนนเชียลหรือไม 1) y = 5x 2) y = ( 23 )x 3) y = 0x 4) y = –0.5x 5) y = 1x ตอบ 1. เปน 2. เปน 3. ไมเปน 4. ไมเปน 5. ไมเปน

49. ฟงกชั่นตอไปนี้เปนฟงกชั่นเพิ่มหรือฟงกชั่นลด 1) y = 5x 2) y = ( 71 )x 3) y = x2 4) y = (sin 45)x 5) y = [ ] x

21−

ตอบ 1. เพ่ิม 2. ลด 3. เพ่ิม 4. ลด

50. ถา f(x) = 2–x และ g(x) = 3x จงหาคาของ 1. f(2) 2. g(3) 3. f(0) + g(0) 4. (fog) (1) วิธีทํา

ตอบ 1) +" 2) 27 3) 2 4) '"

วิธีการแกสมการ เอ็กซโปแนนเชียล ข้ันท่ี 1 ทําใหฐานเทากัน

ข้ันท่ี 2 ตัดฐานท้ิง คิดแตกําลัง

51. จงแกสมการ 10x = 100 ( 2 ) วิธีทํา 52. จงแกสมการ 3 x = #." ( –3 ) วิธีทํา 53. จงแกสมการ 16 x = 4 ( #" ) วิธีทํา 54. จงแกสมการ ( )%#" = 16 ( –4 ) วิธีทํา


! ".!

55. จงแกสมการ 4–x = 2+" ( 3 ) วิธีทํา

56. จงแกสมการ ( )#%#" = 64 ( –3 )

วิธีทํา 57(มช 34) ถา 4x + 22x = 8 แลว (3x)x เทากับ…. (3) วิธีทํา 58. ธาตุเรเดียมมีคร่ึงชีวิต 1600 ป ถาเดิมมีธาตุเรเดียมอยู qo มิลลิกรัม และ q เปนปริมาณ เรเดียมท่ีเหลือเม่ือผานไป t ป qo และ q มีความสัมพันธดังนี้คือ q = qo 2kt จงหา k

วิธีทํา ( –"244" )

วิธีแกอสมการ เอ็กซโปแนนเชียล ข้ันท่ี 1 ทําใหฐานเทากัน ข้ันท่ี 2 ตัดฐานทิ้ง คิดแตกําลัง แตระวังวา หาก 0 < a < 1 (ฐาน) ตองกลับอสมการเสมอ 59. จงหาเซตคําตอบของอสมการตอไปน้ี

1. 16x > 4 2. 4–x ≥ 641 { 1) (0.5,∞∞∞∞) 2) (–∞∞∞∞, 3 ] } วิธีทํา


! "'!

60. จงหาเซตคําตอบของอสมการตอไปน้ี 1. 5x ≤ 125 2. ( )%(# ≥ "2'" { 1) (–∞∞∞∞, –3] 2) (–∞∞∞∞, – 4] }


61. จงหาฟงกชันเอกซโพเนนเซียล y = ax ของกราฟในแตละขอตอไปน้ี 1. 2. วิธีทํา ตอบ 1) y = 3x 2) y = 5x

62. จงหาฟงกชันเอกซโพเนนเซียล y = ax ของกราฟในแตละขอตอไปน้ี 1. 2. วิธีทํา

ตอบ 1) y = ( +" )x 2) y = ( #" )x

X –2 0 2

2 4 6 8 10 12 14

Y

(2,9) ⋅

Y

X

2

4

6

–2 0

(–1, 51 ) ⋅

2

Y

X

2

4

6

–2 0 (2, 16

1 ) ⋅2

2

X

4 6

–2 0

(–3, 8 ) ⋅

2

8 10

Y


! ",!

ตอนท่ี 3 ฟงกช่ันลอการิทึม

ตัวอยาง 34 = 81 ตัวอยาง log2 16 = 4 4 = log3 81 16 = 24

ตัวอยาง 23 = 8 ตัวอยาง log10 100 = 2 3 = log2 8 100 = 102

63. จงเขียนสมการตอไปน้ีใหอยูในรูปลอการิทึม

1. 42 = 16 2. 3227 = 9 3. ( 21 )2 = 41

4. 2–6 = 641 5. 31 = 3 6. 43256 = 64 วิธีทํา ตอบ 1) 2 = log4 16 2) 32 = log279 3) 2 = 4121

log

4) –6 = )641(2log 5) 1 = log33 6) 43 = log25664

64. จงเปล่ียนใหอยูในรูปเลขยกกําลัง 1. log10 100 = 2 2. log5 1 = 0 3. log3 3 = 1 4. 25

51log = –3 5. log2 32 = 5 6. log28 = 3

วิธีทํา ตอบ 1] 100 = 102 2] 1 = 50 3] 3 = 31

4] 25 = ( 51 )–3 5] 32 = 25 6] 8 = 23

65(En 21) ถา x2log9 = 729 แลว x มีคาเทากับเทาใด 1. 1 2. 8 3. 18 4. 21 5. 27 (ขอ 2) วิธีทํา


! #4!

66(En 28) ถา a , b , c และ d เปนจํานวนจริงบวก ซึ่งไมเทากับ 1 แลว dcba เปนคําตอบของ

สมการใด 1. loga [logb (logc x)] = d 2. logb [logc (logd x)] = a

3. logc [logb (loga x)] = d 4. logd [logc (logb x)] = a (ขอ 3) วิธีทํา

จากฟงกชั่นเอ็กซโปแนนเชียล ax = y อินเวอรสคอื ay = x ซ่ึงอาจเขียนรูปใหมเปน y = loga x ฟงกช่ันน้ีเรียก ฟงกลอการิทึม

ดังนั้น ฟงกชั่นลอการิทึม คือ อินเวอรสของฟงกชั่นเอกซโปแนนเชียล

ขอควรทราบ 1) ฟงกชั่นลอการิทึม มี 2 แบบ คือ 1.1) ฟงกชั่นเพิ่ม

คือ ฟงกชั่นซึ่งเมื่อคา x เพิ่มแลว คา y จะเพ่ิมตามเกิดเม่ือ a > 1

1.2) ฟงกชั่นลด คือ ฟงกชั่นซึ่งเมื่อคา x เพิ่มแลว คา y จะลดลงเกิดเมื่อ 0 < a < 1

2) y = logax ← โดเมนคือ x > 0 a > 0 และ a ≠ 1 เร็นจ คือ y ซ่ึงเปนจํานวนจริงใด ๆ

สมบัติของลอกการิทึม 1. loga(M.N) = logaM + logaN

2. loga )NM( = logaM – logaN

3. xMalog = x logaM


! #"!

4. Mxalog = x1 logaM

5. Mxalog = x1Malog

6. logaM = xMxalog

7. log a a = 1 8. log a 1 = 0 9. Maloga = M 10. logNM = Nalog

Malog 10. loga N1 = N

a1log

11. logab = ablog1

13. logax = logay ก็ตอเม่ือ x = y

67. จงเติม ตอไปน้ีใหสมบูรณ 1. log y2 = log y 2. log 1/2x = log x 3. log 3 k = log k

68. จงเติม ตอไปน้ีใหสมบูรณ 1. Z)6(3log = log3Z 2. X)8(4log = log4X

69. จงเติม ตอไปน้ีใหสมบูรณ

1. )4(X)5(3log = log3X 2. )2(6)3(Ylog = logY6

3. )4(Xk

log =

70. จงเติม ตอไปน้ีใหสมบูรณ

1. X)(Z

log43 = logZX 2. 6

)2(Zlog = logZ6

3. X)Z(

log = logZX 4. )5(2Zlog = log 2

log a 0 = หาไมได log 0 a = หาไมได log 1 a = หาไมได


! ##!

71. จงหาคาตอไปน้ี 1. log77 2. log71 3. log 3 (35) 4. log39 วิธีทํา ตอบ 1. 1 2. 0 3. 5 4. 2 72. จงหาคาตอไปน้ี 1. log24 2. 3 22log 3. log10100 4. log100.1 วิธีทํา ตอบ 1. 2 2. 31 3. 2 4. –1 73. จงหาคาตอไปน้ี

1. loga(logaa) 2. log3(logaa3) 3. log2(log24) 4. log10(0.001)12 วิธีทํา ตอบ 1. 0 2. 1 3. 1 4. –36

74. จงหาคาตอไปน้ี

1. 326441

log 2. 255log255log ( –2 , 4 )

วิธีทํา 75. จงหาคาของ log365 เม่ือให log65 = 0.8982 (0.4491) วิธีทํา 76. จงหาคาของ log6446 เม่ือให log446 = 2.7617 (0.9206) วิธีทํา


! #(!

77. จงหาคาของ log1035 + log106 – log107 + log1010 – log103 (2) วิธีทํา 78(มช 36) กําหนดให log273 = a , log2b = –3 และ logc ( )49 = –2 จงหาคาของ a + b + c ( 89 ) วิธีทํา 79. จงหาคาตอไปน้ี

1. 37log7 2. (10)

33log3 ( 3 , 3210 )


!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ตอนท่ี 4 ลอกสามัญ และ ลอกธรรมชาติ

ลอกสามัญ คือ ลอกที่มีฐานเปน 10 เชน log10a = log a

ดังน้ัน log b = log10b log c = log10c ลองพิจารณา log 10 = log1010 = 1 log 100 = log 102 = 2 log 10 = 2(1) = 2 log 1000 = log 103 = 3 log 10 = 3(1) = 3 log 0.01 = log 10–2 = –2 log 10 = –2(1) = –2 log 1 = log101 = 0


! #+!

80. จงหาคาตอไปน้ี 1. log 100000 2. log 0.0001 3. log 2 + log 50 4. log 3 – log 300 วิธีทํา ตอบ 1. 5 2. –4 3. 2 4. –2

โปรดสังเกตุวา จะเปนลบ เม่ือ 0 < a < 1 log a จะเทากับ 0 เม่ือ a = 1 จะเปนบวก เม่ือ a > 1 กรณีที ่ a ไมสามารถเขียนเปน 10n ไดโดยงาย การหา log a ตองใชตาราง log

81. กําหนด log 2 = 0.3010 และ log 3 = 0.4771 จงหาคาตอไปน้ี 1. log 8 2. log 9 3. log 6 4. log 300 5. log 0.02 วิธีทํา ตอบ 1. 0.9030 2. 0.9542 3. 0.7782 4. 2.4771 5. –1.6990

82. กําหนด log 3.51 = 0.5453 จงหาคาของ 1. log 3510 2. log 0.351 (3.5453 , –0.4547) วิธีทํา


! #0!

83(มช 35) 6 log 5 – log 4 + log 108 log 2 มีคาเทากับ ...................... (6) วิธีทํา

กรณี log b a เม่ือ b ≠ 10 การหาคา log ตองใชสูตรตอไปน้ี สูตร logNM = Nlog

Mlog

ตัวอยางเชน log32 = 3log 2log = 0.47710.3010 = 0.6309

84. จงหาคาตอไปน้ี 1. log 2 10 2. log 3 6 3. log 2 9 วิธีทํา ตอบ 1. 3.33219 2. 1.6309 3. 3.1700

ลอกธรรมชาต ิ คือ ลอกฐาน e เม่ือ e คือ จํานวนธรรมชาติ ซึ่งเทากับ 2.71828

เชน logea = ln a ดังน้ัน ln b = logeb ln c = logec ตัวอยางการหาคาลอกธรรมชาต ิ ln2 = loge2 = elog

2log = 2.71828log 2log = 0.43430.3010 = 0.6931


! #2!

85. จงหาคาของ 1. ln 32 2. ln 103 (2.197 , 6.908 ) วิธีทํา 86. จงหาคาของ 1. ln 2 + ln 10 – ln 20 2. eln3 (0 , 3 ) วิธีทํา

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ตอนท่ี 5 โจทยเก่ียวกับเอ็กโปแนนเซียล และลอกการิทึม

87. จงหาคาของ x จากสมการตอไปนี ้ 1. log x = –2 2. ln x = 10

วิธีทํา ตอบ 1) 0.01 2) e10 88. จงหาคาของ x จากสมการตอไปนี ้ 1. log 2x = 3 2. log (3x + 5) = 2 วิธีทํา

ตอบ 1) 500 2) ( )(,0


! #.!

89. จงแกสมการ 2 log 2x = 2 ( 5 ) วิธีทํา 90. จงแกสมการ log4 log3 log2 (x2 – 2x) = 0 ( 4 , –2 ) วิธีทํา

91. จงแกสมการ log4 log3 log2 2x)2(x7log

7−

= 0 ( 4 , –2 ) วิธีทํา 92. จงแกสมการ log4 { 2 log[10 + log2 (1 + 3log2 x)]} = 2

1 ( 1 ) วิธีทํา


! #'!

93. จงแกสมการ log a + log(a – 9) = 1 ( 10 ) วิธีทํา 94. จงแกสมการ log5 (x + 1) – log5 (x – 1) = 2 ("#"( ) วิธีทํา 95. จงแกสมการ log9 (x – 5) + log9 (x + 3) = 1 ( 6) วิธีทํา 96. จงแกสมการ log3 x + log9 x + log27 x = 11 ( 36 ) วิธีทํา


! #,!

97. จงแกสมการ log x = log2 + log 5 ( 10 ) วิธีทํา 98. จงแกสมการ 4 log x – log 81 = 0 ( 3 ) วิธีทํา 99. จงแกสมการ log 2x = 3 log 5 + 4 log 2 – 3 log 6 ( 3)610( ) วิธีทํา 100. จงแกสมการ log(x + 2) + log(3x – 4) = log(1 + 2x) ( 3 ) วิธีทํา 101. จงแกสมการ log(2 – x) = log(4 + 2x) –2 ( 1.92 ) วิธีทํา


! (4!

102. จงแกสมการ log2 3 + log2 x = log2 5 + log2 (x–2) ( 5 ) วิธีทํา 103(มช 34) ถา (log3xy3) (log53x) = logxx3 แลว y มีคาเทากับ............. (5 ) วิธีทํา

104(มช 36) จงหาคา x จากสมการ (log35) ⋅ (log510) ⋅ (log10x) = 864log 2

4 (81) วิธีทํา 105. จงหาคาของ x จากสมการตอไปนี ้ 1. 2x = 32 2. 3x = 36 ( 5 , log3

log3 2 log2 2 + ) วิธีทํา


! ("!

106. จงแกสมการ 23x+1 = 3x–2 −+:;<#!(!!:;<(:;<(!#!!:;<#!


107. จงแกสมการ 5x = 4x+1 − #!:;<!(!!"#!:;<!#

วิธีทํา 108. จงแกสมการ x2 2x – 2 x = 0 { 1 , –1 } วิธีทํา 109. จงแกสมการ 4x3 e–3x – 3x4 e–3x = 0 { 0 , (+ } วิธีทํา


! (#!

110. จงแกสมการ 22x – 3. 2x + 2 = 0 { 0 , 1} วิธีทํา 111. จงแกสมการ 34x + 4 . 32x – 21 = 0 ( #

" ) วิธีทํา 112. จงแกสมการ 22x+2 – 9(2x) + 2 = 0 (–2, 1) วิธีทํา


! ((!

113. จงแกสมการ 32x+1 + 9 = 28(3x) (–1, 2 ) วิธีทํา 114. จงแกสมการ 32x – 3x = 72 (2 ) วิธีทํา 115. จงแกสมการ 34x+2 – 2 ⋅ 32x+1 + 86 = 89 (0 )



! (+!

116. ให x เปนจํานวนจริงบวก ซึ่งสอดคลองสมการ 2x = 310 – 2–x จงหาคา x ( 2log 3log )


!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ตอนท่ี 6 การประยุกตฟงกช่ันเอ็กโปแนนเซียล และลอกการิทึม

117. จํานวนแบคทีเรียในการเพาะเช้ือจุลินทรีย ใน t ช่ัวโมง มีสูตร n(t) = 500 e0.45t จงหาวาเปนเวลานานก่ีช่ัวโมง จึงจะมีจํานวนแบคทีเรีย 10000 ตัว ( 7 )



! (0!

118. ในป พ.ศ. 2541 จํานวนประชากรของจังหวัดหน่ึงเทากับ 112,000 คน และมีอัตราการ การเติบโตเทากับ 4% ตอป ถามวาจังหวัดนี้ จะมีประชากร 200,000 คน ป พ.ศ.ใด (2556)

กําหนดให n(t) = no (1 + r)t เม่ือ n(t) แทน จํานวนประชากรเม่ือเวลาผานไป t

n0 แทน จํานวนประชากร ณ จุดเร่ิมตน r แทน อัตราการเติบโตของจํานวนประชากรตอเวลา t แทน เวลา วิธีทํา

119. ธาตุซีเซียม–137 มีคร่ึงชีวิต 30 ป ถามีธาตุซีเซียมที่เปนกลุมตัวอยางจํานวน 10 กรัม จงหาวาจะใชเวลานานกี่ป จึงจะมีซีเซียมเหลืออยู 2 กรัม (70 ป)

กําหนดให m(t) = mo e–rt เม่ือ n(t) แทน ปริมาณของสารกัมมันตภาพรังสีที่เหลืออยูเมื่อเวลาผานไป t

n0 แทน ปริมาณของสารกัมมันตภาพรังส ีณ จุดเร่ิมตน r แทน =#:$! h แทน คร่ึงชีวิต วิธีทํา


! (2!

120. ถาสารกัมมันตภาพรังสีจํานวน 250 มิลลิกรัม สลายตัวเหลอือยู 200 มิลลิกรัม ในเวลา 48 ช่ัวโมง จงหาคร่ึงชีวิตของสารน้ี (149 ชั่วโมง) วิธีทํา

121. ถาคา pH ของนมชนิดหน่ึงเทากับ 6.5 จงหาความเขมขนของประจุไฮโดรเจน H+ ในนมน้ี (3.162x10–7 โมล/ลิตร) กําหนดให pH = –log [H+ ] เม่ือ pH แทน ระดับความเปนกรด – ดางของสารละลาย [H+ ] แทน ความเขมขนของประจุไฮโดรเจน หนวยเปนโมล/ลิตร วิธีทํา


! (.!

122. ถาระดับความเขมเสียงของรถไฟฟาเทากับ 98 เดซิเบล รถไฟฟานี้จะมีความเขมเสียง ก่ีวัตตตอตารางเมตร (6.31x10–3 ) กําหนดให β = 10 log

4>!:

เม่ือ β แทน ระดับความเขมเสียงมีหนวยเปนเดซิเบล I แทน ความเขมเสียงที่ตองการวัด I0 แทน ความเขมเสียงที่หูคนปกติเริ่มไดยิน = 10–12 วัตต/ตารางเมตร วิธีทํา

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

กฏเบื้องต นของเลขยกกําลัง ตัวอย าง ·...

Documents