第3章 対流熱伝達

Prof. H. Takamatsu1

3.1 対流熱伝達の概要

対流熱伝達（ f ）対流熱伝達（convective heat transfer）流体の移動により熱エネルギーが移動する熱輸送様式

3.1.1 対流熱伝達の分類

流れ場の幾何形状による分類流れ場の幾何形状による分類

外部流れ（external flow）

内部流れ（internal flow）内部流れ（internal flow）

外部流れ（翼周りの流れ） 内部流れ（管内流）

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図3.2

流れの駆動力による分類流れの駆動力による分類

強制対流（forced convection）

機械的手段 より強制的 発生機械的手段により強制的に発生させられた対流

自由対流（free convection） or自然対流（natural convection）

温度差による浮力で発生する対流

共存対流（mixed convection）共存対流（ ed co ec o ）

両方の影響を受ける対流

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流れの様式による分類

層流（laminar flow）

整然とした流れ

分子拡散による熱移動が支配的

乱流（turbulent flow）

流速が不規則変動

流体塊の混合が支配的

層流から乱流への遷移 流速：大流速：小図3 3

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図3.3

3.1.2 対流熱伝達率と境界層

ト 冷却法則（ f ）ニュートンの冷却法則（Newton’s law of cooling）

( )fq h T T (3 1)( )w fq h T T (3.1)2(W/(m K))h ：熱伝達率（heat transfer coefficient）

T 伝熱面温度（表面温度）wTfT

：伝熱面温度（表面温度）

：流体温度

熱伝達のよさを表す係数

定義

熱伝達のよさを表す係数

どこの温度？

定義

「何のために？ どう使う？」を考えて

全体の性能？それとも部分（局所）の性能全体の性能？それとも部分（局所）の性能

現象を代表する温度

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対流と熱伝導の関係

伝熱面表面での熱の移動

固体 固体と接してい 内部の固体表面

固体と接している流体粒子

内部の流体

熱伝導 熱伝導と流体の運動

伝熱面表面では熱伝導のみ

熱伝導 熱伝導と流体の運動

d

0

d ( )d w f

x

Tq k h T Tx

壁面での流体内の温度勾配が決まれば熱伝達率が決まる．

流体 度分布 流体 熱物性 流動条件 伝熱 状 依流体の温度分布は，流体の熱物性，流動条件，伝熱面形状に依存する．

熱伝達率も同様．

Prof. H. Takamatsu6

熱伝達率も同様

境界層（boundary layer）境界層（boundary layer）速度や温度が急激に変化する固体面近傍の薄い層（領域）

速度境界層（velocity boundary layer）速度境界層（velocity boundary layer）温度境界層（thermal boundary layer）熱伝達率と境界層の関係熱伝達率と境界層の関係

fTwT

xyTk

xq

f

Td

x

0x

w f w f

xqhT T T T

T T

fv

w f

T

T Tk k

T T

(3.2a)d

w f TT T

t： 温度境界層厚さ

( )

Prof. H. Takamatsu7

t図3.4

境界層厚さの定義境界層厚さの定義

速度境界層厚さ

0 99 の位置までの厚さ0.99u u の位置までの厚さ

温度境界層厚さ

0.99wT TT T

の位置までの厚さ

w fT T

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局所熱伝達率と平均熱伝達率

熱伝達率 分布熱伝達率の分布

1/ Th h は位置（場所）T は流れ方向に増加

T は物体形状や流れの条件に依存

h は位置（場所）の関数

局所熱伝達率（local heat transfer coefficient）qh 局所熱流束

平均熱伝達率（ h t t f ffi i t ）

w f

qhT T

局所熱流束

局所温度差

平均熱伝達率（average heat transfer coefficient ）

Q Ah平均熱流束

w f

QhT T

平均温度差

Prof. H. Takamatsu9

平均熱伝達率平均熱伝達率

1 dA

q AQ A Ah

がわかると の関係がわかる 設計できる

AQ A AhT T

Q T h がわかると の関係がわかる 設計できる

温度差が場所によらず一定の場合：

Q T h

w fT T T

1 1 1d d dw f w fA A Aq A h T T A T T h A

A A AhT T T

1 A

T T

h dA

T

A

(3 2a)AA (3.2a)

注意：この定義は T =一定 の場合にしか使えない

Prof. H. Takamatsu10

3.2 対流熱伝達の基礎方程式

3 2 1 基礎方程式の概要3.2.1 基礎方程式の概要

目的

布流体内の温度分布を求めて伝熱量を見積もる．

求める量（未知数）＜非圧縮性の場合＞

速度（u, v, w ），圧力（p），温度（T）

基礎方程式（governing equations）

変数の数：計 ５つ

g g q質量保存則

連続の式解ける

連続 式

運動量保存則

ナビエ・ストークスの式 式の数：計 ５つナビ スト クスの式（x, y, z 方向：計３つ）

エネルギー保存則

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エネルギーの式

3.2.2 連続の式

質量保存則（ 次元 場合）質量保存則（２次元の場合）

m m m m m m m

x x x y y yin out

m m m m m mt

x y y y x x u u v v

y

x x x y y yx y y y x x

t

u u v v

① ② ③ ④両辺をxyで割って

x

y④

y ym

y y yx x x

t x y

v vu u両辺を yで割 て

y

①

xm

②

x xm

t x y

x,y→0 の極限をとると

x x+xxm x y 0

t y

u v

x

連続の式（ ti f ti it ）

Prof. H. Takamatsu12

③ ym連続の式（equation of continuity）

デカ ト座標系 連続 式（ f ）デカルト座標系の連続の式（equation of continuity）

0t y z

u v w

x

0t

u (3.5)

ベクトル表示：

非圧縮（密度一定）の場合x y z

i j k

0

u v w

y z x

0 uベクトル表示：

Prof. H. Takamatsu13

3.2.3 運動量保存則

運動量 保存運動量の保存

m m m u F u u

流入する運動量 流出する運動量検査体積にかかる力運動量の時間変化

in out

m m mt

u F u u

２次元 x方向の運動量保存則

④ mu

運動量 y

④

mu

y ym

u

xin out

m F m mt

u u u

運動量

y

① ②x

mu x xm

u

① 2x x x

m y y u uu u

② 2 x

③ mu③ y y

m x u vu

④

② 2x x x x x x

m y y

u uu u

Prof. H. Takamatsu14

③ y④ y y y ym x

u vu

力力

⑥

x軸に垂直な面に作用する方向の垂直応力

⑧xy y y

x

⑤ xx|x⑥ xx|x+x

⑦ ｘy|y

x方向の垂直応力

y軸に垂直な面に作用する方向のせん断応力

⑥xx x x

y

X x y

⑨⑤xx x

y

⑧ xy|y+yx方向のせん断応力

⑨ Xxy 体積力（重力，磁力，クーロン力）

⑥⑨⑤

保存則⑦ xy y

x

2 2y y yx x x

m y y x xt

u u u uv uv

xx xx xy xyx x x y y yy y x x X x y

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2 2 u u uv uv y y yx x x

t x y

u u uv uvu

xy xyxx xx y y yx x x Xx y

x y→0 の極限をとるとx,y→0 の極限をとると

2 xyxx Xt x y x y

u u uv

ニ トン流体

t x y x y

ナビエ・ストークスの式（Navier-Stokes equation）

ニュートン流体

xx xxp

xy

u vy x

223xx

u u vx x y

Prof. H. Takamatsu16

ナビ ト ク 式（デカ ト座標系）ナビエ・ストークスの式（デカルト座標系）

x方向

xyxx xzp Xt x y z x x y z

u u u uu v w

y方向

t x y z x x y z

yx yy yzp Yt x y z y x y z

v v v vu v w

z方向

p w w w w zyzx zzp Zt x y z z x y z

w w w wu v w

Prof. H. Takamatsu17

ニュートン流体 一定 一定の場合ニュ トン流体， 定， 定の場合

x方向

2 2 2 2 2 2

2 2 2

p Xt x y z x x y z

u u u u u u uu v w

y方向

2 2 2p v v v v v v v

方向

2 2 2

p Yt x y z y x y z

v v v v v v vu v w

z方向

2 2 2p Z

w w w w w w w2 2 2

p Zt x y z z x y z

w w w w w w wu v w

Prof. H. Takamatsu18

実質微分（substantial derivative）

時間の変化 ( ) ( )t時間の変化 (x, y, z , t) → (x+x, y+y, z+z, t+t )d ( , , , ) ( , , , )lim x x y y z z t t x y z t

0d tt t

0

( , , , ) ( , , , )limt

x x y y z z x x y y z zt t tt

t

( , , , ) ( , , , )y y z z t y y z z txt

tx x x

x

t

xu

( , , , ) ( , , , )

( ) ( )

x z z t x z z tyt

y y yy

t t

( , )t t r ryv

( , , , ) ( , , , )z z zz

x y t xz y tt

( , )t rz

w

D DDt t y z t

u v wx

u ：実質微分（substantial

）

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対流項（convection term）derivative）

デカルト座標系デカルト座標系

D 22D 3

pt x x x y y x

u u u vu

D 3

x

t x x x y y x

z z x

u wg (3.12a)z z x

D 22D 3

pt y y y z z y

v v v wu

D 3

y

t y y y z z y

x x y

v ug (3.12b)

x x y

D 22D 3

pt z z z x x z

w w w uu

D 3

z

t z z z x x z

y y z

w vg (3.12c)

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y y z

3.2.4 エネルギー保存則

④2

2 y y

Vm e

2

⑧ y yq x

内部エネルギーと

運動エネルギー

伝熱量

y

②

①

2

2 x

Vm e

y

⑥

x xq y

⑤x

q y

G x y

x x+xx

③

2

2 x x

Vm e

2Vm e

x x+xx

⑦ yq x

⑨ 内部発熱③2 y

m e

⑦ y⑨ 内部発熱

⑬ yy y yx

v

⑰ xy y yx

u垂直応力による仕事 せん断応力による仕事

y

⑪⑩xx x

y u xx x xy

u y

⑰

yx xy v yx x x

y

v

x x+xx

⑪⑩

x x+xx

⑮⑭

Prof. H. Takamatsu21

x x+x⑫ yy y

x vx x+x

⑯ xy yx u

エネルギーの保存

2Vme me m q w

仕事内部エネルギーの時間変化

2 i j

i jme me m q w

t

仕事

伝熱量

運動エネルギ の収支

内部エネルギーの収支

内部 ネルギ の時間変化

2 1V

２次元系の場合

運動エネルギーの収支 2

2 212 2

Vm u u v

内部エネルギー＋運動エネルギー（x方向）

2 2

d duE E v

, , d d2adv x adv x dx

uE E u e x yx

v

Prof. H. Takamatsu22

伝導熱量（x方向）伝導熱量（ 方向）

, , d dcond x cond x dxTE E k x y

x x

仕事（x方向）

d d d d d dnet x x xx xyW g u x y p u x y u x y

エネルギ 保存則

,net x x xx xyg y p y yx y

体積力による仕事 表面力による仕事

エネルギー保存則

2 2 2 2e u uu e e

v v

v

2 2u e e

t x yT Tk k g u g pu p

v

v v

0

x y

xx yx xy yy v

k k g u g pu px x y y x y

u u q

v v

v v

Prof. H. Takamatsu23

xx yx xy yy vqx y

運動量の式を用いると運動量の式を用いると

ve T T uk k p qt y x x y y x y

e e vu vx

ここに

t y x x y y x y x粘性による消散（発熱）

2 2 22 2 22 22

3y y x

u v u v u vx x y

エンタルピ を用いて整理すると

h h h T T

/h e p

vh h h T Tk k qt y x x y y

u vx

p p pt y

u vx

Prof. H. Takamatsu24

熱力学関係式

dd d 1pph c T T

(3.24)

1T

ここに

：体膨張係数 (3.26)

２次元系のエネルギーの式

pT ( )

高速な流れ以外では粘性散逸項は0

p vT T T T Tc k k qt y x x y y

u vx y y y

p p pTt y

u vxt y x

熱流動現象は dp=0 の場合が多いので通常は 0

Prof. H. Takamatsu25

熱流動現象 p 場合 多 通常

3.2.5 非圧縮性流体の基礎方程式

非圧縮 物性値 定 発熱なし非圧縮，物性値一定，発熱なし

連続の式

0 (3 27)ナビエ・ストークスの式

0 u

D 1u

(3.27)

エネルギーの式

2D 1D

pt

gu u (3.28)

重力（体積力）エネルギ の式

2DD

T Tt

(3.29)

重力（体積力）

2(m / s) ：動粘度（kinematic viscosity）

ここに

(3 30a) (m / s)

2 (m / s)k

：動粘度（kinematic viscosity）

：熱拡散率（thermal diffusivity）

(3.30a)

(3.30b)

Prof. H. Takamatsu26

( )pc 熱拡散 y( )

デカルト座標系（非圧縮）

連続 式連続の式

0

u v w

(3 31)

ナビエ・ストークスの式

x y z

2 2 2

(3.31)

2 2 2

2 2 2D 1D x

pt x x y z

u u u ug

2 2 2

(3.32a)

2 2 2

2 2 2D 1D y

pt y x y z

v v v vg

2 2 2

(3.32b)

ネルギ の式

2 2 2

2 2 2D 1D z

pt z x y z

w w w wg (3.32c)

エネルギーの式2 2 2DT T T T (3 33)

Prof. H. Takamatsu27

2 2 2Dt x y z

(3.33)

円筒座標系（非圧縮）

( )u rv wx r r r

1 10

q¶ ¶ ¶

+ + =¶ ¶ ¶

2 2æ ö

(3.35)

xu u u w u p u u uu v r g

t x r r x r r rx r

2 2

2 2 2

1 1 1n

q r qæ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶æ ö ÷ç ÷ç+ + + = - + + + +÷ç ÷÷ç ÷ç è ø¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø¶ ¶

2¶ ¶ ¶ ¶ (3 36a)v v v w v wu v

t x r r rp v v v v w

2

2 21 1 1 2q

¶ ¶ ¶ ¶+ + + -

¶ ¶ ¶ ¶æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶æ ö ÷ç ÷ç

(3.36a)

(3 36b)rp v v v v w

r gy r r rx r r r2 2 2 2 2n

r qq¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶æ ö ÷ç ÷ç= - + + - + - +÷ç ÷÷ç ÷ç è ø¶ ¶ ¶ ¶è ø¶ ¶

w w w w w vwu v

¶ ¶ ¶ ¶+ + + +

(3.36b)

u vt x r r r

p w w w w vr g

r r r rx r r r

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 2q

q

nr q qq

+ + + +¶ ¶ ¶ ¶

æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶æ ö ÷ç ÷ç= - + + - + + +÷ç ÷÷ç ÷ç è ø¶ ¶ ¶ ¶è ø¶ ¶(3.36c)

r r r rx r r rr q qqè ø¶ ¶ ¶ ¶è ø¶ ¶

T T T w T T T Tu v r

t

2 2

2 2 2

1 1a

q qæ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶æ ö ÷ç ÷ç+ + + = + + ÷ç ÷÷ç ÷ç è ø¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶¶ ¶

(3.37)

Prof. H. Takamatsu28

t x r r r r rx r2 2 2q q÷ç ÷ç è ø¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø¶ ¶( )

２次元定常流れの基礎式

連続 式連続の式

0

u v (3.38)

運動量の式

x y ( )

2 2

2 21 p

x y x x y

u u u u

u v (3.39a)

2 2

2 21 p

x y y x y

v v v v

u v (3.39b)

エネルギーの式2 2T T T T

(3 40)2 2x y x y

u v (3.40)

Prof. H. Takamatsu29

無次元の基礎式

連続 式連続の式

0

* *u v* xx

L

運動量の式

* * 0x y

* yyL

* 2 2

* * * *2 *21pRex y x x y

* * * ** *u u u uu v u

*u

u

* 2 2

* * * *2 *21pRex y y x y

* * * ** *v v v vu v u

*v

v

エネルギーの式* * 2 * 2 *1T T T T * *

*2

ppu

u LRe * * *2 *2

1T T T TPex y x y

* *u v

* w

w

T TTT T

u LPe

Prof. H. Takamatsu30

3.2.6 境界層近似（boundary layer approximation）

物体表面に沿う 次元定常流れ物体表面に沿う２次元定常流れ

境界層近似（boundary layer approximation）

(x)

u v

u u v v ue(x)

Te

, ,y x y x

u u v v

T T

(x)y

T Ty x

Flow Lx

( )T(x)

0Tw(x)

0

u

Prof. H. Takamatsu31

Order estimation：*

1uとなるように L を選ぶOrder estimation

* 1x となるように L を選ぶ

*v * * * * * *u v連続の式：

* 1y

v * v ( 0; 0, ) * * *y v y

* 2 * 2 * v v u * 2 * 2 *1 1 1 u u v

* * 0x y

u v

* *2 *2, , 1,x x x

v v u* *2 2 *2

1 1 1, ,y y y

u u v

x方向運動量式：* 2 2

* * * *2 *21p

Rex y x x y

* * * ** *u u u uu v

x方向運動量式：

：1のオーダーy y 1 1 21/11/

2 のとき粘性項と慣性項が同じオーダーy方向運動量式：y方向運動量式：

* 2 2

* * * *2 *21pRex y y x y

* * * ** *v v v vu v ：のオーダー

Prof. H. Takamatsu32

x y y x y

境界層方程式（boundary layer equations）

連続 式連続の式

0 u v (3.41)

運動量の式

0x y

(3.41)

2 2

2 21 p

x y x x y

u u u u

u v (3.42)

2 2

2 21 p

x y y x y

v v v v

u v 0py

¶=

¶

エネルギーの式2 2T T T T (3 43)2 2

T T T Tx y x y

u v (3.43)

Prof. H. Takamatsu33

境界層方程式境界層方程式

0x y

u v (3.41)

2

21 d

du px y x y

u u

u v

x y

(3.42)dx y x y

・常微分 ・p(x)が予めわかっていないと解けない

境界条件

2

2T T Tx y y

u v (3.43)

境界層外縁の値境界条件

0 : 0, wT T x y u v (3.44a)

境界層外縁の値

: , const.e ex T T y u u (3.44b)d 1 de p

u

u （ベルヌーイの定理）より算出

Prof. H. Takamatsu34

d de x xu （ ルヌ イの定理）より算出

無次元化

無次元数無次元数x x L* /= y y L* /=* / * /

( )p p u* 2/ r=( ) ( )T T T T T*

境界層方程式と境界条件u u u/= v v u/= ( ) ( ) wT T T T T= - -

* * * *

* * 0x y

u v

* * * 2 *

(3.46) 物体形

係数が

式と境=1/Re

* * * 2 ** *

* * * 2*

dd Lp

x y x y

u

u u uu v (3.47)

形状が相似

同じであ

界条件は* * 2 *

* ** * 2*

T T Tx y yL

u v

u (3.48)似で，この

あれば，支

は一致y

* * * *0 : 0, T 1 y u v (3.49a)の無次元

支配方程

=1/Pe

Prof. H. Takamatsu35

* * * * *: , 0e x T y u u (3.49b)元程

重要な無次元数

レイノルズ数（R ld b ）レイノルズ数（Reynolds number）

LLRe

u

(3.50) ：慣性力と粘性力の比

プラントル数（Prandtl number）

c

( )

ペクレ数（Peclet number）

pcPr

k

速度境界層と温度境界層の厚さに関連

(3.52) ：運動量拡散と熱拡散の比

ペクレ数（Peclet number）p

L Lc LLPe = Re Pr

k

uu 流体の持ち去る熱量

と伝導伝熱量の比(3.51) ：

ヌセルト数（Nusselt number）k

hL

と伝導伝熱量の比

熱伝達率 無次元数LhLNuk

物体の代表長さが温度境界層の厚さの何倍か

(3.57) ：熱伝達率の無次元数

L 代表寸法

Prof. H. Takamatsu36

L：代表寸法

3.3 管内流と平行平板間の強制対流

管内流 層流から乱流 遷移管内流の層流から乱流への遷移

遷移レイノルズ数（critical Reynolds number）流

,4 2300B

d crd mRe

d

u 23002300

d

d

ReRe

(3.61)

：層流：乱流

流れと温度場の流れ方向変化

助走区間 十分に発達する

x粘性境界層

Bu

( ),u x r ( )u rB

十分に発達した流れ助走区間

d

Prof. H. Takamatsu37

uL

管内流の助走区間

速度助走区間（ ） 長さ速度助走区間（hydrodynamic entrance region）：長さ Lu(3.62a)(3 62b)

/ 0.05 ( 2300)u d dL d Re Re ：層流

/ 10 ( 2300)L d R ：乱流

：十分に発達した流れ（fully-developed flow）

温度助走区間（th l t i ） 長さ L

(3.62b)/ 10 ( 2300)u dL d Re ：乱流

ux L

温度助走区間（thermal entrance region）：長さ LT/ 0.05 0.05 ( 2300)T d d dL d Re Pr Pe Re ：層流

/ 10 ( 2300)L d Re ：乱流(3.63a)(3 63b)

：十分に発達した温度場（fully-developed temperature field）

/ 10 ( 2300)T dL d Re ：乱流 (3.63b)

Tx L（fully-developed temperature field）

x粘性境界層

Bu

( ),u x r ( )u r

d

Prof. H. Takamatsu38uL

十分に発達した流れ助走区間

3.3.1 十分発達した流れ

平行平板間 流れ平行平板間の流れ

x方向運動量の式 y

x u 2H

u

2

2d 1 d

ddpxy

u(3.65)

境界条件：

0, 0x

u

v

: 0y H u

(3.64)

(3.66)境界条件

速度分布

y

2

2 21 d 3 1p yH

( )

断面平均速度（mean velocity）:

2 21 d 3 12 d 2 B

p yH yx H

u u (3.67)

断面平均速度（mean velocity）:21 dd

2 3 dH

B H

H pyH x

u u (3.68)

Prof. H. Takamatsu39

円管内の流れ（ハーゲン・ポアズイユ流れ）

x方向運動量の式

1 d d 1 dpr u (3 70)

yx u 2H2R

r

境界条件：

d d dr

r r r x

(3.70)

速度分布

d0 : 0, : 0dur r R ur

速度分布

2

2 21 d 2 14 d B

p rR rR

u u (3.71)

断面平均速度（mean velocity）:

4 dx R

21 dR R

( )

2

2 0

1 dd8

2d

RB

R prxR

r

u u (3.72)

Prof. H. Takamatsu40

3.3.2 十分発達した温度場（平行平板）

適当な参照温度差で無次元化した無次元温度分布が, 下流において軸座標 に依存しない温度場

w q w

温度場

混合平均温度（b lk ）

x 合同

通常は w BT T

混合平均温度（bulk mean temperature） q

(a) 等熱流束壁

d dpA A

c T A T AT

u u

x

w q w

相似

d

A AB

BpA

T xAc A

uu

(3 74) x

q

相似

物性値一定の場合 (3.74)

流路断⾯を⼀定時間に通過する流体を q

(b) 等温壁

図3.13

流路断⾯を⼀定時間に通過する流体を，断熱的に混合した温度

Prof. H. Takamatsu41

エンタルピーの合計を熱容量で割ったもの

十分発達した温度場の温度分布十分発達した温度場の温度分布

w

B w

T TT T

(3.75)：無次元温度分布

B wyH

無次元変数（座標）： (3.76)

1

w B w B y H

q Th kT T T T y

1 1B ww B

kT Tk T TH H

d

(3.77)

1HhHNuk

1

1 dd

に関する常微分

(3.78') HNk

(3.78 )

ヌセルト数（熱伝達率）がxに依存しない

Prof. H. Takamatsu42

3.3.3 等熱流束加熱と等温加熱

十分発達した温度場では 式( )から

温度助走区間 十分に発達した温度場

十分発達した温度場では，式(3.75)から

d d 1d d

B wT T T

(3.79)

T)(xTw

),( 0yxT

一定

等熱流束壁の場合：

d dx x x

( )

x.q const=

)(xTB

d dT T T¶d d 0q x

x

(a) 等熱流束壁条件

温度助走区間 十分に発達した温度場

( ) ( )( )

( )

d d 1d d

d d( )d d

B w

w w B

T T Tx x x

T T Tq h q h

q h

¶= + -

¶-

= -

T)(xTw

)( yxT

温度助走区間 十分に発達した温度場( )

d dx xh

d dT T T∵ q, h 一定だから (Tw－TB) 一定

等温壁の場合：

T

)(xTB

),( 0yxTd dd d

B wT T Tx x x

d d 0T x

(3.80)

等温壁の場合：x

.wT const=

(b) 等温壁条件 dd

BT T

d d 0wT x

(3.95)

Prof. H. Takamatsu43

図3.14 dx x

( )

等熱流束加熱平行平板

エネルギーの式2

2

T T T

u v 境界層方程式(3.43)で

yx u 2H

2x y y 0v

2

2p pT Tc c T kx x y

u u (3.81)

x x y

2H T T T Tæ öæ ö¶ ¶ ¶ ¶÷÷ ççò

上半分y=0～Hに渡って積分 対称

右辺

( ) ( )ddH

B Bc uT y H c u Tr r¶

=ò

20 0d

y H y y H

T T T Tk y k k qy y yy = = =

¶ ¶ ¶ ¶÷÷ çç = - = =÷÷ çç ÷÷ ç÷ç ÷ç ¶ ¶ ¶¶è ø è øò右辺：

中辺： ( ) ( )0

ddp p B Bc uT y H c u T

x xr r

¶ ò

( ) 0d d

HppA

B

c uT yc uT AT x

rrº =

òòò

中辺：

∵ 混合平均温度： ( ) d

Bp BpA

T xc u Hc u A rrò

混合平均温度

d TH c T k q u (3 82a)

Prof. H. Takamatsu44

d p B By H

H c T k qx y

u (3.82a)

d dT q Td dd d

B

p B

T q Tx c H x

u

等熱流束では

(3.82b)

エネルギ の式（3 81）に代入

d dd d

BT Tx x

エネルギーの式（3.81）に代入2

2kH Tq y

uu

無次元表示

B q yu

速度分布 式（3.67）を代入し，無次元化

定義無次元表示

23 112 Nu

(3.83) wT TT T

定義

境界条件

2 HNu

0 : 0 (3 84a)

B wT TyH

0 : 0

1: 0

(3.84a)(3.84b) H

hHNuk

Prof. H. Takamatsu45

温度分布

2 45 6w HT T Nu

式(3.83)を積分

(3 85) 0 6

0.8

1.0

円管

混合平均温度

2 45 68

w H

B wT T

(3.85)

0.2

0.4

0.6

平行平板

混合平均温度

0d

H

B

T yT

u 11 d

u無次元化0.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.01.641.29

(T - TW ) / ( TB - TW )

図3 15

1 1 2 4 23d 5 6 1 d 1HNu u

BB

TH

u 0

1 dB

u

(3 86)

図3.15

0 0

d 5 6 1 d 18 2B

u

35Nu 8 24hdNu hまたは

(3.86)

(3 87)17HNu 8.24

h

hdN

ku または

4hd H水力直径：

(3.87)

Prof. H. Takamatsu46

十分発達した層流熱伝達のまとめ

表3.2 ヌセルト数の漸近値（代表寸法：水力直径）

加熱条件 平行平板 円管加熱条件 平行平板 円管

等熱流束 8 24 4 36等熱流束 8.24 4.36

等温 7.54 3.66

Prof. H. Takamatsu47

3.4 物体まわりの強制対流熱伝達

水平平板から 強制対流層流熱伝達水平平板からの強制対流層流熱伝達

層流の条件： 55 10eL

u LRe 層流の条件

支配方程式主流の流速： ue

主流の温度： Te

壁温（ 定） T0 u v

5 10LRe

(3 111) 壁温（一定）： Tw0x y

2

u u u

u v

(3.111)

(3 112) u 一定d 0p

T

2x y y

u v

2

2T T T u v

(3.112)

(3 113)

ue 定 0dx

境界条件

eueT

y

2x y y

u v (3.113)

0 0 T T0

T

T

T

x0 : 0, wy u T T v

: ,e ey u u T T

Prof. H. Takamatsu48

wT(3.114a,b)図3.18

相似変数の導入による常微分方程式化

変数変換（偏微分方程式 常微分方程式）y f

eT TT T

(3.115)

ex

u

e

fx

u

w eT T

( )

：流れ関数（stream function）

基礎式

y

u x

v定義： 連続の式を満足(3.119)

基礎式1 02

f f f 1 1

(3.116) 最初にこの式を解く→f

境界条件

1 1 02

fPr

(3.117) 次にこの式を解く→

解析解もあるが，境界条件

0 : 0, 1f f : 1, 0f

(3.118a)(3.118b)

解析解もあるが，一般には数値的に解く

Prof. H. Takamatsu49

: 1, 0f ( )

速度分布

e f u u

e f f u

v 0.8

1.0

u / u

e(3.120a)

(3 120b)

速度境界層厚さ

1/ 22 xf f

Rev

0.6f ' =

(3.120b)

0.2

0.4

1/ 255 / ex x

R u

速度が主流速度の99%となる位置

(3.121)

摩擦係数

0 1 2 3 4 5 60.0

1/ 2exeR

/ex uRe x

( )

局所レイノルズ数

摩擦係数 図3.19 無次元速度分布

12 1/ 2 / 2

2 02 0.664xf

w fCR R

(3.123)12 1/ 2 / 2xf

e xxR Reeu

2 0 1/ 22 1 1.328L

f wC dxL R

(3.124)

Prof. H. Takamatsu50

2 0 1/ 2f wLe eL R

u

温度分布 1.0

局所ヌセルト数0.6

0.8

) / (T

w - T e)

1/ 20wx x

q xNu ReT T k

0 2

0.4

Pr=1

Pr=0.1

=

(T -

T e) x xw eT T k

(3.126)Prの関数

近似式

0 1 2 3 4 5 60.0

0.2

Pr=10

1/ 2 1/ 30.332(0.5 Pr 15)

x xNu Re Pr

近似式

(3.128)

平均ヌセルト数

図3.20 無次元温度分布

( . )

dL

1/ 2 1/30d

0.664 (0.5 Pr 15)w

L Lw e

q xhLNu Re Prk T T k

(3 129)境界層厚さの関係 (3.129)

1/3Pr (3 130)

Prof. H. Takamatsu51

TPr

(3.130)

3.5 乱流の概略

乱流乱流

工業上，出現する流れのほとんど

乱流の特徴

速度の不規則変動（時間的・空間的）

数学的には取り扱いにくい

流体が渦塊（eddies）として運動

流体塊間の運動量の混合（乱流混合）

速度分布が平坦速度分布 平

層流 乱流

低温 高速

q高温 低速

Prof. H. Takamatsu52

図3.28 図3.29

乱流混合の効果 log pD logh

圧力損失

熱伝達率 増大

鈍頭物体の流動抵抗

摩擦抵抗（friction drag）210 310 410 210 310 410

dRe dRe

摩擦抵抗（friction drag）

圧力抵抗（pressure drag）

流れのはく離が原因

図3.30 管内流の場合

流れのはく離が原因

圧力抵抗

速度境界層

はく離点： 速度勾配が0逆流開始点 圧力抵抗逆流開始点

鈍頭物体の場合はこれが大きい

前方よどみ点 後方よどみ点

はく離を抑えはく離点を後方に形成すれば流動抵抗が低減

図3.31

Prof. H. Takamatsu53

流動抵抗が低減

乱流混合による抵抗低減層流 乱流乱流混合による抵抗低減

表面の凹凸の効果

乱流混合により粘性境界層内乱流混合により粘性境界層内の運動量低下を遅らせる

はく離点が後方へはく離点が後方

摩擦抵抗は増加するが，全抵

抗の大部分を占める圧力抵

図3.32 表面の凹凸の効果

24 10

310抗 大部分を占 抵抗が低減

例）ゴルフボール10

40DC

210

24 10´

ボルテックス・ジェネレータ

抗力係数（drag coefficient）4

10

104

乱流境界層出現

du d

Ren¥=

210 410 6100.1

1

0.4

2/ / 2D D PC F A u (3.140)

Prof. H. Takamatsu54

図3.33 円柱の抗力係数n

3.6 強制対流乱流熱伝達

滑らかな平面上の乱流境界層滑らかな平面上の乱流境界層

粘性底層（viscous sublayer）層流 線形速度分布

eu

層流の線形速度分布

遷移層（buffer layer） u完全乱流域

遷移層

中間領域

完全乱流域（fully-turbulent layer）粘性底層

対数速度分布

1/ 21 ln w yu B 粘性底層 遷移層 完全乱流域

後流域

20

( )1/2/w

u

t r

1/ 2 lnw

B

1

Byu w ln12/1

粘性底層 遷移層 完全乱流域

10

20

(3.152)

yu w

2/1

Byu ln

1 2 3

0.40, 5.5B (3.153)

壁法則（law of the wall）

Prof. H. Takamatsu55

vyy w2/1

110

210

310

壁法則（law of the wall）図3.35

3.6.1 円管内乱流強制対流

管摩擦係数管摩擦係数

プラントル（Prandtl）の式壁法則を管断面 積分し 若干修正壁法則を管断面で積分し，若干修正

101 2.0 log 0.80d fRe

(3.154)

ブラジウス（Blasius）の式

10g d ff

10-12

( )

1/ 4

3 5

0.3164

(3×10 10 )f d

d

Re

Re

＜ ＜

10

1 × 10-34 × 10-31 × 10-2

yr / d = 4 × 10-2

遷移域C f

f(3.155)

ホワイト（White）の式：

( )d

2 5l

10-2

遷移域

層流域:

Blasius

30004C Whitef

(3 156) 2.510

3 8

1.02 log

(3×10 10 )f d

d

Re

Re

＜ ＜103 104 105 106 10710-3

dRe64

層流域:(3.156)

Prof. H. Takamatsu56

10 10 10 10 10Red

図3.36

熱伝達整理式（correlation）熱伝達整理式（correlation）

熱伝達率の実験データを表す相関式

式 最もポピ な式Dittus-Boelterの式： 最もポピュラーな式

0.8 3 70.023 10 10nd d dNu Re Pr Re (3.157a)

Sieder-Tateの式：物性値の温度依存性が無視できない場合

物性値は混合平均温度における値を用いる

0.140.80.023 n

d dw

Nu Re Pr

(3.157b)w

w：壁温における粘度

ここで0.40.3

nn

：流体を加熱する場合：流体を冷却する場合

ここで

(3.158b)(3.158a)

Prof. H. Takamatsu57

3.6.2 平板からの乱流強制対流

流れ方向変化流れ方向変化

Rex105では層流， Rex>105では乱流として取り扱う

速度境界層厚さ h1/ 25 xRe 層流： (3.121)

1/5h x-µ （乱流）

5 xRex

1/50.381 xRe

層流：

乱流：

( )

(3.159)

局所ヌセルト数 1/2h x-µ （層流）

xx

4/5 1/30 03N R P (3 162)

平均ヌセルト数（層流域が無視できる場合）

0 xtrx1/30.03

(0.7 100)x xNu Re Pr

Pr

(3.162)

図3.37 平板上の熱伝達率 変化平均ヌセルト数（層流域が無視できる場合）

4/5 1/30.037L LNu Re Pr (3.164)

達率の変化

Prof. H. Takamatsu58

3.7 自然対流熱伝達（natural convective heat transfer）自然対流（ ）自然対流（natural convection）

温度差による浮力（buoyancy）が流れの駆動力

速度場と温度場が影響を及ぼしあう

鉛直平板から 水平円柱から煙草の煙

Prof. H. Takamatsu59

鉛直平板からの自然対流 の自然対流

煙草の煙

ベナール・セル

人の体からの自然対流

シリコンオイル液層の下面加熱による自然対流

Prof. H. Takamatsu60

加熱による自然対流

垂直平板からの自然対流

密度密度

e eT T T TT

(3.174)

流体の単位体積あたりの浮力 wTeT

上昇流

e

e ep T T

T

( )

e

g e ee TT TT T gg

ここで

(3.175)

1p T T

T

ここで

(3.176)

気体の場合

x

0 y u

vep T T

体膨張係数 (1/K)気体の場合 0 y

1

C 273eT

(3.177) 図3.39

Prof. H. Takamatsu61

e

浮力とは

静止流体中にある物体に働く力

d dd d d d d dp px y x y x y g g

p dpp dp

静止流体の力のバランス

d d d d d dd d

x y x y x yx x

g g

dpgg

ppxdd d d d 0

dpx y x yx

g y

以上より 0dp g

静止境界層

dd

(px

g g) 浮力dx

g

境界層方程式（重力を考慮，式(3.42)参照） p dp

2 1 du p u u

ggp2

2

1 dd

u px y xy

u u

u

gu v

( )T T

Prof. H. Takamatsu62

2y

g ( )T T g

基礎方程式基礎方程式

ブシネ近似（Boussinesq approximation）

温度による密度の変化を，運動方程式の体積力項にのみ考慮し，他の項では無視する（慣性項では無視）

0x y

u v (3.178) 上昇流

y

2

2 eT Tx y y

u u u

u v g (3.179)wT

eT

gx y y 2

2T T T

u v (3.180)

g

2x y y ( )

xu

v

Prof. H. Takamatsu63

0 y u

自然対流で重要な無次元数

グラスホ 数（G h f b ）グラスホフ数（Grashof number） 3

2w e

xT T xGr

g (3.182)局所

2x 3

2w e

LT T LGr

g

平均

浮力と粘性力の比

レイリー数（Rayleigh number）

2L

3w e

x xT T xRa Gr Pr

g (3.183)局所

3w e

L LT T LRa Gr Pr

g

平均

乱流への遷移

9~ 10xRa

Prof. H. Takamatsu64

x

垂直平板からの自然対流熱伝達の整理式層流層流

局所ヌセルト数1/ 4

1/ 40 60 PrNu Ra (3 192)

Ra と Pr の関数

平均ヌセルト数

0.601 2.005 2.033x xNu Ra

Pr Pr

1/ 41/ 40 80 PrN R

(3.192)

(3 193)

乱流

1/ 40.801 2.005 2.033

L LNu RaPr Pr

1/ 4 4 90.59 (10 10 , 0.7)L L LNu Ra Ra Pr

(3.193)

(3.194)物性値はすべて乱流

局所ヌセルト数1/ 5

2 / 50.040 PrN G (3 199)

物性値はすべて(Tw+Te)/2に基づく

膜温度

2 / 52 / 52 / 31 2.023

x xNu GrPr

1/ 3 9 120.13 (10 10 )x x xNu Ra Ra

(3.199)

(3.200) h は x に無関係

膜温度

平均ヌセルト数（層流から乱流まで）2

1/ 60.3870 825 LL

RaNu (3 202a)

Prof. H. Takamatsu65

8 / 279 /160.825

1 0.492 /LNu

Pr

(3.202a)